T 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103 KB, 7 trang )
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học: 2015 – 2016
Môn thi: Toán – Lớp: 9
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:
x
x 2
2− x
P =
+
: −
÷
÷
÷
x −1 x −1 x x x + x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình : x 2 − 7x + 6 + x + 3 = x − 6 + x 2 + 2x − 3
2. Cho 2 điểm A ( 1;3) và B ( −2;1)
a) Biết phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) đi qua A và B. Tìm a và b.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua C ( 2; −1) và song song với (d); vuông góc
với d.
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên ( x; y ) của phương trình : x 2 − 3y 2 + 2xy − 2x − 10y + 4 = 0
2. Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện xyz = 100 . Tính giá trị của
biểu thức M =
x
xy + x + 10
+
y
yz + y + 1
+
10 z
xz + 10 z + 10
Bài 4 (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì
(D ≠ A, B), trên đường kính AB lấy điểm C. Kẻ CH vuông góc với AD tại H, phân
·
giác trong DAB
cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F, DF cắt đường tròn (O)
tại N. Chứng minh:
1. Ba điểm N, C, E thẳng hàng;
2. Nếu AD = BC thì DN đi qua trung trung điểm của AC.
Bài 5: (2,0 điểm)
µ = 105o ; B
µ = 45o ; BC = 4cm . Tính độ dài AB; AC.
Cho VABC có A
HẾT
(Đề thi gồm có 02 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………; Số báo danh:………………….
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán – Lớp: 9
Bài 1: (2,0 điểm)
Ý/Phần
a)
ĐK: x > 0; x ≠ 1
P=
=
(
x
(
(
Đáp án
)
(
)
Điểm
x +1 + x 2 x +1 − 2 + x
:
x +1
x −1
x x +1
)(
x+2 x
:
(
)
x+2 x
) x ( x + 1)
x ( x + 1)
x+2 x
=
.
( x + 1) ( x − 1) x + 2 x
x +1
x −1
1,0
x
x −1
=
b)
)(
)
P <1 ⇔
x
< 1⇔
x −1
x
x − x +1
−1 < 0 ⇔
<0
x −1
x −1
2
1
1 1
1 3
Vì x − x + 1 = x − .2. x + − + 1 = x − ÷ + > 0
2
⇒
x − 1 <0 ⇔
4 4
x < 1⇔ x < 1
2
4
0,5
Kết hợp ĐK: x > 0; x ≠ 1
Vậy 0 < x <1 thì P < 1
c)
x
x −1+1
=
=
x −1
x −1
1
P = x −1 +
+2
x −1
P=
Vì x > 0 ⇒
(
x − 1 > 0;
)(
x −1
)
x +1 +1
x −1
= x +1+
1
x −1
1
> 0. Áp dụng BĐT Cô si ta được:
x −1
0,5
1
≥2
x −1
⇒ P ≥ 2+2 = 4
x −1 +
Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk)
Vậy Pmin = 4 khi x = 4 ⇒ P = 2 khi x = 4.
Bài 2: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
1)
Phng trỡnh : x 2 7x + 6 + x + 3 = x 6 + x 2 + 2x 3 ( 1)
2
2
Ta cú x 7x + 6 = ( x 1) ( x 6 ) v x + 2x 3 = ( x 1) ( x + 3) nờn
x + 3 0
x 3
phng trỡnh xỏc nh x 1 0 x 1 x 6
x 6 0
x 6
0,25
Khi ú :
( 1) ( x 1) ( x 6 ) +
x 1
(
(
x +3 = x 6 +
) (
x 6 x +3
x6 x+3
)(
( x 1) ( x + 3)
)
x 6 x +3 = 0
)
x 1 1 = 0
0,25
x 6 x + 3 = 0 x 6 = x + 3 x 6 = x + 3 0x = 9 (voõnghieọ
m)
ng thoỷ
a maừ
n ẹKXẹ)
x 1 1 = 0 x 1 = 1 x 1 = 1 x = 2 (loaùi vỡ khoõ
0,25
Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim
2)
0,25
a) Vỡ ( d ) : y = ax + b ( a 0 ) i qua 2 im A; B nờn:
2
a=
3 = a + b
3
(tmk)
1 = 2a + b
b = 7
3
2
7
Vy ( d ) : y = x +
3
3
b) Gi ng thng cn tỡm l
( V) : y = ax + b ( a 0 )
Vỡ ( V) i qua C nờn
+) Vỡ ( V) P( d )
0,5
1 = 2a + b ( 1)
2
a
=
3
b 7
2
2
7
( V) : 1 = 2. + b b =
3
3
2
7
Vy ( V) : y = x
3
3
2
3
+) Vỡ ( V) ( d ) a. = 1 a =
3
2
Thay vo (1) ta c:
1 = 3 + b b = 2
0,5
3
2
Vậy ( V) : y = − x + 2
Bài 3: (2,0 điểm)
Ý/Phần
1)
Ta có :
Đáp án
Điểm
x 2 − 3y 2 + 2xy − 2x − 10y + 4 = 0
⇔ ( x 2 + 2xy + y 2 ) − ( 4y 2 + 4y + 1) − ( 2x + 6y ) + 5 = 0
⇔ ( x + y ) − ( 2y + 1) − 2 ( x + 3y ) + 5 = 0
2
2
⇔ ( x − y − 1) ( x + 3y + 1) − 2 ( x + 3y + 1) + 7 = 0
⇔ ( x + 3y + 1) ( x − y − 3) = −7
0,25
Vì x, y nguyên nên ( x + 3y + 1) và ( x − y − 3) nguyên các
trường hợp :
*) Trường hợp 1:
x + 3y + 1 = 1
x + 3y = 0
x = −3y
x = −3
⇔
⇔
⇔
x − y − 3 = −7
x − y = −4 4y = 4
y = 1
*) Trường hợp 2:
0,25
x + 3y + 1 = −1 x + 3y = −2
x = −2 − 3y
x = 7
⇔
⇔
⇔
x − y − 3 = 7
x − y = 10
4y = −12
y = −3
*) Trường hợp 3:
x + 3y + 1 = 7
x + 3y = 6
x = 6 − 3y
x = 3
⇔
⇔
⇔
x − y − 3 = −1 x − y = 2
4y = 4
y = 1
0,25
*) Trường hợp 4:
x + 3y + 1 = −7
x + 3y = −8
x = −8 − 3y
x = 1
⇔
⇔
⇔
x − y − 3 = 1
x − y = 4
4y = −12
y = −3
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
( x; y ) ∈ { ( −3;1) ; ( 7; −3) ; ( 3;1) ; ( 1; −3 ) }
2)
Vì x, y, z nguyên dương; xyz = 100 ⇒ xyz = 10
Ta có :
0,25
M=
=
=
=
=
x
xy + x + 10
x
xy + x + 10
x
+
y
yz + y + 1
xy
+
xyz + xy + x
xy
+
xy + x + 10 10 + xy + x
x
xy + x + 10
x + xy + 10
xy + x + 10
xy
+
xy + x + 10
10 z
+
+
+
xz + 10 z + 10
0,25
10 z
+
xz + 10 z + xyz
z
(
10 z
x + 10 + xy
)
0,25
0,25
10
xy + x + 10
=1
0,25
Bài 4: (2,0 điểm)
Ý/Phần
1)
Đáp án
Điểm
N
P
A
O
B
C
F
0,25
H
D
E
·
·
Vì CH // BD (cùng vuông góc với AD) suy ra ACH
= ABD
(đồng vị)
·
·
Lại có AND
(cùng chắn cung AD)
= ABD
·
·
, hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh
⇒ ACH
= AND
·
·
AF do đó tứ giác ANCF nội tiếp. ⇒ FAC
(hệ quả góc
= FNC
nội tiếp).
(1)
·
·
Nối N với E ta có DAE = DNE (cùng chắn cung DE), mà
·
·
(gt) (2)
DAE
= BAE
·
·
Từ (1) và (2) suy ra DNC
= DNE
0,25
0,25
Do đó hai tia NC và NE trùng nhau do đó ba điểm N, C, E
thẳng hàng. (đpcm)
2)
0,25
Gọi giao điểm của ND với AB là P.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác APD ta có:
AP FP
=
AD FD
(3)
Xét tam giác BDP, có FC // DB, Áp dụng định lí Ta lét trong
tam giác ta có::
PC PF
=
(4)
BC DF
1,0
Từ (3) và (4) suy ra
AP PC
=
. Mà AD = BC (gt) suy ra:
AD BC
AP = PC do đó P là trung điểm của AC.
Bài 5: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
A
Kẻ AH ⊥ BC
Xét VAHB có ·AHB = 90o
1
2
µ = 45o ⇒ µA = 45o
B
¶A = 105o − 45o = 60o
2
B
+ ) HC = AH .tan 60o
H
C
1,0
⇔ 4 − BH = AH . 3 ⇔ 4 − AH = 3 AH ( AH = BH )
⇔
(
)
3 + 1 . AH = 4 ⇔ AH =
4
=2
3 +1
(
)
3 −1
Mà: AB 2 = AH 2 + BH 2 (Định lí Pi- ta- go)
⇔ AB 2 = 2 AH 2 ⇔ AB = 2 AH = 2.2
AC = 2 AH = 4
(
)
3 −1
(
) (
3 −1 = 2
6− 2
)
1,0
