c1 vd1 ptbacnhat1an
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (77.12 KB, 4 trang )
Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
VẤN ĐỀ 1
Phương trình bậc nhất một ẩn : ax + b = 0
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đònh nghóa:
Phương trình bậc nhất 1 ẩn là phương trình có dạng ?
ax + b = 0 (a ≠ 0), a và b là các hệ số, x là ẩn số
2. Giải và biện luận phương trình : ax + b = 0
Cho phương trình : ax + b = 0 (1)
b
* Nếu a ≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x = −
a
* Nếu a = 0 : (1) ⇔ 0x + b = 0 ⇔ 0x = − b
b ≠ 0 : (1) vô nghiệm
b = 0 : mọi x ∈ R là nghiệm của (1)
Đại số
II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Giải và biện luận phương trình :
mx + 2 (x – m) = (m + 1)2 + 3
Giải
2
Phương trình ⇔ mx + 2x = 2m + m + 2m + 1 + 3
⇔ (m + 2)x = m 2 + 4m + 4 = (m + 2)2
(1)
. m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2 : phương trình có nghiệm duy nhất:
(m + 2)2
=m+2
m+2
. m = - 2 : (1) ⇔ 0x = 0 : ∀x ∈ R là vô nghiệm của (1)
x=
1
2
a = 3 : Phương trình vô nghiệm
a = 1 : ∀x ∈ R
Ví dụ 4:
Đònh m để phương trình sau vô nghiệm:
x+m x−2
+
= 2 (1)
x +1
x
Giải
⎧x + 1 ≠ 0
⎧x ≠ −1
Điều kiện : ⎨
⇔⎨
⎩x ≠ 0
⎩x ≠ 0
Ví dụ 2:
Giải và biện luận phương trình :
a(ax + 2b2 ) − a2 = b2 (x + a)
Giải
Phương trình cho ⇔ a x − b x = b 2 a + a2 − 2b 2 a
2
2
⇔ (a2 − b2 )x = a2 − ab2 = a(a − b2 )
2
(1)
2
. a − b ≠ 0 ⇔ a ≠ ± b : Phương trình có nghiệm duy nhất:
x=
a(a − b2 )
a2 − b 2
. a = b : (1) ⇔ 0x = a2 − a3 = a2 (1 − a)
(1) ⇔ x(x + m) + (x + 1)(x − 2) = 2x(x + 1)
⇔ x 2 + mx + x 2 − x − 2 = 2x 2 + 2x
* a = 0 ∨ a = 1: ∀x ∈ R là nghiệm
* a ≠ 0 và a ≠ 1: Phương trình vô nghiệm.
⇔ (m − 3)x = 2
Phương trình vô nghiệm khi: m – 3 = 0 hoặc nghiệm tìm được bằng –1
hoặc bằng 0.
⎡
⎢m − 3 = 0
⎢
⎡m = 3
⎢ 2 = −1
⇔⎢
⎢m −3
⎣m = 1
⎢ 2
⎢
= 0 (không tồn tại)
⎣⎢ m − 3
Ví dụ 5 :
Đònh m để phương trình sau có tập nghiệm là R
m3x = mx + m2 –m
Giải
Ta có : m3x = mx + m2 –m
⎧⎪ m 3 − m = 0
⎪⎧m(m 2 − 1) = 0
⇔⎨
Phương trình có nghiệm ∀x ∈ R ⇔ ⎨
2
⎪⎩ m − m = 0
⎩⎪m(m − 1) = 0
⎧m = 0 ∨ m = ±1
⇔⎨
⇔ m = 0 ∨ m =1
⎩m = 0 ∨ m = 1
. a = - b (1) ⇔ 0x = b2 + b3 = b2 (1 + b)
* b = 0 ∨ b = −1: ∀x ∈ R là nghiệm
* b ≠ 0 và b ≠ 1: Phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3:
Giải và biện luận phương trình :
a
3a2 − 4a + 3
1
(*)
+
=
2
2
x−a
x+a
a −x
Giải
⎪⎧x ≠ ± a
(*) ⇔ ⎨
2
⎪⎩−a(a + x) + 3a − 4a + 3 = a − x
⎧x ≠ ±a
⎪
(**)
⇔⎨
3
2
⎪⎩(1 − a)x = −2a + 5a − 3 = −2(a − 1)(a − 2 ) = (a − 1)(3 − 2a)
(a − 1)(3 − 2a)
= 2a − 3
. 1 – a ≠ 0 ⇔ a ≠ 1: (**) ⇔ x =
1− a
⎧2a − 3 ≠ a
⎧a ≠ 3
Chỉ nhận được khi: ⎨
⇔⎨
⎩2a − 3 ≠ −a ⎩a ≠ 1
. 1 − a = 0 ⇔ a = 1: (**) ⇔ 0x = 0 ⇔ ∀x ∈ R .
Tóm lại: a ≠ 1 và a ≠ 3: Phương trình có nghiệm x = 2a – 3
3
4
Ví dụ 6 :
Đònh m để phương trình có nghiệm:
3x − m
2x + 2m − 1
+ x−2 =
x−2
x−2
Giải
Điều kiện x –2 > 0 ⇔ x > 2
Phương trình cho ⇔ 3x − m + x − 2 = 2x + 2m − 1
⇔ 2x = 3m + 1
3m + 1
⇔x=
nhận được khi : x > 2
2
3m + 1
⇔
> 2 ⇔ 3m + 1 > 4 ⇔ m > 1
2
Vậy phương trình có nghiệm khi m > 1
Ví dụ 7:
Đònh m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x + 2 x +1
=
(1)
x − m x −1
Giải
x
≠
m,x
≠
1
⎧x ≠ m,x ≠ 1
⎧
⇔⎨
(1) ⇔ ⎨
⎩mx = 2 − m
⎩(x + 2)(x − 1) = (x − m)(x + 1)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1 Giải và biện luận các phương trình :
(m + 1)x + m − 2
x−m x−2
b.
a.
=m
=
x+3
x +1 x −1
1.2 Đònh m để phương trình có nghiệm :
(2m + 1)x + 3 (2m + 3)x + m − 2
=
4 − x2
4 − x2
1.3 Đònh m để phương trình có nghiệm x > 0 :
m 2 (x − 1) = 4x − 3m + 2
1.4 Đònh m để phương trình sau vô nghiệm :
(m + 1)2 x + 1 − m = (7m − 5)x
1.5 Đònh m để phương trình sau có tập nghiệm là R :
(m 2 − 1)x = m − 1
⎧
⎪m ≠ 0
⎧m ≠ 0
⎧m ≠ 0
⎪
⎪ 2
⎪2 − m
⎪
≠ m ⇔ ⎨m + m − 2 ≠ 0 ⇔ ⎨m ≠ 1
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ⎨
⎪ m
⎪2m ≠ 2
⎪m ≠ −2
⎩
⎩
⎪2 − m
≠
1
⎪⎩ m
5
6
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1
(m + 1)x + m − 2
a.
= m (ĐK : x ≠ −3 ) ⇔ x = 2m + 2 ≠ −3
x+3
5
. m ≠ − : nghiệm x = 2m + 2
2
5
. m = − : VN
2
⎧ x ≠ ±1
x−m x−2
=
⇔⎨
b.
x +1 x −1
⎩xm = m + 2
. m = 0 : VN
. m ≠ 0 : + m = −1: VN
x+2
m
(2m + 3)x + m − 2
+ m ≠ −1 : nghiệm x =
1.2
(2m + 1)x + 3
4 − x2
=
4 − x2
(*)
ĐK : 4 − x 2 > 0 ⇔ −2 < x < 2
5−m
5−m
phải thoả điều kiện −2 <
< 2 ⇔1< m < 9
(*) ⇔ x =
2
2
1.3 Phương trình cho ⇔ (m + 2) − 4x = m 2 − 3m + 2
⎡m 2 − 4 ≠ 0
⎢
⇔ m = 2 ∧ m ≠ −2
Phương trình có nghiệm ⇔ ⎢ ⎪⎧m 2 − 4 = 0
⎢⎨ 2
⎣⎢⎪⎩m − 3m + 2 = 0
m −1
x=
> 0 ⇔ m > 1 ∨ m < −2
m+2
1.4 (m + 1)2 x + 1 − m = (7m − 5)x ⇔ (m − 2)(m − 3)x = m − 1
⎧(m − 2)(m − 3) = 0
Phương trình VN ⇔ ⎨
⇔ m =2∨ m =3
⎩m − 1 ≠ 0
1.5 (m 2 − 1)x = m − 1
Phương trình có tập nghiệm R ⇔ m = 1
7
