Những bài toán hay và khó trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (33.57 KB, 1 trang )
1. Cho bốn số a, b, c, d nguyên không âm thoả mãn điều kiện:
a 2 + 2b 2 + 3c 2 + 4d 2 = 36
2
2
2
2a + b − 2d = 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2
3 34 45
2018
+
+
+ ... + 2017
. Tính [ S]
2
3
4
2017
(trong đó kí hiệu [ x ] là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn
hoặc bằng x)
Hướng dẫn
Bài 1
a 2 + 2b 2 + 3c 2 + 4d 2 = 36
⇒ 3 ( a 2 + b 2 + c2 + d 2 ) = 42 + d 2 ≥ 42
2
2
2
2a + b − 2d = 6
2. Cho tổng 2017 số hạng: S = 2 +
a 2 + 2b 2 + 3c 2 + 4d 2 = 36
a = 1
2
2
2
2a + b − 2 d = 6
b = 2
⇔
Mi(Q)=14 ⇔ 2 2 2
2
a + b + c + d = 14
c = 3
d 2 = 0
d = 0
Bài 2
Xét tổng quát
Mặt khác
n
n
n +1 n
1
= 1 + > 1 suy ra S>2018
n
n
n + 1 n (n + 1).n n −1 n (n + 1).n n −1
=
=
n
nn
n
Áp dụng BĐT CôSi cho n số 1 số n+1 và n-1 số n ta có
(n + 1).n n −1 (n + 1) + (n + n + ...n) n + 1 + ( n − 1).n n 2 + 1
1
≤
=
= 2 = 1+ 2
2
n
n.n
n
n
n
n +1
1
< 1 + 2 Vậy
Dấu “=” không sảy ra suy ra ⇒ n
n
n
1
1 1
S < 2 + (1 + 1 + ... + 1) + 2 + 2 + ... +
÷ < 2019
2017 2
2 3
1 1
1
1
1
1
1
<
+
+ ... +
= 1−
<1
Vì 2 + 2 + ... +
2
2 3
2017 1.2 2.3
2016.2017
2017
2018 < S < 2019 ⇒ [ S ] = 2018
n
