UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

 x+2
x
1  x −1
+
+
Bài 1 (2,0đ): Cho P = 
÷:
2
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x



a/ Rút gọn biểu thức P (0,75đ Khá)
b/ Tìm x để P =

2
(0,75đ Khá)
7

c/ So sánh P2 với 2P (0,5 Khá)
Bài 2 (2,0đ):
1/ Giải phương trình: x = x −

1
1
+ 1 − (1đ Giỏi)
x
x

2/ Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là
trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC.
a/ Viết phương trình của đường thẳng AB; BC. (0,5đ Khá)
b/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. (0,5 Khá)
Bài 3 (2,0đ):
1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2 + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = 0 (1đ Khá)
2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó
bằng 2023 (1đ Giỏi)
Bài 4 (3,0đ): Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB. Lấy điểm I nằm trên tia
đối của BA, kẻ tiếp tuyến IC (C là tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm cố định thuộc nửa
đường tròn đường kính AB không chứa điểm C (M khác A;B). Gọi N là giao điểm
thứ 2 của IM với (O); H là hình chiếu của C trên AB; K là hình chiếu của O trên
IM, E là giao điểm của CH và OK.

a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá)
b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi)
c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E. (1đ SX)
Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a 2 + b 2 + 1 = 2(ab + a + b) . Chứng minh a; b là
2 số chính phương liên tiếp. (1đ SX)
-------------- Hết ---------------


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0đ):
Ý

Đáp án


x
+
2
x
1
÷: x − 1
P=

+
−
3

÷ 2 (với x ≥ 0 ; x≠1)
x
+
x
+
1
x
−
1
 x −1
÷


x + 2 + x − x − x − x −1 2
=
×
x −1
x −1 x + x +1

Điểm

( )

a/

(


=

)(

)

x − 2 x +1

(

)(

)

x −1 x + x +1

×

2
2
=
x −1 x + x +1

2
x + x +1
2
Ta có: P =
(với x ≥ 0 ; x≠1)
x + x +1

2
2
2
P= ⇔
= ⇔ x + x +1= 7 ⇔ x + x − 6 = 0
7
x + x +1 7
Vậy P =

b/

⇔

(

x −2

)(

x +3 =0⇔

⇔x=4
Vậy với x =4 thì P =
Ta có: P =

)

(

)


x − 2 = 0 (vì x ≥ 0 nên

0,25đ

0,25đ

x + 3 > 0)
0,5đ

2
7

2
( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
x + x +1

Do x ≥ 0 ; x≠1 nên x + x + 1 > 0 ⇒ P =
c/

0, 5đ

2
>0
x + x +1

Ta lại có x + x ≥ 0 (vì x ≥ 0 ; x≠1)
1
2
⇒ x + x + 1≥ 1⇒

≤ 1⇒ P =
≤2
x + x +1
x + x +1
Ta có P2 – 2P = P(P – 2) ≤ 0 (vì 0< P ≤ 2 ) => P2 ≤ 2P
Vậy P2 ≤ 2P

0,25đ
0,25đ


Bài 2 (2,0đ):
Ý

Đáp án

ĐK:

Điểm

 1
x − x ≥ 0

x ≥ 1
 1
1 − ≥ 0 ⇔ 
 −1 ≤ x < 0
 x
x ≠ 0




0,25đ

TH1: −1 ≤ x < 0 . VT<0; VP>0 nên PT vô nghiệm.

0,25đ

1
1 ⇔
1
1
x − 1− = x −
TH2: x ≥ 1 . PT: x  = x − + 1 −
x
x
x
x

1/

2


1
1
1
⇔  x − 1 −  = x − ⇔ x 2 – 2 x 1 −  + 1 −  x  =  0



x
x
x


1
⇔ x 2  −  x − 2 x 2 1 − ÷ + 1 = 0 ⇔ x ( x − 1) − 2 x( x − 1) + 1 = 0
 x
⇔

(

)

2

x ( x − 1) − 1 = 0 ⇔

0,25đ

x ( x − 1) = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0

⇔ x = 1 + 5 (vì x ≥ 1)
2
1 + 5 
Vậy S = 

 2 

0,25đ


2
3

+ Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = x –

1
3

0,25đ

+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng
2-a/

2
x + b . Vì N thuộc đường thẳng BC tìm ra b = – 6. Vậy phương trình
3
2
của đường thẳng BC là y = x – 6 .
3
y =

7
2

2-b/

+ Tương tự ta có ptđt AB là y = x – 6

0,25đ


2

 y = 3 x – 6
+ Giải hệ 
y = 7 x − 6

2

0,25đ

ta suy ra tọa độ đỉnh B(0; – 6)

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P là trung điểm AC nên P là
trung điểm của BD, tìm ra tọa độ điểm D(10;12).
Vậy D(10;12).

0,25đ


Bài 3 (2,0đ):
Ý

Đáp án
Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2 + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = 0
⇒ x 2 + xy + x − 2015 x − 2015 y − 2015 = 1

Điểm

⇒ ( x + y + 1) ( x − 2015 ) = 1


0,25đ

x + y +1 = 1
 x + y + 1 = −1
⇒
⇒ ( x; y ) = ( 2016; −2016 ) hoặc
hoặc 
 x − 2015 = 1
 x − 2015 = −1
⇒ ( x; y ) = ( 2014; −2016 )

0,25đ

⇒ x ( x + y + 1) − 2015 ( x + y + 1) = 1

1/

2/

Vậy ( x; y ) = ( 2016; −2016 ) hoặc ( x; y ) = ( 2014; −2016 ) .
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của
nó bằng 2023
Gọi số cần tìm là abcd ĐK: a; b; c; d ∈ N ;1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b; c; d ≤ 9
Theo bài ra ta có: abcd + a + b + c + d = 2023 (1)
Vì abcd + a + b + c + d = 2023 nên abcd < 3000 và 1 ≤ a ≤ 9 nên a=1; 2.
TH1: a=1.
Thay vào (1) ta được: 1bcd + 1 + b + c + d = 2023 ⇒ bcd + b + c + d = 1022 (2)
⇒ bcd = 1022 − (b + c + d ) > 1022 − ( 9 + 9 + 9 ) = 995 nên b=9.
Thay vào (2) ta được: 9cd + 9 + c + d = 1022 ⇒ cd + c + d = 113 (3)

⇒ cd = 113 − ( c + d ) > 113 − ( 9 + 9 ) = 95 nên c=9.
Thay vào (3) ta được: 9d + 9 + d = 113 ⇒ d + d = 14 ⇒ d = 7
Suy ra số cần cần tìm là: 1997.
TH2: a=2.
Thay vào (1) ta được: 2bcd + 2 + b + c + d = 2023 ⇒ bcd + b + c + d = 21 (4)
⇒ bcd = 21 − (b + c + d ) < 21 − ( 0 + 0 + 0 ) = 21 < 100 nên b=0.
Thay vào (4) ta được: 0cd + 0 + c + d = 21 ⇒ cd + c + d = 21 (5)
⇒ cd = 21 − ( c + d ) < 21 − ( 0 + 0 ) = 21 nên c=0;1;2.
+ Nếu c=0. Thay vào (5) ta được: 0d + 0 + d = 21 ⇒ d + d = 21 ⇒ d = 10,5
⇒ (loại).
+ Nếu c=1. Thay vào (5) ta được: 1d + 1 + d = 21 ⇒ d + d = 10 ⇒ d = 5
Suy ra số cần cần tìm là: 2015.
+ Nếu c=2. Thay vào (5) ta được: 2d + 2 + d = 21 ⇒ d + d = −1 ⇒ (loại).
Vậy có 2 số tmycbt là: 1997 và 2015.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ
0,25đ


Bài 4 (3,0đ):
Ý


Đáp án

Điểm

0,25đ

a/

b/

Chứng minh: IC2 =IA.IB
2
2
2
2
2
Chỉ ra: IC = IO − OC = IO − OA = ( IO + OA ) ( IO − OA) = IA.IB ⇒ đpcm.
Chứng minh: IH.IO=IM.IN
Chỉ ra: ∆OCI vuông tại C, đường cao CH nên IC 2 = IH .IO (1)
2
2
Chỉ ra: IM .IN = ( IK + KM ) ( IK − KN ) = IK − KM
= IK 2 − ( OA2 − OK 2 ) = ( IK 2 + OK 2 ) − OA2 = IO 2 − OA2

= ( IO + OA) ( IO − OA) = IA.IB = IC 2 (2)

c/

Từ (1) và (2) suy ra: IH.IO=IM.IN ⇒ đpcm.
Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E.

+ Chỉ ra: ∆OHE đồng dạng với ∆OKI suy ra OK.OE=OH.OI (3)
+ ∆OCI vuông tại C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2. (4)
+ Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2. Chỉ ra ∆OKM đồng dạng với ∆OME .
·
·
Nên OME
= OKM
= 900 suy ra: ME ⊥ OM .
Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM
cũng cố định tức là đường thẳng ME cố định. Nên quỹ tích điểm E là nằm
trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM.
Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn giữa 2 đường tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại A và B.

0,75
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a 2 + b 2 + 1 = 2(ab + a + b) . Chứng minh a; b là
2 số chính phương liên tiếp. (1đ SX)
Ý
Đáp án
Điểm
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn

a 2 + b 2 + 1 = 2(ab + a + b ) ⇔ a 2 + b 2 + 1 − 2ab + 2a − 2b = 4a
⇔ ( a − b + 1) = 4a . Suy ra a ≥ 0 .
2

( a − b + 1)

2

= 4a là số chính phương suy ra a là số chính phương

Nên đặt a = x2 (x là số nguyên). Khi đó:
2
( x 2 − b + 1) = 4 x 2 ⇔ x 2 − b + 1 = ±2 x
⇔ b = ( x m1)

2

Ta thấy x và (x+1) hoặc (x-1) và x là các số nguyên liên tiếp.
Suy ra: x2 và (x+1)2 hoặc (x-1)2 và x2 là các số chính phương liên tiếp.
Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp
Ghi chú: Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ