Luy n gi i

môn Toán 2014

Th y

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

Th i gian làm bài: 180 phút
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
2x 1
Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y
x 1
a) Kh o sát s bi n thiên và v
th (C) c a hàm s ã cho.
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n d c a
th (C), bi t r ng ti p tuy n c t các tr c Ox, Oy l n l
B sao cho AB

t t i A,

82 OB .

Câu 2 (1,0 i m). Gi i ph

ng trình

2 cos 2 x

3 sin 2 x 3

2 cos 2 x.sin x
Câu 3 (1,0 i m). Gi i b t ph

x

ng trình 2
1

Câu III (1,0 i m). Tính tích phân I
0

(x2
x

2

x 1
x 4

3 tan 2 x 1 .

3
2

x2 4

x2 1

,


x

.

x )e x
dx .
e x

Câu IV (1,0 i m). Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ có AB a, BC 2 a, ACB 30 0 , hình chi u
vuông góc c a A’ trên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ABC và góc gi a AA’ t o
v i m t ph ng (ABC) b ng 600. Tính theo a th tích kh i a di n BCC’B’A’ và kho ng cách gi a hai
ng th ng B’C’ và A’C.
Câu 6 (1,0 i m). Cho các s th c a, b, c [1;2] .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P

c2
PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch
A. Theo ch ng trình Chu n

(a b) 2
4(ab bc ca )
c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)

x2
y 2 1 . Tìm
9
t a
các i m B, C thu c (E) sao cho tam giác ABC vuông cân t i A, bi t i m B có tung d ng.
Câu 8.a (1,0 i m). Trong không gian v i h t a
Oxyz, cho hai i m A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) và

x 3 y 2 z 3
ng th ng (d) có ph ng trình
. Tìm i m M trên (d) sao cho MA.MB nh
4
1
2
nh t.
Câu 9.a (1,0 i m). Có 30 t m th ánh s t 1 n 30. Ch n ng u nhiên ra 10 t m th . Tính xác su t
có 5 t m th mang s l , 5 t m th mang s ch n trong ó ch có 1 t m mang s chia h t cho 10.
B. Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a
Oxy, cho hình thang ABCD v i hai áy là AB và
CD bi t B (3;3), C (5; 3) . Giao i m I c a hai
ng chéo n m trên
ng th ng : 2 x y 3 0 . Xác
nh t a
các nh còn l i c a hình thang ABCD
CI 2 BI , tam giác ABC có di n tích b ng 12,
i m I có hoành
d ng và i m A có hoành
âm.
x 3 y 1 z 3
Câu 8.b (1,0 i m). Trong không gian vói h t a
Oxyz, cho
ng th ng d :
và
2
1
1
m t ph ng P : x 2 y z 5 0 . G i A là giao i m c a d và (P). Tìm t a

i m B thu c
ng
Câu 7.a (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a

th ng d, C thu c m t ph ng (P) sao cho BA

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

Oxy, cho i m A(3;0) và elip (E):

2BC

t i Moon.vn

6 và ABC

t

600 .

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014

Th y

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

12

1
Câu 9.b (1,0 i m). Tìm mô un c a s ph c w

3i

b ci bi t s ph c z
1

c a ph

ng trình z 2 8bz 64c

3i

1 i

6

là nghi m

0.

L I GI I
Câu
1
(2 )

2 i

6

4:

áp án

i m

2x 1
(1)
x 1
a) Kh o sát s bi n thiên và v
th (C) c a hàm s (1) ã cho.
1
TX :
\ 1 , y'
0, x
( x 1)2
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng: ( ;1) và (1;
)
Gi i h n và ti m c n: lim y
; lim y
ti m c n ng: x = 1
Cho hàm s y

x

lim y

x


lim y

2

x

1

0.25
0.25

x 1

ti m c n ngang y = 2

B ng bi n thiên:

1

x

0.25

+

y’
+

2

y

2
y

1
; 0 , 0; 1 và nh n giao
2
i m 2 ti m c n I(1; 2) làm tâm i x ng.
th : i qua các i m

0.25

2
1

0

1
2

1

x

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n d c a (C), bi t r ng ti p tuy n c t các tr c Ox, Oy l n l
A, B sao cho AB
82 .OB .
Ta có


OA 2

OB 2

AB 2

AB 2

82.OB 2

0.25
OA

9OB

OB
OA
G i M ( x0 ; y 0 ) là ti p i m c a ti p tuy n (d ) và (C)
H s góc c a ti p tuy n

hoành

1
(
9

1
( x0 1) 2

1

9

V i k

1
9

c tính b i k

ti p i m là nghi m c a ph

1
( x0 1) 2

)
( x0 1)2

0.25
/

ng trình: f ( x0 ) = k hay:
x0

4

y0

9
x0


2

y0

1
7
và ti p i m 4;
, ta có pt ti p tuy n :
9
3

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

tt i

t i Moon.vn

t

7
3
5
3
0.25

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i


môn Toán 2014
1
7
y
x 4
hay y
9
3

Th y
1
x
9

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

25
.
9
0.25

1
5
và ti p i m 2;
, ta có pt ti p tuy n:
9
3
1
5
1

13
y
x 2
hay y
x
9
3
9
9
2
2 cos x
3 sin 2 x 3
2) Gi i ph ng trình
3 tan 2 x 1 .
2 cos 2 x.sin x
3
V i k

2, 3
(2 )

cos x
i u ki n:

Ph

0

sin x


x
0

3

ng trình ã cho t

cos 2 x

cos 2 x
cos x
cos x
V i cos x

V i cos x

V y, ph

3

2 cos 2 x

2 0

3

0.25

3cos x


6

6

1
2

6

1

6

x

k2

6
x

1
2

6

x

6

x


3

6

x2

ng trình 2

6

k

k2

0.25

, th a (*)

0.25

k2
x

k2

6

x 1
x 4


x2

k2

6

k2

3

ng trình có nghi m: x

i u ki n: x

k

k

, th a (*)

x

.

.
2

4


x2 1

4

0.25

ng trình t

ng

x2

ng 2

x 1
1
x 4

x2

3

x2 1

2

x2 1

x2
2


x 1
1
x 4
x2 x 1
1
x 4
2( x 2

( x 4)( x

1 0

1

6

3. Gi i b t ph

B t ph

3sin x

3

3
3 cos 2 x

2 3sin x


3

Z (*). Khi ó:

k

3
ng v i:

sin 2 x.sin

3

k

2 cos 2 x sin x

3 sin 2 x 4

cos 2 x.cos

2

x

ng

0.25

k


2

0.25
x2

(2

3)
x 1)

4 (x

3

x2
x 4

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

2

1)

x 2 1) x 2

1
x2

3


2

(2

x

t i Moon.vn

t

3
1) x

2

0

0.25

1

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014
(x2


Th y
2

3)
( x 4)( x

x2

3

0

Tính tích phân I
0
1

x

0

1) x 2 1

0.25
ng trình là

3

x

3


x

(x
x

x )e
dx .
e x
1

0.25

xe x .( x 1)e x
dx
xe x 1

0

x

0.25

x.e 1 dt ( x 1)e x dx
0 t 1; x 1 t e 1

tt

1


Suy ra I
0

V y I
5
(1 )

2

( x x )e x
dx
x e x

0

(2

2

3

2

Ta có I

x

x

x 4


nghi m c a b t ph
1

1

1
x 1)

3

K t h p i u ki n
4
(1 )

2

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

e 1

xe x .( x 1)e x
dx
xe x 1

t ln t

e 1
1


1

(t 1)
dt
t

e 1

0.25

1
dt .
t

1
1

0.25

e ln(e 1) .

Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ có AB a, BC 2 a, ACB 30 0 , hình chi u vuông góc
c a A’ trên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ABC và góc gi a AA’ t o
v i m t ph ng (ABC) b ng 600. Tính th tích kh i a di n BCC’B’A’ và kho ng cách gi a
hai
ng th ng B’C’ và A’C.
0.25
A'
C'


B'
N
A

H

C

G
M

I
B

K

T A' G ( ABC )
AG là hình chi u c a AA' lên (ABC )
G i M là trung i m BC. T gi thi t ta có:
2
2a
BC 2a, AG
AI
; A ' AG 600
A ' G AG.t an600
3
3
t AC

x


0

AB 2

AC 2

BC 2

2 AC.BC.cos300

a2

x2

2a 3
3
4a 2

2. x.2 a.

3
2

0.25

AC x a 3 . Nên AB 2 AC 2 a 2 3a 2 4a 2 BC 2
ABC vuông t i A
'
'

Vì A G ( ABC ) nên A G là chi u cao c a kh i l ng tr ABC . A ' B ' C ' và kh i chóp
A' . ABC
Th tích c a kh i a di n BCC’B’A’
c tính b i:
1
VBCC / B / A/ VABC . A / B /C / VA / . ABC
1
S ABC . A ' G
3
2 1
1
. AB. AC. A ' G
a.a
3 2
3
K AK BC t i K và GI
GI
MG 1
GI
AK MA 3

2a 3 2 3
a ( vtt).
3
3
BC t i I GI // AK
1
1 AB. AC 1 a.a 3
AK
.

3
3 BC
3 2a
3.

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

t

0.25
a 3
6

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i
môn Toán 2014
K GH A’I t i H (1)
BC GI
Do
BC
BC A ' G
d [G , ( A ' BC )] GH

Th y
GH (2) . T (1) và (2)


GH

ng Vi t Hùng (0985.074.831)
(A’BC)

0.25

Vì B ' C ' // BC , BC ( A' BC ) nên B 'C ' //( A ' BC ) và A' C ( A ' BC )
d ( B ' C ' , A 'C ) d [ B ' C ' , ( A ' BC )] = d [ B ', ( A ' BC )]
M t khác ta th y AB’ c t mp(A’BC) t i N là trung i m c a AB’.
Do ó: d [ B ', ( A ' BC )] d [ A, ( A ' BC )] 3d [G , ( A ' BC )] 3GH
3.

3. A ' G.GI
A'G
6
(1 )

GI

2

6a
51

2a 51
. V y d ( B ' C ' , A' C )
17

Cho các s th c a, b, c [1;2] . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P

P
P

7a, 8a
(2 )

2

2a 3 a 3
.
3
6
2
12a
3a 2
9
36

c vi t l i d i d ng t ng
ng là
2
(a b)
(a b) 2
c 2 4c(a b ) 4ab c 2 4c(a b ) (a b) 2

2a 51
17

c2


( a b) 2
4(ab bc ca)
0.25

M

0.25
Do a , b, c [1;2] nên a b 0 , nên chia t và m u c a M cho (a b) 2 ta
c:
1
1
c
M
v it
2
2
a b
t
4t 1
c
c
4
1
a b
a b
1
V i a, b, c [1;2]
t
;1
4

0.25
1
1
Xét hàm s f (t )
trên
;1
2
t
4t 1
4
2(t 2)
1
1
Ta có f / (t )
< 0, t
f / (t ) ngh ch bi n trên
;1
;1
2
2
4
4
(t
4t 1)
0.25
1
Do ó t 1
f (t ) f (1)
6
ng th c x y ra khi t 1 (a; b; c) (1;1;2)

1
V y Min P
khi (a; b; c) (1;1;2)
6
x2
7a) Trong m t ph ng Oxy , cho i m A(3;0) và elip (E) có ph ng trình
y 2 1 . Tìm t a
9
các i m B, C thu c (E) sao cho tam giác ABC vuông cân t i A , bi t i m B có tung
d ng.
0.25
Ta có A(3;0) ( E ); B, C ( E ) : AB AC
G i B( x0 ; y 0 ) C ( x0 ; y 0 ) ( x0 3)
H là trung i m c a BC
H ( x0 ;0)
0.25
2
BC 2 y 0
9 x02 ; AH 3 x0 3 x0
3
0.25
1
ABC vuông cân t i A
AH
BC
2
1
3 x0
9 x 02
9(3 x0 ) 2 (3 x0 )(3 x0 )

3

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014
x0

3 (ktm)

x0

12
5

Th y

ng Vi t Hùng (0985.074.831)
0.25

3
5


y0

12 3
12 3
; ,C
;
5 5
5 5
8a) Trong không gian Oxyz , cho hai i m A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) và
ng th ng (d) có
x 3 y 2 z 3
ph ng trình
. Tìm i m M trên (d) sao cho tích MA.MB nh nh t.
4
1
2
0.25
Ta có trung i m c a AB là I(2; 3; 0)
2
2
2
MA.MB MI IA MI IB
MI IA MI IA MI IA MI 9
Vì B có tung

d

Suy ra MA.MB nh nh t khi và ch khi MI nh nh t
Hay M là hình chi u vuông góc c a I trên (d).

M d
M ( 3 4t; 2 t ; 3 2t ) IM ( 5 4t ; 5 t; 3 2t )
(d) có vect ch ph ng u (4; 1; 2)

0.25

IM

0.25

u

IM .u

0

M (1; 3; 1), MI
9a
(1 )

7b, 8b
(2 )

ng nên B

4( 5 4t ) 5 t 2( 3 2t )
38 . V y Min MA.MB

0


29

t

t 1

0.25

c khi M (1; 3; 1)

Có 30 t m th ánh s t 1 n 30. Ch n ng u nhiên ra 10 t m th . Tính xác su t có 5 t m
th mang s l , 5 t m th mang s ch n trong ó ch có 1 t m mang s chia h t cho 10.
G i A là bi n c l y
c 5 t m th mang s l , 5 t m th mang s ch n trong ó ch 0.25
có 1 t m th mang s chia h t cho 10.
10
Ch n 10 t m th trong 30 t m th có: C 30
cách ch n
Ta ph i ch n :
0.25
5 t m th mang s l trong 15 t m mang s l
1 t m th mang s chia h t cho 10 trong 3 t m th mang s chia h t cho 10
4 t m th mang s ch n nh ng không chia h t cho 10 trong 12 t m nh v y.
0.25
Theo quy t c nhân, s cách ch n thu n l i x y ra bi n c A là: C155 C124 C 31
0.25
C155 C124 C 31
99
Xác su t c n tìm là P( A)
10

667
C 30
7b) Trong m t ph ng Oxy , cho hình thang ABCD v i hai áy là AB và CD bi t
B(3;3), C (5; 3) . Giao i m I c a hai
ng chéo n m trên
ng th ng : 2 x y 3 0 .
Xác nh t a
các nh còn l i c a hình thang ABCD
CI 2 BI , tam giác ACB có di n
tích b ng 12, i m I có hoành
d ng và i m A có hoành
âm.
0.25
Vì I
I ( t ;3 2t ), t 0
t
CI

2 BI

15t

2

10t 25

Ph

0


1

ng trình
ng th ng IC : x
1
Mà S ABC
AC.d ( B, AC ) 12
AC 6 2
2
Vì A IC
A(a;2 a ), a 0 nên ta có
a 11
2
a 5
36
a
1 A( 1;3)
a
1
Ph ng trình
ng th ng CD : y 3 0 , IB : x

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t

5
(ktm)
3
y 2 0

t

t i Moon.vn

1

I (1;1)
0.25

0.25

y

t

0

0.25

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014

T a

x y
y 3


i m D là nghi m c a h

Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)
x
3
D( 3; 3)
y
3

0
0

V y A( 1;3) , D( 3; 3)
x 3 y 1 z 3
và m t ph ng
2
1
1
0 . G i A là giao i m c a d và (P). Tìm t a
i m B thu c
ng

8b) Trong không gian Oxyz , cho
P :x

2y z 5

ng th ng (d) :


th ng (d), C thu c m t ph ng (P) sao cho BA 2BC
6 và ABC
i m A (d ) ( P)
A( 1;0;4) ; Góc gi a ( d ) và (P) là 30 0 (1)
Vì B

(d )

B ( 3 2t ; 1 t;3 t ) và AB

M t khác BA

2BC

600

6 và ABC

600 .

6 nên B( 3; 1;3) ho c B(1;1;5)

0.25

ABC vuông t i C (2)

0.25

Suy ra CAB 300 (3). T (1), (2) và (3)
C là hình chi u c a B lên ( P)

T a
c a i m C là nghi m c a h ph ng trình
x 1 y 1 z 5
x 3 y 1 z 3
1
2
1 ho c
1
2
1
x 2y z 5 0
x 2y z 5 0

0.25

5 5
1 11
ho c C ;0;
là i m c n tìm.
;0;
2 2
2
2

Suy ra C
9b
(1 )

0.25


12

Tìm mô un c a s ph c w
trình z 2 8bz 64c
3

Ta có 1
3

1
1 i

2

1

3i

2 i
6

1 i

6

là nghi m c a ph

ng

0.


1 3 3i 3.3i 2 3 3i 3

3i

3i

b ci bi t s ph c

1 3 3i 3.3i 2 3 3i 3

3i

1

0.25

8

8

2i
12

1

3i

1


3i

Do ó

2 i
6

1 i

8
6

8

Theo gi thi t ta có 8 16i
1 2i

2

b 1 2i

c

2b 4 0

b

b c 3 0

c 5


2

0
2

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

4
2

2 i
2i

8 2 i
i

3

8b 8 16i

0.25
8 1 2i

8 16i
0.25

64c 0

2b 4 i b c 3 0

w

( 2) 2

t i Moon.vn

52

29

t

0.25

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!