T 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (541.93 KB, 4 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P =
x2 − x
2 x + x 2 ( x − 1)
−
+
.
x + x +1
x
x −1
a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c. Xét biểu thức: Q =
2 x
, chứng tỏ 0 < Q < 2.
P
Bài 2: (2,0 điểm)
a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ 0 .
b. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
Bài 3: (2.25 điểm)
a. Giải phương trình:
36
+
x−2
4
= 28 − 4 x − 2 − y − 1 .
y −1
b. Cho đường thẳng y = ( m − 1) x + 2 (d) .
1. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị
của m.
2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc
với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của
M trên CD và AB.
·
·
·
·
a. Tính sin 2 MBA
+ sin 2 MAB
+ sin 2 MCD
+ sin 2 MDC
b. Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH )
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: (0,75 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có … trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh: ....................
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài 1: (2.0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Tìm đúng điều kiện : Đk : x > 0; x ≠ 1.
P=
a)
(
) − x(2
x x x −1
x + x +1
= x
(
) (
) + 2(
x +1
x
) (
)(
x +1
x −1
)
x −1 − 2 x +1 + 2
)
x −1
Điểm
0.25
0.25
x +1
= x − x +1
0.25
0.25
Vậy P = x − x + 1 , với x > 0; x ≠ 1.
2
b)
c)
1 3 3
P = x − x +1 = x − ÷ + ≥
2 4 4
1
dấu bằng xảy ra khi x = , thỏa mãn đk.
4
3
1
Vậy GTNN của P là
khi x = .
4
4
2 x
a. Với x > 0; x ≠ 1 thì Q =
> 0. (1)
x − x +1
(
)
0.25
2
0.25
Đáp án
Phân tích được thành (2x - y) + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 ≤ 0 (1)
Vì (2x - y)2 ≥ 0 ; (y – z + 1)2 ≥ 0 ; ( z - 3)2 ≥ 0 với mọi x, y, z
nên từ (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
A = n 2 + n + 6 là số chính phương nên A có dạng
2
a)
0.25
2 x −1
Xét 2 − 2 x =
≥0
x − x +1 x − x +1
Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x ≠ 1 .suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
Bài 2: (2,0 điểm)
Ý/Phần
0.25
A = n 2 + n + 6 = k 2 (k ∈ N * )
Điểm
0.5
0.25
0.25
0.25
⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23
2
b)
2
2
2
2k + 2n + 1 = 23
⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔
2k − 2n − 1 = 1
0.25
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
2k + 2n + 1 = 23
k = 6
⇔
⇔
2k − 2 n − 1 = 1
n = 5
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
Bài 3: (2,25 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
0.25
Điểm
: đk : x>2 ,y>1
0.25
Biến đổi pt về dạng
a)
9
+ x−2
x−2
4. (
4
+ y −1
y −1
) +
) = 28
Áp dụng BĐT cô si vói hai số dương VT ≥ 28 (2)
Để có (1) thì dấu bằng sảy ra trong (2)Khi
−2
2
−2
=
;0) ⇒ OB =
m −1 m −1
m −1
1
1 1
∆AOB vuông ở O, kẻ OH ⊥ AB . Áp dụng hệ thức: 2 = 2 + 2
h
b c
2
2
1
1
1
OA OB
=
+
⇔ OH 2 =
2
2
2
OH
OA OB
OA 2 + OB2
Điểm cắt trục hoành B (
OH =
2
( m − 1)
4 ( m − 1) + 4
2
16
2
:
( m − 1)
2
=
4
( m − 1)
2
0.25
9
= x−2
x−2
4
và
= y −1
y −1
Từ đó tìm được x=11 và y=5 (thỏa mãn )2.
1. Điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là A(0; 2)
2. Điểm cắt trục tung A(0; 2) ⇒ OA = 2
b)
0.25
+1
OH đạt GTLN khi và chỉ khi OH 2 đạt GTLN mà ta có
2
⇔ ( m − 1) + 1 ≥ 1 đạt GTNN là 1 khi m = 1
Vậy max OH = 2 ⇔ m = 1
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 4: (3,0điểm)
Ý/Phần
a)
Đáp án
Điểm
C
K
B
M
O
H
0,25
A
D
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
·
·
·
·
sin MBA
+ sin MAB
+ sin MCD
+ sin MDC
·
·
·
·
= (sin 2 MBA
+ cos 2 MBA
) + (sin 2 MCD
+ cos 2 MCD
)
2
b)
2
2
2
=1 +1=2
Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH )
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có
MH đường cao)
và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
c)
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
OH 2 + MH 2 OM 2 R 2
=
=
Mà OH.MH ≤
(Pitago)
2
2
2
2
2 R
Vậy P ≤ 4 R . = 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra ⇔ MH = OH
2
⇔ OH = R 2
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5: (0,75 điểm)
Ý/Phần
⇔ 2 ( x + 2 x + 1) = 3 ( 7 − y
2
⇔ 2 ( x + 1) = 3 ( 7 − y 2 )
2
)
Đáp án
Điểm
2
⇔ 3 ( 7 − y 2 ) M2
0,25
⇔ y là số nguyên lẻ
2
2
Mà 2 ( x + 1) ≥ 0⇒ ( 7 − y ) ≥ 0⇔ y 2 =1
0,25
2
Thay y =1 vào tìm được x = 2, x = - 4
Thử lại :… và trả lời .Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(- 4,1) ;(- 4,-1)
(Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa)
0,25
