T 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (82.78 KB, 7 trang )
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 – 2016
PHÒNG GD&ĐT LƯƠNG TÀI
Môn thi : Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Bài 1: (2đ) Cho biểu thức:
x
x 2
2− x
P =
+
: −
÷
÷
÷
x −1 x −1 x x x + x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Bài 2: (2đ)
Cho 2 điểm A ( 1;3) và B ( −2;1)
a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B
b) Xác đinh khoảng cách từ O đến (d).
Bài 3: (2đ)
a) Giải phương trình
3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 21 = 5 − 2 x − x 2
b) Giải phương trình nghiệm nguyên :
Bài 4 : ( 3 điểm )
x 2 + 2 xy − 7 x − 12 = 0
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định
của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H
lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
·
·
·
·
1.Tính sin 2 MBA
+ sin 2 MAB
+ sin 2 MCD
+ sin 2 MDC
2.Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH )
3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: (1đ)
µ = 105o ; B
µ = 45o ; BC = 4cm . Tính độ dài AB; AC.
Cho VABC có A
HẾT
( Đề thi gồm có 2 trang )
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm .
Họ và tên thí sinh …………………… Số báo danh ……………………….
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GD&ĐT LƯƠNG TÀI
Bài 1:
Phần
a
Môn thi : Toán lớp 9
Đáp án
a) ĐK: x > 0; x ≠ 1
P=
=
(
(
)
(
)
x +1 + x 2 x +1 − 2 + x
:
x +1
x −1
x x +1
)(
)
x+2 x
b
)(
:
(
)
x+2 x
) x ( x + 1)
x ( x + 1)
x+2 x
=
.
( x + 1) ( x − 1) x + 2 x
=
(
x
Biểu điểm
x +1
x −1
1đ
x
x −1
b) P < 1 ⇔
x
< 1⇔
x −1
x
x − x +1
−1 < 0 ⇔
<0
x −1
x −1
2
1
1 1
1 3
Vì x − x + 1 = x − .2. x + − + 1 = x − ÷ + > 0
2
4 4
2 4
⇒ x − 1 <0 ⇔ x < 1 ⇔ x < 1
Kết hợp ĐK: x > 0; x ≠ 1
Vậy 0 < x <1 thì P < 1
x
x −1+1
=
=
x
−
1
x
−
1
c)
1
P = x −1 +
+2
x −1
P=
Vì x > 0 ⇒
(
x − 1 > 0;
)(
x −1
)
x +1 +1
x −1
= x +1+
1
â
x −1
1
> 0. Áp dụng BĐT Cô si ta
x −1
được:
1
≥2
x −1
⇒ P ≥ 2+2 = 4
0,5đ
x −1+
Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk)
Vậy Pmin = 4 khi x = 4 ⇒ P = 2 khi x = 4.
0,5đ
Bài 2 :
Phần
a
b
Đáp án
Điểm
a) Gọi ( d ) : y = ax + b ( a ≠ 0 ) do (d) đi qua 2 điểm A; B nên:
2
a
=
3 = a + b
3
⇔
(tmđk)
1 = −2a + b
b = 7
3
2
7
Vậy ( d ) : y = x +
3
3
1 điểm
y
(d)
b)
D
A
H
E
-3,5
O
1
x
+) Giao Ox: y = 0 ⇒ x = - 3,5. E(-3,5; 0)
⇒ OE = 3,5
+) Giao Oy: x = 0 ⇒ y = 3,5. D(0; 3,5)
⇒ OD = 3,5
Vẽ OH ⊥ ( d )
·
Xét VEOD có: EOD
= 90o
⇒
1
1
1
1
1
1
=
+
⇔
=
+
2
2
2
2
2
2
OH
OD OE
OH
7 7
÷ ÷
3 2
⇔ OH =
7 13
13
1 điểm
Bài 3 :
Phần
a
Đáp án
Điểm
a)
+) 3x 2 + 6 x + 7 = 3 ( x 2 + 2 x + 1) + 4 = 3 ( x + 1) + 4
2
Vì 3 ( x + 1) + 4 ≥ 4 ⇒ 3 ( x + 1) + 4 ≥ 2
2
2
+) 5 x + 10 x + 21 = 5 ( x + 2 x + 1) + 16 = 5 ( x + 1) + 16
2
1 điểm
2
2
Vì 5 ( x + 1) + 16 ≥ 16 ⇒ 5 ( x + 1) + 16 ≥ 4
2
2
⇒ VT ≥ 2 + 4 = 6
x +1 = 0
⇔ x = −1
x +1 = 0
Dấu “=” xảy ra ⇔
+)
b
5 − 2 x − x2 = − x 2 − 2 x + 5 = − ( x 2 + 2 x − 5) = − ( x 2 + 2 x + 1 − 6 )
= 6 − ( x + 1) ≤ 6
2
Dấu “=” xảy ra khi ⇔ x = −1
⇒ VT = VP = 6 khi x = −1
Vậy phương trình có một nghiệm là x = - 1.
2
b) x + 2 xy − 7 x − 12 = 0 ( 1)
Nếu x = 0 ⇒ ( 1) ⇔ −12 = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm
− x 2 + 7 x + 12
2x
2
(x; y) nguyên ⇔ ( − x + 7 x + 12 ) M( 2 x )
Nếu x ≠ 0 ⇒ y =
⇔ ( −2 x 2 + 14 x + 24 ) M( 2 x )
⇔ −2 ( x 2 − 7 x ) + 24M2 x
⇔ 24M2 x ⇔ 12Mx
⇒ x ∈ Ư(12) ⇒ x ∈ { ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12}
⇒ y ∈ { 9; −2;11; 4; −3; 4}
1 điểm
Bài 4
Phần
Đáp án
Điểm
C
K
B
O
M
H
A
D
1 điểm
1
1.
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD
vuông tại M nên:
·
·
·
·
=
sin 2 MBA
+ sin 2 MAB
+ sin 2 MCD
+ sin 2 MDC
2 ·
2·
2 ·
2·
(sin MBA + cos MBA) + (sin MCD + cos MCD)
=1 +1=2
2
3
Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH )
2.
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông
MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
3.
1 điểm
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK =
4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH ≤
OH 2 + MH 2 OM 2 R 2
=
=
(Pitago)
2
2
2
1 điểm
Vậy P ≤ 4 R 2 .
R2
= 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra ⇔ MH = OH
2
⇔ OH = R 2
2
Bài 5
Phần
Đáp án
Điểm
Bài 5:
Kẻ AH ⊥ BC
Xét VAHB có ·AHB = 90o
A
µ = 45o ⇒ µA = 45o
B
¶A = 105o − 45o = 60o
2
1
2
1 điểm
+) HC = AH .tan 60o
⇔ 4 − BH = AH . 3 ⇔ 4 − AH = 3 AH ( AH = BH )
(
B
)
H
(
)
(
) (
4
⇔ 3 + 1 . AH = 4 ⇔ AH =
= 2 3 −1
3 +1
Mà: AB 2 = AH 2 + BH 2 (Định lí Pi- ta- go)
⇔ AB 2 = 2 AH 2 ⇔ AB = 2 AH = 2.2 3 − 1 = 2
AC = 2 AH = 4
(
)
3 −1
C
6− 2
)
