T 5
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.72 KB, 5 trang )
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: P =
x
2
x+2
+
+
x − x x + 2 x ( x − 1)( x + 2 x )
a. Rút gọn P .
b. Tính P khi x = 3 + 2 2 .
c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
a.Giải phương trình x 2 − 2 x − x x − 2 x + 4 = 0
b. Cho hàm số: y = x − 2m − 1 ; với m tham số.
Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy.
2
H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH =
2
Bài 3: (2 điểm)
a. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y 2 + 2 xy − 3x − 2 = 0
b. Tìm số tự nhiên n để: A = n2012 + n2002 + 1 là số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)
a, (1 điểm) Cho tam giác ABC. Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với
đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N.Chứng minh: BM = CN:
b, (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi
D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và
AO. Chứng minh: a) EG // AB
b) OE ⊥ CD
c) SDAC + SBDO =
3
SABC
4
3
Bài 5: (1 điểm) Cho x > 1; y > 0 , chứng minh:
x −1
3 − 2x x
1
1
+
+ ÷
÷ + 3 ≥ 3
3
( x − 1) y y
x −1 y
---------HẾT--------( Đề thi gồm có 1 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh………………………………..; Số báo danh………………
1
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán- Lớp 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu
.
Nội dung cần đạt
Ý
P=
a
1
x
2
x+2
+
+
x ( x − 1)
x ( x + 2)
x ( x − 1)( x + 2)
=
x( x + 2) + 2( x − 1) + x + 2 x x + 2 x + 2 x − 2 + x + 2
=
x ( x − 1)( x + 2)
x ( x − 1)( x + 2)
=
x x + 2x + 2 x + x
=
x ( x − 1)( x + 2)
x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)
=
x ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)
x = 3 + 2 2 ⇔ x = 2 + 2 2 + 1 = ( 2 + 1) 2 = 2 + 1
b
c
P=
( x + 1)
2 +1+1
2+2
=
=
= 1+ 2
( x − 1)
2 +1−1
2
ĐK: x > 0; x ≠ 1 : P =
( x + 1)
=
( x − 1)
x −1+ 2
2
= 1+
x −1
x −1
Học sinh lập luận để tìm ra x = 4 hoặc x = 9
ĐK: x ≥ 0 . Nhận thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương
2
Điểm
0,25
0,25
0.5
0.25
2,0
0.25
0.25
0.25
0.25
trình, chia cả hai vế cho x ta có:
x2 − 2x − x x − 2 x + 4 = 0 ⇔ x − 2 − x −
Đặt x +
a
2 4
4
2
+ = 0 ⇔ (x + ) − ( x +
) −0.25
2=0
x
x x
x
2
4
4
= t > 0 ⇔ t2 = x + 4 + ⇔ x + = t2 − 4 ,
x
x
x
0.25
thay vào ta có:
t = 3
⇔ (t 2 − 4) − t − 2 = 0 ⇔ t 2 − t − 6 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔
t = −2
0.25
Đối chiếu ĐK
⇒t =3⇔ x +
b
x = 4
2
= 3 ⇔ x − 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x − 1) = 0 ⇔
x
x = 1
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
2,0
2
( 2m + 1;0 )
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B ( 0; −2m − 1)
0,5
Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:
m = 0
1
1
2
1
1
1
2= 2 + 2 ⇔2=
⇔
=
+
2
2
2
2 Hay
x A yB
(2m + 1)
OH
OA OB
m = −1
2
2
2
2
y + 2 xy − 3x − 2 = 0 ⇔ x + 2 xy + y = x + 3x + 2 ⇔ ( x + y ) 2 = ( x + 1)( x + 2)
0,5
0,25
(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên
a
liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
0.25
x +1 = 0
x = −1 ⇒ y = 1
⇔
⇔
x + 2 = 0
x = −2 ⇒ y = 2
0,25
Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) hoặc ( x; y ) = (−2; 2)
0,25
2.0
3
Xét n = 0 thì A = 1 không phải nguyên tố; n = 1 thì A = 3 nguyên
0.25
tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1)
b
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2
+n+1
0,25
3 667
Tương tự: (n )
2
– 1 chia hết cho n + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần
tìm n = 1.
4
0.25
0,25
1
3
Chứng minh: BM = CN
Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
∆ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường
phân giác) ⇒ AM = AN (1)
BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân tại A ⇒ AB = AP (2)
BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)
Trong ∆ BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP ⇒ N là trung
điểm
của CP hay NP = NC (5).
Từ (4),(5) ⇒ BM = CN
0,25
3.0
0,25
0,25
0,25
2
a) Chứng minh EG //AB:
Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của ∆ ADC chúng cắt nhau ở E
Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm ∆
ABC
CE CG 2
⇒ EG // DM hay EG // AB
=
=
CM CD 3
b) Chứng minh OE ⊥ CD :
OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)
Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1)
∆ ABC cân tại A ⇒ OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ∆ ODE, do đó OE ⊥ DG
hay OE ⊥ CD
Xét ∆ MCD, ta có:
0,25
0,25
0,25
0,5
4
3
SABC:
4
1
1
1 1
1
1
= OC × OA = × BC × OA = OA.BC
2
2
2 2
2
8
1
OA.BC
= 2
=4
1
OA.BC
8
c) Chứng minh: SDAC + SBDO =
S ODC
` S ABC
,
S ODC
1
SABC
4
Vậy SABC = 4 SODC hay SODC =
0,25
Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC –
x > 1; y > 0 ⇔ x − 1 > 0; y > 0 ⇔
0,25
1
3
SABC = SABC
4
4
1
x −1
1
> 0;
> 0; 3 > 0
3
( x − 1)
y
y
0,25
0,25
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:
1
1
1
3
+ 1 + 1 ≥ 3. 3
.1.1 ⇔
≥
−2
3
3
3
( x − 1)
( x − 1)
( x − 1)
x −1
3
5
3
(1)
3
x −1
x −1
x − 1 3( x − 1)
−2
÷ +1+1 ≥ 33
÷ .1.1 ⇔
÷ ≥
y
y
y
y
1
1
1 3
+ 1 + 1 ≥ 3. 3 3 .1.1 ⇔ 3 ≥ − 2
3
y
y
y
y
(2)
(3)
1.0
0,5
3
Từ (1); (2); (3):
x −1
1
1
3
3( x − 1) 3
+
−6+
+
÷+ 3≥
3
( x − 1) y y
x −1
y
y
3
x −1
1
1 3 − 6 x + 6 3x
3 − 2x x
⇔
+
+
= 3(
+ )
÷+ 3≥
3
( x − 1) y y
x −1
y
x −1 y
0,25
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
5
