TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT

NGUYỄN THỊ DINH

TÌM HIỂU PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN VÀ
PHƢƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN TRONG
CƠ HỌC ƢỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức
cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trƣờng cũng nhƣ trong
quá trình thực hiện khóa luận này.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lƣu Thị Kim
Thanh đã tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa
luận tốt nghiệp này.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em
không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhậnđƣợc những đóng góp ý
kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Dinh

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: PGS.TS Lƣu
Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của
các tác giả.
Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Dinh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................... 1
2. Mục đ ch nghi n cứu ........................................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghi n cứu.................................................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ................................................................................................................ 2
CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ ................................ 3
1.1.Lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg ........ 3
1.1.1.Lƣỡng tính sóng hạt của hạt vi mô................................................................... 3
1.1.2.Hệ thức bất định Heisenberg .............................................................................. 6
1.1.3.Nội dung của nguyên lý bất định ...................................................................... 8
1.1.4.Ý nghĩa của nguyên lý bất định ......................................................................... 8
1.2.Nguyên lí chồng chất các trạng thái............................................................................ 9
1.3.Hàm sóng của hạt vi mô................................................................................................. 10
1.3.1.Định nghĩa hàm sóng ........................................................................................... 10

1.3.2.Các tính chất của hàm sóng. ............................................................................. 10
1.3.3.Ví dụ về hàm sóng ................................................................................................ 11
1.3.4.Hàm sóng của hệ N hạt ....................................................................................... 11
1.3.5.Trung bình của một đại lƣợng vật lý ............................................................. 11
1.3.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng..................................................................... 12
1.4. Phƣơng trình Schrodinger ............................................................................................ 13
1.4.1.Phƣơng trình Schrodinger dừng ...................................................................... 13
1.4.2.Phƣơng trình Schrodinger thời gian .............................................................. 13
1.4.3.Tính chất của phƣơng trình Schrodinger ..................................................... 14


1.5. Vai trò của cơ học cổ điển........................................................................ 14
1.5.1. Cơ học cổ điển là giới hạn của cơ học lƣợng tử ............................. 14
1.5.2. Cơ học cổ điển là cơ sở của cơ học lƣợng tử .................................. 15
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 16
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN ................................................... 17
2.1. Toán tử và ma trận ................................................................................... 17
2.2. Biểu diễn của toán tử................................................................................ 21
2.2.1. Khái niệm về biểu diễn của toán tử ................................................ 21
2.2.2. Tính chất của biểu diễn của toán tử ................................................ 23
2.3. Hệ phƣơng trình ma trận .......................................................................... 23
2.3.1. Hệ phƣơng trình ma trận và sự tƣơng đƣơng với phƣơng trình trị
riêng .......................................................................................................... 23
2.3.2. Dạng vecto của phƣơng trình ma trận............................................. 25
2.4. Tính chất của ma trận của các toán tử ...................................................... 26
2.5. Spinor và ma trận Pauli ............................................................................ 26
2.6. Biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron ...................................... 27
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 32
CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN ............................................ 33
3.1. Mở đầu ..................................................................................................... 33

3.2. Trƣờng hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian ................................. 34
3.2.1. Trƣờng hợp mức năng lƣợng En(0) không suy biến .......................... 34
3.2.2. Trƣờng hợp mức năng lƣợng En(0) suy biến ..................................... 38
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3................................................................................ 43
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cơ học lƣợng tử ra đời vào đầu thế kỷ 20 và trở thành một lý thuyết vật
lý đƣợc thừa nhận vào cuối thập kỉ 20 của thế kỉ 20. Hiện nay cơ học lƣợng tử
đã trở thành một lý thuyết chủ yếu của vật lý hiện đại. Cơ học lƣợng tử nghiên
cứu các tính chất của các hạt vi mô và các quy luật chi phối các hạt vi mô. Hạt
vi mô là hạt có k ch thƣớc nhỏ, cỡ 10-6 m hoặc nhỏ hơn. Ngày nay, khi công
nghệ và kĩ thuật hiện đại có thể tạo ra các thiết bị có k ch thƣớc cỡ nano mét
(10-9 m), vai trò của cá thể một hạt vi mô trở nên quyết định thì cơ học lƣợng
tử ngày càng quan trọng.
Rất nhiều các công nghệ hiện đại sử dụng các thiết bị có k ch thƣớc mà ở
đó hiệu ứng lƣợng tử rất quan trọng. Ví dụ nhƣ là laser, transistor, hiển vi điện
tử, và ảnh cộng hƣởng từ hạt nhân. Nghiên cứu về chất bán dẫn dẫn đến việc
phát minh ra các đi-ốt và transistor, đó là những linh kiện điện tử không thể
thiếu trong xạ hội hiện đại.
Việc giải bài toán trong cơ học lƣợng tử đều quy về việc giải phƣơng
trình Schodinger để tìm năng lƣợng và hàm sóng. Trong điều kiện l tƣởng thì
ta hoàn toàn có thể giải đƣợc dễ dàng. Nhƣng trong thực tế việc giải phƣơng
trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Do vậy ta phải sử dụng phƣơng
pháp gần đúng để phƣơng trình schodinger đƣợc giải một cách dễ dàng và
ch nh xác hơn. Phƣơng pháp đó gọi là phƣơng pháp nhiễu loạn.
Để giải đƣợc các bài toán cơ học lƣợng tử , chúng ta cần phải hiểu và

nắm vững đƣợc các toán tử cũng nhƣ các biểu diễn của nó. Và biểu diễn ma
trận của các toán tử là một vấn đề hay và hữu ích khi tìm hiểu về toán tử, giúp
ta giải một số bài toán trong cơ học lƣợng tử một cách thuận lợi.

1


Với l do đã trình bày, tôi quyết định chọn đề tài “ Tìm hiểu phƣơng
pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn trong cơ học lƣợng tử ” làm đề
tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đ ch nghi n cứu
Giải các bài toán trong cơ học lƣợng tử một cách thuận lợi và chính xác.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phƣơng pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn trong cơ học lƣợng tử.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giải bài toán bằng phƣơng pháp ma trận
- Giải bài toán bằng phƣơng pháp nhiễu loạn
. Phƣơng pháp nghi n cứu
- Đọc tài liệu và tra cứu
- Tham khảo ý kiến giáo vi n hƣớng dẫn
- Sử dụng giải tích toán học.
- Sử dụng phƣơng pháp toán lý trong vật lý lý thuyết.
6. Cấu tr c h

uận

- Phần 1: Mở đầu
- Phần 2: Nội dung
+ Chƣơng1: Cơ sở của cơ học lƣợng tử
+ Chƣơng 2: Phƣơng pháp ma trận

+ Chƣơng 3: Phƣơng pháp nhiễu loạn
- Phần 3: Kết luận
- Phần 4: Tài liệu tham khảo

2


CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC ƢỢNG TỬ
Cơ học lƣợng tử thừa nhận một số nguyên lý, luận điểm làm cơ sở để
xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh nhƣ các lý thuyết khác và từ đó nghi n
cứu các tính chất của các hạt vi mô. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày các
cơ sở của cơ học lƣợng tử, gồm có: lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và
nguyên lý bất định Heisenberg, cơ học cổ điển, hàm sóng và phƣơng trình
Schrodinger.
1.1. ƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg
1.1.1.Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô
Chúng ta đã biết, hạt vi mô có lƣỡng tính sóng-hạt, chẳng hạn hạt photon
trong những hiện tƣợng quang điện, bức xạ nhiệt biểu hiện tính chất hạt,
nhƣng trong các hiện tƣợng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực lại biểu hiện tính
chất của sóng điện từ. Nhiều hiện tƣợng thực nghiệm cũng cho thấy các hạt vi
mô khác đều có tính chất sóng. Chúng ta xét một số ví dụ đối với hạt electron.
1.1.1.1.Chuyển động của electron trong mô hình nguyên tử cổ điển
Electron trong nguyên tử cổ điển đƣợc coi nhƣ một hạt trong mô hình
nguyên tử của Bohr. Việc coi electron là hạt trong trƣờng hợp này dẫn đến
những mâu thuẫn với các lý thuyết cổ điển: electron là hạt mang điện chuyển
động xung quanh hạt nhân tƣơng đƣơng với một dòng điện biến thi n, do đó
bức xạ sóng điện từ và mất dần năng lƣợng, nghĩa là giá trị vận tốc giảm dần,
điều này tƣơng đƣơng với sự giảm khoảng cách từ electron đến hạt nhân và
cuối cùng electron rơi vào hạt nhân, dẫn đến nguyên tử bị phá hủy. Từ đó suy
ra rằng, không thể coi một cách đơn giản electron chỉ là hạt. Nhƣ chúng ta sẽ

thấy ở dƣới, việc coi electron có tính chất sóng sẽ khắc phục đƣợc nghịch lý
này.

3


1.1.1.2.Hiệu ứng đường ngầm
Xét chuyển động của một hạt có khối lƣợng bằng m chuyển động từ trái
sang phải tới một hàng rào thế có độ cao bằng U (hình 1.1)
U
U0
m

E
1

2

3
a

0
Hình 1.1

Nếu coi hạt không có t nh sóng, trƣớc khi tới hàng rào thế (miền 1: U=0)
năng lƣợng E của hạt E=T+U=T, tức bằng động năng T. Trong miền 2: U=U0
và Elý. Có nghĩa là tại biên của hàng rào thế (giữa miền 1 và miền 2) thì T=0, hạt
dừng lại, chuyển động theo chiều ngƣợc lại và không thể đi xuy n qua hàng
rào thế. Nói tóm lại nếu hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của

hàng rào thế năng (T1 qua miền 2 sang miền 3)
Tuy nhiên nhiều hiện tƣợng thực nghiệm đã xác nhận là trong trƣờng
hợp này hạt có thể vƣợt qua hàng rào thế để sang miền 3. Hiện tƣợng hạt
chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng có thể đi
qua hàng rào thế năng gọi là hiệu ứng đƣờng ngầm.

4


Lý thuyết lƣợng tử coi hạt có tính chất sóng đã giải th ch đƣợc hiện
tƣợng thực nghiệm nêu trên. Tính toán cho thấy hệ số truyền qua D của hạt từ
miền 1 sang miền 3 đƣợc xác định bởi công thức:
D  exp  2a /




2m U 0  E  


Với bề dày hàng rào thế a vào cỡ 10-10 m, hiệu năng lƣợng (U0-E) vào cỡ
7,5.10-19J, áp dụng công thức trên cho electron, hệ số truyền qua xấp xỉ 0,1.
Chúng ta thấy khả năng xuy n qua hàng rào thế theo hiệu ứng đƣờng ngầm là
không nhỏ.
1.1.1.3.Nhiễu xạ electron
Chiếu chùm electron qua một khe hẹp K và hứng trên màn huỳnh quang
M. Chúng ta thấy trên màn huỳnh quang hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng
giống nhƣ hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng trong hiện tƣợng nhiễu xạ ánh
sáng (hình 1.2a)

e

e

K

M

K

Hình 1.2a

M

Hình 1.2b

Để khẳng định hình ảnh nhiễu xạ trên không phải do tƣơng tác của
electron với biên của khe K, ngƣời ta thực hiện thí nghiệm nhiễu xạ electron
với 2 khe (hình 1.2b) và trên màn M là hình ảnh nhiễu xạ qua hai khe nhƣ
trong nhiễu xạ ánh sáng.

5


Kết quả trên chỉ có thể giải th ch đƣợc nếu coi electron có tính chất sóng.
Với các hạt vi mô khác cũng có kết quả tƣơng tự.
De Broglie đã coi hạt vi mô tự do tƣơng ứng với một sóng gọi là sóng
De Broglie. Một hạt vi mô có năng lƣợng E và động lƣợng p tƣơng ứng với
một sóng đơn sắc có tần số f và bƣớc sóng λ theo các quan hệ sau:

E=hf

(1.1a)

p=h/λ

(1.1b)

1.1.2.Hệ thức bất định Heisenberg
Từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron có thể dẫn ra một dạng hệ thức bất định
Heisenberg nhƣ là một biểu hiện của tính chất sóng của electron. Khi chƣa
chú ý hiện tƣợng nhiễu xạ, electron chuyển động theo phƣơng y, do vậy vx=0;
vy=v.
Khi có nhiễu xạ: vx≠0 ; Δvx=vx
Công thức cực tiểu nhiễu xạ (hình 1.3):
sinφ=kλ/b ; sinφmin=λ/b=λ/(2Δx)
trong đó k=1 ứng với góc nhiễu xạ cực tiểu; sai số tọa độ theo phƣơng x bằng
một nửa độ rộng b của khe (Δx=b/2).

x

b
φ

e

K

y

M
Hình 1.3
6


Với các góc nhiễu xạ nhỏ mà ta còn quan sát đƣợc ảnh nhiễu xạ, chúng
ta có:
sinφ≈tgφ=vx/vy=Δvx/v
Suy ra: Δvx/v≈sinφ≥sinφmin=λ/(2Δx)
Do đó ΔxΔvx≥vλ/2
Thay v=p/m ; Δvx=Δpx/m ; p=h/λ
Cuối cùng:

Δx.Δpx≥h/2

T nh toán ch nh xác chúng ta đƣợc:
Δx.Δpx≥ℏ/2

(1.2a)

Một cách tƣơng tự bằng cách thay đổi kí hiệu x thành y hoặc z:
∆y.∆py≥ℏ/2

(1.2b)

∆z.∆pz≥ℏ/2

(1.2c)

Các hệ thức (1.2) là các hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ và động

lƣợng, đƣợc Heisenberg đƣa ra năm 1927.
Ý nghĩa của hệ thức bất định: từ các hệ thức (1.2) chúng ta thấy tọa độ
và động lƣợng không thể đồng thời xác định chính xác. Nếu trong một trạng
thái nào đó, động lƣợng px có giá trị xác định, thì tọa độ x của trạng thái đó
hoàn toàn bất định, ngƣợc lại tọa độ xác định thì xung lƣợng bất định.
Hệ thức bất định có vai trò rất quan trọng trong vật lý hiện đại cũng nhƣ
trong công nghệ tiên tiến. Hàng loạt các lĩnh vực đã ứng dụng hệ thức bất
định để đánh giá khả năng tối đa của mình. Chúng ta có thể kể một vài ví dụ
nhƣ:
Độ phân giải của truyền hình mật độ cao chỉ có thể đạt tới một giá trị cực
đại nào đó, vì mật độ của các điểm hình càng cao thì số dòng quét càng lớn và
muốn nhƣ thế thì thời gian giành cho một xung sẽ nhỏ, đi làm cho sai số về

7


năng lƣợng càng lớn. Điều đó làm cho các màu bị nhòe đi vì độ đơn sắc kém
đi.
Trong thông tin kĩ thuật số, tải thông tin tăng l n kéo theo tiếng ồn tăng
lên, bởi vì tải thông tin tăng thì thời gian dành cho một xung giảm đi, dẫn đến
sai số năng lƣợng tăng. Điều này dẫn đến việc làm tăng sai số của tần số, kéo
theo làm tăng tiếng ồn.
Trong kĩ thuật xung, muốn tạo đƣợc các xung sắc nét, cần phải làm nhòe
năng lƣợng và ngƣợc lại.
1.1.3.Nội dung của nguyên lý bất định
Trong cơ học cổ điển quỹ đạo hoàn toàn xác định trạng thái của hạt ở
mọi thời điểm. Căn cứ vào quỹ đạo của hạt chúng ta có thể chỉ ra tọa độ và
vận tốc của hạt ở bất kì thời điểm nào.
Tuy nhi n đối với hạt vi mô, vì có độ bất định về tọa độ và động lƣợng
(hoặc vận tốc) chúng ta sẽ có một tập vô số các quỹ đạo có thể của vi hạt mà

không thể khẳng định là hạt chuyển động theo quỹ đạo nào. Vì thế “Không
thể xác định trạng thái của hạt vi mô bằng quỹ đạo”. Đó ch nh là nguy n lý
bất định Heisenberg.
1.1.4.Ý nghĩa của nguyên lý bất định
Sở dĩ trạng thái của hạt vi mô không thể xác định bằng quỹ đạo chính là
vì hạt có tính chất sóng thể hiện bởi hệ thức bất định Heisenberg mà chúng ta
đã dẫn ra từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron. Điều đó có nghĩa là nguy n lý bất
định thể hiện rõ rệt tính chất sóng của vi hạt. Đó ch nh là ý nghĩa của nguyên
lý bất định Heisenberg.
Vậy thì khi nào hạt vi mô là sóng và khi nào là hạt? Dễ thấy rằng hạt vi
mô bao giờ cũng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Tuy nhiên việc
biểu hiện ra tính chất sóng hay tính chất hạt phụ thuộc vào vật mà hạt vi mô
tƣơng tác. V dụ trong hiện tƣợng nhiễu xạ electron thì hạt electron biểu hiện

8


tính chất sóng, còn trong việc đo tọa độ của hạt khi hạt qua khe hẹp thì nó lại
biểu hiện tính chất hạt. Điều đó có nghĩa là dù biết trạng thái của vi hạt ở thời
điểm t, chúng ta không thể khẳng định ở điểm t‟>t hạt sẽ thể hiện tính chất
nào và ở trạng thái nào. Tính chất của vi hạt chỉ đƣợc biểu hiện ra khi nó
tƣơng tác với các vật xung quanh.
1.2.Nguyên lí chồng chất các trạng thái.
Nguyên lí chồng chất các trạng thái là một luận điểm rất cơ bản của cơ
học lƣợng tử. Nội dung của nguy n l nhƣ sau:
Nếu một hệ lƣợng tử nào đó có thể ở trong các trạng thái đƣợc mô tả bởi
hàm sóng 1 , 2 , 3 ,... thì nó cũng có thể ở trong trạng thái đƣợc mô tả bởi tổ
hợp tuyến tính bất kì của các hàm sóng đó:

   ck k (ck  C )

k 1

Hàm  và hàm c ( c phức bất kì ≠ 0) cùng tƣơng ứng với một trạng
thái của hệ.
Từ các nội dung của nguy n lý này, chúng ta đƣa ra một số nhận xét qua
trọng trong quá trình xây dựng n n môn cơ học lƣợng tử.
Các trạng thái trong cơ học lƣợng tử khác một cách cơ bản với sự chồng
chất các dao động của cơ học cổ điển, mà trong sự chồng chất đó sẽ dẫn đến
một dao động mới có bi n độ lớn hơn hay nhỏ hơn các bi n độ của dao động
thành phần. Ngoài ra, trong cơ học cổ điển có tồn tại các trạng thái nghỉ, tức
là các trạng thái ứng với dao động ở khắp mọi nơi bi n độ dao động bằng
không. Còn trong cơ học lƣợng tử, các hàm sóng không mô tả một sóng thực
nào cả, ở nơi nào hàm sóng bằng 0 thì nơi đó không có mặt của hạt.
Giả sử các hàm  1 , 2 , 3 ,... là nghiệm của phƣơng trình xác định các
trạng thái của một hệ lƣợng tử, thì để cho nguyên lý chồng chất các trạng thái
đƣợc thực hiện bắt buộc phƣơng trình đó phải tuyến tính.

9


Nguyên lý chồng chất các trạng thái phản ánh một tính chất rất quan
trọng của các hệ lƣợng tử mà không có sự tƣơng tự trong vật lý cổ điển.
Nguyên lý chồng chất các trạng thái chỉ áp dụng trong không gian có
k ch thƣớc dài không nhỏ hơn 10-13 cm. Việc áp dụng nguyên lý này cho
không gian có k ch thƣớc dài nhỏ hơn chƣa đƣợc khẳng định.
1.3.Hàm sóng của hạt vi mô
Hạt vi mô có tính chất sóng nên trạng thái của nó không thể mô tả bằng
quỹ đạo. Vì vậy phải có cách tiếp cận khác. Ngƣời ta đã sử dụng hàm sóng để
mô tả trạng thái của vi hạt, coi việc có tồn tại hàm sóng nhƣ là một cơ sở của
cơ học lƣợng tử.

1.3.1.Định nghĩa hàm sóng
Hàm sóng φ(x,y,z,t) là nghiệm của phƣơng trình sóng, tức phƣơng trình
vi phân cấp II, sao cho/φ(x,y,z,t)/2dV là xác suất tìm thấy hạt trong dV lân cận
điểm (x,y,z) ở thời điểm t.
Định nghĩa tr n cho thấy hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt là một
hàm sóng không chỉ thỏa mãn phƣơng trình sóng mà còn có tính xác suất là
tính chất mà các sóng cổ điển không có.
1.3.2.Các tính chất của hàm sóng.
1.3.2.1.Liên tục, có đạo hàm bậc nhất liên tục, trừ trường hợp thế năng bằng
vô cùng.
1.3.2.2.Hàm sóng thỏa mãn nguyên lý chồng chất
Nếu các hàm sóng φ1(x,y,z,t) và φ2(x,y,z,t) mô tả các trạng thái của hạt
thì hàm sóng φ(x,y,z,t)=c1φ1(x,y,z,t)+c2φ2(x,y,z,t) là tổ hợp tuyến tính của
φ1(x,y,z,t) và φ2(x,y,z,t) cũng mô tả trạng thái của hạt.
Các tính chất 1.3.2.1 và 1.3.2.2 thể hiện hàm sóng là nghiệm của phƣơng
trình sóng.
1.3.2.3.Giới nội, đơn trị

10


1.3.2.4.Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

   x, y, z, t 

2

dV  1

V

1.3.2.5.Nếu hàm sóng φ1(x,y,z,t) và φ2(x,y,z,t) mô tả trạng thái của hai phần
độc lập của hệ thì hàm sóng φ(x,y,z,t)= φ1(x,y,z,t).φ2(x,y,z,t) mô tả trạng thái
của hệ gồm hai phần nói trên.
Các tính chất 1.3.2.3, 1.3.2.4 và 1.3.2.5 thể hiện tính xác suất của hàm
sóng.
1.3.3.Ví dụ về hàm sóng
Hàm sóng của một hạt tự do là hàm sóng phẳng đơn sắc gọi là sóng De
Broglie

 ( x, y, z, t )   (r , t )  0ei ( kr t )  0ei ( pr Et )/
Vận tốc nhóm của sóng:
vn 

E
E
E
E
i
j
k
p
px
p y
pz

là vận tốc trùng với vận tốc của hạt
Vận tốc pha của sóng: νph=ω/k=2πf/k ; k=2π/λ ; trong đó năng lƣợng E,
động lƣợng p của hạt tự do quan hệ với các đặc trƣng của sóng De Broglie
tƣơng ứng theo công thức (1.1)

1.3.4.Hàm sóng của hệ N hạt
Hàm sóng của hệ N hạt có các tính chất nhƣ hàm sóng của một hạt,
nhƣng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả N hạt qi=(xi,yi,zi), i=1,2,3…,N

 (q, t )   (q1 , q2 , q3 ,..., qN , t )
1.3.5.Trung bình của một đại lượng vật lý
Trung bình Fˆ của một đại lƣợng vật lý F có thể tính theo hàm sóng
φ(q,t) của hạt (hoặc hệ) bởi công thức sau:
Fˆ    * (q) Fˆ (q) (q)dq

11

(1.6)


Trong đó:

Fˆ là toán tử tƣơng ứng với đại lƣợng F, sẽ đƣợc đề cập đến ở các phần sau.
Giá trị trung bình Fˆ của địa lƣợng F tính theo công thức (1.6) chính là
giá trị của đại lƣợng F xuất hiện trong trạng thái φ(q,t) và đƣợc gọi là trung
bình lƣợng tử của đại lƣợng F.
1.3.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng.
Năm 1926 M.Born đã đƣa ra giả thiết cho ý nghĩa của hàm sóng. Theo
giả thiết này, cƣờng độ sóng De Broglie tại mỗi điểm của không gian, ở một
thời điểm đã cho, tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đã cho của không
gian đó.
Nhƣ vậy, theo M.Born thì đại lƣợng:

 (q) dq   * (q) (q)dq
2

tỉ lệ với xác suất dW(q) để khi đó, chúng ta tìm thấy giá trị tọa độ của các hạt
của hệ nằm trong khoảng (q,q+dq).
Nếu hàm  (q) đã đƣợc chuẩn hóa:


  (q)

2

dq   (q), (q)   1



thì dW(q) là giá trị xác suất:

dW(q)   (q) dq
2

Còn đại lƣợng:
( )

| ( )|

( )

mang ý nghĩa là mật độ xác suất tìm thấy tọa độ q của hệ ( ở thời điểm t).
Từ điều diện chuẩn hóa, ta thấy rằng các hàm chuẩn hóa sai khác nhau
một nhân số modul bằng đơn vị, nghĩa là hơn kém nhau một hệ số exp(iα)

12


(α∈ R). Tuy nhiên các kết quả vật lý luôn tỉ lệ với | ( )| và vì vậy sự bất
định này không còn nữa.
Trong một số trƣờng hợp, tích phân ∫| ( )|
đại lƣợng ( )

không hội tụ. Lúc đó

| ( )| sẽ không có ý nghĩa mật độ xác suất. Tuy nhiên

trong trƣờng hợp này, tỉ số giữa các đại lƣợng| ( )| ở các điểm khác nhau
vẫn xác định xác suất tỉ đối của các điểm tƣơng ứng.
1.4.Phƣơng trình Schrodinger
Phƣơng trình Schrodinger đƣa ra, đƣợc coi là một trong những cơ sở của
cơ học lƣợng tử.
Giải phƣơng trình Schrodinger chúng ta tìm đƣợc hàm sóng φ(x,y,z,t) và
năng lƣợng E. Thông thƣờng với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá
trị xác định chúng ta có thể viết φ(x,y,z,t)=φ0(x,y,z).f(t), trong đó φ0(x,y,z) là
hàm sóng chỉ phụ thuộc tọa độ.
1.4.1.Phương trình Schrodinger dừng
Phƣơng trình Schrodinger dừng có dạng sau:

H0 ( x, y, z)  E0 ( x, y, z ) ,
trong đó H là Hamiltonian (tức toán tử năng lƣợng) của hạt

H  ( / 2m)  U ( x, y, z)
2
2

2
 2  2  2,
x y z
là toán tử Laplace và U(x,y,z) là thế năng của hạt trong trƣờng lực.
1.4.2.Phương trình Schrodinger thời gian
Phƣơng trình Schrodinger thời gian xác định sự phụ thuộc của hàm sóng
theo thời gian:
i

 ( x, y, z, t )
 H  ( x, y , z , t )
t

13

(1.18a)


Với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá trị xác định, toán tử
Hamilton H không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, hàm sóng φ(x,y,z,t)
là nghiệm của các phƣơng trình Schrodinger:

H ( x, y, z, t )  E ( x, y, z, t )

(1.18b)

Suy ra

 ( x, y, z, t )  0 ( x, y, z)exp  iEt /



(1.19a)

Trƣờng hợp hệ N hạt các công thức (1.18) và (1.19) có dạng tƣơng tự:
i

 (q, t )
 H  ( q, t )
t

 (q, t )  0 (q)exp  iEt /



Trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ.
1.4.3.Tính chất của phương trình Schrodinger
Xuất phát từ dạng chung của phƣơng trình Schrodinger, chúng ta có thể
thấy phƣơng trình này có một số tính chất chung nhƣ sau:
1.3.3.1.Nghiệm của phương trình Schodinger thỏa mãn tất cả các tính chất
của hàm sóng.
1.3.3.2.Năng lượng trung bình bao giờ cũng lớn hơn thế năng cực tiểu trung
bình
Vì H=T+U suy ra <H> = E = <T> + <U> , do đó E ≥ <U> ≥ Umin
1.3.3.3.Với U≠0 trạng thái ứng với E<0 là trạng thái ràng buộc
Chúng ta chứng minh bằng phản chứng: hạt tự do có U=0 do đó
E=<T>>0, do đó hạt với E<0 không thể có U=0, tức hạt không thể là hạt tự do
và phải ở trạng thái ràng buộc (U≠0)
1.5.Vai trò củ cơ học cổ điển
1.5.1.Cơ học cổ điển là giới hạn của cơ học lượng tử

Từ hệ thức bất định Heisenberg chúng ta thấy khi cho h bằng 0,
Δx.Δpx≥0, có nghĩa là Δx hoặc Δpx (hoặc cả Δx và Δpx) có thể bằng 0, tọa độ
14


và động lƣợng có thể đồng thời xác định chính xác, chúng ta nhận đƣợc các
kết quả phù hợp với cơ học cổ điển. Vậy cơ học cổ điển có thể coi là giới hạn
của cơ học lƣợng tử khi cho h tiến tới 0
1.5.2.Cơ học cổ điển là cơ sở của cơ học lượng tử
Nhƣ tr n đã biết, để làm biểu hiện ra tính chất của hạt vi mô cần cho nó
tƣơng tác với một đối tƣợng nào đó. Căn cứ vào sự thay đổi trạng thái của đối
tƣợng tƣơng tác ta suy ra t nh chất của hạt vi mô. Để nghiên cứu định lƣợng
các tính chất của hạt vi mô phải dùng đối tƣợng tƣơng tác với hạt vi mô là
máy đo. Máy đo thực chất là các giác quan của con ngƣời, có thể đƣợc mở
rộng bởi các thiết bị hỗ trợ. Kết quả do thiết bị hiển thị ra mà giác quan của
con ngƣời có thể nhận biết đƣợc đều là giá trị trung bình vĩ mô, vì thế bộ phận
hiển thị kết quả của thiết bị đo và cơ quan cảm nhận của giác quan con ngƣời
phải là hệ cổ điển, hoạt động tr n cơ sở của cơ học cổ điển. Điều đó có nghĩa
là nếu không có cơ học cổ điển thì chúng ta không thể nào nghiên cứu đƣợc hạt
vi mô. Vì vậy cơ học cổ điển là một trong những cơ sở của cơ học lƣợng tử.

15


KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong chƣơng 1 chúng em đã trình bày về cơ sở của cơ học lƣợng tử
là:lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg,
nguyên lý chồng chất các trạng thái, hàm sóng của hạt vi mô, phƣơng trình
Schrodinger, vai trò của cơ học cổ điển.Chƣơng này là cơ sở để chúng em
nghiên cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận.

16


CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN
Về thực chất có thể hiểu ma trận của một toán tử là một cách biểu diễn của
toán tử đó. Vì thế để trình bày về phƣơng pháp ma trận ta cần biết về toán tử.
2.1.Toán tử và ma trận
Cho không gian X, dimX=p và không gian Y, dimY=q
Một phép toán nào đó, biến phần tử x∈X thành phần tử y∈Y đƣợc gọi là
một ánh xạ. Kí hiệu phép toán này là ̂ , phép toán biến x→y đƣợc viết nhƣ sau:
̂

( ∈

∈ )

(2.1)

Ánh xạ ̂ đƣợc gọi là tuyến tính nếu:
̂ (∑

)

∑

(̂ ) (

∈

∈ )

(2.2)

Từ đây về sau chúng ta sẽ sử dụng các ánh xạ tuyến tính.
Trong X cho hệ cơ sở { }( ) và trong Y cho hệ cơ sở { }( ) nào đó.
Phép toán ̂ biến các phần tử của hệ (1) thành các phần tử tƣơng ứng của Y,
các phần tử này lại đƣợc khai triển theo hệ (2).
̂
̂

(2.3)

̂

}

Có thể viết gọn lại:
̂

∑

∈ )

(

(2.4)

Giả sử các tọa độ của x và y tƣơng ứng trong các hệ tọa độ (1) và (2) là
(

) và (
̂

). Để ý đến (2.1) và (2.4)
̂ (∑

+

∑

∑ (∑

+

17

(̂ )

∑

∑

∑


Các tọa độ của x và y liên hệ với nhau bởi
∑

(2.5)

̂ ) nếu ̂

Hai ánh xạ gọi là bằng nhau (viết ̂

̂ với ∀x∈ X.

Chúng ta định nghĩa tổng và tích của hai ánh xạ và tích của một ánh xạ
với một số bởi các hệ thức:
̂)

(̂

( ̂ ̂)
( ̂)
nói chung ̂ ̂

̂

̂
̂( ̂ )

( ̂ )( ∈ )

̂ ̂ , trƣờng hợp ngƣợc lại ̂ ̂

̂ ̂ ta nói ̂ và ̂ giao hoán

với nhau.
Ánh xạ 0 và ánh xạ đơn vị ̂ là các ánh xạ
∀ ∈

và ̂

với

∈

Nếu tồn tại một ánh xạ ̂

sao cho ̂

mà ̂

thì ̂

gọi là

ánh xạ ngƣợc của ̂ . Những ánh xạ có ánh xạ ngƣợc đƣợc gọi là ánh xạ không
kì dị.
Từ định nghĩa ánh xạ ngƣợc, ta suy ra:
̂̂

̂

̂

Nếu ta lấy không gian Y là không gian X thì ánh xạ F đƣợc gọi là phép
biến đổi tuyến tính. Nếu chúng ta luôn giả thiết rằng Y≡X thì ánh xạ ̂ sẽ
đƣợc gọi là toán tử (tuyến tính).
Cho

∈

T ch vô hƣớng
(
Ta gọi

là phần tử (

Nhƣ vậy ( ̂

)

(

̂ )

∈

) của toán tử ̂ .
̂ )

18


thu đƣợc bằng cách vừa chuyển vị vừa lấy liên hợp phức của

Phần tử

đƣợc gọi là phần tử liên hợp của phần tử

phần tử

. Tƣơng ứng với điều

đó, toán tử ̂ đƣợc gọi là toán tử liên hợp của toán tử ̂ và ngƣợc lại.
̂ )

tức là (

Nếu xảy ra đẳng thức

(̂

) hay ̂

̂

thì toán tử ̂ đƣợc gọi là toán tử tự liên hợp hay là toán tử Hermite.
Nếu toán tử ̂ không kì dị và ̂

̂

hay ̂ ̂

̂ ̂

thì toán tử

̂ đƣợc gọi là toán tử Unite.

(tập số thực), ̂

Giả sử
̂

̂

hay ̂ ̂

Những số

(

̂̂

̂

(c là phép chuyển vị). Nếu

, thì ̂ đƣợc gọi là toản tử trực giao.

ở (2.3), (2.4) có thể xếp vào một bảng q dòng, p cột

)

(

,

(2.6)

Bảng (2.6) đƣợc gọi là ma trận A của toán tử ̂ (trong các cơ sở (1) và
(2) cho trƣớc). Các số

ở dòng

cột

của bảng đƣợc gọi là phần tử (

)

của A.
Các ma trận của các toán tử tuân theo một số phép toán mà các phép toán
trên các ma trận sẽ phải phụ thuộc vào các phép toán trang bị cho các toán tử
tƣơng ứng.
Giả sử A và B là hai ma trận của hai toán tử tƣơng ứng ̂ và ̂ trong cơ
sở (1) và (2) cho trƣớc ở trên. Các biểu thức sau viết cho
(1) ̂

̂ thì ̂

̂

∑

∑

(2) Phép cộng hai toán tử:
(̂

̂)

∑(

)

̂

(3) Phép nhân toán tử với một số:
19

̂

∑

∑


( ̂)

∑(

(̂ )

)

∑

Từ đây suy ra các phép toán tr n các ma trận:

(1‟) Hai toán tử bằng nhau thì ma trận tƣơng ứng bằng nhau và nếu
thì
(

)

(2‟) Phép cộng hai toán tử tƣơng ứng với phép cộng hai ma trận. Ở đây
(

) là phần tử (

) của ma trận tổng (
(

). Vậy

)

(3‟) Tƣơng tự nhƣ vậy ma trận
(

có các phần tử:
)

Bây giờ ta giả thiết ngoài X và Y ở trên còn không gian thứ ba là Z
) với hệ cơ sở *

(

Giả sử ̂ biến phần tử

+ (3) tƣơng ứng.
∈

thành phần tử

∈ , trong cơ sở (1) và (2)

cho trƣớc nó có ma trận B. Đến lƣợt ̂ lại biến phần tử

∈

thành phần tử

∈ , và trong cơ sở (2) và (3) cho trƣớc nó có ma trận A.
Phần tử
∈

có thể khai triển theo (3). Thành ra toán tử ( ̂ ̂ ) biến phần tử

thành phần tử

trận (

∈ . Trong cơ sở (1) và (3) xác định, toán tử này có ma

) và gọi là ma trận tích.

( ̂ ̂)

∑(

)

∑
Có thể thấy ma trận tích

̂( ̂ )

̂ (∑

∑ (∑
có các phần tử:

20

+

+

∑

(̂ )