Dùng đạo hàm để chứng minh đẳng thức tổ hợp
Bài tập:
1. Chứng minh rằng:
0
2
4
2010
C2011
+ 32.C2011
+ 34.C2011
+ ... + 32010.C2011
= 22010 (22011 1)

Từ đó tổng quát lên bằng cách thay 2011 bởi một số tự nhiên n
bất kì.
2. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh đẳng thức sau:
1
3
5
2009
1
4
6
2010
C2010
+ 3C2010
+ 5C2010
+ .. + 2009C2010
= 2C2010
+ 4C2010
+ 6C2010

+ .. + 2010C2010

3. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Rút gọn biểu thức sau:
n

2

nk

k =1

.k .Cnk = 2n 1 Cn1 + 2.2n 2 Cn2 + 3.2n 3 Cn3 + ... + nCnn

4. Tìm số tự nhiên n biết rằng:
C21n +1 2.2.C22n +1 + 3.22.C23n +1 ... + (1) k 1.2 k 1.C2kn +1 + ... + (2n + 1).2 2 n.C22nn++11 = 2011

5. Chứng minh rằng:
99

100

101

199

1
1 1
2 1
100 1
100C ữ 101C100

ữ + 102C100 ữ + ... + 200C100 ữ
2
2
2
2
2
100
bằng cách xét khai triển ( x + x) .
0
100

=0

6. Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n lớn
hơn 2:
2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + ... + n.(n 1).Cnn = n( n 1).2 n 2

7. Bằng cách xét khai triển ( x 1) n , chứng minh rằng đẳng thức sau
đúng với mọi n:
n 2Cn0 (n 1) 2 Cn1 + (n 2) 2 .Cn2 ... + (1) n 1 Cnn1 = 0 .


Sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức
Lời giải

8. Chứng minh các đẳng thức lợng giác trong tam giác:
a. Ta cần chứng minh: sin A + sin B + sin C 4cos

A
B

C
cos cos = 0 .
2
2
2

Do A, B, C là các góc của một tam giác nên: A + B + C = C = ( A + B ) .
Cố định B, ta xét hàm số biến A nh sau:
A
B
[ ( A + B)] =
cos cos
2
2
2
A
B
A+ B
= sin A + sin B + sin( A + B) 4cos cos sin
2
2
2
f ( A, B ) = sin A + sin B + sin [ ( A + B ) ] 4cos

Ta sẽ chứng minh đạo hàm của hàm số này bằng 0 với mọi A. Thật vậy:
B 1
A
A+ B 1
A
A+ B

ì ìsin ìsin
+ ìcos ìcos
ữ
2 2
2
2
2
2
2
B
2A + B
Suy
= cos A + cos( A + B) 2cos ìcos
=
2
2
A + ( A + B)
A ( A + B)
= cos A + cos( A + B) 2cos
ìcos
=0
2
2
ra với B cố định thì f ( A, B ) là hàm hằng với mọi A. Cho A = 0 , ta có:
f ( A, B) = cos A + cos( A + B) 4cos

0
B
B
B

B
f (0, B) = sin 0 + sin B + sin B 4cos cos sin = 2sin B 4sin cos = 0 .
2
2
2
2
2
Vậy f ( A, B ) = 0, A, B (0, ) . Ta có đpcm.

b. Xét hàm số: f ( A, B ) = cos A + cos B cos( A + B ) 4sin

A
B
A+ B
sin cos
1 .
2
2
2

Tơng tự câu a., ta chứng minh f ( A, B) = 0 và f (0, B) = 0 .


c. XÐt hµm sè: f ( A, B ) = tan

A
B
B
A+ B
A+ B

A
tan + tan cot
+ cot
tan − 1 .
2
2
2
2
2
2

T¬ng tù c©u a., ta chøng minh f ′( A, B) = 0 vµ f (0, B) = 0 .

9. Chøng minh ®¼ng thøc:
(a) arcsin x + arccos x =

π ∀x ∈ [−1, 1];
,
2

Víi x = 1, arcsin1 + arccos1 =

π
π
+0 = .
2
2

Víi x = −1, arcsin( −1) + arccos( −1) =


−π
π
+π = .
2
2

Suy ra ®¼ng thøc trªn ®óng trong trêng hîp x = ±1 .
XÐt hµm sè: f ( x) = arcsin x + arccos x −
1

(arccos)′ = −
f ′( x) = −

Cho x =

1 − x2
1

1− x

2

+

, (arcsin)′ =
1
1− x

2


1
1 − x2

π
, ∀x ∈ ( −1,1) . Ta cã:
2

. Suy ra:

− 0 = 0 . Suy ra, lµ hµm h»ng víi mäi x ∈ (−1,1) .

 2
 2 π
2
2
, ta cã: f ( ) = arcsin 
÷+ arccos 
÷− = 0 .
2
2
 2 
 2  2

Do ®ã: f ( x) = 0, ∀x ∈ (−1,1) .
Tõ ®ã suy ra: arcsin x + arccos x −

π
= 0, ∀x ∈ [ −1,1] . Ta cã ®pcm.
2



(b) arctan x + arccot x =

π
, ∀x ∈ ¡ .
2

Còng t¬ng tù c©u (a), ta xÐt hµm sè: f ( x) = arctan x + arccot x −
Chó ý r»ng (arctan)′ =
Suy ra: f ′( x) =

π
, x∈¡ .
2

1
1
, (arc cot)′ = −
.
2
1+ x
1 + x2

1
1
−
+ 0 = 0 , tøc lµ hµm h»ng víi mäi x ∈ ¡ .
2
1 + x 1 + x2


H¬n n÷a f (1) = arctan 1 + arccot1 −

π π π π
= + − = 0.
2 4 4 2

Do ®ã: f ( x) = 0, ∀x ∈ ¡ . Ta cã ®pcm.

10. XÐt khai triÓn:
( x − 1) n = Cnn − Cnn −1 ×x + Cnn −2 ×x 2 − ... + (−1) n −1 ×Cn1 ×x n −1 + (−1) n ×Cn0 ×x n
§¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta cã:
n ×( x − 1) n −1 = −Cnn −1 + 2 ×Cnn− 2 ×x − ... + (−1) n−1 ×( n − 1) ×Cn1 ×x n− 2 + (−1) n ×n ×Cn0 ×x n−1
Nh©n hai vÕ cña biÕu thøc trªn cho x, ta ®îc:
n ×x ×( x − 1) n−1 =
= −Cnn−1 ×x + 2 ×Cnn − 2 ×x 2 − ... + (−1) n−1 ×( n − 1) ×Cn1 ×x n−1 + (−1) n ×n ×Cn0 ×x n
TiÕp tôc lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta cã:
n ×(n − 1).x ×( x − 1) n−2 + n.( x − 1) n−1 =
= −Cnn−1 + 2 2 ×Cnn −2 ×x − ... + (−1) n −1 ×( n − 1) 2 ×Cn1 ×x n− 2 + (−1) n ×n 2 ×Cn0 ×x n−1
Cho x = 1 , ta ®îc:
0 = −Cnn−1 + 22 ×Cnn −2 − ... + (−1) n −1 ×( n − 1) 2 ×Cn1 + (−1) n ×n 2 ×Cn0 hay


(−1) n ×n 2 ×Cn0 + (−1) n −1 ×( n − 1) 2 ×Cn1 + ... + 2 2 ×Cnn− 2 − Cnn−1 = 0
Ta cã ®pcm.

11. XÐt khai triÓn:
0
1
2
2

2009
2010
(1 − x) 2010 = C2010
− C2010
×x + C2010
×x 2 − C2010
×x 2 + ... − C2010
×x 2009 + C2010
×x 2010

§¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta ®îc:
1
2
2009
2010
−2010 ×(1 − x) 2009 = −C2010
+ 2 ×C2010
×x − ... − 2009 ×C2010
×x 2008 + 2010 ×C2010
×x 2009

Cho x = 1 , ta cã:
1
2
2009
2010
0 = −C2010
+ 2 ×C2010
− ... − 2009 ×C2010
+ 2010 ×C2010

1
3
2009
2
4
2010
⇔ C2010
+ 3C2010
+ L + 2009C2010
= 2C2010
+ 4C2010
+ L + 2010C2010
.

Ta cã ®pcm.

12. XÐt khai triÓn:
100
99
98
1
0
( x 2 + x)100 = C100
×x 200 + C100
×x198 ×x + C100
×x196 ×x 2 + ... + C100
×x 2 ×x 99 + C100
×x100
100
99

98
1
0
= C100
×x 200 + C100
×x199 + C100
×x198 + ... + C100
×x101 + C100
×x100

§¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta ®îc:
100 ×(2 x + 1) ×( x 2 + x)99 =
100
99
98
1
0
200 ×C100
×x199 + 199 ×C100
×x198 + 198 ×C100
×x197 + ... + 101 ×C100
×x100 + 100 ×C100
×x 99

1
Cho x = − , ta cã:
2
199

0 = −200 ×C


100
100

198

100

99

1
1
1
99  1 
1
0
× ÷ + 199 ×C100
× ÷ ... + 101 ×C100
× ÷ − 100 ×C100
× ÷
2
2
2
2
99

100

101


199

1
1 1
2 1
100  1 
⇒ 100C  ÷ − 101C100
 ÷ + 102C100  ÷ + L + 200C100  ÷
2
2
2
 2
0
100

= 0.


Ta có đpcm.

13. Tìm số tự nhiên n biết rằng:
C21n +1 2ã2ãC22n+1 + 3ã22ãC23n +1 L + (1) k 1ã2k 1ãC2kn+1 + L + (2n + 1)ã22 n ãC22nn++11 = 2011.
Trớc hết, ta sẽ rút gọn:
S n = C21n +1 2ã2ãC22n +1 + 3ã22 ãC23n +1 L + (1) k 1ã2k 1ãC2kn +1 + L + (2n + 1)ã22 n ãC22nn++11
Xét khai triển:
(1 + x) 2 n+1 = C20n+1 + C21n +1 ìx + C22n +1 ìx 2 + ... + C22nn+1 ìx 2 n + C22nn++11 ìx 2 n +1 .
Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc:
(2n + 1) ì(1 + x) 2 n = C21n +1 + 2 ìC22n +1 ìx + ... + 2n ìC22nn+1 ìx 2 n 1 + (2n + 1) ìC22nn++11 ìx 2 n
Cho x = 2 , ta đợc:
2n + 1 = C21n+1 2 ì2 ìC22n+1 + ... 2n ì2 2 n 1 ìC22nn+1 + (2n + 1) ì2 2 n ìC22nn++11 .

Do đó, với mọi số tự nhiên n thì: S n = 2n + 1 .
Suy ra: S n = 2011 2n + 1 = 2011 n = 1005 .
Vậy giá trị n cần tìm là 1005.

14. Ta cần tính:
S n = 2 n1 Cn1 + 2ã2n 2 Cn2 + 3ã2 n3 Cn3 + L + nCnn .
2

n 1

S
1
1
1
Ta thấy: nn1 = Cn1 + 2 ìCn2 ì ữ+ 3 ìCn3 ì ữ + L + n ìCnn ì ữ
2
2
2
2
Xét khai triển:
( x + 1) n = Cn0 + Cn1 ìx + Cn2 ìx 2 + ... + Cnn 1 ìx n 1 + Cnn ìx n
Đạo hàm hai vế theo biến x, ta có:


n ×( x + 1)n −1 = Cn1 + 2 ×Cn2 ×x + ... + (n − 1) ×Cnn−1 ×x n−1 + n ×Cnn ×x n−1 .
Cho x =
n −1

3
n × ÷

2

1
, ta cã:
2
n −2

1
1
= C + 2 ×C × ÷+ ... + (n − 1) ×Cnn −1 × ÷
2
2
1
n

2
n

n −1

S
3
Suy ra: nn−1 = n × ÷
2
2

⇔ S n = n ×3n −1 .

VËy tæng cÇn tÝnh lµ: S n = n ×3n−1 .


n −1

1
+ n ×C × ÷ .
2
n
n