TOAN 9
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (210.84 KB, 3 trang )
phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2011 - 2012
Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1:
a) Rỳt gn biu thc: M=
(5 + 2 6 )(49 20 6 ) 5 2 6
9 3 11 2
b) Cho x= 3 182 + 33125 + 3 182 33125 .
Chng minh x l mt s t nhiờn
x - (m + 3)y = 0
Câu 2: Cho h phng trỡnh:
(m l tham s).
(m - 2)x + 4y = m - 1
a) Gii h khi m = 2 .
b) Tỡm m h phng trỡnh cú nghim duy nht tha món x > 0; y < 0.
Câu 3:
a) Gii phng trỡnh: 2x 1 + x = 8
b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc M =
yz x 1 + zx y 2 + xy z 3
xyz
Câu 4: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm O. im M thuc cung BC khụng
cha im A. Gi im H v K ln lt l chõn ng vuụng gúc h t im M n cnh
BC v AC, im I l chõn ng vuụng gúc h t im M n ng thng AB.
Chng minh: a) T giỏc BHMI ni tip.
b) Ba im H, I, K thng hng
c)
AB AC BC
+
=
MI MK MH
Câu 5: Cho ba s a, b, c > 0 tha món a2+b2+c2= 1.
Chng minh rng
1
1
1
a 3 + b3 + c3
+
+
+3
a 2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2
2abc
--------------Ht-----------------
P N V BIU IM
Cõu
Cõu 1
(4 im)
Biu
im
ỏp ỏn
a) M=
(5 + 2 6 )(49 20 6 ) 5 2 6
=
9 3 11 2
(1 im)
( 3 + 2 ) 2 (5 2 6 ) 2 ( 3 2 ) 2
(1 im)
9 3 11 2
=
( 3 + 2)2( 3 2)4( 3 2)
9 3 11 2
=
( 3 2)3
9 3 11 2
=1
b) Đặt a= 3 182 + 33125 ; b = 3 182 33125
Tính đợc: a3+b3= ( 3 182 + 33125 )3 + ( 3 182 33125 )3=364
a.b = 3 182 + 33125 . 3 182 33125 = -1
(0,5
im)
(0,5
im)
x3 =(a+b)3 =a3+b3+3ab(a+b) ⇒ x3 = 364 -3 x
⇔ (x-7)(x2+7x+52) = 0 ⇔ x=7
Câu 2
(1 điểm)
a) Khi m = 3 ta có:
(5 điểm)
6
x = 5
x - 6y = 0
x =6y
x =6y
⇔
⇔
⇔
x + 4y = 2 6y + 4y = 2 10y = 2 y = 1
5
(2 điểm)
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
m ≠ 1
1
−(m + 3)
≠
⇔ (m − 2)(m + 3) ≠ −4 ⇔ (m − 1)(m + 2) ≠ 0 ⇔
(
m− 2
4
m ≠ −2
(1 điểm)
*)
m+ 3
x=
(1 điểm)
x - (m + 3)y = 0
x =(m + 3)y
m
+
2
⇔
⇔
(m - 2)x + 4y = m - 1 (m - 2)(m + 3)y + 4y = m - 1
y = 1
m+ 2
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi thỏa mãn x > 0; y < 0
khi
m+ 3
m + 2 > 0 m + 3 > 0
⇔
⇔ −3 < m < −2
1 < 0 m + 2 < 0
m + 2
Câu 3
a) 2x − 1 + x = 8 (1)
(4 điểm)
ĐKXĐ x ≥
1
2
(1 điểm)
(0,5
điểm)
x ≤ 8
x ≤ 8
x ≤ 8
(1) ⇔ 2x − 1 = 8− x ⇔
⇔ 2
⇔ x = 5
⇔ x=5
2
2x − 1= (8− x )
x − 18x+65=0 x = 13(loai ) (1 điểm)
1
Với x = 5 TMĐK x ≥ .Vậy phương trình có nghiệm x = 5
2
(0,5
điểm)
b) §K: x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3
M =
yz x − 1 + zx y − 2 + xy z − 3
=
xyz
x −1
+
x
Suy ra: M ≤
z −3
z
x −1 ≤
x
y
z
1
1
1
+
+
= +
+
2 x 2 2 y 2 3z 2 2 2 2 3
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi: x=2; y=4; z=6
VËy: Max M =
(0,5
điểm)
x −1+1 x
=
2
2
y
z
y − 2 . 2 ≤ ; z − 3. 3 ≤
2
2
Theo bÊt ®¼ng thøc COSI ta cã:
cho 0,5®
y−2
+
y
1
1
1
+
+
khi x=2; y=4; z=6 cho
2 2 2 2 3
(1 điểm)
(0,5
điểm)
0,25®
Câu 4
(2 điểm)
a) Ta có
·
·
BHM
= BIM
= 90 (gt)
·
·
⇒ BHM
+ BIM
= 1800
⇒ Tứ giác BHMI nội
(5 điểm)
0
tiếp.
·
·
b) Tứ giác BHMI nội tiếp ⇒ BHI
(1)
= BMI
·
·
Tứ giác CKHM nội tiếp ⇒ KHC = KMC (2)
·
·
(3)
∆BIM : ∆CKM ⇒ BMI
= CMK
·
·
Từ (1), (2), (3) ⇒ BHI = KHC
·
·
·
·
·
Mà BHK
+ KHC
= 1800 ⇒ BHK
+ BHI
= IHK
= 1800 ⇒ H, I, K thẳng
hàng
(0,5
điểm)
(0,5
điểm)
(0,5
điểm)
(0,5
điểm)
c) Ta có
AB AC
AI
IB AK
KC AI
AK KC
IB
+
=
−
+
+
=
+
+
−
÷
MI MK MI MI MK MK MI MK MK MI ÷
(1 điểm)
HB
BC
HC
=
+
+ 0=
÷
MH
MH MH
Câu 5
1
1
1
Ta cã: a2+b2+c2= 1 nªn 2 2 + 2 2 + 2 2 =
(2 điểm)
a +b
b +c
c +a
a 2 + b2 + c 2 a 2 + b2 + c 2 a 2 + b2 + c2
+
+
2
a 2 + b2
b2 + c 2
c2 + a
c2
a2
b2
= 2 2 + 2 2 + 2 2 +3
a +b
b +c
c +a
c2
c2
Ta l¹i cã: a2+b2 ≥ 2ab nªn 2 2 ≤
.
a +b
2ab
a2
a2
b2
b2
; 2
≤
T¬ng tù: 2 2 ≤
b +c
2bc c + a 2 2ac
c2
a2
b2
c2
a2
b2
≤
+
+
+
+
VËy: 2 2 2 2 2 2 +3
+3
a +b
b +c
c +a
2ab 2bc 2ac
1
1
1
a 3 + b3 + c 3
+3
Hay 2 2 + 2 2 + 2 2 ≤
a +b
b +c
c +a
2abc
(0,5
điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
