BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Nguyễn Thị Trà (chủ biên)
Phạm Thanh Tâm

TẬP BÀI GIẢNG

HÌNH HỌC XẠ ẢNH
(Lưu hành nội bộ)

HÀ NỘI - NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Nguyễn Thị Trà (chủ biên)
Phạm Thanh Tâm

TẬP BÀI GIẢNG

HÌNH HỌC XẠ ẢNH
(Tài liệu dùng cho sinh viên hệ sư phạm Toán trường ĐHSP Hà Nội 2)

HÀ NỘI - NĂM 2016
II

MỤC LỤC

Contents
MỤC LỤC .................................................................................................................................iii
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH .................................................................................... 7
1.1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH VÀ CÁC PHẲNG ................................................................ 7
1.1.1. Các định nghĩa .......................................................................................................... 7
1.1.2. Phẳng trong không gian xạ ảnh ................................................................................ 8
1.1.3. Hệ điểm độc lập xạ ảnh ............................................................................................ 8
1.1.4. Định lý Desargue thứ nhất ...................................................................................... 10
Bài tập áp dụng. ................................................................................................................ 12
1.2. CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH ........................................................ 14
1.2.1. Mô hình vectơ ......................................................................................................... 14
1.2.2. Mô hình bó ............................................................................................................. 14
1.2.3. Mô hình aphin......................................................................................................... 15
1.2.4. Mô hình xây dựng từ một trường. .......................................................................... 16
Bài tập áp dụng. ................................................................................................................ 16
1.3. TỌA ĐỘ XẠ ẢNH ........................................................................................................ 18
1.3.1. Mục tiêu xạ ảnh ...................................................................................................... 18
1.3.2. Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh .............................................................. 19
1.3.3. Đổi mục tiêu xạ ảnh ................................................................................................ 21
1.3.4. Cách xác định ma trận chuyển ................................................................................ 22
Bài tập áp dụng. ................................................................................................................ 24

m  PHẲNG ......................................................................... 25
1.4.1. Phương trình tham số của m  phẳng .................................................................... 25
1.4.2. Phương trình tổng quát của m  phẳng .................................................................. 26

1.4. PHƯƠNG TRÌNH CỦA


1.4.3. Tọa độ của siêu phẳng ............................................................................................ 28
1.4.4. Hệ siêu phẳng độc lập............................................................................................. 29
Bài tập áp dụng. ................................................................................................................ 30
1.5. TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG ........................................................... 33
1.5.1. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng ........................................................................ 33
1.5.2. Tính chất tỉ số kép .................................................................................................. 34
1.5.3. Tỷ số kép tính theo tọa độ xạ ảnh ........................................................................... 35
1.5.4. Hàng điểm điều hòa ................................................................................................ 37
1.5.5. Hình bốn đỉnh toàn phần ........................................................................................ 37
1.5.6. Bài tập áp dụng ....................................................................................................... 40
1.6. TỶ SỐ KÉP CỦA CHÙM BỐN SIÊU PHẲNG........................................................... 42
III


1.6.1. Chùm siêu phẳng .................................................................................................... 42
1.6.2. Tỉ số kép của bốn siêu phẳng thuộc chùm .............................................................. 43
1.6.3. Chùm bốn siêu phẳng điều hòa .............................................................................. 45
1.6.4. Hình bốn cạnh toàn phần ........................................................................................ 46
1.6.5. Bài tập áp dụng. ...................................................................................................... 47
1.7. NGUYÊN TẮC ĐỐI NGẪU ......................................................................................... 49
1.7.1. Phép đối xạ trong P n ............................................................................................. 49
1.7.2. Các tính chất của phép đối xạ ................................................................................. 49
1.7.3. Nguyên tắc đối ngẫu ............................................................................................... 50
1.7.4. Khái niệm và định lý đối ngẫu. .............................................................................. 52
1.7.5. Bài tập áp dụng. ...................................................................................................... 53
1.8. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN ....................................................... 54
1.8.1. Xây dựng mô hình .................................................................................................. 54
1.8.2. Mục tiêu afin trong mô hình ................................................................................... 55
1.8.3. Các phẳng trong mô hình ....................................................................................... 56

1.8.4. Hai phẳng song song trong mô hình ....................................................................... 57
1.8.5. Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn .................................... 59
1.8.6. Áp dụng .................................................................................................................. 61
1.8.7. Bài tập áp dụng ....................................................................................................... 63
2.1. ÁNH XẠ XẠ ẢNH ....................................................................................................... 64
2.1.1. Các định nghĩa ........................................................................................................ 64
2.1.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh ................................................................................... 64
2.1.3. Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh ............................................................. 66
2.1.4. Đẳng cấu xạ ảnh và Hình học xạ ảnh ..................................................................... 66
2.1.5. Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh ............................................................. 68
2.1.6. Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin ........................................................ 69
2.1.7. Câu hỏi và bài tập áp dụng. .................................................................................... 71
n

2.2. CÁC PHÉP THẤU XẠ TRONG P ........................................................................... 73
2.2.1. Các định nghĩa ........................................................................................................ 73
2.2.2. Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ .......................................................................... 73
2.2.3. Tính chất của phép thấu xạ ..................................................................................... 74
2.2.4. Phép thấu xạ đơn .................................................................................................... 75
2

3

2.2.5. Các phép thấu xạ trong P và P ......................................................................... 77
2.2.6. Các phép biến đổi afin sinh ra bởi các phép thấu xạ. ............................................. 79
2.2.7. Bài tập áp dụng. ...................................................................................................... 80
2.3. CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ........................................ 82
2.3.1. Định lí thứ nhất. ...................................................................................................... 82
2.3.2. Định lí thứ 2. ........................................................................................................... 83
IV



2.3.3. Định lí thứ 3. ........................................................................................................... 84
Chương 3. SIÊU MẶT BẬC HAI XẠ ẢNH ............................................................................ 85
3.1. SIÊU MẶT BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH CỦA CHÚNG ............................. 85
3.1.1. Định nghĩa và kí hiệu.............................................................................................. 85
3.1.2. Giao của siêu mặt bậc hai và

m  phẳng ................................................................ 87

3.1.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực ...................... 87
3.1.4. Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực ...................................... 88
3.1.5. Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong P  R  và P  R  ...................... 89
2

2

3.1.6. Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin ............................... 90
3.1.7. Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực ................................. 91
3.1.8. Bài tập áp dụng. ...................................................................................................... 93
3.2. ĐIỂM LIÊN HỢP, PHẲNG TIẾP XÚC VÀ SIÊU DIỆN LỚP HAI ........................... 95
3.2.1. Điểm liên hợp ......................................................................................................... 95
3.2.2. Tính chất. ................................................................................................................ 95
3.2.3. Siêu phẳng đối cực và điểm kì dị ........................................................................... 98
3.2.4. Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai ............................................................... 99
3.2.5. Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến ............................... 99
3.2.6. Siêu diện lớp hai ................................................................................................... 101
3.2.7. Đối ngẫu ............................................................................................................... 102
3.2.8. Định lí Mác – Lôranh ........................................................................................... 103
3.2.9. Một số khái niệm aphin ........................................................................................ 104

3.2.9. Bài tập áp dụng. .................................................................................................... 104
3.3. ÁNH XẠ XẠ ẢNH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC CHÙM ĐƯỜNG
2
THẲNG TRONG P ......................................................................................................... 108
3.3.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm ....................................................................... 108
3.3.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng .......................................................... 109
3.3.3. Áp dụng ................................................................................................................ 111
3.3.4. Định lí Steniner..................................................................................................... 112
3.3.5. Cách xác định một đường ôvan trong P 2  ¡

 ..................................................... 115

3.3.6. Bài tập áp dụng. .................................................................................................... 116
3.4. ĐỊNH LÍ PASCAL VÀ ĐỊNH LÍ BRIĂNGSÔNG .................................................... 118
3.4.1. Hình sáu đỉnh và định lí Pascal ............................................................................ 118
3.4.2. Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal .......................................................... 119
3.4.3. Định lí Briăngsông ............................................................................................... 121
3.4.4. Phép biến đổi xạ ảnh của một đường ôvan ........................................................... 123
3.4.5. Định lí Frêgiê ........................................................................................................ 125
3.4.6. Đối ngẫu của định lí Frêgiê .................................................................................. 125
V


3.4.7. Bài tập áp dụng. .................................................................................................... 126
3.5. BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ĐỐI HỢP CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ................................... 129
ĐỊNH LÍ DESARGUE THỨ HAI ..................................................................................... 129
3.5.1. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng .................................................... 129
3.5.2. Điểm bất động của phép đối hợp .......................................................................... 129
3.5.3. Xác định một phép đối hợp .................................................................................. 130
3.5.4. Chùm đường bậc hai và định lí Desargue thứ hai ............................................... 131

3.5.5. Đối ngẫu của định lí Desargue thứ hai ................................................................ 132
3.5.6. Bài tập áp dụng. .................................................................................................... 132
3.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT ................................................... 135
3.6.1. Xây dựng mô hình ................................................................................................ 135
3.6.2. Cái tuyệt đối của không gian Ơclit ....................................................................... 135
3.6.3. Một số kết quả của hình học Ơclit trong mô hình ................................................ 137
2

3.6.4. Phương chính của siêu mặt bậc hai trong E ...................................................... 141
2

3.6.5. Tiêu điểm của đường cônic trong E .................................................................. 142
3.6.6. Công thức Laghe (Laguerre) ................................................................................ 144
3.6.7. Bài tập áp dụng. .................................................................................................... 145
Tài liệu tham khảo .................................................................................................................. 147

VI


LỜI NÓI ĐẦU
Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh biên soạn lần này, nằm trong khuôn khổ
của cuộc đổi mới về chương trình đào tạo theo hình thức tiếp cận năng lực đầu
ra của người học. Nó cũng không nằm ngoài mục đích nhằm làm một bộ các bài
giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương
trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phải đổi mới những
nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng
như phương pháp học tập của sinh viên. Mặt khác, qua một thời gian dài
thực hiện chương trình, sử dụng sách giáo trình cũ và giảng dạy tại trường
ĐHSP Hà Nội 2, đến nay chúng tôi đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm
của hệ thống tài liệu học tập của sinh viên, sự phù hợp của nó với trình độ đầu

vào của sinh viên các trường đại học sư phạm và đặc biệt chúng tôi đã có cảm
nhận về những khó khan đối với sinh viên khi học tập môn Hình học xạ ảnh. Do
đó tập bài giảng được biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và
khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ, cũng như nó sẽ khá phù hợp
cho sinh viên sử dụng. Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng
viên các trường ĐHSP Hà Nội 2. Tập bài giảng cũng có thể được dùng cho các
trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học môn học
này (nếu có sự đồng ý của trường ĐHSP Hà Nội 2).
Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung của tập bài giảng này dựa trên sự
thay đổi về hình thức đào tạo của trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu ra và
trình độ đầu vào của sinh viên trường ĐHSP Hà Nội 2 hiện nay và những năm
gần đây. Ngoài ra, nhóm tác giả cũng chú ý đến tính đến vai trò của môn học đối
với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v.. đáp
ứng nhu cầu học tập liên giữa các ngành, và tạo điều kiện cho người học có thể
tự học và học lên cao hơn. Cụ thể, tập bài giảng này phải trang bị được cho
người giáo viên toán tương lai ở trường THPT những kiến thức cần thiết, đầy đủ
và vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt những phần liên quan trong
chương trình toán THPT. Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những
nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh
viên. Mặt khác, tập bài giảng này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp
người đọc có thể tự học và học được những môn khoa học khác như đã nói trên;
đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn
nữa trình độ của mình. Vì thế, nội dung tập bài giảng chứa đựng những điều rất
cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi
hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu.
Chúng ta trong cộng đồng của thế giới, đang sống cùng với hình học Euclid
và cùng với một thực tế rằng hình học Euclid có thể mô tả thế giới xung quanh
3



của chúng ta khá tốt. Trong hình học Euclid, kích thước của những vật có độ
dài, hai đường thẳng cắt nhau xác định góc giữa chúng, hai đường thẳng song
song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Hơn nữa các
tính chất này là không thay đổi khi chúng ta thực hiện một phép biến đổi Euclid
(chẳng hạn như phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay, …). Tuy nhiên, khi
chúng ta xem xét quá trình xử lý của máy ảnh của một camera, chúng trở nên
đơn giản để thấy rằng hình học Euclid thực sự không còn phù hợp nữa: độ dài và
góc là không được bảo toàn, hai đường thẳng song song có thể cắt nhau.
Trên thực tế hình học Euclid là một phần nhỏ của hình học xạ ảnh, giữa
chúng còn có hai loại hình học khác là hình học aphin và hình học đồng dạng.
Các loại hình học này có mối quan hệ với nhau, để xem xét mối quan hệ giữa
các loại hình học này người ta xem xét đến các mô hình: mô hình aphin của
không gian xạ ảnh, mô hình xạ ảnh của không gian aphin, mô hình xạ ảnh của
không gian Euclid, …
Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh này gồm ba chương:
Chương I. Không gian xạ ảnh
Trong chương này, chúng tôi trình bày về các nội dung: Không gian xạ ảnh,
các phẳng trong không gian xạ ảnh, các mô hình của không gian xạ ảnh, tọa độ
xạ ảnh, phương trình của các phẳng trong không gian xạ ảnh, tỉ số kép của bón
điểm thẳng hang và chum bốn đường thẳng đồng qui, nguyên tắc đối ngẫu và
mô hình xạ ảnh của không gian aphin.
Chương II. Ánh xạ xạ ảnh
Trog chương này, chúng tôi trình bày về các nội dung: Ánh xạ xạ ảnh và các
tính chất, các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh và các định lý cơ bản của
ánh xạ xạ ảnh.
Chương III. Siêu mặt bậc hai xạ ảnh
Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung: siêu mặt bậc hai xạ
ảnh, tính liên hợp và đối cực trong không gian xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh giữa các
đường thẳng và các chùm đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh, định lý Pascal
và định lý Briachon, biến đổi xạ ảnh đối hợp và định lý Desargues thứ hai, mô

hình xạ ảnh của không gian Euclid.
Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học
tập của chương ấy. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội
dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại. Phần bài tập có một số
lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách
mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ
4


hội rèn luyện kĩ năng. Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên
cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể. Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải
càng nhiều bài tập càng tốt. Để có thể sử dụng tập bài giảng này, người học cần
được bổ sung kiến thức về số phức, nghiệm phức của một đa thức khi mà
chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm về
các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với
cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT.
Giáo trình này được học sau học phần Đại số tuyến tính 1, Đại số tuyến tính
2 và Hình học tuyến tính khi mà người học được trang bị những kiến thức cơ
bản về Đại số tuyến tính và hình học trực quan. Khi giảng viên sử dựng tập bài
giảng này để giảng dạy giá, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của
giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v... Một điều mà
các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì tập bài giảng còn được
sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học,
có nhiều ví dụ. Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những
điều cần thiết nhất để có đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những
phần còn lại dành cho sinh viên tự học. Cũng như đã nói trên, Hình học nói
chung và Hình học xạ ảnh nói riêng có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế
ở THPT, do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán
và áp dụng vào giải các bài tập ở THPT. Muốn thế việc thực hành của sinh viên
cần được coi trọng và chúng ta cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để

đảm bảo giữa việc học lý thuyết ở lớp và thời gian cho việc giải bài tập của sinh
viên.
Đối với người học, khi học theo tập bài giảng này này luôn luôn có giấy và
bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự
mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận;
vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho
trong sách. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng
cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy. Cũng cần
nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ
nhất nhưng cũng rất hiện đại và hình học xạ ảnh được xây dựng dựa trên nền là
Đại số tuyến tính. Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản
nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số
thực). Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới.
Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng tạp bài giảng này sẽ đáp ứng được
những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của người dạy và bạn đọc.
Tuy nhiên, tập bài giảng cũng sẽ khó tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết. Vì thế,
các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những
5


sai sót làm cho tập bài giảng này ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích
hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
NHÓM TÁC GIẢ1

1

Phạm Thanh Tâm – Nguyễn Thị Trà

6



CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH
Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ xem xét và giới thiệu khái niệm, tính
chất và các ví dụ minh họa cho không gian xạ ảnh và các định nghĩa cơ sở quan
trọng khác trong không gian xạ ảnh.

1.1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH VÀ CÁC PHẲNG
1.1.1. Các định nghĩa
Cho V n1 là không gian vectơ n  1 chiều trên trường K , với n  1 .
Ta kí hiệu:





r r r
V n1  : u 0  u V n1 .
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho P là tập hợp khác rỗng bất kì. Một không gian xạ

ảnh n chiều trên trường K là bộ ba  P, ,V n1  , trong đó

 : V n1   P
là một song ánh.
Ta cũng gọi  P, ,V n1  là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với K  không
gian vectơ V n1 bởi song ánh  .
Kí hiệu:
P hoặc P n .

Mỗi phần tử của P n được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh P n .

r r r
r
r
Với mỗi u  0 , u V n1 thì   u   U  P n , ta nói vectơ u là vectơ đại
diện của điểm U .
r
r
r
Nhận xét 1.1.1.2. Hai vectơ u và u (khác 0 ) cùng đại diện cho một điểm,
r
r
tức là   u     u   U khi và chỉ khi:

r
r
u  ku , k  K \ 0 .

Tương tự như trong không gian aphin, chúng ta cũng sẽ đưa vào khái niệm
của các phẳng xạ ảnh, một đối tượng trung tâm của khong gian xạ ảnh.

7


1.1.2. Phẳng trong không gian xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.2.1. Cho không gian xạ ảnh P n và W là không gian vectơ
con m  1 chiều của V n1  m  0  .
Khi đó tập hợp:




r r

   W     u  u  0, u W
r

r



được gọi là cái phẳng m chiều ( m  phẳng) của P n .
Ví dụ 1.1.2.2. 1) Mỗi điểm là 0  phẳng. Thật vậy, với mỗi điểm ta có
r
 u   M .
r
Với W  u là không gian véc tơ con 1 chiều của V thì dimW  1. Do đó

  M  là 0  phẳng.
2) Mỗi 1-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1
chiều của không gian véc tơ 2 chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là đường
thẳng.
3) Mỗi 2-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1
chiều của không gian véc tơ 3 chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là mặt
phẳng.
4) Mỗi (n-1)-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ
con 1 chiều của không gian véc tơ n chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là
siêu phẳng.
Nhận xét 1.1.2.3. Mỗi m  phẳng    W  là không gian xạ ảnh m chiều
liên kết với không gian vectơ W bởi song ánh :

  


W  :

W    .

Việc chứng minh khẳng định của nhận xét này chỉ đơn giản là việc dùng
định nghĩa và kiểm tra tính chất song ánh nên chúng tôi dành cho bạn đọc xem
như là một bài tập thực hành.

1.1.3. Hệ điểm độc lập xạ ảnh
Cho không gian xạ ảnh P n là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với K 
không gian vectơ V n1 bởi song ánh  .

8


Định nghĩa 1.1.3.1. Ta gọi hệ gồm r điểm M 1 , M 2 ,..., M r  r  1 của không
r r
r
gian xạ ảnh P n là hệ độc lập xạ ảnh nếu hệ gồm r vectơ m1, m2 ,..., mr  tương
ứng đại diện cho các điểm là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong V n1 .
Một hệ các điểm trong không gian xạ ảnh không độc lập xạ ảnh sẽ được gọi
là hệ điểm phụ thuộc xạ ảnh.
n
Ví dụ 1.1.3.2. Hệ gồm hai điểm phân biệt  A, B trong không gian P luôn

là hệ độc lập.
Thật vậy, với hai điểm A, B bất kì trong không gian xạ ảnh ta có:
r r
r r

A  B  k  0, ku  v  u , v
độc lập tuyến tính.
Từ đây dễ dàng có nhận xét sau:
1) Hệ chỉ gồm 1 điểm luôn luôn là hệ điểm độc lập xạ ảnh.
2) Hệ gồm 2 điểm độc lập xạ ảnh  hai điểm đó phân biệt.
3) Hệ gồm 3 điểm độc lập xạ ảnh  ba điểm đó không thẳng hàng.
Tổng quát hơn những nhận xét ở trên, dùng lý luận của không gian véc tơ
chúng ta sẽ có một đặc trưng cho hệ các điểm bất kì là độc lập xạ ảnh bởi kết
quả của định lý sau :
Định lí 1.1.3.3. Hệ r điểm trong không gian xạ ảnh ( r  0 ) là độc lập xạ ảnh
khi và chỉ khi chúng không tồn tại một  r  2  phẳng xạ ảnh nào mà có thể
chứa được r điểm đó.
Chứng minh
Hệ M 1 , M 2 ,..., M r là hệ độc lập xạ ảnh của P n khi và chỉ khi hệ các vectơ
r r
r
r r
r
đại diện m1 , m2 ,..., mr độc lập tuyến tính. Như vậy m1 , m2 ,..., mr không cùng
thuộc một không gian vectơ con  r  1 chiều, hay nói cách khác rằng hệ các
điểm M 1 , M 2 ,..., M r không cùng nằm trên một  r  2  phẳng xạ ảnh.
Trong hình học aphin chúng ta có một kết quả bảo rằng: Qua r điểm độc lập
aphin bất kì luôn tồn tại duy nhất một (r-1)-phẳng aphin chứa các điểm đó. Một
kết quả tương tự cho các điểm độc lập xạ ảnh trong hình học xạ ảnh được phát
biểu thành định lý sau đây :

9


Định lí 1.1.3.4. Có duy nhất một  r  1  phẳng đi qua hệ r điểm độc lập xạ

ảnh cho trước.
Chứng minh
r r
r
Gọi m1 , m2 ,..., mr lần lượt là các vectơ đại diện của hệ r điểm độc lập:
M 1 , M 2 ,..., M r .

r r
r
Khi đó hệ m1, m2 ,..., mr  độc lập tuyến tính. Do đó có duy nhất
r r
r
W  m1, m2 ,..., mr là không gian vectơ con r chiều chứa:
M i , i  1, r .

Vì vậy có duy nhất

 r  1  phẳng    W 

đi qua M 1 , M 2 ,..., M r .

Kí hiệu. Chúng ta kí hiệu M1, M 2 ,..., M r là  r  1  phẳng đi qua r điểm
độc lập M 1 , M 2 ,..., M r .
Định lý tiếp sau đây cho chúng ta một công cụ đắc lực khi ứng dụng hình
học xạ ảnh vào giải quyết một số bài toán về thẳng hàng hoặc đồng quy.

1.1.4. Định lý Desargue thứ nhất
Định lí 1.1.4.1. Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C , A, B, C
trong đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau tương
đương:

a) Ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy.
b) Giao điểm của các cặp đường thẳng AB và AB ; BC và BC ; CA và CA
là ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh
a  b) Giả sử AA  BB  CC  S .
r r r r r r r
Gọi a, b , c , a, b, c, s lần lượt là các vectơ đại diện của các điểm

A, B, C,A' ,B' ,C' , S . Vì S  AA nên:
r
r
r
s   a   a .

10


S

A
B

C'
R
Q

P

C
B'


A'

Do vectơ đại diện có thể sai khác thừa số khác 0 nên ta có thể chọn:
r r r
s  a  a .
Tương tự:
r r r r r r
s  b  b , s  c  c .

Do đó:
r r r r r r
a  a  b  b  c  c .

Đặt:
r r r r r
p  a  b  b  a .

r
Khi đó p là vectơ đại diện của điểm:

P  AB  AB
r
r r r r r
Tương tự, q  b  c  c  b thì q là vectơ đại diện của điểm Q  BC  BC 
.
r r r r r
r  a  c  c  a

r

thì r là vectơ đại diện của R  AC  AC .
r r r r
Do p  q  r  0 nên 3 điểm P, Q, R thẳng hàng.
b  a) Giả sử ba điểm

AB  AB  P , BC  BC   Q , CA  CA  R
và P, Q, R thẳng hàng.
11


Xét 6 điểm A, A, R, B, B, Q trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng cùng
với ba đường thẳng AA, BB, QR đồng quy tại P . Theo chứng minh trên, các
giao điểm
S  AA  BB , C  AR  BQ , C   AR  BQ

thẳng hàng. Vậy 3 đường thẳng AA, BB, CC đồng quy.

Bài tập áp dụng.
Bài 1.1.1.
Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh P 2 :
a. Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng.
b. Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chung.
Bài 1.1.2.
Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh P 3 :
a. Có những cặp đường thẳng không có điểm chung (ta gọi chúng là chéo
nhau).
b. Một đường thẳng và một mặt phẳng luôn luôn có điểm chung.
Bài 1.1.3.
Chứng minh các mệnh đề sau đây trong không gian P n :
a. Giao (theo nghĩa tập hợp) của hai phẳng nếu không rỗng là phẳng nào đó.

b. p- phẳng và (n-p)–phẳng luôn luôn có điểm chung.
c. Giao của một siêu phẳng và một m-phẳng không nằm trên siêu phẳng đó
là một (m-1)-phẳng.
Bài 1.1.4.
Cho U, V là các phẳng trong P n . Ta gọi cái phẳng bé nhất chứa U và V là
tổng của U và V, và kí hiệu là U  V . Chứng minh rằng:
a. U  V là giao của tất cả các phẳng chứa cả U và V.
b. Dim U  V   dimU  dimV  dim U  V  , nếu U V  
và:
dim U  V   dimU  dimV  1, nếu U  V  

.

Bài 1.1.5.
Trong m-phẳng, hệ điểm độc lập có thể có nhiều nhất là bao nhiêu điểm?
Bài 1.1.6.
Tổng của r điểm (mỗi điểm xem là một 0-phẳng) là cái phẳng có số chiều
lớn nhất là bao nhiêu? Số chiều bé nhất là bao nhiêu? Khi nào chúng có thể đạt
được các trường hợp tương ứng?
12


Bài 1.1.7.
Hệ k + 1 điểm (k ≥ 2) của P n gọi là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát nếu
hệ đó không độc lập, nhưng mọi hệ con thực sự của nó đều độc lập.
Giả sử S0 , S1 ,K , Sk là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát.
Chứng minh rằng nếu 1  p  k  2 thì giao của
S0 , S1 ,K , S p với S p1 , S p 2 ,K , Sk
là một điểm P, và hệ S p 1 , S p  2 ,K , Sk , P là hệ phụ thuộc ở vị trí tổng quát.
Bài 1.1.8.

Trong P n cho hệ điểm độc lập S0 , S1 ,K , Sk . Chứng minh rằng, phẳng
S0 , S1 ,K , S p

và phẳng
S p1 , S p 2 ,K , Sk

không có điểm chung.
Bài 1.1.9.
Trong P 2 cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng. Trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q
sao cho chúng đều không trùng với bốn điểm đã cho.
Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường
thẳng MQ, BD, NP cũng đồng quy và ngược lại.

13


1.2. CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH
Các khái niệm mở đầu cơ bản về không gian xạ ảnh chúng ta đã biết trong
tiết trước. Tiết này để giúp dễ hiểu hơn ta xem xét một số mô hình không gian
xạ ảnh liên kết với các không gian véctơ quen thuộc.
1.2.1. Mô hình vectơ
Mô hình 1.2.1.1. Cho V n1 là K  không gian vectơ bất kì và

  Id V


n1





: V n1   V n1 

là song ánh.





Khi đó, theo định nghĩa V n1  ,V n1, là không gian xạ ảnh có số chiều n
trên trường K liên kết với không gian véc tơ V n1 .
Trong mô hình này ta có:
+ Mỗi điểm của mô hình vectơ này là một không gian vectơ con 1 chiều của
không gian véc tơ V n1 .
+ Mỗi m  phẳng là tập hợp các không gian vectơ 1 chiều thuộc một không
gian vectơ con m  1 chiều của không gian véc tơ V n1 .

1.2.2. Mô hình bó
Mô hình 1.2.2.1. Giả sử An1 là không gian aphin n  1 chiều và O  An1 .
Gọi B là tập các đường thẳng đi qua O và được gọi là bó đường thẳng tâm O .
Xét ánh xạ:
r

 : V n1   B , x a

 x   d ,
r

r

trong đó d là đường thẳng đi qua O có vectơ chỉ phương x .
Khi đó,  B,V n1 ,  là không gian xạ ảnh.
Trong mô hình này ta có:
+ Mỗi điểm xạ ảnh là một đường thẳng của An1 đi qua O .
+ Mỗi m  phẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong cái
phẳng m  1 chiều của An1 .

14


1.2.3. Mô hình aphin
Mô hình 1.2.3.1. Xét siêu phẳng An của không gian aphin An1 có
phương là không gian vectơ con n chiều V n của V n1 .
Chọn một điểm O  An , và gọi B là bó đường thẳng tâm O trong không
gian aphin An1 .
Khi đó, B là không gian xạ ảnh liên kết với V n1 bởi song ánh:

 : V n1   B .
Xét tập P  An  V n  và:

 :B  P
.
d a  d 
+ Nếu d  An  D ta đặt:

 d   D .
r
+ Nếu d // An , tức là d  V n ta đặt :

r


 d   d .
Khi đó.  : B  P là song ánh.
Do đó, tập
P  An  V n 

là không gian xạ ảnh liên kết với V n1 thông qua song ánh

 o : V n1   P .
Trong mô hình này ta có:
+ Mỗi điểm xạ ảnh trong mô hình aphin này hoặc là một điểm của không
gian aphin An , hoặc là một không gian vectơ con 1 chiều của không gian véc tơ
Vn.
+ Mỗi m  phẳng xạ ảnh trong mô hình aphin này là:
r
- Hoặc là tập hợp Am   Am  , trong đó Am là m  phẳng aphin nào đó của
không gian aphin An .
15


- Hoặc là tập hợp V m1  , với V m 1 là không gian vectơ con m  1 chiều của
không gian vectơ V n1 .
Sinh viên (người đọc) vẽ hình minh hoạ cho các đối tượng xạ ảnh trong
trường hợp này để hiểu rõ hơn về mô hình này. Mô hình này cho phép ta nói
rằng không gian xạ ảnh có thể được tạo ra từ không gian aphin bằng cách them
vào không gian aphin các điểm ở vô cùng.

1.2.4. Mô hình xây dựng từ một trường.
Mô hình 1.2.4.1. Cho K là một trường.
Tập hợp:


K n1 

 x , x ,..., x , x  K , i  0, n
0

1

n

i

là một không gian véctơ (n  1) chiều trên trường K .
r
Trong tập K n1 \ 0 ta đưa vào một quan hệ tương đương bởi:





r ur
r
x, y  K n1 \ 0 .
r
ur
Ta nói x tương đương với y nếu tồn tại số k  K \ 0 sao cho:
r
ur
x  ky.


Dễ dàng chứng minh được mỗi lớp tương đươngcùng với véc tơ không là
một phần tử của  K n1  là không gian xạ ảnh n  1 chiều liên kết với không gian
K n1 .

Trong mô hình này ta có:
Mỗi điểm là là bộ tỉ lệ

 x0 : x1 :...: xn 
sao cho các số x0 , x1 ,..., xn trong K không đồng thời bằng không.

Bài tập áp dụng.
Bài 1.2.1.
16


Gọi S n là siêu cầu thực trong không gian Ơclit E n 1 và gọi S n  là tập các
cặp điểm xuyên tâm đối của S n (tập các phần tử của S n  có thể đồng nhất với
tập các đường thẳng đi qua tâm của siêu cầu).

a. Chứng tỏ rằng, S n  có thể xem là một mô hình của không gian xạ ảnh n
r
chiều liên kết với E n 1 .
b. Hãy chỉ ra cụ thể trong mô hình trên, các m-phẳng xạ ảnh của S n  là

những tập hợp nào? Đặc biệt, một điểm, một đường thẳng ở đây là gì?
Bài 1.2.2.
Gọi S n1 là siêu cầu thực trong không gian Ơclit n chiều E n ,  S n 1  là tập
hợp tất cả những điểm nằm trong và trên đoạn thẳng nối hai điểm xuyên tâm của
siêu cầu S n1 .
a. Hãy làm cho  S n 1  trở thành không gian xạ ảnh n chiều.

b. Hãy chỉ ra cụ thể trong mô hình trên, các m-phẳng xạ ảnh là những tập
nào? Cùng giống như bài tập trên hãy chỉ ra cụ thể một điểm là gì, một đường
thẳng là gì trong mô hình này.

17


1.3. TỌA ĐỘ XẠ ẢNH
Phương pháp tọa độ là một trong các phương pháp rất hữu hiệu để giải các
bài toán hình học. Nhờ có phương pháp này mà các bài toán chứng minh thẳng
hàng, quỹ tích, vuông góc…được giải quyết một cách dễ dàng hơn. Trong hình
học xạ ảnh nói riêng, nó cũng thể hiện vai trò vô cùng quan trọng. Tuy nhiên
trước khi đi vào ứng dụng chứng minh các bài toán xạ ảnh bằng phương pháp
tọa độ, trong tiết này chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm cơ bản về mục tiêu xạ
ảnh, tọa độ xạ ảnh…

1.3.1. Mục tiêu xạ ảnh
Định nghĩa 1.3.1.1. Cho không gian xạ ảnh P n liên kết với K - không gian
vectơ V n1 . Một tập hợp có thứ tự gồm n  2 điểm S0 , S1,..., Sn ; E của P n được
gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì n  1 điểm trong n  2 điểm đó đều độc lập.
Trong đó:
- Các điểm Si gọi là đỉnh thứ i của mục tiêu xạ ảnh, i  0, n .
- Điểm E gọi là đỉnh đơn vị của mục tiêu.
- Các m  phẳng  m  n  đi qua m  1 đỉnh gọi là các m  phẳng tọa độ.
- Đường thẳng Si S j  i  j  gọi là trục tọa độ.
Định lí 1.3.1.2. Với mỗi mục tiêu xạ ảnh S0 , S1,..., Sn ; E , luôn tìm được
r r
r
r
một cơ sở e0 , e1,..., en  của V n1 sao cho vectơ ei là đại diện của đỉnh Si

r r
r
i  0,1,..., n và vetctơ e  e0  ...  en là đại diện của điểm E .
Chứng minh
r
r
Lấy vectơ ei đại diện cho đỉnh Si và vectơ e đại diện cho điểm E .
r
Vì n  1 đỉnh Si độc lập nên n  1 vectơ ei độc lập tuyến tính trong V n1 .

Ta có
r
r
r
r
e  k0e0  k1e1  ...  knen

r r
r r
ki  0 i  0, n vì nếu k0  0 thì hệ vectơ e1, e2 ,..., en , e phụ thuộc tuyến
tính, do đó n  1 điểm S1 , S2 ,..., S n , E không độc lập.
Đặt
18


r
r
ei  ki ei

i  1,..., n


r r
r
thì e1, e2 ,..., en  là cơ sở cần tìm.
Định nghĩa 1.3.1.3. Cơ sở nói trong định lý trên gọi là cơ sở đại diện cho
mục tiêu xạ ảnh Si , Ei 0,n đã cho.
Nhận xét 1.3.1.4. Một mục tiêu xạ ảnh có thể có nhiều cơ sở đại diện, hai cơ
sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh chỉ khác nhau một phép vị tự trong V n1 .
Thật vậy,

r r
r
r r
r
Cho hai cơ sở e0 , e1,..., en  và e0 , e1,..., en  cùng là cở sở đại diện cho mục
tiêu xạ ảnh S0 , S1,..., Sn , E khi và chỉ khi:

r
r
ei  ki ei i  0,1,..., n 
Mà

r r
r
r r
r
e0  e1  ...  en  k  e0  e1  ...  en 
Do đó:
k1  k2  ...  kn  k .


Như vậy từ khái niệm mục tiêu xạ ảnh chúng ta dễ dàng xây dựng khái niệm
tọa độ điểm xạ ảnh như sau.

1.3.2. Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh
Định nghĩa 1.3.2.1. Trong P n cho mục tiêu xạ ảnh Si ; Ei 0,n và điểm X
r
r n
n
bất kì. Gọi ei i 0 cơ sở đại diện của hệ mục tiêu Si ; Ei 0 , x đại diện cho X .
Khi đó:

r n ur
x   xi ei .
i 0

r
r
Khi đó tọa độ  x0 , x1,..., xn  của x đối với cơ sở ei i 0,n được gọi là tọa độ
của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh Si , Ei 0,n .
Kí hiệu:
19


X   x0 , x1,..., xn  .
Tính chất 1.3.2.2. Toạ độ của các điểm có các tính chất sau đây:
a) Nếu X   x0 , x1,..., xn  thì các xi không đồng thời bằng 0 do véctơ đại
r r
diện của điểm X là x  0 .
b) Vì các cơ sở đại điện cho cùng một hệ mục tiêu sai khác nhau một phép vị
tự, nên


k  K \ 0 ,  kx0 , kx1,..., kxn 
cũng là tọa độ của điểm X .
Do đó tọa độ của điểm X thường được kí hiệu dưới dạng sau:

X   x0 : x1 :...: xn  .
c) Đối với mục tiêu Si ; Ei 0 , tọa độ các đỉnh Si và điểm đơn vị là:
n

S0  1: 0: 0:...: 0
S1   0:1: 0:...: 0 
…

Sn   0 : 0 : 0 :...:1
E  1:1:1:...:1
Nhận xét 1.3.2.3. Các tính chất trên cho thấy sự khac biệt của không gian xạ
ảnh với không gian aphin và không gian Euclid. Thật vậy:
- Trong P 2 bộ số  0,0,0  không phải là tọa độ của bất cứ điểm nào, nhưng
trong A3 hoặc E 3 thì bộ đó là tọa độ của điểm gốc mục tiêu tọa độ.
- Hoặc như trong P 2 thì hai bộ số 1,0, 2  và  1,0,2  là tọa độ của cùng
một điểm xạ ảnh, nhưng trong A3 hoặc E 3 thì hai bộ đó là tọa độ của hai điểm
khác nhau.
- Mỗi không gian xạ ảnh có nhiều mục tiêu, như vậy mỗi một điểm trong
các mục tiêu khác nhau có tọa độ khác nhau. Tuy nhiên dựa vào việc đổi mục
tiêu có thể thấy mối liên hệ giữa các tọa độ của cùng một điểm với nhau như ở
phần sau đây.

20



1.3.3. Đổi mục tiêu xạ ảnh
Trong P n , cho hai hệ mục tiêu xạ ảnh là Si ; Ei 0 và Si; E i 0 với hai hệ
ur n
ur n
cơ sở đại diện lần lượt là ei
, ei ' .
n

n

  
i 0

i 0

Cho điểm X bất kì với tọa độ lần lượt trong hai mục tiêu trên là

 x0 , x1,..., xn  và  x0' , x1' ,..., xn '  .

 

Giả sử ma trận A  aij



ur
sở ei '

n


i 0

n1



ur
là ma trận chuyển từ hệ cơ sở ei

n

i 0

sang hệ cơ

của không gian vectơ liên kết.

Ta có:
 r n r
e j   aij ei
i 0

 j  0, n


(1)

Mặt khác có:

r n ur

r n uur
k1 x   xi ei và k2 x   xi ' e'i với k1 ,k 2  0  2 
i 0

i 0

Từ (1), (2) ta suy ra:
n

kxi   aij xj , i  1, n, k  0 (3)
j 0

Định nghĩa 1.3.3.1. Công thức (3) được gọi là công thức đổi mục tiêu xạ
ảnh.
Ma trận A được gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu Si ; Ei 0 sang mục tiêu
n

Si; E i 0 .
n

Nhận xét 1.3.3.2. Nếu kí hiệu:
 x0 
x 
x   1 ,
 M
 
 xn 

 x0 
 x 

x   1 
 M
 
 xn 

Công thức (3) còn được viết dưới dạng ma trận như sau :
21