Dành cho THCS
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU
Kiều Quang Cường - Kiều Đình Minh
Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ
Trong các số báo trên THTT có nghiên cứu khá sâu sắc về các phương trình vô tỉ. Trong bài
viết này chúng ta sẽ đề cập đến một lớp phương trình cũng rất quan trọng, thường gặp trong
các kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS cũng như các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đó là các
phương trình dạng phân thức có chứa ẩn ở mẫu. Chúng ta sẽ cùng giải quyết những khó khăn
của các bạn học sinh khi gặp loại phương trình này thông qua các phương pháp giải sau.
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức
Thí dụ 1. Giải phương trình
1
1
1
3
+ 2
+ 2
=
(1)
x + 5 x + 4 x + 11x + 28 x + 17 x + 70 4 x − 2
2

Lời giải

1

Điều kiện: x ∉ − 10;−7;−4;−1;  (*)


(1) ⇔

2

1
1
1
3
+
+
=
( x + 1)( x + 4) ( x + 4)( x + 7) ( x + 7)( x + 10) 4 x − 2

1 1
1  1 1
1  1 1
1 
3
⇔ 
−
−
−
+ 
+ 
=
3  x + 1 x + 4  3  x + 4 x + 7  3  x + 7 x + 10  4 x − 2
1 1
1 
3
⇔ 
−

⇔ x 2 + 7 x + 12 = 0 ⇔ x = −3; x = −4
=
3  x + 1 x + 10  4 x − 2
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = −3 .■

Thí dụ 2. Giải phương trình

x +1 x − 2 x − 3 x + 4
+
+
+
= 4 (2)
x −1 x + 2 x + 3 x − 4

Lời giải
Điều kiện: x ∉ { − 3;−2;1;4} (*)

2
4
6
8
+1−
+1−
+1+
=4
x −1
x+2
x+3
x−4
4   2

3 
5x − 8
5 x + 12
 1
⇔
+
+
−
=0
−
=0⇔
( x − 1)( x − 4) ( x + 2)( x + 3)
 x −1 x − 4   x + 2 x + 3 

(2) ⇔ 1 +

16
1
69 

= 0 ⇔ x =  − 1 ±
5
2
5 
1
69 
 .■
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x =  − 1 ±
2
5 

⇔ (5 x − 8)( x + 2)( x + 3) − (5 x + 12)( x − 1)( x − 4) = 0 ⇔ x 2 + x −

1


Thí dụ 3. Giải phương trình
Lời giải

1
1
1
1
−
=
−
(3)
2008 x + 1 2009 x + 2 2010 x + 4 2011x + 5


Điều kiện: x ∉ −

1
2
4
5 
;−
;−
;−
 (*)
 2008 2009 2010 2011 

1
1
1
1
4019 x + 6
4019 x + 6
(3) ⇔
+
=
+
⇔
=
2008 x + 1 2011x + 5 2009 x + 2 2010 x + 4
( 2008 x + 1)(2011x + 5) (2009 x + 2)(2010 x + 4)


1
1
 = 0
⇔ ( 4019 x + 6 ) 
−
(
2008
x
+
1
)(
2011
x
+

5
)
(
2009
x
+
2
)(
2010
x
+
4
)


4019 x + 6 = 0
⇔
(2008 x + 1)(2011x + 5) − (2009 x + 2)(2010 x + 4) = 0
6

x
=
−

4019 x = −6
4019
⇔ 2
⇔
 x = −1; x = − 3
2 x + 5 x + 3 = 0


2

So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x = −

6
3
; x = −1; x = − .■
4019
2

2. Đưa về phương trình bậc cao giải được
Thí dụ 4. Giải phương trình
2x
13x
+ 2
= 6 (4)
3 x − 5 x + 2 3x + x + 2
2

Lời giải
 2
Điều kiện: x ∉ 1; 

 3
(4) ⇔ 2 x (3 x 2 + x + 2) + 13 x(3 x 2 − 5 x + 2) = 6(3 x 2 − 5 x + 2)(3 x 2 + x + 2)
⇔ 54 x 4 − 117 x 3 + 105 x 2 − 78 x + 24 = 0
⇔ (2 x − 1)(3 x − 4)(9 x 2 − 3x + 6) = 0 ⇔ x =

1

4
;x =
2
3
1
2

4
3

So sánh với điều kiện (*) thì nghiệm của phương trình là x = ; x = .■
Thí dụ 5. Giải phương trình
1
1
1
−
=
(5)
x −1 x +1 2 x

Lời giải
Điều kiện: x > 0; x ≠ 1 (*)
(5) ⇔

2
1
=
x −1 2 x
2


+) Nếu 0 < x < 1 thì vế trái âm còn vế phải luôn dương nên phương trình vô nghiệm
2


+) Nếu x > 1 thì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình

(

)

(

)(

)

x 4 − 2 x 2 − 16 x + 1 = 0 ⇔ x 2 + 3 − 8( x + 1) = 0 ⇔ x 2 − 2 2 x + 3 − 2 2 x 2 + 2 2 x + 3 + 2 2 = 0
2

2

⇔ x = 2 + 2 2 − 1 ( x > 1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 + 2 2 − 1 .■
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Đặt một ẩn phụ
Thí dụ 6. Giải phương trình
Lời giải

x 4 + 3x 2 + 1

= 3 (6)
x3 + x 2 − x

 −1± 5 
 (*)
2 

x 4 + 3x 2 + 1
1
x2 + 2 + 3
2
t = 1
t2 + 5
1
2
x
x
(6) ⇔ 3
=
3
⇔
=
3
=
3
⇔
t
−
3
t

+
2
=
0
⇔
t
=
x
−
đặt
ta
được
t = 2
1
t +1
x + x2 − x
x

x
−
+
1
x
x2

Điều kiện: x ∉ 0;

1
1± 5
x

2
1
+) t = 2 ⇔ x − = 2 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2
x

+) t = 1 ⇔ x − = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =

1± 5
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x =
; x = 1 ± 2 .■
2

Thí dụ 7. Giải phương trình
2
13
6
+ 2
= (7)
3 x − 4 x + 1 3x + 2 x + 1 x
2

Lời giải

 1
Điều kiện: x ∉ 0;1;  (*)


(7 ) ⇔

2

3x − 4 +

1
x

3

+

13
3x + 2 +

1
x

=6

1
x

đặt 3x + − 4 = t ta được phương trình

2 13
1
+
= 6 ⇔ 2t 2 + 7t − 4 = 0 ⇔ t = ; t = −4
t t+6
2
1
4

1
+) t = ⇔ 6 x 2 − 11x + 4 = 0 ⇔ x = ; x =
2
3
2
2
+) t = −4 ⇔ 3x − x + 2 = 0 ⇔ ∃x
4
3

1
2

So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x = ; x = .■
Thí dụ 8. Giải phương trình
1
1
+
= 15 (8)
2
x
( x + 1) 2

3


Lời giải

Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ 0 (*)
2


 1 
( x + 1) 2 + x 2
1
2x 2 + 2x
2
 +
(8) ⇔ 2
=
15
⇔
+
− 15 = 0 ⇔ 
− 15 = 0
2
2
2
2
2
x( x + 1)
x ( x + 1)
x ( x + 1)
x ( x + 1)
 x ( x + 1) 
1
Đặt x( x + 1) = t ta được phương trình t 2 + 2t − 15 = 0 ⇔ t = 3; t = −5

+) t = 3 ⇔

1

− 3 ± 21
= 3 ⇔ 3x 2 + 3 x − 1 = 0 ⇔ x =
x( x + 1)
6

+) t = −5 ⇔

1
−5± 5
= −5 ⇔ 5 x 2 + 5 x + 1 = 0 ⇔ x =
x( x + 1)
10

− 3 ± 21
−5± 5
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có bốn nghiệm x =
;x =
.■
6

10

2. Đặt hai ẩn phụ
Thí dụ 9. Giải phương trình
2

2

x +1
 x +1 

 x −2
= 12

 +
 (9)
x−3
 x −2
 x −3

Lời giải
Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3 (*)

x +1
x−2
;v =
ta được u 2 + uv = 12v 2 ⇔ (u − 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = −4v
x−2
x−3
x +1
x−2
8 ± 46
+) u = 3v ⇔
=3
⇔ x 2 + 4 x + 3 = 3 x 2 − 12 x + 12 ⇔ 2 x 2 − 16 x + 9 = 0 ⇔ x =
x−2
x−3
2
x +1
x−2
= −4

⇔ x 2 + 4 x + 3 = −4 x 2 + 16 x − 16 ⇔ 5 x 2 − 12 x + 19 = 0 ⇔ ∃x
+) u = −4v ⇔
x−2
x−3
8 ± 46
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =
.■
2

Đặt u =

III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Thí dụ 10. Giải phương trình
3
4
1
− 2
= 2 (10)
x + x + 3 x + 3x + 9 2 x
2

Lời giải
Điều kiện: x ≠ 0 (*)

4
1
3
+ 2 = 2
x + 3x + 9 2 x
x + x+3

2
2
x
+
3
x
+
9
>
0
;
2
x
>
0
,
∀
x
≠
0 . Do đó theo bất đẳng thức AM – GM thì
Để ý rằng
4
1
1
1
1 
9
3

+ 2 = 2 2

+ 2
+ 2  ≥ 2. 2
= 2
2
x + 3x + 9 2 x
6 x + 6 x + 18 x + x + 3
 x + 3 x + 9 x + 3x + 9 4 x 
(10) ⇔

2

Vì vậy (10) ⇔ x 2 + 3x + 9 = 4 x 2 ⇔ x 2 − x − 3 = 0 ⇔ x =

1 ± 13
2

1 ± 13
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm x =
.■
2

4


Chúng tôi đã cố gắng chia thành ba phương pháp chính phù hợp với các bạn THCS. Hy vọng
qua bài viết này chúng ta có cái nhìn công bằng hơn cho những phương trình có chứa ẩn ở
mẫu. Rất mong nhận được sự bổ sung thêm của các bạn để phương trình dạng này được
phong phú hơn.
Cuối cùng, xin mời các bạn vận dụng các phương pháp đã nêu để giải một số phương trình
sau

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
x −1 x − 2 x − 4 x − 5
−
−
+
=0
2.
x+2 x+3 x+5 x+6
1
1
1
1
+
=
−
3.
(T3/348 - THTT)
4 x − 2006 5 x + 2004 15 x − 2007 6 x − 2005
x2
= 3 x 2 − 6 x − 3 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007)
4.
2
( x + 2)


1.

2

2
5. x +

25 x 2
= 11 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007)
( x + 5) 2

x 2 6125 210 12 x
+ 2 +
−
=0
(T2/247 – THTT)
5
x
5
x
x3 + x
=2
7. 2
( x − x + 1) 2
4x
5x
3
+ 2
=−

8. 2
2
x + x + 3 x − 5x + 3
3
2
x
3x
3
+
− 2 = 0 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN. 2000)
9. x +
3
x −1
( x − 1)

6.

2

2

x2 − 4
 x −2  x + 2
+
−
11
=0
 

x2 −1

 x +1   x −1 
1
18
18
+ 2
= 2
2
x + 2x − 3 x + 2x − 2 x + 2x − 1
4 x 2 + 16
3
5
7
− 2
= 2
+ 2
(Thi HSG toán lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi. 2007)
2
x +6
x +1 x + 3 x + 5
2x 4 + x 2 + 2x − 1
= 3 − x (Bài 3(69) – TTT2)
x3 + 1
1
1
1
+ 2
= 2
(Bài 2(72) – TTT2)
2
5x

x − 9 x + 36 x − 4 x + 16
( x − 1) 4
1
+ ( x 2 − 3) 4 +
= 3x 2 − 2 x − 5
2
2
( x − 3)
( x − 2) 2

10. 10
11.
12.
13.
14.
15.

x3 + m3
x3 + n3
x3 + p3 3 3 x − m x − n x − p
+
+
− + .
.
.
= 0 (HSGQG.THPT. 1975)
16.
( x + m) 3 ( x + n ) 3 ( x + p ) 3 2 2 x + m x + n x + p

5