ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN YÊN PHONG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.98 KB, 5 trang )
PHÒNG GD&ĐT
YÊN PHONG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :14 tháng 04 năm 2014(đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
1
2
5 − x 1 − 2x
+
−
: 2
2 ÷
1 − x x + 1 1 − x x −1
Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức: A =
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để A = A .
Bài 2 (4 điểm): Giải các phương trình sau:
a. x3 – x2 – 12x = 0
b.
x − 214 x − 132 x − 54
+
+
=6
86
84
82
Bài 3 (5 điểm):
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và BC = a 2 . Gọi E là
trung điểm của CD.
a. Tứ giác ABED là hình gì? Tại sao?
b.Tính diện tích hình thang ABCD theo a .
c.Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC.
Tính góc HDI ?
Bài 4 (4 điểm):
a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =
3( x + 1)
x + x2 + x +1
3
Bài 5 (2 điểm):
a.(Phần dành cho thí sinh trường đạị trà) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác,p là nửa
1
1
1
1
1
1
chu vi .CMR : p − a + p − b + p − c ≥ 2( a + b + c )
b. (Phần dành cho thí sinh trường THCS Yên Phong)
Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :
a −b b−c c−d a −d
+
+
≥
.
b+c c+d d +a a+b
PHÒNG GĐ & ĐT
YÊN PHONG
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NGÀY THI 14/4/2014
MÔN THI: TOÁN 8
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu 1
a
(2.0 điểm)
b
(1.5 điểm)
Hướng dẫn giải
1
+ ĐKXĐ: x ≠ ±1; x ≠
2
2
1 + x + 2(1 − x ) − (5 − x) x − 1
A=
÷.
1 − x2
1− 2x
−2 x 2 − 1
.
1 − x2 1 − 2x
2
=
1 − 2x
=
A nguyên, mà x nguyên nên 2M1 − 2x
0.5
Từ đó tìm được x = 1 và x = 0
0.5
Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0
0.5
⇔
0.5
2
1
≥ 0 ⇔ 1− 2x > 0 ⇔ x <
1− 2x
2
Kết hợp với điều kiện: −1 ≠ x <
0.5
1
2
Câu 2
(2.0 điểm)
0.5
(4.0 điểm)
3
a
0.75
0.25
A = A⇔ A≥0
(1.5 điểm)
0.25
0.75
Ta có:
c
(5.0 điểm)
2
x – x – 12x = 0 x(x-4)(x+3) = 0
1.0
Vậy x = 4 hoặc x= -3 hoặc x=0
1.0
b.
(2.0 điểm)
x − 214 x − 132 x − 54
+
+
=6
86
84
82
x − 214
x − 132
x − 54
⇔
(
− 1) + (
− 2) + (
− 3) = 0
86
84
82
x − 300 x − 300 x − 300
⇔
+
+
=0
86
84
82
1
1
1
⇔ (x-300) +
+ = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300
86 84 82
VËy S = { 300}
Câu 3
0.75
0.5
0.5
0.25
(5.0 điểm)
Hình vẽ + GT +KL
a
(1.5 điểm)
0.5
0.5
Chỉ ra ABED là hình bình hành .(AB//DE, AB=DE)
Chỉ ra ABED là hình thoi.
Chỉ ra ABED là hình vuông.
(AB=AD)
0.25
o
( góc BAD=90 )
+ Chỉ ra tam giác BEC vuông cân.
0.75
+ Từ đó suy ra AB=AD=a. DC=2a.
0.5
b
(2.0 điểm)
0.25
+ Diện tích của hình thang ABCD là S =
( AB + CD ) . AD
2
( a + 2a ) .a = 3a 2
=
2
2
0.25
0.5
+ ∠ACH = ∠ACD (1) (cùng phụ với góc HDC )
+ Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có
c
(1.5 điểm)
AD IB 1
=
= , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng.
DC BD 2
Suy ra ∠ACD = ∠BDI (2)
+ Từ (1) và (2), suy ra ∠ADH = ∠BDI
+ Mà ∠ADH + ∠BDH = 45 o ⇒ ∠BDI + ∠BDH = 45 o hay
∠HDI = 45 o
Câu 4
a
(2 điểm)
0.5
0.25
0.5
(4.0 điểm)
Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1
Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0
Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 ≥ 1
0.75
0.5
Dấu ''='' xảy ra ⇔ x = y và y = 2
0.5
Vậy GTNN của A là 1 ⇔ x = y =2
0.25
3( x + 1)
3( x + 1)
3( x + 1)
3
= x 2 ( x + 1) + x + 1 = ( x 2 + 1)( x + 1) = 2
2
x + x + x +1
x +1
3
Do x2 +1>0 nên B = 2 ≤ 3. Dấu ''='' xảy ra ⇔ x = 0
x +1
B=
b
(2 điểm)
0.25
3
Vậy GTLN của B là 3 ⇔ x = 0
Câu 5
1.0
0.75
0.25
2.0 điểm
Ta có
a
(2.0 điểm)
(Trường
đại trà)
1
+
p−a
1
+
p−b
1
+
p−c
1
4
2
≥
=
p−b p−a+ p−b c
1
4
2
≥
=
p−c p−b+ p−c a
1
4
2
≥
=
p−a p−c+ p−a b
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
0.5
0.5
0.5
0.5
Ta có:
a −b b−c c −d a −d
a −b b−c c −d d −a
+
+
≥
⇔
+
+
+
≥0
b+c c+d d +a a+b
b+c c+d d +a a+b
a+c b+b c+a d +b
⇔
+
+
+
≥4
b+c c+d d +a a+b
Xét:
b
(2.0 điểm)
(Trường
THCS
Nguyễn
Cao)
a+c b+d c+a d +b
+
+
+
−4
b+c c+d d +a a+b
1
1
1
1
= ( a + c)
+
+
÷+ ( b + d )
÷− 4
b+c d +a
c+d a+b
4
4
≥ ( a + c) .
+(b+d).
−4=0
a+b+c+d
a+b+c+d
=> đpcm.
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
0.5
1.0
0.5
Điểm toàn bài (20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
-
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp
logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang
điểm tương ứng.
Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
