Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 9

Nùm hổc: 2016 – 2017

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9
NĂM HỌC: 2016 – 2017
*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 1
Câu I. ( 4 điểm). Giải phương trình
1. x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 10 x + 25 = 8
2. y2 – 2y + 3 =

6
x + 2x + 4
2

x2 + 2 x + 3
Câu II. (4 điểm) 1. Cho biểu thức : A =
( x + 2) 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.


2. Cho a>0; b>0; c>0. Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c)  + + ÷ ≥ 9
a b c
1



1

1



Câu III. (4,5 điểm) 1. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó
lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
2. Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1)
+ Chứng minh rằng phương trình trên ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
+ Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3.
Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC.
1. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều.
Câu V. (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung
điểm của đường cao SH của hình chóp.
Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900
*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 2


 
xy + x
x +1
+
+ 1 : 1 −
 
 xy + 1 1 − xy
 


Bài 1 (2đ): 1. Cho biểu thức: A = 

xy + x
xy − 1

−

x + 1 
xy + 1 

a. Rút gọn biểu thức.
b. Cho

1
1
+
= 6 Tìm Max A.
x
y

2. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta có:
2

1
1
1 
 1
1+ 2 +
= 1 + −
 từ đó tính tổng:

2
n
(n + 1)
n n +1


Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh

1

Trûúâng THCS Àưìng Lẩng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

1+

S=

Nựm hoồc: 2016 2017

1
1
1
1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + .... + 1 +
+
2

2
1
2
2
3
2005
20062

Bi 2 (2): Phõn tớch thnh nhõn t: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) xyz
Bi 3 (2): 1. Tỡm giỏ tr ca a phng trỡnh sau ch cú 1 nghim:
x + 6a + 3
5a (2a + 3)
=
x + a +1
( x a)( x + a + 1)

2. Gi s x1,x2 l 2 nghim ca phng trỡnh: x2+ 2kx+ 4 = 4
Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca k sao cho cú bt ng thc:
x1

x
2

2

2

x2

+

x
3
1

Bi 4: (2) Cho h phng trỡnh:
m
1
x 1 + y 2 = 2


2 3m = 1

y 2 x 1

1. Gii h phng trỡnh vi m = 1
2. Tỡm m h ó cho cú nghim.
Bi 5 (2) : 1. Gii phng trỡnh: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2
2. Gii h phng trỡnh:

y 3 9 x 2 + 27 x 27 = 0
3
2
z 9 y + 27 y 27 = 0
x 3 9 z 2 + 27 z 27 = 0


Bi 6 (2): Trờn mt phng to cho ng thng (d) cú phng trỡnh:
2kx + (k 1)y = 2 (k l tham s)
1. Tỡm k ng thng (d) song song vi ng thng y = 3.x ? Khi ú hóy tớnh gúc to bi (d) v
tia Ox.

2. Tỡm k khong cỏch t gc to n ng thng (d) l ln nht?
Bi 7 (2): Gi s x, y l cỏc s dng tho món ng thc: x + y = 10
Tỡm giỏ tr ca x v y biu thc:
P = ( x 4 + 1)( y 4 + 1) t giỏ tr nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht y.
Bi 8 (2): Cho ABC vi BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gi O l giao im 3 ng phõn giỏc,
G l trng tõm ca tam giỏc.
Tớnh di on OG.
Bi 9(2) Gi M l mt im bt kỡ trờn ng thng AB. V v mt phớa ca AB cỏc hỡnh vuụng
AMCD, BMEF.
a. Chng minh rng AE vuụng gúc vi BC.
b. Gi H l giao im ca AE v BC. Chng minh rng ba im D, H, F thng hng.
c. Chng minh rng ng thng DF luụn luụn i qua mt im c nh khi M chuyn ng trờn
on thng AB c nh.
d. Tỡm tp hp cỏc trung im K ca on ni tõm hai hỡnh vuụng khi M chuyn ng trờn ng
thng AB c nh.
ã
Bi 10 (2): Cho xOy
khỏc gúc bt v mt im M thuc min trong ca gúc. Dng ng thng qua
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

2

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 9

Nùm hổc: 2016 – 2017

M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

*********************************************************************************
ĐẾ SỐ 3
Bài 1: (2 điểm) Chứng minh:
3 3

2 -1 =

3

1
9

3

2 3 4
+
9
9

Bài 2: (2 điểm) Cho 4a 2 + b 2 = 5 ab (2a > b > 0). Tính số trị biểu thức: M =

ab
4b − b 2
2

Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: nếu a, b là các nghiệm của phương trình: x 2 + px + 1 = 0 và c,d là các
nghiệm của phương trình: x2 + qx + 1 = 0 thì ta có:
(a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2
Bài 4: (2 điểm) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình
Tuổi anh và em cộng lại bằng 21. Hiện tại tuổi anh gấp đơi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện

nay. Tính tuổi của anh, em.
Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x4 + x 2 + 2006 = 2006
x2
Bài 6: (2 điểm) Trong cùng một hệ trục toạ độ vng góc, cho parapol (P): y = và đường thẳng
4

(d): y = mx – 2m – 1.
1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)
3. Chứng tỏ (d) ln đi qua điểm cố định A ∈ (P)
Bài 7: (2 điểm). Cho biểu thức A = x – 2 xy + 3y - 2 x + 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt được.
Bài 8: (4 điểm). Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngồi nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngồi AB và tiếp
tuyến chung trong EF, A, E ∈ (O); B, F ∈ (O’)
a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’
b. Chứng minh: AE ⊥ BF
c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng.
Bài 9: (2 điểm).
Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước là d và góc nhọn giữa đường chéo bằng ∝ .
*********************************************************************************
ĐẾ SƠ 4
Câu 1(2đ) : Giải PT sau :
a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0
b, x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 2
Câu 2(2đ): a, Thực hiện phép tính :
13 − 100 − 53 + 4 90

b, Rút gọn biểu thức :
B=


a2
b2
c2
+
+
a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2

Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh

3

Với a + b + c = 0

Trûúâng THCS Àưìng Lẩng


Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 9

Nùm hổc: 2016 – 2017

Câu 3(3đ) : a, Chứng minh rằng :
5 2 < 1+

1
1
1
+
+ .... +
< 10 2
2

3
50

b, Tìm GTNN của P = x2 + y2+ z2.
Biết x + y + z = 2007
Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba trong kỳ thi HS giỏi tốn K9 năm 2007 . Biết :
Nếu đưa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đơi giải nhất .
Nếu giảm số giải nhất xuống giải nhì 3 giải thì số giải nhất bằng 1/4 số giải nhì
Số em đạt giải ba bằng 2/7 tổng số giải .
Câu 5 (4đ): Cho ∆ ABC : Góc A = 900 . Trên AC lấy điểm D . Vẽ CE ⊥ BD.
a, Chứng minh rằng : ∆ ABD ∞ ∆ ECD.
b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp được .
c, Chứng minh rằng FD ⊥ BC (F = BA ∩ CE)
d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a . Tính AC, đường cao AH của ∆ ABC và bán kính
đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF.
Câu 6 (4đ): Cho đường tròn (O,R) và điểm F nằm trong đường tròn (O) . AB và A'B' là 2 dây cung
vng góc với nhau tại F .
a, Chứng minh rằng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2
b, Chứng minh rằng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2
c, Gọi I là trung điểm của AA' . Tính OI2 + IF2
*********************************************************************************
ĐẾ SỐ 5
2
2
Câu 1: Cho hàm số: y = x − 2 x + 1 + x − 6 x + 9
a. Vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tương ứng
c. Với giá trị nào của x thì y ≥ 4
Câu 2: Giải các phương trình:
a 9 − 12 x + 4 x 2 = 4

b 3x 2 − 18 x + 28 + 4 x 2 − 24 x + 45 = -5 – x2 + 6x
c

x 2 + 2x − 3
x+3

+ x-1

Câu3 : Rút gọn biểu thức:
a. A = ( 3 -1) 6 + 2 2. 3 − 2 + 12 + 18 − 128
b. B =

1
2 1 +1 2

+

1
3 2+2 3

+....+

1
2006 2005 + 2005 2006

+

1
2007 2006 + 2006 2007


Câu 4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150
Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngồi hình vẽ.
a Tính góc AMN . Chứng minh MD=MN
b Chứng minh tam giác MCD đều
Câu 5: Cho hình chóp SABC có SA ⊥ SB; SA ⊥ SC; SB ⊥ SC.

Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh

4

Trûúâng THCS Àưìng Lẩng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

Bit SA=a; SB+SC = k.. t SB=x
a Tớnh Vhchúptheo a, k, x
b Tớnh SA, SC th tớch hỡnh chúp ln nht.
*********************************************************************************
S 6
2
Cõu 1 : a) gii phng trỡnh : x 16 x + 64 + x 2 = 10
x + 2 + y 3 = 8
x + 2 5 y = 1

b) gii h phng trỡnh :

x

1 x x x + x



x + 1 x 1
2
2
x




Cõu 2: Cho biu thc : A =

a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm giỏ tr ca x A > -6.
Cõu 3: Cho phng trỡnh : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m.
b) Nu gi x1, x2 l 2 nghim ca phng trỡnh . Tỡm m x1 + x2 =6 . Tỡm 2 nghim ú .
Cõu 4: Cho a,b,c l cỏc s dng . Chng minh rng 1<

a
b
c
+
+
<2
a+b b+c a+c

Cõu 5: Cho ABC ni tip ng trũn tõm O , H l trc tõm ca tam giỏc , I l trung im ca cnh

AC . phõn giỏc ca gúc A ct ng trũn ti M , k ng cao AK ca tam giỏc . Chng minh :
a) ng thng OM i qua trung im N ca BC
b) Gúc KAM = gúc MAO
c) AHM NOI v AH = 2ON.
Cõu 6 : Cho ABC cú din tớch S , bỏn kớnh ng trũn ngoi tip l R v ABC cú cỏc cnh tng
ng l a,b,c . Chng minh S =

abc
4R

*********************************************************************************
S 7
CU I : Tớnh giỏ tr ca biu thc:
A=

1
3+ 5

+

1
5+ 7

+

1

+ .....+

7+ 9

3333
.....
35

B = 35 + 335 + 3335 + ..... +

1
97 + 99

99 số 3

CU II : Phõn tớch thnh nhõn t :
1) X2 -7X -18
2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4)+3
3) 1+ a5 + a10
CU III :
2
2
2
2
2
1) Chng minh : (ab+cd) (a +c )( b +d )
2
2
2) p dng : cho x+4y = 5 . Tỡm GTNN ca biu thc : M= 4x + 4y
CU 4 :
Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O), I l trung im ca BC, M l mt im
trờn on CI ( M khỏc C v I ). ng thng AM ct (O) ti D, tip tuyn ca ng trũn ngoi tip
tam giỏc AIM ti M ct BD v DC ti P v Q.


Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

5

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

a) Chng minh DM.AI= MP.IB
MP

b) Tớnh t s : MQ
CU 5:

Cho P =

x 2 4x + 3
1 x

Tỡm iu kin biu thc cú ngha, rỳt gn biu thc.
*********************************************************************************
S 8
CU I :
1) Rỳt gn biu thc :
A= 4 + 10+ 2 5 + 4 10+ 2 5
2) Chng minh : 3 5 2 + 7 3 5 2 7 = 2
CU II : Chng minh cỏc bt ng thc sau:

1) a 2 + b 2 + c 2 > (ab + bc + ca)
2)

18
2 2 2
+ +
vi a, b ; c dng
a+b+c a b c

CU III : Cho ng trũn (O) ng kớnh AB. v hai tip tuyn Ax v By; gi M l mt im tu
ý trờn cung AB v tip tuyn ti M ct Ax v By tai C v D.
a) Chng minh : AC.BD=R2
b) Tỡm v trớ ca M chu vi tam giỏc OCD l bộ nht.
CU IV.
Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x 2 + y 2 + xy 5x 4y + 2002
CU V: Tớnh
1
1
1 1

M= 1 1 1 ..... 1

1)

2 3
4
n + 1
1993
1992
2

2) N= 75( 4 + 4 + .... + 4 + 5) + 25


CU VI :
Chng minh : a=b=c khi v ch khi a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
*********************************************************************************
S 9
CU I : Rỳt gn biu thc
A=

5 3 29 12 5

x + 3x 4 + 4
B= 4 2
x +x +2
8

CU II : Gii phng trỡnh
1) (x+4)4 +(x+10)4 = 32
2)

x 2 + x + 2004= 2004

CU III : Gii bt phng trỡnh (x-1)(x-2) > 0
CU IV :
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn. Dng ra phớa ngoi 2 tam giỏc vuụng cõn nh A l
ABD v ACE . Gi M;N;P ln lt l trung im ca BC; BD;CE .
a) Chng minh : BE = CD v BE vi CD
b) Chng minh tam giỏc MNP vuụng cõn


Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

6

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

a 1 b + 3 c 5
=
=
v 5a- 3b -4 c = 46 . Xỏc nh a, b, c
2
4
6
a c
2a 2 3ab + 5b 2 2c 2 3cd + 5d 2
=
=
2) Cho t l thc :
. Chng minh :
b d
2b 2 + 3ab
2d 2 + 3cd

CU V : 1) Cho


Vi iu kin mu thc xỏc nh.
CU VI :Tớnh :
S = 42+4242+424242+....+424242...42
*********************************************************************************
S 10
Bi 1: (4). Cho biu thc:
x x 3
2( x 3)
x+3
P=

+
x2 x 3
x +1
3 x
a) Rỳt gn biu thc P.
b) Tớnh giỏ tr ca P vi x = 14 - 6 5
c) Tỡm GTNN ca P.
Bi 2( 4). Gii cỏc phng trỡnh.
a)

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
+ 2

x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 x + 16 x + 63 5
2

b) x + 6 4 x + 2 + x + 11 6 x + 2 = 1
Bi 3: ( 3). Cho parabol (P): y = x2 v ng thng (d) cú h s gúc k i qua im M(0;1).
a) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca k, ng thng (d) luụn ct (P) ti hai im phõn bit A
v B.
b) Gi honh ca A v B ln lt l x1 v x2. Chng minh rng : |x1 -x2| 2.
c) Chng minh rng :Tam giỏc OAB l tam giỏc vuụng.
Bi 4: (3). Cho 2 s dng x, y tha món x + y =1
a) Tỡm GTNN ca biu thc M = ( x2 +

1
y

2

)( y2 +

1
x

2

)

b) Chng minh rng :
N=(x+

1

1 2
25
) + ( y + y )2
2
x

Bi 5 ( 2im). Cho tam giỏc ABC vuụng A cú AB = 6cm, AC = 8cm. Gi I l giao im cỏc
ng phõn giỏc, M l trung im ca BC. Tớnh gúc BIM.
Bi 6:( 2). Cho hỡnh ch nht ABCD, im M BC. Cỏc ng trũn ng kớnh AM, BC ct nhau
ti N ( khỏc B). BN ct CD ti L. Chng minh rng : ML vuụng gúc vi AC.
Bi 7 ( 2im). Cho hỡnh lp phng ABCD EFGH. Gi L v K ln lt l trung im ca AD v
AB. Khong cỏch t G n LK l 10.
Tớnh th tớch hỡnh lp phng.
*********************************************************************************
S 11
Cõu 1: (4 im). Gii cỏc phng trỡnh:
1) x3 - 3x - 2 = 0

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

7

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 9

2)

7- x


Nùm hổc: 2016 – 2017

2
+ x - 5 = x - 12x + 38.

Câu 2: ( 6 điểm) 1) Tìm các số thực dương a, b, c biết chúng thoả mãn abc = 1 và a + b + c + ab +
bc + ca ≤ 6
2) Cho x > 0 ; y > 0 thỗ mãn: x + y ≥ 6 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 8
+
x y
Câu 3: (3 điểm) Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6
CMR: x2 + y2 + z2 ≥ 3
M = 3x + 2y +

Câu 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm 0 có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và By
và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường
tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C; D.
a) CMR:
Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm.
Biết AB = 4cm.
Câu 5: (2 điểm) Cho hình vng ABCD , hãy xác định hình vng có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của
hình vng ABCD sao cho hình vng đó có diện tích nhỏ nhất./.
*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 12
Câu 1: (0,5đ) Phân tích đa thức sau ra thừa số
a4 + 8a3 - 14a2 - 8a - 15

Câu 2: (1,5đ) Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên
a+ b
Câu 3 (1,0đ) Tìm số trị của
nếu 2a2 + 2b2 = 5ab; Và b > a > 0
a− b
Câu 4 (1,5đ) Giải phương trình
a. 4y2 + x + 4y2 − x − x2 + 2 ; b. x4 + x2 + 2006= 2006
Câu 5 (0,5đ) Cho ∆ABC cân ở A đường cao AH = 10cm, đường cao BK = 12cm. Tính độ dài các
cạnh của ∆ABC
Câu 6 (1,0đ) Cho (0; 4cm) và (0; 3cm) nằm ngồi nhau. OO’ = 10cm, tiếp tuyến chung trong tiếp
xúc với đường tròn (O) tại E và đường tròn (O’) tại F. OO’ cắt đường tròn tâm O tại A và B, cắt
đường tròn tâm (O) tại C và D (B, C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N.
Chứng minh rằng: MN ⊥ AD
*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 13
Câu 1: (4,5 điểm) : Giải các phương trình sau:
1)
2)

X 2 − 2X +1 + X 2 − 6X + 9 = 5
3
1
9
−
=
X + 1 X − 2 ( X + 1)(2 − X

Câu 2: (4 điểm)

1) Chứng minh rằng:


Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh

8

Trûúâng THCS Àưìng Lẩng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
2007 2006

2) Chng minh rng nu a, b, c l chiu di 3 cnh ca mt tam giỏc thỡ:
ab + bc a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca)
Cõu 3: (4 im)
x

y


z

1) Tỡm x, y, z bit: y + z + 1 = x + z + 2 = x + y 3 = x + y + z
2) Tỡm GTLN ca biu thc :

x 3 + y 4 bit x + y = 8

Cõu 4: (5,5 im): Cho ng trũn tõm (O) ng kớnh AB, xy l tip tuyn ti B vi ng trũn,
CD l mt ng kớnh bt k. Gi giao im ca AC v AD vi xy theo th t l M, N.
a) Chng minh rng: MCDN l t giỏc ni tip mt ng trũn.
b) Chng minh rng: AC.AM = AD.AN
c) Gi I l ng tõm trũn ngoi tip t giỏc MCDN. Khi ng kớnh CD quay quanh tõm O
thỡ im I di chuyn trờn ng trũn no ?
Cõu 5: (2 im): Cho M thuc cnh CD ca hỡnh vuụng ABCD. Tia phõn giỏc ca gúc ABM ct
AD I. Chng minh rng: BI 2MI.
*********************************************************************************
S 14
Cõu 1: Cho phõn thc:
x5 2x4 + 2x3 4x2 3x + 6
M=
x2 + 2x 8
a/. Tỡm tp xỏc nh ca M.
b/. Tỡm cỏc giỏ tr cu x ờ M=0
c/. Rỳt gn M.
Cõu 2: Gii phng trỡnh :
2(3 x)
9 3x
x+
7x + 2 +
5x 4(x 1)

5
5 + 2 (1)
a/.

=
14
24
12
3
59 x 57 x 55 x 53 x 51 x
b/. 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = 5 (2)
Cõu 3: Cho hai ng trũn tõm O v tõm O ct nhau ti A v B. Mt cỏt tuyn k qua A v ct
ng trũn (O) C v (O) D. gi M v N ln lt l trung im ca AC v AD.
1
a/. Chng minh : MN= CD
2
b/. Gi I l trung im ca MN. chng minh rng ng thng vuụng gúc vi CD ti I i qua 1 im
c nh khi cỏt tuyn CAD thay i.
c/. Trong s nhng cỏt tuyn k qua A , cỏt tuyn no cú di ln nht.
Cõu 4:
Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD
AB=a;
SC=2a
a/. Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh chúp
b/. Tớnh th tớch ca hỡnh chúp.
*********************************************************************************
S 15
Cõu I:. Cho ng thng y = (m-2)x + 2 (d)

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh


9

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

a) Chng minh rng ng thng (d) luụn i qua 1 im c nh vi mi m.
b) Tỡm m khong cỏch t gc ta n ng thng (d) bng 1.
c) Tỡm giỏ tr ca m khong cỏch t gc ta n ng thng (d) cú giỏ tr ln nht.
CõuII: Gii cỏc phng trỡnh:
a) 2 x 2 + 2 x + 1 + x 2 6 x + 9 = 6
b) x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 1
Cõu III:
a)

xy

yz

zx

Tỡm giỏ tr nh nht ca: A= z + x + y vi x, y, z l s dng v x + y + z= 1

x 1 = y 2 = z 2

3

2
b) Gii h phng trỡnh: 5
3 x 2 y + z = 12
2

c) B =

x + x 2x
2

x x 2x

2



x x 2x
2

x + x 2x

1. Tỡm iu kin xỏc nh ca B
2. Rỳt gn B
3. Tỡm x B<2
Cõu IV:
Cho tam giỏc vuụng ABC vuụng ti A, vi AC < AB; AH l ng cao k t nh A.
Cỏc tip tuyn ti A v B vi ng trũn tõm O ngoi tip tam giỏc ABC ct nhau ti M. on MO
ct cnh AB E. on MC ct ng cao AH ti F. Ko di CA cho ct ng thng BM D.
ng thng BF ct ng thng AM N.
a) Chng minh OM//CD v M l trung im ca BD

b) Chng minh EF // BC
c) Chng minh HA l tia phõn giỏc ca gúc MHN
d) Cho OM =BC = 4cm. Tớnh chu vi tam giỏc ABC.
Cõu V: Cho (O;2cm) v ng thng d i qua O. Dng im A thuc min ngoi ng trũn sao
cho cỏc tip tuyn k t A vi ng trũn ct ng thng d ti B v C to thnh tam giỏc ABC cú
din tớch nh nht.
*********************************************************************************
S 16
.Cõu 1 Rỳt gn biu thc
1
1
1
1
A=
+
+
+ ...+
.
2 1+ 1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
2006 2005+ 2005 2006
Cõu 2 Tớnh giỏ tr biu thc
x3 3x + (x2 1) x2 4 3 x3 3x (x2 1) x2 4 ti x = 3
2005
+
2
2
3. Cho phng trỡnh:
(m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0
(1)
a) Chng minh phng trỡnh (1) cú nghim vi mi m

b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m sao cho phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit x1, x2 v khi ú hóy tỡm
giỏ tr ca m nghim ny gp hai ln nghim kia.
B= 3

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

10

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

x + y = 4z 1

4. Gii h phng trỡnh:
y + z = 4x 1

z + x = 4y 1
6x 3
5. Gii phng trỡnh:
=3+2 x x 2
x 1 x
x2
6. Cho parabol (P): y =
2
a) Vit phng trỡnh ng thng (D) cú h s gúc m v i qua im A (1 ; 0)
b) Bin lun theo m s giao im ca (P) v (D)

c) Vit phng trỡnh ng thng (D) tip xỳc vi (P) tỡm to tip im
d) Tỡm trờn (P) cỏc im m (D) khụng i qua vi mi m
7. Cho a1, a2, ..., an l cỏc s dng cú tớch bng 1
1
1
1
Tỡm giỏ tr nh nht ca P = 1+ + 1+ + ...+ 1+
a1
a2
an
8. Cho im M nm trong ABC. AM ct BC ti A1, BM ct AC ti B1, CM ct AB ti C1. ng
thng qua M song song vi BC ct A1C1 v A1B1 th t ti E v F. So sỏnh ME v MF.
9. Cho ng trũn (O; R) ni tip tam giỏc ABC tip xỳc vi BC ti D. Gi M v N ln lt l trung
im ca AD v BC.
Chng minh M, O, N thng hng
10. Cho tam giỏc ABC nhn. ng thng d vuụng gúc vi mt phng ABC ti A. Ly im M trờn
ng thng d. K BK vuụng gúc vi AC, k BH vuụng gúc vi MC; HK ct ng thng d ti N.
a) Chng minh BN MC; BM NC
b) Xỏc nh v trớ im M trờn ng thng d di MN t giỏ tr nh nht.
*********************************************************************************
S 17
Cõu 1: Rỳt gn biu thc : A =

6+ 2 2 3

2 12 + 18 128

Cõu 2: (2)
Gii phng trỡnh : x2 +3x +1 = (x+3) x 2 + 1
Cõu 3: (2 )

Gii h phng trỡnh
2
2

x + y + xy = 1
3
3

x + y = x = 3 y
Cõu 4: (2) Cho PT bc hai n x : x2 - 2 (m-1) x + 2 m2 - 3m + 1 = 0
CMR: PT cú nghim khi v ch khi 0 m 1
9
Gi x1 , x2 l nghim ca PT . CMR x1 + x2 + x1 x2
8
Cõu 6: (2)

: Cho parabol y =

1 2
1
x v n thng (d) : y = x + 2
4
2

a/ V (P) v (d)trờn cựng h trc to .
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

11

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng



Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

b/ Gi A,B l giao im ca (P) v (d) trờn cựng h to trc to Oxy. Tỡm M trờn ằAB ca (P)
sao cho SMAB ln nht .
2

Cõu 7: (2)
b/ Tớnh S =

1
1
1
1

a/ c/m : Vi s dng a thỡ 1 + 2 +
ữ = 1+ 2 +
a +1
a ( a + 1) 2
a
1+

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +

+
2
2
1 2
2 3
2006 2007 2

Cõu 8 ( 4 im): Cho on thng AB = 2a cú trung im O . Trờn cựng mt na mt phng b AB ,
dng na ng trũn (O,AB) v ( O,AO) , Trờn (O) ly M ( M A, M O ). Tia OM ct (O) ti
C . Gi D l giao im th hai ca CA vi (O).
a/ Chng minh rng tam giỏc AMD cõn .
b/ Tip tuyn C ca (O) ct tia OD ti E. Xỏc nh v trớ tng i ca ng thng EA i vi (O)
v (O).
c/ ng thng AM ct OD ti H, ng trũn ngoi tip tam giỏc COH ct (O) ti im th hai l N.
Chng minh ba im A, M, N thng hng.
d/ Ti v trớ ca M sao cho ME // AB hóy tớnh OM theo a .
Cõu 9 ( 1 im ): Cho tam giỏc cú s o cỏc ng cao l cỏc s nguyờn , bỏn kớnh ng trũn ni
tip tam giỏc bng 1. Chng minh tam giỏc ú l tam giỏc u
*********************************************************************************
S 18
CõuI- (4) : Tớnh giỏ tr ca biu thc :
1,

5 3 29 12 5

2,

2 + 3 + 14 5 3

Cõu II- (5) : Gii cỏc phng trỡnh sau :

x
2
1
1,
+
=
x +1
x 1
x2 1
2, x 2 2 x + 1 + x 2 4 x + 4 = 3
3, x4 3x3 + 4x2 3x +1 = 0
Cõu III- (3) :
1, Cho a,b,c l cỏc s dng , chng minh rng :
32
1
1
1

2 +1
2 +2
2 + 8
a
b
c
abc
2, Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú :
1
n +1 - n >
2 n +1
Cõu III (3) : Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s :

x 2 + 2x 1
a, y =
2x 2 + 4x + 9
b, y =

1
2

x+3 -4

Cõu VI (5) : Cho tam giỏc ABC vuụng A ,ng cao AH . Gi D v E ln lt l hỡnh chiu ca
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

12

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

im H trờn AB v AC . Bit BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
a, Tớnh di on DE
b, Chng minh rng AD . AB = AE.AC
c, Cỏc ng thng vuụng gúc vi DE ti D v E ln lt ct BC ti M v N . Chng minh M l
trung im BH ; N l trung im ca CH .
d, Tớnh din tớch t giỏc DENM
*********************************************************************************
S 19

Cõu I: (1,5 im) Rỳt gn cỏc biu thc sau.
1.

A=

1
3+ 2 2
2 1
2 +1 ;

B=

3
2 3
2
2

Cõu II: (3,5 im) gii cỏc phng trỡnh sau.
2 x + 1 + x -1 = 0 ; 2) 3x2 + 2x = 2 x 2 + x + 1 x
1.
x 2 + 2x 5 + x + 2 + 3 2x 5 = 7 2
3.
Cõu III: (6 im).
1. Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh
(m +1)x - y = m+1
x - (m-1)y = 2
Cú nghim duy nht tho mn iu kin x + y t giỏ tr nh nht.
2. Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + 3 v im A(2;1). Gi k l h s gúc ca ng thng (d) i
qua A.
a. Vit phng trỡnh ng thng (d).

b. Chng minh rng (d) luụn luụn ct (P) ti hai im phõn bit M; N.
c. Xỏc nh giỏ tr ca k MN cú di bộ nht.
Cõu IV (4,5 im).
Cho ng trũn (O;R). I l im nm trong ng trũn, k hai dõy MIN v
EIF. Gi M ; N; E; F th t l trung im ca IM; IN; IE; IF.
1. Chng minh: IM.IN = IE.IF.
2. Chng minh t giỏc MENF ni tip ng trũn.
3. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip t giỏc. MENF'.
4. Gi s 2 dõy MIN v EIF vuụng gúc vi nhau. Xỏc nh v
R trớ ca MIN v EIF din tớch t

giỏc M E N F ln nht v tỡm giỏ tr ln nht ú. Bit OI = 2 .

Cõu V
Cho tam giỏc ABC cú B = 200
0
C = 110 v phõn giỏc BE . T C, k ng thng vuụng gúc vi BE ct BE M v ct AB K.
Trờn BE ly im F sao cho EF = EA.
Chng minh rng : 1) AF vuụng gúc vi EK; 2)CF = AK v F l tõm ng trũn ni tip BCK
3)

CK
BC
=
AF
BA .

Cõu VI (1 im). Cho A, B, C l cỏc gúc nhn tho món Cos2A + Cos2B + Cos2C 2
1


Chng minh rng: (tgA.tgB.tgC)2 8 .
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

13

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 9

Nùm hổc: 2016 – 2017

*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 20
Câu I: a)

Giải phương trình:

4 x 2 − 12 x + 9 = x − 1

a
1
a − x a +1
+
=
+
x − a x +1 x − a x +1
1
Câu II: 1) Cho biết: ax + by + cz = 0 và a + b + c =
2006


b) Giải và biện luận phương trình theo tham số a:

ax 2 + by 2 + cz 2
= 2006
Chứng minh rằng:
bc ( y − z ) 2 + ac( x − z ) 2 + ab( x − y ) 2

2

Cho 3 số a, b, c thỗ mãn điều kiện: abc = 2006

2006a
b
c
+
+
ab + 2006a + 2006 bc + b + 2006 ac + c + 1
Câu III: 1) Cho x, y là hai số dương thỗ mãn: x + y ≤ 1
1
2
A= 2
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
xy
x +y

Tính giá trị của biểu thức: P =


2)

Rút gọn biểu thức sau:
A=

1
1+ 2

+

1
2+ 3

+

1
3+ 4

+ ... +

1
n −1 + n

Câu IV: (5,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có ∠ B = ∠D = 900. Trên đường chéo AC lấy điểm E
sao cho ∠ABE = ∠DBC. Gọi I là trung điểm của AC.
Biết: ∠BAC = ∠BDC;
∠CBD = ∠CAD
a)


Chứng minh ∠CIB = 2 ∠BDC;

b)

∆ABE

~ ∆DBC

c)

AC.BD = AB.DC + AD.BC
Câu V: (2,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có độ dài cạnh đáy là 12 cm, độ dài
cạnh bên là 18 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
b) Tính diện tích tồn phần của hình chóp.
Câu VI: (2,0 điểm) Cho biểu thức: M =

a +6
a +1

Tìm các số ngun a để M là số ngun.
*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 21
Câu 1: (4,5 điểm) : Giải các phương trình sau:
1)
2)

X 2 − 2X +1 + X 2 − 6X + 9 = 5
3
1

9
−
=
X + 1 X − 2 ( X + 1)(2 − X

Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh

14

Trûúâng THCS Àưìng Lẩng


Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 9

Câu 2: (4 điểm)

Nùm hổc: 2016 – 2017

1) Chứng minh rằng:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
2007 2006


2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là chiều dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ab + bc ≥ a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca)
Câu 3: (4 điểm)

x

y

z

1) Tìm x, y, z biết: y + z + 1 = x + z + 2 = x + y − 3 = x + y + z

2) Tìm GTLN của biểu thức :

x − 3 + y − 4 biết x + y = 8

Câu 4: (5,5 điểm): Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn,
CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N.
a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN
c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O
thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ?
Câu 5: (2 điểm): Cho M thuộc cạnh CD của hình vng ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt
AD ở I. Chứng minh rằng: BI ≤ 2MI.
*********************************************************************************
ĐỀ SỐ 22
đ
Câu 1( 2 ). Phân tích đa thức sau ra thừa số .
a4 + 8a3 + 14a2 – 8a –15 .

Câu 2( 2đ). Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên .
Câu 3( 2đ). Tìm số trị của

a+b
Nếu 2a2 + 2b2 = 5ab , và b > a > 0 .
a−b

Câu 4( 4đ). Giải phương trình.
a) 4 y 2 + x = 4 y 2 − x − x 2 + 2

b) x 4 + x 2 + 2006 = 2006
Câu 5( 3đ). Tổng số học sinh giỏi Tốn , giỏi Văn của hai trường THCS đi thi học sinh Giỏi lớn hơn
27 ,số học sinh đi thi văn của trường là thứ nhất là 10, số học sinh đi thi tốn của trường thứ hai là
12. Biết rằng số học sinh đi thi của trường thứ nhất lớn hơn 2 lần số học sinh thi Văn của trường thứ
hai và số học sinh đi thi của trường thứ hai lớn hơn 9 lần số học sinh thi Tốn của trường thứ nhất.
Tính số học sinh đi thi của mỗi trường.
Câu 6( 3đ). Cho tam giác ABC cân ở A đường cao AH = 10 cm dường cao BK = 12 cm . Tính độ
dài các cạnh của tam giác ABC .
Câu 7(4đ). Cho (O;4cm) và (O’;3cm) nằm ngồi nhau , OO’=10cm. Tiếp tuyến chung trong tiếp
xúc với đường tròn tâm O tại E và đường tròn O’ tại F, OO’ cắt đường tròn tâm O tại A và B, cắt
đường tròn tâm O’ tại C và D (B,C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N.
CMR : MN ⊥ AD
*********************************************************************************

Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh

15

Trûúâng THCS Àưìng Lẩng



Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

S 23
Bi 1 (5) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a, x 2 1 x 2 + 1 = 0
b, x + 3 4 x 1 + x + 8 + 6 x 1 = 4
Bi 2 (5) Cho biu rhc
2
x 2
x + 2 1 x





P=
x + 2 x + 1 2
x 1

a, Rỳt gn P.
b, Chng minh rng nu 0< x<1 thỡ P > 0.
c , Tỡm giỏ tr ln nht ca P.
Bi 3: (5 ) Chng minh cỏc bt ng thc sau.
a , Cho a > c , b >c , c > 0 .
Chng minh : c( a c ) + c( b c ) ab
b, Chng minh.
2005

2006
+
> 2005 + 2006
2006
2005
Bi 4: (5) Cho AHC cú 3 gúc nhn , ng cao HE . Trờn on HE ly im B sao cho tia CB
vuụng gúc vi AH , hai trung tuyn AM v BK ca ABC ct nhau I. Hai trung trc ca cỏc

on thng AC v BC ct nhau ti O.
a, Chng minh ABH ~ MKO
b, Chng minh

IO 3 + IK 3 + IM 3
2
=
3
3
3
IA + IH + IB
4

*********************************************************************************
S 24
Cõu I ( 4 im ) Gii phng trỡnh:
1.
x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
2.
x 1 + 4 x 5 + 11 + x + 8 x 5 = 4
CõuII (3 im ) 1. Tớnh : P = 1 + 1999 2 +
2. Tỡm x bit x =


1999 2 1999
+
2000 2 2000

5 + 13 + 5 + 13 + ...

Trong ú cỏc du chm cú ngha l lp i lp li cỏch vit cn thc cú cha 5 v 13 mt cỏch vụ hn.
Cõu III ( 6 im )
1. Chng minh rng s t nhiờn


1 1
2 3

A = 1.2.3.....2005.2006. 1 + + + ... +


1
1
chia ht cho 2007
+
2005 2006

2. Gi s x, y l cỏc s thc dng tho món : x + y = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
1

1

A = x 3 + y 3 + xy

a3 + b3 + c3 a 2 + b2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9
+ 2
+
+

3. Chng minh bt ng thc:
2abc
c + ab a 2 + bc b 2 + ac 2

Cõu IV ( 6 im ) Cho tam giỏc ABC vuụng tai A, ng cao AH . ng trũn ng kớnh AH
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

16

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

ct cỏc cnh AB, AC ln lt ti E v F.
1. Chng minh t giỏc AEHF l hỡnh ch nht;
2. Chng minh AE.AB = AF. AC;
3.ng rhng qua A vuụng gúc vi EF ct cnh BC ti I. Chng minh I l trung im ca on BC;
4. Chng minh rng nu din tớch tam giỏc ABC gp ụi din tớch hỡnh ch nht AEHF thỡ tam giỏc
ABC vuụng cõn.
Cõu V ( 1 im) Cho tam giỏc ABC vi di ba ng cao l 3, 4, 5. Hi tam giỏc ABC l tam
giỏc gỡ ?
*********************************************************************************

S 25
Cõu 1 (6 im): Gii cỏc phng trỡnh
a. x6 - 9x3 + 8 = 0
b. x2 6x + 9 = 4 + 2 3
c. x2 2x + 1 + x2 4x + 4 = 3
Cõu 2 (1 im): Cho abc = 1. Tớnh tng
1
1
1
+
+
1+ a + ab 1+ b + bc 1+ c + ac
Cõu 3 (2 im): Cho cỏc s dng a, b, c, d. Bit
a
b
c
d
+
+
+
1
1+ a 1+ b 1+ c 1 + d
1
Chng minh rng abcd
81
Cõu 4 (4 im): Tỡm a, b, c. Bit
a. 2 a + b 1 + c 2 ( a + b + c) = 0
b. (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 8) - 32abc = 0
Cõu 5 (5 im): Cho na ng trũn tõm O cú ng kớnh AB = 2R, v cỏc tip tuyn Ax, By vi
na ng trũn v tia OZ vuụng gúc vi AB (cỏc tia Ax, By, OZ cựng phớa vi na ng trũn i

vi AB). Gi E l im bt k ca na ng trũn. Qua E v tip tuyn vi na ng trũn ct Ax,
By, OZ theo th t C, D, M. Chng minh rng khi im E thay i v trớ trờn na ng trũn thỡ:
a. Tớch AC . BD khụng i
b. im M chy trờn 1 tia
c. T giỏc ACDB cú din tớch nh nht khi nú l hỡnh ch nht. Tớnh din tớch nh nht ú.
Cõu 6 (2 im): Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh chúp u SABC bit tt c cỏc cnh ca hỡnh
chúp u bng a
*********************************************************************************
S 26
Cõu I ( 5 ) : Gii cỏc phng trỡnh

(

a)

)

x
2007
2
= 2
x 1 1+ x
x 1

b) x 2 x 1 + x + 2 x 1 = 2
Cõu II ( 4 ) : a) Tỡm a , b , c bit a , b ,c l cỏc s dng v

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

17


Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

32
1
1
1

2 + 1 2 + 2 2 + 8 =
abc
a
b
c

2b 2
2c 2
2a 2
b) Tỡm a , b , c bit :
a=
;
b
=
;
c
=

1+ b2
1+ c2
1+ a2

Cõu III ( 4 ) :

a) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc vi a,b,c khỏc 0 v a + b+ c 0
a
b
c
)(2006 + ) ( 2006 + )
b
c
a
2
x 2 x + 2006
A=
x2

Tớnh P = (2006+
a) Tỡm GTNN ca

Cõu IV .(3 ) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD sao cho AC l ng chộo ln . T C v ng CE v CF
ln lt vuụng gúc ci cỏc ng thng AB v AD
Chng minh rng AB . AE + AD . AF = AC2
CõuV. (4 )Cho hỡnh chúp SABC cú SA AB ; SA AC ; AB BC ; AB = BC
AC = a 2 ; SA = 2a . Chng minh :
a) BC mp(SAB)
b) Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC
c) Th tớch hỡnh chúp

*********************************************************************************
S 27
Bi 1 (2,0 im) Rỳt gn biu thc :
( x 2 + x + 1) x 2 x + 1 + ( x 2 x + 1) x 2 + x + 1

A =
Bi2 (2,0 im)

x + x +1
4

2

:

1
x + x +1 x2 x +1
2

Tớnh tng :

3
5
7
2n + 1
+ 2
+ 2
+ ... + 1
2
2

2
2
2
(1 + 2 + 3 + ... + n 2 )(n + 2)
S= 1 .3 (1 + 2 ).4 (1 + 2 + 3 ).5
2

Bi 3 (2,0 im) Cho phng trỡnh : mx (m + m + 1) x + m + 1 = 0
Tỡm iu kin ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit khỏc 1
Bi4(2,0 im ) Cho x,y,z l cỏc s khụng õm tho món
2x + xy + y = 10
3y + yz +2z = 3
z +zx +3x = 9
2

2

(1)

3
2
2006
Tớnh gớa tr ca biu thc : M = x + y + z
Bi 5(2,0im) Gii phng trỡnh :

3 x 2 + 2 x + 23
2
(3x-1) x + 8 =
2


2

Bi 6(2,0im) Cho parabol (P) : y = x v ng thng (d) qua hai im A v B thuc (P) cú honh
ln lt l -1 v 3 .M thuc cung AB ca (P) cú honh l a.K MH vuụng gúc
vi AB, H thuc AB.
1) Lp cỏc phng trỡnh cỏc ng thng AB, MH.
2) Xỏc nh v trớ ca M din tớch tam giỏc AMB ln nht .
Bi 7(2,0im) Cho dóy s :1,2,3,4, ...,2005,2006.
Hóy in vo trc mi s du + hoc - cho cú c mt dóy tớnh cú kt qu l s t nhiờn nh nht
Bi 8(2,0im) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, H l trc tõm ca tam giỏc. Chng minh rng :
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

18

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

2(AB + BC +CA) > (AH + BH + CH)
Bi 9(2,0im) Cho tam giỏc ABC, AD l ng cao ,D thuc BC. Dng DE vuụng gúc vi AB , E
thuc AB ,DF vuụng gúc vi AC, F thuc AC .
1) Chng minh rng t giỏc BEFC ni tip .
2) Dng bn ng trũn i qua trung im ca hai cnh k nhau ca t giỏc BEFC v i qua nh
ca t giỏc ú. Chng minh rng bn ng trũn ny ng quy .
Baỡ 10
Mt hỡnh chúp ct u cú ỏy l hỡnh vuụng, cỏc cnh ỏy bng a v b. Tớnh chiu cao ca
hỡnh chúp ct u, bit rng din tớch xung quanh bng tng din tớch hai ỏy.

*********************************************************************************
S 28
Cõu 1. ( 4 im ):

Gii phng trỡnh:
2x
13 x
+ 2
=6
3x 5 x + 2
3x + x + 2
2

Cõu 2. ( 3 im ): Tỡm m sao cho Parabol (P) y = 2x2 ct ng thng (d)
y = ( 3m + 1 )x 3m + 1 ti 2 im phõn bit nm bờn phi trc tung.
Cõu 3. ( 1 im ): Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P =

4 x 3x 2
x2 + 1

Cõu 4: ( 4 im ).Cho na ng trũn tõm 0, ng kớnh AB. Ly im M bt kỡ trờn na ng
trũn ú ( M khỏc A v B ). V ng trũn tõm M tip xỳc vi ng kớnh AB ti H. T A v B k hai
tip tuyn (d1; d2) tip xỳc vi ng trũn tõm M ti C v D.
a) CM: 3 im: C, M, D cựng nm trờn tip tuyn vi ng trũn tõm 0 ti M.
b) AC + BD khụng i. Khi ú tớnh tớch AC.BD theo CD.
c) Gi s: CD AB = { K }. CM: OA2 = OB2 = OH.OK.
Cõu 6: ( 3 im ) Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC. Bit:
ASB = 600; BSC = 900; ASC = 1200 v: SA = AB = SC = a.
*********************************************************************************
S 29

Cõu 1 ( 2. 5 im )
Cho biu thc
2 x 1 x 2
P( x) =
3 x 2 4 x +1

a) Rỳt gn P.
b) Chng minh: Vi x > 1 thỡ P (x) . P (- x) < 0
Cõu 2 ( 4. 0 im ). Gii phng trỡnh:
a ) x +1 2 x + x + 4 4 x = 1
b) / x2 - x + 1 / + / x2 - x - 2 / = 3

Cõu 3 ( 2. 0 im ).Hóy bin lun v trớ ca cỏc ng thng
d1 : 2 m2 x + 3 ( m - 1 ) y - 3 = 0
d2 : m x + ( m - 2 ) y - 2 = 0
Cõu 4 ( 2. 0 im ). Gii h phng trỡnh:
( x + y ) 2 - 4 ( x + y ) = 45
( x - y )2 - 2 ( x - y ) = 3
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

19

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

Cõu 5 ( 2. 0 im ). Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh.

x6 + 3 x3 + 1 = y 4
Cõu 6 ( 2. 5 im) Tỡm gớa tr ln nht ca biu thc
A=

y 2
y

x 1
+
x

Cõu 7 ( 3. 0 im) Cho tam giỏc ABC u, ni tip ng trũn ( o ), M l im trờn cung nh
BC; AM ct BC ti E.
a) Nu M l im chớnh gia ca cung nh BC, chng minh : BC2 = AE . AM.
b) Trờn AM ly D sao cho MD = BM. Chng minh: DBM = ACB v MA= MB + MC.
Cõu 8 ( 2. 0 im) Cho na ng trũn ng kớnh AB v tia tip tuyn Ax cựng phớa vi na
ng trũn i vi AB. T im M trờn tia Ax k tip tuyn th hai MC vi na ng trũn, k CH
vuụng gúc vi AB. Chng minh : MB i qua trung im ca CH.
*********************************************************************************
S 30

Cõu I. (4im)
Tớnh giỏ tr cỏc biu thc :
A=

1
2 1 +1 2

+


1
3 2+2 3

+

1
4 3 +3 4

+ ... +

1
25 24 + 24 25

B = 3 2 5 (6 9 + 4 5 + 3 2 + 5 )
Cõu II: (4im)
Gii cỏc phng trỡnh sau.
3
2
a;
x + 2x x -2 = 0
b;
x+2+4 x2 + x+7+6 x2 = 6
Cõu III: ( 6im)
1; Cho 2 s x, y tho món ng thc : 8x2 + y2 +

1
=4
4x 2

Xỏc nh x, y tớch xy t giỏ tr nh nht .

1

1

1

1

2; Tỡm 4 s nguyờn dng x,y,z,t tho món : x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1
3; Chng minh bt ng thc :

a+b
( a b) 2
ab <
2
8b

vi a > b > 0

Cõu IV: ( 5) Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn tõm O bỏn kớnh R. Trờn cung nh BC
ly im K . AK ct BC ti D
a , Chng minh AO l tia phõn giỏc ca gúc BAC .
b , Chng minh AB2 = AD.AK
c , Tỡm v trớ im K trờn cung nh BC sao cho di AK l ln nht .
d, Cho gúc BAC = 300 . Tớnh di AB theo R.
Cõu V: (1) Cho tam giỏc ABC , tỡm im M bờn trong tam giỏc sao cho din tớch cỏc tam giỏc
BAM , ACM, BCM bng nhau .
*********************************************************************************
S 31
Cõu 1: (4 im)

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

20

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

40 2 57 - 40 2 + 57
1
2
4
3
3
2 1 = 3
+
9
9
9

1. Tớnh giỏ tr biu thc P =

2. Chng minh rng 3 3
3. Cho ba s dng a,b,c tho món a + b + c = 3
a
b
c

3
Chng minh: 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 + a 2 2
2 1

3 2

25 24

Cõu 2: (4 im) 1. Cho A= 2 + 1 + 3 + 2 + .+ 25 + 24
Chng minh rng A < 0,4
2. Cho x, y , z l cỏc s dng tho món xyz x + y + z + 2 tỡm giỏ tr ln
Cõu 3: ( 4 im) Gii cỏc phng trỡnh:
a. 3x 2 7 x + 3 - x 2 2 = 3x 2 5 x 1 x 2 3x + 4
1

nht ca x + y + z

1

b. 2( x - x ) + ( x2 + x 2 ) = 1
c.

1 3
x+ y x y =2
2 1 =3
x+ y x y 2


d. x 2 x 1 + x + 2 x 1 = 2
Cõu 4: (2 im) Cho hm s y = ( 2m 1) x + n 2

a. Xỏc nh m, n ng thng (1) i qua gc to v vuụng gúc vi ng thng cú phng
trỡnh 2x 5y = 1
b.Gi s m, n thay i sao cho m+n = 1
Chng t rng ng thng (1) luụn i qua mt im c nh.
Cõu 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC ( AB = AC , gúc, A < 600) Trờn na mt phng b Ac cha B
ngi ta v tia A x sao cho Gúc xAC = gúc ACB . Gi c l im i xng vi C qua Ax.
Nụớ BC ct Ax ti D . Cỏc ng thng CD, CC ct AB ln lt ti I v K.
a. Chng minh AC l phõn giỏc ngoi nh A ca tam giỏc ABC,
b. Chng minh ACDC L Hỡnh thoi.
c. Chng minh AK . AB = BK . AI
d. Xột mt ng thng bt kỡ qua A v khụng ct BC. Hóy tỡm trờn d mt im M sao cho chu
vi tam giỏc MBC t giỏ tr nh nht.
Chng minh rng ln ca gúc BMC khụng ph thuc vo v trớ ca ng thng d.
Cõu 6: (2 im) Cho hỡnh t giỏc u SABCD cú cnh ỏy bng 2 3 cm chiu cao 4 cm.
a. Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh chúp.
b. Tớnh th tớch ca hỡnh chúp.
*********************************************************************************
S 32
Cõu I: (3) 1, Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t:
x3 + 6x2 - 13x - 42
2, Xỏc nh s hu t k a thc.
A= x3 + y3 + z3 + kxyz chia ht cho a thc x + y + z
Cõu II: (4) Gii cỏc phng trỡnh.

1,

2x + 4x 1

-


2x 4x 1

=

2, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
Cõu III: (2) 1, Cho hm s y =
a, V th ca hm s.

6
x2 +

x 2 4x + 4

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

21

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

b, Tỡm giỏ tr nh nht ca y.
2, Chng minh phng trỡnh sau khụng cú nghim nguyờn. 3x2 - 4y2 = 3
Cõu IV: (4)
1, (2) Cho 3 s khụng õm x,y,z tho món ng thc.
x+y+z=1
Chng minh rng: x + 2y + z 4(1- x) (1- y) (1- z)

2,(2) Cho biu thc. Q=

3 x 2 6 x + 11
x 2 2x + 2

a, Tỡm giỏ tr nguyờn ca x Q nhn giỏ tr nguyờn.
b, Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc Q.
Cõu V: (6) Cho tam giỏc ABC vuụng gúc A, ly trờn cnh AC mt im D. Dng CE vuụng gúc
vi BD.
1, Chng t cỏc tam giỏc ABD v BCD ng dng.
2, Chng t t giỏc ABCE l mt t giỏc ni tip.
3, Chng minh FD BC (F l giao im ca BA v CE)
4, Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a
Tớnh AC, ng cao AH ca ABC v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip t giỏc ADEF.
*********************************************************************************
S 33
Bi 1:
Xột biu thc:
P=
a)
b)
Bi 2:

1
1
1
1

+
...+

2 3
3 4
4 5
1992 1993

Rỳt gn P
Giỏ tr ca P l s hu t hay s vụ t ? Ti sao?
Rỳt gn:


2 2
+
2
y2 yz+ z2

x
3
y z
2


+

+ ( x + y + z)
1
1
1
1
1
x

y+ z

+ +
+
y z yz xy xz


Bi 3:

Gii phng trỡnh
1 4 1 3 1 2 1
1
x + x + x x=
3
6
3
2
3

Bi 4:

Gii h phng trỡnh
x+ 2 + y 3 = 8

x + 2 5y = 1

Bi 5:
Bi 6:

Gii phng trỡnh

Cho

4 4+ x = x
1
y = x2 (p)
2

a) Kho sỏt v v th hm s
b) Lp phng trỡnh ng thng (D) qua (-2;2) v tip xỳc vi (p)
Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

22

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

Cõu 1: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n sao cho n9 v n+ 125
Cõu 2: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 3x2+5y2=12
Bi 8:
(Bi toỏn c Vit Nam)
Hai cõy tre b góy cỏch gc theo th t 2 thc v 3 thc. Ngn cõy n chm gc cõy kia.
Tớnh t ch thõn 2 cõy chm nhau n mt t.
Bi 9:
Tam giỏc ABC cú cỏc gúc nhn, trc tõm H. V hỡnh bỡnh hnh ABCD. Chng minh
rng: ABH = ADH
Bi 10:

Cho hỡnh ch nht ABCD v im E thuc cnh DC. Dng hỡnh ch nht cú mt cnh
l DE v cú din tớch bng din tớch hỡnh ch nht ABCD.
*********************************************************************************
S 34
Cõu 1:(4) Gii phng trỡnh:
a.
(3x+4)(x+1)(6x+7)2=6; b. 3x 5 + 7 3x = 5 x 2 20 x + 22
Bi 7:

1

2

3

Cõu 2:(3.5) Ba s x;y;z tho mn h thc : x + y + z = 6
Xột biu thc :P= x+y2+z3.
a.Chng minh rng:P x+2y+3z-3?
b.Tỡm giỏ tr nh nht ca P?.
Cõu 4:(4.5 ). Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB=2R v C l im thuc ng trũn O (C A;C
B).Trờn na mt phng b AB cú cha im C.K tia ax tip xỳc vi ng trũn (O) .Gi M l
im chớnh gia cung nh AC , tia BC ct Ax ti Q , tia AM ct BC ti N.
a. Chng minh cac tam giỏc BAN v MCN cõn?.
b. B.Khi MB=MQ tớnh BC theo R?.
Cõu 5:(2) Cú tn ti hay khụng 2006 im nm trong mt phng m bt k 3 im no trong chỳng
cng to thnh mt tam giỏc cú gúc tự?.
*********************************************************************************
S 35
3
Cõu 1(2) Cho x = 7 + 5 2 3


1
7+5 2

Tớnh giỏ tr ca biu thc :

A = x3 + 3x 14

Cõu 2(2) : Cho phõn thc :

x 5 2 x 4 + 2 x 3 4 x 2 + 3x + 6
B=
x 4 + 2x 8

1. Tỡm cỏc giỏ tr ca x B = 0.
2. Rỳt gn B.
Cõu 3(2) : Cho phng trỡnh : x2 + px + 1 = 0 cú hai nghim l a v b
phng trỡnh : x2 + qx + 2 = 0 cú hai nghim l b v c
Chng minh h thc : (b-a)(b-c) = pq 6
(1)

mx + 4 y = 10 m
Cõu 4(2) : Cho h phng trỡnh :
(2)
x + my = 4

(m l tham s)

1. Gii v bin lun h theo m.
2. Vi giỏ tr no ca s nguyờn m h cú nghim (x,y) vi x, y l cỏc s nguyờn dng.

Cõu 5(2) : Gii phng trỡnh : x + 5 4 x + 1 + x + 10 6 x + 1 = 1
Cõu 6(2) : Trong mt phng to xOy cho tam giỏc ABC cú cỏc ng cao cú phng trỡnh l : y

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

23

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9

Nựm hoồc: 2016 2017

= -x + 3 v y = 3x + 1. nh A cú to l (2;4). Hóy lp phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC.
Cõu 7(2) : Vi a>0 ; b>0 cho trc v x,y>0 thay i sao cho :
a b
+ = 1 . Tỡm x,y x + y t giỏ tr nh nht.
x y

Cõu 8(2) : Cho tam giỏc vuụng ABC (= 900) cú ng cao AH. Gi trung im ca BH l P.
Trung im ca AH l Q.
Chng minh : AP CQ.
Cõu 9(3) : Cho ng trũn (O) ng kớnh AB. Mt im M thay i trờn ng trũn ( M khỏc A,
B). Dng ng trũn tõm M tip xỳc vi AB ti H. T A v B k hai tip tuyn AC, BD n ng
trũn tõm M.
a) Chng minh CD l tip tuyn ca (O).
b) Chng minh tng AC+BD khụng i. T ú tớnh giỏ tr ln nht ca AC.BD
c) Ly im N cú nh trờn (O) . Gi I l trung im cu MN, P l hỡnh chiu ca I trờn MB.
Tớnh qu tớch ca P.

Cõu 10(1) : Hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cỏc mt l tam giỏc u. Gi O l trung im ng
cao SH ca hỡnh chúp.
Chng minh rng : AOB = BOC = COA = 900.
*********************************************************************************
S 36
Bi 1 (5) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a, x 2 1 x 2 + 1 = 0
b, x + 3 4 x 1 + x + 8 + 6 x 1 = 4
Bi 2 (5) Cho biu rhc
2
x 2
x + 2 1 x





P=
x + 2 x + 1 2
x 1

a, Rỳt gn P.
b, Chng minh rng nu 0< x<1 thỡ P > 0.
c , Tỡm giỏ tr ln nht ca P.
Bi 3: (5 ) Chng minh cỏc bt ng thc sau.
a , Cho a > c , b >c , c > 0 .
Chng minh : c( a c ) + c( b c ) ab
b, Chng minh.

2005

2006
+
> 2005 + 2006
2006
2005

Bi 4: (5) Cho AHC cú 3 gúc nhn , ng cao HE . Trờn on HE ly im B sao cho tia CB
vuụng gúc vi AH , hai trung tuyn AM v BK ca ABC ct nhau I. Hai trung trc ca cỏc
on thng AC v BC ct nhau ti O.
a, Chng minh ABH ~ MKO
b, Chng minh

IO 3 + IK 3 + IM 3
2
=
3
3
3
IA + IH + IB
4

Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

24

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng


Giaỏo aỏn bửỡi dỷỳọng HSG Toaỏn 9


Nựm hoồc: 2016 2017

*********************************************************************************
S 37
Cõu I: ( 6 im ):
Cõu 1( 2im ): Gii phng trỡnh
x + 15 + 8 x 1 +
x + 15 8 x 1 = 7
Cõu 2 ( 2im ): Gii phng trỡnh
( x - 1) ( x - 3 ) (x + 5 ) (x + 7 ) = 297
Cõu 3 ( 2 im ) : Gii phng trỡnh
ax 1
x 1

2
a ( x 2 + 1)
+
=
x +1
x2 + 1

Cõu II ( 4 im )

x
z
y
=
= 0 v abc 0
a
b

c
x2 + y 2 + z 2
Rỳt gn biu thc sau: X =
(ax + by + cz ) 2
1
1
Cõu 2 (2im ) :
Tớnh
A =
+
+ ..........+
2+ 3
3+ 4

Cõu 1 ( 2im ):

Cho

1
2004 + 2005

Cõu III ( 4 im )
Cõu 1 ( 2 im ) : Cho x > 0 ; y > 0 v x + y = 1

1
1

Tỡm giỏ tr nh nht ca: M = x + 2 + y +





y

Cõu 2 ( 2 im ): Cho 0 x , y, z 1 CMR :

x
yz + 1

2

x

+

z
y
+
2
xy + 1
xz + 1

Cõu IV : Cho t giỏc ABCD cú B = D = 900 . Gi M l mt im trờn ng chộo AC sao cho
ABM = DBC v I l trung im AC.
Cõu 1: CM :
CIB = 2 BDC
Cõu 2 :
ABM
DBC
Cõu 3:

AC . BD = AB . DC + AD . BC
Cõu V : Cho hỡnh chúp S.ABC cú cỏc mt bờn v mt ỏy l cỏc tam giỏc u cnh 8cm
a/ Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh chúp
b/ Tớnh th tớch ca hỡnh chúp.
*********************************************************************************
S 38
2
2
x+2
2 4 x 3x x + 1
M
=
+

3
:



Bi 1: - Cho
.
x +1 x +1
3x
3x

a. Rỳt gn biu thc M.
b. Tớnh giỏ tr ca biu thc M khi x = 5977, x = 3 + 2 2 .
c. Vi giỏ tr no ca x thỡ M cú giỏ tr nguyờn.
Bi 2: Tỡm giỏ tr ca M :
a. m2 2m + 5 cú giỏ tr nh nht


Giaỏo viùn : Hoaõng Quửởc Khaỏnh

25

Trỷỳõng THCS ửỡng Laồng