T 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (84.19 KB, 7 trang )
.
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
x+2
x
1 x −1
+
+
÷
÷: 2
x x −1 x + x +1 1− x
1.Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng 0 < A ≤ 2 .
2. Cho biểu thức:
thức
2+x+ 2-x
= 2 với –2 < x < 2 và x ≠ 0. Tính giá trị của biểu
2+x− 2-x
x+2
.
x-2
Bài 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình: x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30
2. Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m (Với m là tham số)
(d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1
cắt nhau tại G.
a) Xác định toạ độ điểm G.
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Bài 3: (2 điểm)
a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 – 1 M24.
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
c/ Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y 2 + 2 xy − 3x − 2 = 0
1
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường
tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn
(O,R), OM cắt AB tại I.
a. Chứng minh tích OI.OM không đổi.
b. Tìm vị trí của M để ∆ MAB đều.
c. Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (1 điểm)
Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
x
y
z
9
+
+
≤
x + yz y + zx z + xy 4
…………………HẾT.…………………..
(Đề thi gồm có 02 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………..;Số báo danh:…………………
2
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu
ý
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán – Lớp 9
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
0,25đ
a/ với x ≥ 0, x ≠ 1
Ta có A =
x+2
x
1 x −1 x + 2 + x − x − x − x −1 2
+
+
.
÷
÷: 2 =
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x
x −1
x
−
1
x
+
x
+
1
(
1
(
1
b/
x − 2 x +1
)(
)
x −1 x + x +1
)(
)
2
2
=
x −1 x + x + 1
.
với x ≥ 0, x ≠ 1 ta luôn có A > 0
Lại có: x + x + 1 ≥ 1 ⇒
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
≤ 2 hay A ≤ 2
x + x +1
0,25đ
Vậy 0 < A ≤ 2
0,25đ
Áp dụng tính chất: Nếu
a c
a-b c-d
= ⇒
=
; từ giả thiết
b d
a+b c+d
2+x+ 2-x
2 2-x
2 −1
= 2 suy ra
=
2+x− 2-x
2 2+x
2 +1
2
Từ giả thiết –2 < x < 2 suy ra
2
2-x
2 - x 2 −1
2+x
>0⇒
=
⇒
= 3+ 2 2
÷
2+x
2 + x 2 +1 ÷
2
x
⇒
2
1
0,25
(
x+2
= −17 − 12 2
x−2
Đk: x ≥ −5
3
)
2
0,25
2
x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 ⇔ (x – 8x + 16) + (x + 5 - 6 x + 5 + 9) = 0
⇔ ( x – 4)2 + ( x + 5 - 3)2 = 0
⇔
0.5đ
x − 4 = 0
⇔ x = 4.
x + 5 − 3 = 0
0.5đ
Vậy x = 4.
2
a/ Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:
(m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + 1
0.5đ
⇔ x=m+1
Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m
⇔ y = -2m – 1
Toạ độ điểm G là (m + 1 ; -2m - 1)
b/ Có y = -2m - 1 = -2(m + 1) + 1
0.5đ
Mà x = m + 1
⇒ y = -2x + 1
Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1
cố định. Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định
khi m thay đổi
a/ Ta có p2 – 1 = (p – 1)(p + 1)
3
0,25
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là
hai số chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) M8
(1)
Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) M 0,25
3.
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, 3 là
số nguyên tố suy ra (p – 1)(p + 1) M3
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3, 8)=1 và 3.8 = 24 suy ra p2 – 1 M
4
0,25
24 (đpcm)
b/ A = n 2 + n + 6 là số chính phương nên A có dạng
A = n 2 + n + 6 = k 2 (k ∈ N * )
⇔ 4n 2 + 4n + 24 = 4k 2 ⇔ (2k ) 2 − (2n + 1) 2 = 23
2k + 2n + 1 = 23
⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔
2k − 2n − 1 = 1
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
0.25
0.5
2k + 2n + 1 = 23
k = 6
⇔
⇔
2 k − 2n − 1 = 1
n = 5
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
c/
y 2 + 2 xy − 3 x − 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 xy + y 2 = x 2 + 3x + 2 ⇔ ( x + y ) 2 = ( x + 1)( x + 2)
0,25đ
(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên
0,25đ
x +1 = 0
x = −1 ⇒ y = 1
⇔
x + 2 = 0
x = −2 ⇒ y = 2
liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. ⇔
Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) hoặc ( x; y ) = (−2; 2)
4
5
A
O
0,25đ
I
K
0,25đ
B
(d)
0,25đ
M
H
Vẽ hình đúng đến câu a
a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R)
⇒ OB ⊥ MB ; OA ⊥ MA
0,5đ
Chứng minh được ∆OAM = ∆OBM từ đó suy ra MA = MB
0,25đ
Lại có OA=OB suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng
AB
⇒ OM ⊥ AB
0,5đ
⇒ ∆ OMB vuông tại B có BI là đường cao
⇒ OB2 = OI.OM
⇒ OI.OM = R2 không đổi.
0,25đ
b) ∆ AMB cân tại M (chứng minh trên)
0,25đ
Để ∆ AMB đều thì góc AMB = 600 ⇔ góc BMO = 300
0,25đ
⇔ ∆ OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM
⇒ OM = 2.OB = 2R
6
0,25đ
Kết luận
c/ Kẻ OH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H cố định, OH cắt AB tại K.
Chứng minh ∆OIK và ∆OHM đồng dạng
⇒ OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
Mà O, H cố định nên OH không đổi ⇒ OK không đổi, K ∈ OH
cố định
⇒ K cố định
Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x).
Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x)
0.25đ
Do đó:
5
x
y
z
x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y )
+
+
=
x + yz y + zx z + xy
( x + y )( y + z )( z + x)
2( ( x + y )( y + z )( z + x) + xyz )
=
( x + y )( y + z )( z + x)
2xyz
1
0,25đ
9
= 2 + (x + y)(y + z)(z + x) ≤ 2 + 4 = 4 ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai
0,25đ
số dương ta có: (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 2 xy.2 yz.2 zx = 8xyz ))
1
3
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = .
…………………HẾT.…………………..
7
0,25đ
