DUC THO 2016 2017
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.44 KB, 4 trang )
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài : 120 phút)
Bài 1. a) Thực hiện phép tính : A =
2+ 3
2+ 4+2 3
+
2- 3
2- 4-2 3
b) Giải phương trình : ( x + 2 ) -8x + ( x +1) - 4x + ( 2x + 3) - 24x = 1
1
1
Bài 2. a) Cho x, y là các số thực sao cho x + và y + là các số nguyên. Chứng
y
x
1
2 2
minh rằng x y + 2 2 là số nguyên.
x y
b) Cho a + b + c + d = 0 . Chứng minh rằng :
a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd)
Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm
M, N sao cho CM = DN.
a
·
a) Tính giá trị đúng của sin MAN
trong trường hợp CM = DN =
3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích ∆AMN
Bài 4. Cho ∆ABC có các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng
vuông góc với AI, đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng
minh rằng:
a) ∆BMI ∽ ∆BIC
2
2
2
b) BI CN = CI BM
BM CN
AI 2
+
= 1c)
AB AC
AB.AC
Bài 5. Chứng minh rằng nếu
a + b + c = 2 và
1
1
1
1
+
+
=
a
b
c
abc
thì b + c ≥ 4 abc
PHÒNG GD - ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1
a) A =
2+ 3
2+ 4+2 3
+
2+ 3
2- 3
2- 4-2 3
=
2+
(
4+2 3
4-2 3
2+ 3 2- 3
+
+
=
=
2 3+ 3
2 3- 3
3+ 3 3- 3
=
(
2 3
)
3 +1
(
2
)
3 +1
+
(
(
)
3 −1
2 3
(
) (
)
3 +1
2
2- 3
+
2-
(
)
3 −1
0.5
2
)
2x0.5
2
)
3 -1
=
3 +1
3 −1 2 3
+
=
=1
2 3
2 3
2 3
3x0.5
b) Phương trình đã cho tương đương với ( x - 2 ) + ( x -1) + ( 2x -3) = 1
⇔ x − 2 + x − 1 + 2x − 3 = 1
(1)
Ta có x − 2 + x − 1 = x − 2 + 1 − x ≥ x − 2 + 1 − x = 1
dấu “=” xảy ra khi (x - 2)(1 - x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2
mặt khác 2x − 3 ≥ 0 nên x − 2 + x − 1 + 2x − 3 ≥ 1
2
2
1 ≤ x ≤ 2
x − 2 + 1 − x = 1
3
Do đó (1) ⇔
⇔
⇔x=
3
2
2x − 3 = 0
x = 2
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
2
Bài 2
1
1
1
1
, y + ∈ Z nên x + ÷ y + ÷ ∈ Z
y
y
x
x
1
1
⇒ xy +
+ 2 ∈ Z ⇒ xy +
∈Z
xy
xy
a) Do x +
2
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.5
0.5
2
1
1
1
2 2
2 2
⇒ xy + ÷ ∈ Z ⇒ x y + 2 2 +2 ∈ Z ⇒ x y + 2 2 ∈ Z
x y
x y
xy
3
3
b) Từ a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = – c – d ⇒ ( a + b ) = ( −c − d )
⇒ a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 − d 3 − 3cd ( c + d )
2x0.5
0.5
0.5
⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = -3ab(a + b) – 3cd(c + d)
= 3ab(c + d) – 3cd(c + d) = 3(c + d)(ab – cd)
Bài 3 A
B a) Gọi I là giao điểm của AN và DM
Chứng minh được ∆AND = ∆DCM (c.g.c)
1
µ1=D
µ 1 mà A
µ1+N
µ 1 = 900
⇒A
µ1+N
µ 1 = 900 hay DIN
·
nên D
= 900
Đặt DN = CM = x (0 ≤ x ≤ a)
thì a = 3x, BM = NC = 2x
M
Tính được AM = x 13 , AN = x 10
I
∆AND vuông tại D, có đường cao DI nên ta có
1 1
D
2
C
9x
AD 2 ( 3x )
N
2
AD = AN. AI ⇒AI =
=
=
Hình vẽ : 0.25 đ
10
AN x 10
∆AIM vuông tại I nên ta có IM =
AM − AI =
2
2
7x
81x 2
=
13x −
10
10
2
7x
IM
7 130
·
Do đó sin MAN
=
=
: (x 13 ) =
10
AM
130
b) Ta có SAMN = SABCD - SADN - SMCN - SABM
ax x ( a − x ) a ( a − x )
= a2 –
−
−
2
2
2
2
a
xa 2 - ax+x 2
2
=
= 2 ÷
+ 3a
2
2
8
2
a
3a 2
x- ÷
a2
2
Do 0 ≤ x ≤ a ⇒
≤ 2 3a ≤
+
8
2
2
8
3a 2
a2
⇒
≤ SAMN ≤
8
2
2
a
3a
SAMN =
⇔x =
⇔ M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD
2
8
x = 0
N ≡ D,M ≡ C
a2
SAMN =
⇔
⇔
2
x = a
N ≡ C,M ≡ B
2
Vậy Min SAMN =
3a
⇔ M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD
8
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Max SAMN =
Bài 4
A
x = 0
N ≡ D,M ≡ C
a2
⇔
⇔
2
x = a
N ≡ C,M ≡ B
a) Tính được
·
BAC
·
BIC
= 900 +
2
12
0.25
0.5
N
M
I
12
B
Bài 5
2
1
C
·
·BMI = 900 + BAC
2
µ =B
¶
·
·
⇒ BIC = BMC mà B
1
2
⇒ ∆BMI ∽∆BIC (g.g) (2)
Hình vẽ : 0.25 đ
b) Tương tự câu a) ta chứng minh được ∆INC ∽∆BIC (g.g)
(3)
BM IM BI
=
=
Từ (2), (3) ⇒ ∆BMI ∽∆INC ⇒
(5)
IN NC IC
2
BI BM
⇒ ÷ =
⇒ BI NC = IC BM
IC
NC
c) Từ (5) ⇒ BM. NC = IM. IN = IM2 = AM2 – AI2
= AM. AN – AI2 (vì ∆AMN cân)
= (AB – BM)(AC – CN) – AI2 = AB. AC – AB. CN – BM. AC + BM. CN –AI2
⇒AB. CN + BM. AC = AB. AC – AI2
BM CN
AI 2
⇒
+
= 1AB AC
AB.AC
Từ giả thiết suy ra a + b + c = 2
Với mọi x, y ta có (x – y)2 ≥ 0 ⇒ (x + y)2 ≥ 4xy
Cho x = a , y = b + c ta được (a + b + c)2 ≥ 4a(b +c)
⇒ 22 ≥ 4a(b +c) ⇒ b + c ≥ a(b +c)2 (vì b + c > 0)
mà a(b +c)2 ≥ a. 4bc = 4abc nên b + c ≥ 4abc
Lưu ý: học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa
PHÒNG GD - ĐT
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
2x0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
