T 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (300.95 KB, 7 trang )
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức P = x −
1 x −1
x −1
−
÷.
÷:
x x
x+ x ÷
a) Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
.
2+ 3
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức P. x = 6 x − 3− x − 4 .
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình
a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3
b) x 2 + 5 x + 9 = ( x + 5) x 2 + 9 .
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015
1 1 1
1
và + + =
thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015.
a b c 2015
(
)(
)
2
2
b) Cho x và y thỏa mãn x + x + 2015 y + y + 2015 = 2015 . Tính x + y.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC.
Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm
của CD và AO. Chứng minh:
b) OE ⊥ CD
a) EG // AB
c) SDAC + SBDO =
3
SABC
4
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ
đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và
N. Chứng minh: BM = CN.
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9
Bài 1: (2 điểm)
Ý/Phần
a)
0,75
điểm
Đáp án
1 x −1
x −1
P= x−
−
÷ , ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1
÷:
x x
x+ x ÷
0,25
x − 1 x − 1 : x − 1− x + 1
x − 1 x − 1
−
=
=
÷:
x
x x +1
x x
x x +1
0,25
(
0,5
điểm
c)
(
(
)
) = ( x + 1) 2
(
)
x − 1)
x
2
∈ ĐKXĐ, x = 4 − 2 3 = ( 3 − 1) ⇒
Với x =
2+ 3
x +1
2
Nên P = (
)
3 − 1+ 1
ĐK: x ≥ 4
(
⇔
)
2
)
2
x +1
(
(
x +1 = 6 x − 3 −
)
Kết luận
)
0,25
0,25
2
(
0,25
x−4
x−4
x−4 ⇔
(
)
2
x − 2 + x − 4 = 0 (*)
0,25
x − 4 ≥ 0, ∀ x ≥ 4
x − 2 ≥ 0 ∀ x > 0;
Nên để (*) xảy ra thì
x = 3−1
x−4
⇔ x + 2 x + 1 = 6 x −3−
Do
0,25
3
3 3+1
=
.
3 −1
2
=
. x = 6 x −3−
x
⇔
(
2
3−1
P. x = 6 x − 3 −
0,75
điểm
(
)
x− x
x−1
x −1 x
×
=
:
=
x x +1
x
x
x
b)
Điểm
)
2
x − 2 = 0 và
x − 4 = 0 ⇒ x = 4 (TM ĐKXĐ)
0,25
Bài 2: (2 điểm)
Ý/Phần
a)
Đáp án
a, x 2 − 3x + 2 +
Điểm
x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 (1)
x 2 − 3x + 2 ≥ 0
⇔x≥2
ĐK: x + 3 ≥ 0
x 2 + 2 x − 3 ≥ 0
0,25
(1) ⇔ + = +
x −1 = a ≥ 0
Đặt: x − 2 = b ≥ 0
1 điểm
x + 3 = c ≥ 0
⇔ a.b + c = b + a.c
(1)
⇔ a(b - c) - (b - c) = 0
0,25
a = 1
⇔ (a - 1)(b - c) = 0 ⇔
b = c
0,25
Với a = 1 ⇒
x − 1 = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 (thoả mãn
Với b = c ⇒
vô nghiệm
x − 2 = x + 3 ⇒ x - 2 = x + 3 ⇒ 0x = 5
đk)
0,25
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2
b)
x 2 + 5 x + 9 = ( x + 5) x 2 + 9 .
0,25
Đặt x 2 + 9 = y (với y ≥ 3 )
1 điểm Khi đó, ta có: y 2 + 5 x = ( x + 5) y ⇔ ( y − 5)( y − x ) = 0 ⇔ y = 5
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x = ±4.
y = x
0,5
0,25
Bài 3: (2 điểm)
Ý/Phần
a)
Đáp án
Điểm
1 1 1
1
1 1
1
1
+ + =
⇔ ( + )+( −
)=0
a b c a+b+c
a b
c a +b+c
a+b
a+b
+
=0
ab c(a + b + c)
1
1
⇔(a + b )(
+
) =0
ab c( a +b + c )
⇔
⇔(a + b )(ab + ac +bc + c 2 ) = 0
⇔(a + b )(b + c)(c + a ) = 0
a +b = 0
⇔
b + c = 0
c + a = 0
+) Nếu a + b = 0 thì suy ra c = 2015
+) Nếu b + c = 0 thì suy ra a = 2015
+) Nếu a + c = 0 thì suy ra b = 2015
Chứng tỏ trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 0.
b)
( x+
)(
)
x2 + 2015 y + y2 + 2015 = 2015 (hai nhaân töû v.traùi
phaûi khaùc 0) Nên
1 điểm
( x+
)
x2 + 2015 =
2015
2
y + y + 2015
Tương tự y + y2 + 2015 =
= y2 + 2015 − y
0,5
x2 + 2015 − x
Cộng vế theo vế, ta có
x + y + y2 + 2015 + x2 + 2015 =
⇒ 2(x + y) = 0 nên x + y = 0
y2 + 2015 + x2 + 2015 − x − y
0,5
Bài 4: (3 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
1 điểm
0,25
Vẽ hình chính xác
Chứng minh EG //AB:
Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của ∆ ADC chúng cắt nhau ở E
Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm ∆
ABC
Xét ∆ MCD, ta có:
CE CG 2
=
= ⇒ EG // DM hay EG // AB
CM CD 3
Chứng minh OE ⊥ CD :
OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)
Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1)
1 điểm ∆ ABC cân tại A ⇒ OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ∆ ODE, do đó OE ⊥ DG
hay OE ⊥ CD
0,25
0,5
b)
c)
0,5
Chứng minh: SDAC + SBDO =
S ODC
1 điểm
3
SABC:
4
1
1
1 1
1
1
= OC × OA = × BC × OA = OA.BC
2
2
2 2
2
8
1
OA.BC
= 2
=4
1
OA.BC
8
0,5
S ABC
S ODC
Vậy SABC = 4 SODC hay SODC =
0,5
1
SABC
4
Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC –
1
3
SABC = SABC
4
4
0,5
Bài 5: (1 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Vẽ hình chính xác
Chứng minh: BM = CN
1 điểm Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
∆ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường
phân giác) ⇒ AM = AN (1)
BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân tại A ⇒ AB = AP (2)
BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)
Trong ∆ BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP ⇒ N là trung
điểm
của CP hay NP = NC (5).
Từ (4),(5) ⇒ BM = CN
Lưu ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Điểm
0,25
0,5
0,25
