DEDAP AN HSG HUYEN 201420152 VONG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (409.22 KB, 7 trang )
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 9
NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Thi ngày 20 tháng 9 năm 2014
Bài 1:
a, Cho A = 2014 − 2013; B= 2015 − 2014 . So sánh A và B.
b, Tính giá trị biểu thức: B = 3 5 + 2 13 + 3 5 − 2 13
Bài 2:
a, Giải phương trình : x − 1 + x 3 + x 2 + x + 1 = 1 + x 4 − 1
b, Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 = - 2(x6- x3y - 32)
Bài 3:
a, Giả sử x, y là những số không âm thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của x + y .
b, Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh rằng :
1 1 1
1
1
1
+ + ≥ 3
+
+
a b c
a + 2b b + 2c c + 2a
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi D, E lân lượt là hình chiếu
của H trên AB, AC. Chứng minh:
a. =
b.DE = DB.CE.BC
c. = +
Bài 5: Chứng minh rằng: A =5 ( 5 +1) - 6 ( 3 + 2 ) chia hết cho 91 với mọi số tự
nhiên n.
-Hết-
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 9 LẦN 1 – 2014
BÀI
1
Ý
a.
NỘI DUNG
(
A=
2014 − 2013
(
2015 − 2014
B=
(
(
)(
2014 + 2013
2014 + 2013
)(
)
2015 + 2014
2015 + 2014
)
)=
)=
ĐIỂM
1
2014 + 2013
1
2015 + 2014
1
Mà 2014 + 2013 < 2015 + 2014
Nên
b.
B3 = 5 + 2
1
1
>
hay A > B.
2014 + 2013
2015 + 2014
.B
1
1
B3 +9B – 10 = 0
(B- 1)(B2 + B + 10 ) = 0
B=1
ĐK: x
a.
Đặt
= a;
= b; ( a; b
Ta có : a + b = 1 + ab
(a – 1) (b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
TH 1 : a = 1
2
1
TH2 : b = 1
b.
y2 = -2(x6 – x3y – 32)
1
Áp dụng bất đẳng thức Bnhiakops xki
(x + y)2 2(x2 + y2) =2 ( vì x2 + y2 = 1)
0.5
A=
3
a.
(x + y) – (x2 + y2) = x(1 – x)+ y(1-y)
Vì x ; y
0.5
A= 1
hoặc
Vậy Min A = 1
b.
hoặc
1
Với x, y, z
(
2
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :
Suy ra :
A
E
D
C
H
B
a.
( Ta lét)
4
1
b.
1
c.
=
=
1
=
=
5
A = (25n – 18n) – (12n – 5n)
Do: (25n – 18n) M(25 – 18)= 7 ; (12n – 5n) M(12 – 5) = 7 nên
A M7
Mặt khác: A = (25n – 12n) – (18n – 5n)
Do: (25n – 12n)M(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) M(18 – 5) = 13
nên A M13
Tóm lại: A vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13,
mà (7 ; 13) = 1
1
3
Nên A M7.13 hay A M91
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Thi ngày 24 tháng 11 năm 2014
Câu 1. (2.0 điểm)
a. Rút gọn các biểu thức sau: A =
2( 3 + 1) 2 − 3 ;
b. B = 2 − 2 5 − 2 − 2 + 2 5 − 2
b. Tìm x; y ∈ Z biết: xy 2 + 2 xy − 4 y + x = 0
Câu 2. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau :
a. 4 − 2 x − 2 3 − 2 x = 0
b. 4 x 2 + 5 x + 1 + 3 = 2 x 2 − x + 1 + 9 x
Câu 3. (2.0 điểm)
x− y
a. Tính giá trị của Q =
biết y ≠ 0; x + y ≠ 0 và x 2 − 2 y 2 = xy
x+ y
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 2 x − 3 y + 1
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
c. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
b+c c+a a +b
2
Câu 4. (3.0 điểm)
Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH,
đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH,
CH.
a. Chứng minh MD // NE.
b. Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH.
c. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất?
Câu 5. (1.0 điểm). Cho một đa giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có hình tròn bán
kính R =
1
chứa toàn bộ đa giác đó.
4
4
Hết./
Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................
ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC
2014-2015
MÔN THI: TOÁN 9
Nội dung
Điểm
2( 3 + 1) 2 − 3 = 0.5
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
Câu Ý
a A
=
( 3 + 1) 4 − 2 3 = ( 3 + 1) ( 3 − 1) 2 = ( 3 + 1)( 3 − 1) = 2
0.5
B2 = ( 2 − 2 5 − 2 − 2 + 2 5 − 2 ) 2 = 4 - 2 4 − 2 5 + 2 = 4 -2(
Câu
1
5 − 1 ) = 6 - 2 5 = ( 5 - 1)2. vì B < 0 nên B = 1-
b
5
4y
2
xy 2 + 2 xy − 4 y + x = 0 ⇔ x( y + 2 y + 1) = 4 y ⇔ x =
. Vì x; y
( y + 1) 2
nguyên mà
(y; y+1) = 1 nên (y+1) là ước của 4 ⇔ y +1 = 2, 0, 1, -1, -2;
0. 5
0.5
2
suy ra y = 1; -1; 0; -2 -3 từ đó HS tìm x tương ứng
a
ĐK: 3 − 2 x ≥ 0 hay x ≤ . 4 − 2 x − 2 3 − 2 x = 0 ⇔
2
0.5
( 3 − 2 x − 1) 2 = 0 ⇔
0.5
3
3 − 2 x = 1 ⇔ x = 1 thỏa mẫn ĐK vậy nghiệm
phương trình là x = 1
Câu
2
b
ĐK 4 x 2 + 5 x + 1 ≥ 0 ⇔ (4 x + 1)( x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ −
1
hoặc x ≤ −1
4
4 x 2 + 5 x + 1 − 2 x 2 − x + 1 = 9 x − 3 Đặt
4 x + 5 x + 1 = m va 2 x − x + 1 = n
2
2
0,25
0,25
0.25
0.25
Ta có m – n = m – n ⇔ (m - n)(m + n – 1) = 0 nên m= n hoặc
2
Câu
3
2
m = 1- n từ đó HS tìm được x rồi đối chiếu ĐK để kết luận
a Ta có: x 2 − 2 y 2 = xy ⇔ x2 – y2 – y2 – xy = 0 ⇔ (x + y)(x – 2y) 0.25
= 0 suy ra: x = 2y
ta có Q = 1/3
b M = x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 2 x − 3 y + 1 = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 + y2 –
y +1/4 – 1/4
0.25
0,25
0,5
5
M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4 ≥ -1/4. Vậy min M = -1/4 khi x
= y = 1/2
c Ta
có:
a2
a2
b+c b+c
a2 b + c b + c
b + c 4a − b − c
=
+
−
≥2
.
−
=a−
=
b+c b+c
4
4
b+c 4
4
4
4
b2
4b − a − c
c2
4c − a − b
≥
≥
Tương tự
và
Cộng vế với vế ta
a+c
4
a+b
4
0.5
0.25
có
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c+a a +b
2
Câu
0.25
4
a Tứ giác ADHE là HCN suy ra: D; O; E thẳng hang
HS chứng minh MD ⊥ DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc
OHD)
Tương tự: NE ⊥ DE
Suy ra: MD // NE
Kẻ MK ⊥ AN MK cắt OH tại G, tam giác ABC vuông tại A có AH là
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
đường cao nên AH2 = HB.HC suy ra
b
HB AH
HB
AH
HB AH
=
⇔
=
⇔
=
1
1
AH HC
OH
HN . Vậy ∆HOB : ∆HNA suy ra
AH
HC
2
2
0.5
góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng
vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy ra BO // MK vì M là trung
điểm BH suy ra G cũng là trung điểm OH.
c Ta có
S ∆AMN =
0.25
0.5
AH .MN
R
R
= R.MN = R ( HM + HN ) = ( HB + HC ) ≥ .2. HB.HC = R .AH
2
2
2
0.25
= 2R2. Vậy SAMN nhỏ nhất bằng 2.R2 khi HB = HC hay tam giác ABC
6
vuông cân
Câu
0.25
5
Lấy điểm A trên một cạnh của đa giác, lấy điểm B trên một cạnh khác của
đa giác sao cho AB chia chu vi đa giác thành hai phần có độ dài bằng
nhau và bằng 1/2. Gọi O là trung điểm AB. Lấy D là điểm tùy ý thuộc
cạnh đa giác hoặc nằm trong đa giác. Lấy điểm E đối xứng với D qua O.
Tứ giác AEBD là HBH và AD + DB < 1/2 mà DE < AD + DB <1/2. Nên
OD < 1/4. nên D nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 1/4.
0.75
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.
7
