ĐỀ THI VÀO 10 THPT MÔN TOÁN TỈNH QUẢNG NGÃI 2011 2012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (88.33 KB, 4 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
KHÓA THI ngày 29-6-2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1.5 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 2 9 + 3 16
2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x2 – 20x + 96 = 0
x + y = 4023
b)
x − y = 1
Bài 2: (2.5điểm)
1) Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = x + 2
a) Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ toạ độ Oxy
b) Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của ( P ) và ( d )
2) Trong cùng một hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(2;4); B(-3;-1) và C(-2;1). Chứng minh 3 điểm A, B,
C không thẳng hàng.
x
2x − x
+
3) Rút gọn biểu thức: M =
với x > 0; x ≠ 1
x −1
x−x
Bài 3: (1.5điểm) Hai bến sông cách nhau 15 km. Thơì gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, tại
bến B nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi
nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.
Bài 4: (3.5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO
( C khác A và C khác O ). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại
D. Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M
cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh : BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh EM = EF
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh D, I, B thẳng hàng; từ đó suy ra góc
ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
2
Bài 5:(1.0 điểm) Cho phương trình ( ẩn x ): x − ( 2m + 3) x + m = 0 . Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của
2
2
phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất.
-------- HẾT ---------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
MÔN : TOÁN
Bài 1:
1) Thực hiện phép tính: 2 9 + 3 16 = 2 32 + 3 42 = 2. 3 + 3. 4 = 2.3 + 3.4 = 6 + 12 = 18
2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2 − 20 x + 96 = 0
∆ ' = 102 + 1.96 = 100 − 96 = 4 > 0;
∆' = 4 = 2
10 + 2
10 − 2
= 12 ; x2 =
=8
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =
1
1
Vậy tập nghiệm của pt là : S = { 12;8}
x + y = 4023
2 x = 4024
x = 2012
x = 2012
⇔
⇔
⇔
x − y = 1
x − y = 1
y = 2012 − 1 y = 2011
Bài 2: 1)
2
a) Vẽ ( P ) : y = x
b)
x
y
Bảng giá trị giữa x và y:
-2
-1
0
4
1
0
1
1
2
4
Vẽ ( d ) : y = x + 2
x = 0 ⇒ y = 2: A ( 0; 2 )
y = 0 ⇒ x = −2 : B ( −2;0 )
6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
2
2
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x = x + 2 ⇔ x − x − 2 = 0 ( 1)
Vì a − b + c = 0 nên (1) có hai nghiệm là x1 = −1; x2 = 2
* Với x1 = −1 ⇒ y1 = 1
* Với x2 = 2 ⇒ y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là: ( −1;1) và ( 2; 4 )
2) Phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b ( d )
4 = 2a + b
5a = 5
a = 1
⇔
⇔
Vì A ( 2; 4 ) và B ( −3; −1) thuộc (d) nên ta có hpt
−1 = −3a + b
4 = 2a + b
b = 2
Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = x + 2
Thay x = −2; y = 1 vào pt đường thẳng AB ta có: 1 = −2 + 2 ⇔ 1 = 0 (vô lí). Suy ra C ( −2;1) không
thuộc đường thẳng AB hay ba điểm A ( 2; 4 ) ; B ( −3; −1) ; C ( −2;1) không thẳng hàng.
x
3) M =
M =
x −1
x
x −1
+
+
2x − x
x−x
2x − x
x−x
=
(với x > 0; x ≠ 1 )
x
x −1
+
(
)=
x 2 x −1
(
x 1− x
)
x
x −1
−
2 x −1
Vậy M = x − 1 (với x > 0; x ≠ 1 )
1
Bài 3: Đổi 20 ph = h
3
Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), đk: x > 3
Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + 3 ( km / h )
Vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: x − 3 ( km / h )
x −1
=
x−2
x −1 (
=
x −1
)
x −1
x −1
2
= x −1
15
( h)
x+3
15
Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là:
( h)
x−3
Vì thời gian ca nô xuôi dòng, ngược dòng, kể ca thời gian nghỉ là 3 giờ. Do đó ta có ph:
15
15
1
+
+ = 3 ( 1)
x+3 x−3 3
Giải pt: MTC: 3 ( x + 3) ( x − 3)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là:
Qui đồng rồi khử mẫu pt (1) ta được: 45 ( x − 3) + 45 ( x + 3) + ( x − 3) ( x + 3) = 9 ( x − 3 ) ( x + 3 )
45 x − 135 + 45 x + 135 + x 2 − 9 = 9 x 2 − 81 ⇔ 8 x 2 − 90 x − 72 = 0
∆ ' = 452 + 8.72 = 2061 ⇒ ∆ ' = 2601 = 51
45 + 51
45 − 51
x1 =
= 12; x2 =
= 0, 75
8
8
Đối chiếu với điều kiện x>3 ta thấy chỉ có x = 12 thỏa mãn.
Vậy: Vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Bài 4:
Nữa đường tròn (O) đường kính AB
C cố định và C ∈ OA
M ∈ ( O ) ; ME là tiếp tuyến của (O)
GT
CD ⊥ OA
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆FDM
a) BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn
KL b) EM = EF
c) D, I, B thẳng hàng; từ đó suy ra góc ABI có số đo
không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
E
D
I
H
M
F
A
B
Chứng minh: a) Ta có: M ∈ ( O ) đường
·
kính AB (gt) suy ra: ·AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) hay FMB
= 900 . Mặt khác
·
·
FCB
= 900 (GT ) . Do đó ·AMB + FCB
= 1800 . Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
C
O
·
·
·
= EFM
b) Ta có: BCFM là tứ giác nội tiếp(cmt) ⇒ CBM
)
( 1) (cùng bù với CFM
·
·
= EMF
Mặt khác CBM
( 2 ) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ¼AM )
·
·
= EMF
⇒ ∆EFM cân tại E ⇒ EM = EF (đpcm)
( 1) & ( 2 ) ⇒ EFM
· IF
D
·
c) Gọị H là trung điểm của DF. Dễ thấy IH ⊥ DF và HID
=
( 3) .
2
· IF
D
·
» ) hay
Trong đường tròn ( I ) ta có: DMF
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn DF
=
2
· IF
D
·
DMA
=
( 4)
2
·
·
» )’
= DBA
Trong đường tròn ( O ) ta có: DMA
( 5 ) (góc nội tiếp cùng chắn DA
·
·
= DBA
( 3) ; ( 4 ) ; ( 5) ⇒ DIH
·
·
Dễ thấy CDB
= 900 − DBA
·
·
HDI
= 900 − DIH
·
·
= DBA
Mà DIK
( cmt )
·
·
·
·
Suy ra CDB
hay CDB
= CDI
⇒ D; I ; B thẳng hàng.
= HDI
»AD
»AD
Ta có: D; I; B thẳng hàng (cmt) ⇒ ·ABI = ·ABD = sd
. Vì C cố định nên D cố định ⇒ sd
2
2
không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
2
Bài 5: Cho phương trình ( ẩn x ) x − ( 2m + 3) x + m = 0 . Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương
2
2
trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất.
2
Phương trình x − ( 2m + 3) x + m = 0 ( 1) là phương trình bậc hai, có:
2
9
5
∆ = – ( 2m + 3) − 4.m = 4m 2 + 12m + 9 − 4m = 4m 2 + 8m + 9 = 4 m 2 + 2m + ÷ = 4 m 2 + 2m + 1 + ÷
4
4
.
5
2
2
∆ = 4 ( m + 1) + = 4 ( m + 1) + 5 > 0 với mọi m. Suy ra phương trình ( 1) luôn có hai nghiệm phân
4
biệt vói mọi m.
S = x1 + x2 = 2m + 3
Áp dụng hệ thức Vi et, ta được:
P = x1 .x2 = m
5
9
2
2
x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( 2m + 3) − 2m = 4m 2 + 12m + 9 − 2m = 4m 2 + 10m + 9 = 4 m 2 + m + ÷
2
4
2
2
5 25 11
5 11
5 11 11
2
= 4 m + 2.m. +
+ ÷ = 4 m + ÷ + = 4 m + ÷ + ≥
4 16 16
4 16
4
4
4
5
5
Dấu “=” xảy ra khi m + = 0 ⇔ m = −
4
4
5
11
m
=
−
2
2
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là x1 + x2 là 4 khi
