- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 12
Su dung dao ham de tim gioi han
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (72.88 KB, 8 trang )
Phơng pháp tìm giới hạn bằng đạo hàm
Nh chúng ta đã biết, đạo hàm là kết quả của một phép lấy giới hạn;
thế nhng, nhiều bài toán tìm giới hạn, ngợc lại, có thể giải bằng cách
dùng đạo hàm. Theo định nghĩa đạo hàm: nếu f ( x) khả vi tại x0 thì
lim
f ( x) f ( x0 )
= f '( x0 ) , ta sẽ áp dụng điều này để phân tích và tính các
x x0
bài giới hạn có liên quan. Phơng pháp này rất hữu hiệu trong việc khử
dạng vô định và giải đợc một lớp rất rộng các bài toán giới hạn có liên
quan đến các hàm lợng giác, hàm số mũ, hàm logarit mà các phơng
pháp đánh giá thông thờng phải khó khăn lắm mới có thể giải quyết
đợc!
Dạng vô định thờng gặp là xlim
x
0
g ( x)
, trong đó: f ( x0 ) = 0 , ta viết g ( x) dới
x x0
dạng g ( x) = f ( x) f ( x0 ) rồi tính giới hạn trên ở dạng: xlim
x
0
f ( x) f ( x0 )
= f '( x0 )
x x0
(thông thờng thì x0 = 0 ).
Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim
x0
3
x +1 x +1
.
x
Giải: Ta xét f ( x) = 3 x + 1 x + 1 f (0) = 0 , suy ra giới hạn trên có thể viết lại
là:
lim
x0
1
1
f ( x) f (0)
= f '(0) , mà f '( x) = 3
nên giới hạn đã cho là:
2
2 x +1
3 ( x + 1)
x0
f '(0) =
1
.
6
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
lim
x
4
tan x 2 cos x
.
x
4
Giải: Tơng tự ví dụ trên, ta xét hàm số f ( x) = tan x 2 cos x , rõ ràng f ( x)
2
, f '( x) = 1 + tan 2 x + 2 sin x và f ( ) = 1 2.
= 0 nên ta cũng đ4
4
2
a về tính giá trị:
khả vi tại x =
f ( x) f ( )
tan x 2 cos x
4 = f '( ) = 1 + 1 + 2. 2 = 3 .
lim
= lim
4
2
x
x
x
x
4
4
4
4
Vậy giới hạn cần tìm là 3.
Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: lim
x0
Giải: Xét hàm số f ( x) = e x
f '( x ) = (2 x + 2).e x
lim
x0
ex
2
+2 x
x
1
2
= lim
x 0
+2 x
2
+2 x
ex
2
+2 x
x
1
.
f (0) = 1 , rõ ràng f ( x) khả vi tại x = 0 và
. Do đó, giới hạn cần tìm là:
2
f ( x) f (0)
= f '(0) = (2.0 + 2)e0 + 2.0 = 2 .
x0
Bài tập áp dụng:
1. Tính giới hạn sau: lim
x0
2011
4x +1 1
.
x
Từ đó chứng minh giới hạn tổng quát: lim
x0
2. Tính giới hạn sau:
lim
x
3
n
ax + 1 1 a
*
= với a > 0, n Ơ .
x
n
3.cos x + sin x tan x
.
x ữ
3
3
5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125
.
x0
5x
3. Tính giới hạn sau: lim
( x + 1) n (1 x) n
= 0?
x0
x
4. Với giá trị n thế nào thì lim
e1ln x ln x
.
x e
xe
5. Tính giới hạn sau: lim
6. Bằng cách dùng định nghĩa đạo hàm, hãy tính giới hạn sau:
cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8. x + 4
.
x0
x.cos5 x
lim
7. Tính giới hạn sau:
cos x 1 cos 2 x 1 cos3 x 1 cos 2011 x 1
lim
.
.
...
ữ.
x0
x
2x
3x
2011x
Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Lời giải
85.
2011
Tính giới hạn:
lim
x 0
4x + 1 1
.
x
2011
4 x + 1 1 f ( x) =
Xét hàm số f ( x) =
4
20112011 (4 x + 1) 2010
.
Ta thấy: f ( x) khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
2011
lim
x 0
4x + 1 1
f ( x) f (0)
4
.
= lim
= f (0) =
x 0
x
x0
2011
Ta cần chứng minh công thức giới hạn tổng quát:
Nếu a > 0 và n Ơ * thì lim
x 0
n
ax + 1 1 a
= .
x
n
Bằng lập luận tơng tự, ở bài toán tổng quát, ta xét hàm số:
f ( x) = n ax + 1 1 f ( x) =
n
lim
x 0
86.
a
n n (ax + 1) n 1
. Suy ra:
ax + 1 1
f ( x) f (0)
a
= lim
= f (0) = .
x 0
x
x0
n
Tính giới hạn:
Xét hàm số:
lim
x
3
3 ìcos x + sin x tan x
.
ì x ữ
3
3
f ( x) = 3.cos x + sin x − tan x ⇒ f ′( x) = − 3 sin x + cos x − (1 + tan 2 x)
Ta thÊy: f ( x) kh¶ vi t¹i
π
π
vµ f ( ) = 0 nªn:
3
3
3 ×cos x + sin x − tan x 3
limπ
= ×limπ
π
π
π x→
x→
3
3
× x − ÷
3
3
VËy giíi h¹n cÇn t×m lµ −
15
.
π
π
f ( x) − f ( )
3 = 3 ×f ′( π ) = − 15
.
π
π
3
π
x−
3
87.
Tính giới hạn sau
5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125
.
x 0
5x
lim
Xét hàm số:
f ( x) = 5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125 f ( x) =
5(2 x + 9)
2 x2 + 9 x + 1
3x 2 + 2
3 3 ( x3 + 2 x + 125) 2
thấy: f ( x) khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125 1
f ( x) f (0) 1
3371
.
lim
= ìlim
= ìf (0) =
x 0
5x
5 x 0
x0
5
750
Vậy giới hạn cần tìm là
3371
.
750
88.
Ta xét hai trờng hợp:
-Nếu n là số chẵn thì đặt n = 2m, m Ơ . Xét hàm số:
f ( x) = ( x + 1) 2 m ( x 1) 2 m f ( x) = 2m ì( x + 1) 2 m 1 ( x 1) 2 m 1 .
Ta thấy hàm số này khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
( x + 1)2 m ( x 1) 2 m
f ( x) f (0)
= lim
= f (0) = 4m .
x 0
x 0
x
x0
lim
Để giới hạn này bằng 0 thì 4m = 0 m = 0 n = 0 .
-Nếu n là số lẻ thì đặt n = 2m + 1, m Ơ . Xét hàm số:
f ( x) = ( x + 1) 2 m+1 + ( x 1) 2 m +1 f ( x) = (2m + 1) ì( x + 1) 2 m + ( x 1) 2 m .
Ta thấy hàm số này khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
( x + 1)2 m+1 ( x 1)2 m+1
f ( x) f (0)
= lim
= f (0) = 2(2m + 1) .
x 0
x 0
x
x0
lim
Ta
1
Để giới hạn này bằng 0 thì 2(2m + 1) = 0 m = , loại.
2
Vậy giá trị n thỏa mãn đề bài là n = 0 .
e1ln x ln x
89.
Tính giới hạn:
lim
.
x e
xe
e
e 1
Xét hàm số: f ( x) = e1ln x ln x = ln x f ( x) = 2 .
x
x
x
Ta thấy: f ( x) khả vi tại e và f (e) = 0 nên:
e1ln x ln x
f ( x ) f (e)
2
lim
= lim
= f (e) = .
x e
x
e
xe
xe
e
2
Vậy giới hạn cần tìm là .
e
cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8 x + 4
.
x 0
x cos5 x
Trớc hết, ta thấy rằng cos5 x 1 khi x 0 .
90.
Tính giới hạn: lim
Xét hàm số f ( x) = cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8 x + 4 thì dễ thấy hàm này
khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8 x + 4
f ( x) f (0)
= lim
= f (0) .
5
x 0
x 0
x cos x
x0
lim
Ta có:
f ( x) = 4 ìsin x ìcos 3 x +
1
1
1
+ 3 ìe x
ì x+4
ì3 x + 8
2
3
x +1
2 x+4
3 ( x + 8)
1
1
1
10
nên f (0) = 0 + + 3 ì2 ì2 = .
1
12
4
3
Vậy giới hạn cần tìm là
91.
10
.
3
Tính giới hạn:
cos x 1 cos 2 x 1 cos3 x 1
cos 2011 x 1
lim
ì
ì
ìL ì
ữ.
x 0
x
2x
3x
2011x
cos k x 1
Trớc hết, ta sẽ tính giới hạn dạng tổng quát: lim
.
x 0
kx
Ta xét hàm số: f ( x) = cos k x 1, k  f ( x) = k .sin x.cos k 1 x .
Dễ thấy hàm này khả vị tại 0 và f (0) = 0 nên:
cos k x 1 1
f ( x) f (0) f (0)
lim
= ìlim
=
= 0.
x 0
kx
k x 0
x0
k
cos x 1 cos 2 x 1 cos 3 x 1
cos 2011 x 1
ì
ì
ìL ì
Vậy giới hạn đã cho là lim
ữ= 0 .
x 0
x
2x
3x
2011x
