De HSG toan 8 cuc hay co dap an chi tiet
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.53 KB, 6 trang )
PHONG GD&ĐT SẦM SƠN
Ma trận Đề thi học sinh giỏi toán 8 (Đề 1)
TRƯỜNG THCS BẮC SƠN
I)
Mục tiêu:
Đề kiểm tra phù hợp với trình độ học sinh. Phân loại được đối tượng học sinh. Phát
hiện được học sinh có kiến thức, năng lực để chọn đội tuyển chuẩn bị cho kỳ thi
cấp tỉnh.
II)
MA TRẬN
Chủ đề
Cấp độ nhận thức
điểm
Nhận
Thông
Vận dụng
biết
hiểu
cấp độ
cấp độ cao
thấp
I )Biến đổi
đồng nhất
biểu thức
hữu tỉ
Số câu
Điểm
II)Chứng
minh chia
hết
Số câu
Điểm
III)Đa thức
chia hết
Số câu
Điểm
IV)Số lũy
thừa
Số câu
Điểm
V)Phương
trinh
bất phương
trình
Số câu
Điểm
VI)Cực trị
đại số
Số câu
Kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử,bằng phương
pháp đăt ẩn phụ ; tính giá trị
biểu thức có điều kiện ràng
buộc của các biến
2
4
K ỹ năng vận dụng các tính
chất chia hết; các phương
pháp chứng minh chia hết
1
1,5
Kỹ năng vận dụng các tính
chất chia hết của đa thức; kỹ
năng phân tích thành nhân tử
1
2
Ước của một số nguyên tố;
kỹ năng phân tích thành nhân
tử
1
2
Kỹ năng giải phương trình
đưa về phương trình bậc nhất
1 ẩn; giải bất phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối
2
3
Kỹ năng vân dụng bất đẳng
thức phụ và đặt ẩn phụ trong
bài toán cực trị
1
2
4
1
1,5
1
2
1
2
2
3
1
Điểm
chứng
minh tính
chất các
hình
Số câu
Điểm
t ổng
1,5
Kỹ năng vận dụng định lý Ta
let; tính chất đường phân
giác; tam giác đồng dạng; kỹ
năng biến đổi tỉ lệ thức
3
6
1.5
3
6
11
20
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (ĐỀ 1)
Thời gian: 150 phút
Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x ∈ Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
1 1 1
+ + = 3
x y z
1
1
1
Tính giá trị của biểu thức P = 2 + 2 + 2
x
y
z
Cho x,y,z ≠ 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, 3x + 2 < 5x -4
b,
x + 43 x + 46 x + 49 x + 52
+
+
=
57
54
51
48
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n ∈ N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
x
y
z
+
+
y+z z+x x+ y
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia
HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn
BE theo m = AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và
BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB
HD
=
.
BC AH + HC
Bài 6: (2 đ)
Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ
có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
PHONG GD&ĐT SẦM SƠN
TRƯỜNG THCS BẮC
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8ĐỀ
1
Câu1(4đ)
a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1
⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +
(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1
⇒ A chia hết cho x4 + x2 + 1
Cau 2 :
(2đ
1
1
1
( 3 )2 = p + 2
Câu 3:
(3đ)
1
1
1
1
1
z+ y+x
vậyP+2=3
xyz
1đ
1đ
0.75đ
0,75đ
suy ra P = 1
0.5đ
giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đúng được x> 3
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung
1đ
0.5đ
1đ
(x+100)(
Câu 4:
3đ
1
2
Có ( x + y + z ) = 2 + 2 + 2 + 2( xy + xz + yz )
x
y
z
.1đ
1đ
1
1
1
1
+
− −
)=0
57 54 51 48
⇒ S = { − 100}
0.5đ
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên
liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia
hết cho 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z =
−a+b+c
a−b+c
a+b−c
;y=
; z=
2
2
2
−a+b+c a−b+c a+b−c
+
+
P=
=
2a
2b
2c
0.5đ
0,5đ
0,5đ
a+b+c
2
⇒ x=
0.5đ
1
b c
a c
a b
( −1 + + − 1 + + − 1 + + ) =
2
a a
b b
c c
1
b a
c a
b c
3
(−3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥
2
a b
a c
c b
2
3
Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z
2
Câu 5:
(2đ)
1đ
+ Hai tam giác
ADC và BEC có:
Góc C chung.
0,25 đ
CD CA
0,25 đ
=
(Hai tam
CE
CB
giác vuông CDE và
CAB đồng dạng)
b)
2đ
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra: ∠ BEC= ∠ADC = 135 0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H
theo giả thiết).
Nên ∠AEB = 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A.
Suy ra: BE = AB 2 = m 2
0,25 đ
0,5 đ
BM 1 BE 1 AD
= ×
= ×
(do ∆BEC ~ ∆ADC )
BC 2 BC 2 AC
mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
= ×
= ×
=
=
nên
(do ABH
BC 2 AC 2 AC
AB 2 BE
0,5đ
Ta có:
dạng
CBA)
Do đó
BHM đồng dạng
C)
2đ
Đồng 1đ
BEC (c.g.c)
0,5đ
suy ra: ∠BHM = ∠BEC = 135 0 ⇒ ∠AHM = 45 0
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác
góc BAC.
Suyra:
GB AB
=
,
GC AC
vì ∆ABC ~ ∆DEC nên
Do đó:
Câu 6
0,25 đ
0,5 đ
AB ED AH HD
=
=
=
AC DC HC HC
(DE//AH)
GB HD
GB
HD
GB
HD
=
⇒
=
⇒
=
GC HC
GB + GC HD + HC
BC AH + HC
1đ
1đ
Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)
1đ
Vì p là số nguyên tố nên:
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)
0,5đ
2
Hoặc: a +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1
Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)
chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.
Lưuý: .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa
Người ra đáp án: Nguyễn Văn Bằng
0,5đ
