HPT thi chon doi tuyen PTNK
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (39.97 KB, 2 trang )
Cho a,b,c > 0 . Giải hệ phương trình sau :
1
2
ax − aby + xy = bc
1
2
abz − bc x + = a
xz
1
2
bc y − az + yz = ab
Lời giải.
Điều kiện xyz ≠ 0 .
Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng cách thay đổi vai trò giữa biến và tham số.
Đặt a = A, ab = B, bc 2 = C . Ta có hệ phương trình sau
1
1
Ax − By + xy = C
Ax − By + xy = C
1
1
Bz − Cx + = A ⇔ − A + Bz − Cx = −
xz
xz
1
1
Cy − Az + yz = B
− Az − B + Cy = − yz
Thay C từ phương trình thứ nhất của hệ vào phương trình thứ hai và ba, ta được
1
1
1
1
2
− A + Bz − x( Ax − By + xy ) = − xz
− A + Bz − Ax + Bxy − y = − xz
⇔
− Az − B + y ( Ax − By + 1 ) = − 1
− Az − B − By 2 + Axy + 1 = − 1
xy
yz
x
yz
1 1
2
A(−1 − x ) + B( z + xy ) = y − xz
A(− z + xy ) − B (1 + y 2 ) = − 1 − 1
x yz
Nhân phương trình thứ nhất với − z + xy , nhân phương trình thứ hai với 1 + x 2 , ta có
1 1
2
A(−1 − x )(− z + xy ) + B ( z + xy )( − z + xy ) = − ÷(− z + xy )
y xz
A(− z + xy )(1 + x 2 ) − B (1 + y 2 )(1 + x 2 ) = − 1 − 1 (1 + x 2 )
÷
x yz
Cộng từng vế hai phương trình này lại, ta được
( xz − y )( xy − z ) − ( yz + x)(1 + x 2 )
B( x 2 y 2 − z 2 − x 2 − y 2 − 1 − x 2 y 2 ) =
xyz
⇔ − B ( x 2 + y 2 + z 2 + 1) =
− z 2 − y 2 −1 − x2
1
1
⇔B=
⇔ yz =
yz
yz
B
Tương tự, ta tính được zx =
2
Từ đó, suy ra ( xyz ) =
1
1
, xy = .
A
C
1
1
⇒ xyz = ±
. Khi đó
ABC
ABC
x=±
B
A
C
hay
,y=±
,z = ±
CA
BC
AB
x=±
ab
1
a
1
bc 2
c
=
±
,
y
=
=
±
,
z
=
=± .
2
2 2
2
abc
c
ab c
bc
ab
a
1 1 c
1
1
c
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x, y, z ) = ( , , ), ( − , − , − ) .
c bc a
c bc a
