Copy of DE 12 HSG huyen toan 9 r
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (77.16 KB, 4 trang )
PHÒNG GD&ĐT
§Ò 12
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2011-2012
Môn thi: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
a) A = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
b) B =
2+ 3
2 + 2+ 3
+
2− 3
2 − 2− 3
Bài 2: (4 điểm)
x +3
x +2
x +2
x
+
+
Cho biểu thức: P =
÷: 1 −
÷
x +1
x − 2 3− x x −5 x +6
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
1
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
P
y - x = xy
Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình:
4x + 3y = 5xy
Bài 4: (2 điểm)
Giải phương trình: x 2 + 8x + 15 = 3 x + 3 + 2 x + 5 − 6
Bài 5: (6 điểm)
Cho ∆ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. M là điểm bất kì trên đoạn AD. Gọi N, P
lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ⊥ BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx.
a) Chứng minh 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: ∆ EBN vuông cân.
c) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp.
Họ tên thí sinh: …………………………………………. số báo danh: ………..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
§Ò 12
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (5 điểm) Rút gọn biểu thức:
a) A = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
2 điểm
= 13 + 30 2 + (2 2 + 1) 2
(0,5 điểm)
= 13 + 30 2 + 2 2 +1 = 13 + 30 ( 2 + 1) 2
(0,5 điểm)
= 13 + 30( 2 + 1) = 43 + 30 2
(0,5 điểm)
(5 + 3 2) 2 = 5 + 3 2
=
b) B =
B=
B=
=
2+ 3
2 + 2+ 3
2 2+ 6
+
2 + 4 +2 3
2 2+ 6
2 + ( 3 +1)
2
+
(0,5 điểm)
2− 3
2 − 2− 3
3 điểmNhân cả tử và mẫu với
2 2− 6
(0,5 điểm)
2 − 4 −2 3
+
2 2− 6
(0,5 điểm)
2 − ( 3 −1) 2
2 2+ 6 2 2− 6 2 2+ 6 2 2− 6
+
=
+
2 + 3 + 1 2 − 3 +1
3+ 3
3− 3
B=
(0,5 điểm)
(2 2 + 6)(3 − 3) (2 2 − 6 )(3 + 3)
+
(3 + 3)(3 − 3)
(3 − 3)(3 + 3)
B=
2 ta có:
(0,5 điểm)
12 2 − 2 18
= 2
6
(1 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
x +3
x +2
x +2
x
+
+
Cho biểu thức: P =
÷: 1 −
÷
x +1
x − 2 3− x x −5 x +6
a) Rút gọn P.
Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
2 điểm
(0,25 điểm)
x +3
x +2
x +2
x
−
+
÷: 1 −
÷
x −3 x −5 x + 6
x +1
x −2
P=
( x + 3)( x − 3) ( x + 2)( x − 2)
x +2
−
+
÷:
( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3)
P=
P=
P=
x −3
:
( x − 2)( x −3)
1
x +1
điểm)
(0,5 điểm)
x +1
x −2
(0,25 điểm)
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
P < 0 hay
x +1 − x
÷(0,5
x +1
x +1
< 0 Vì
x −2
x + 1 > 0 => P < 0 <=>
1 điểm
x − 2 < 0 (0,25 điểm)
2
<=> x < 2 <=> 0 ≤ x < 4
Vậy với 0 ≤ x < 4 thì P < 0
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
P=
1
x +1
=>
=
P
x −2
(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
P
x −2
3
= 1−
≤1
x +1
x +1
3
3
1
nhỏ nhất <=>
lớn nhất (vì
>0
x +1
x +1
P
3
lớn nhất <=> x + 1 nhỏ nhất
x +1
x + 1 ≥ 1 => GTNN của x + 1 = 1 <=> x = 0
1
1
Vậy x = 0 thì
đạt giá trị nhỏ nhất khi đó
=-2
P
P
Bài 3: (3 điểm)
y - x = xy
Giải hệ phương trình:
4x + 3y = 5xy
* Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là một nghiệm của hệ PT
* Xét với x ≠ 0; y ≠ 0
1 1
x − y =1
Chia 2 vế của từng phương trình của hệ cho xy ta được:
4 + 3 =5
y x
1 điểm
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
1
a − b =1
1
= a và = b ta có hệ phương trình
(0,5 điểm)
y
x
3a + 4b = 5
9
2
Giải hệ tính được a = và b = Tính đúng mỗi giá trị của a, b cho 0,25 điểm = (0,5 điểm)
7
7
7
7
=> x = và y =
mỗi giá trị cho 0,25 điểm
=> (0,5 điểm)
9
2
7 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) = (0; 0) và ( ; )
(0,5 điểm)
9 2
Kết luận thiếu 1 nghiệm trừ 0,25 điểm.
Bài 4: (2 điểm) Giải phương trình: x 2 + 8x + 15 = 3 x + 3 + 2 x + 5 − 6 (1)
Điều kiện: x ≥ –3, ta có:
(1) ⇔ (x + 3)(x + 5) − 3 x + 3 − 2 x + 5 + 6 = 0
(0,5 điểm)
Đặt
⇔ ( x + 3 − 2)( x + 5 − 3) = 0
(0,5 điểm)
3
x+3 =2
x + 3 = 4
x = 1
⇔
⇔
⇔
x + 5 = 9
x = 4
x + 5 = 3
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 4
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Bài 5: (6 điểm)
Cho ∆ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. M là điểm bất kì trên đoạn AD. Gọi N, P
lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx ⊥ BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx.
a) Chứng minh 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: ∆ EBN vuông cân.
c) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp.
A
N
P
O
I
M
H
B
D
C
E
a) Chứng minh 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn.
2 điểm
Chỉ ra được tứ giác ANMP là hình vuông
(0,5 điểm)
=> 4 điểm A, N, M, P cùng nằm trên một đường tròn gọi tâm là O.
(0,5 điểm)
Chỉ ra được NP là đường kính của đường tròn đi qua 4 điểm trên và góc NHP vuông nên H
cũng thuộc đường tròn (O)
(0,5 điểm)
Vậy 5 điểm A, N, M, H, P cùng nằm trên một đường tròn (O).
(0,5 điểm)
b) Chứng minh rằng: ∆ EBN vuông cân.
2 điểm
Chỉ ra được tam giác BDE = tam giác CDP (g.c.g)
(0, 5 điểm)
=> BE = CP
(0, 25 điểm)
Chỉ ra được BN = CP (cùng là hiệu hai đoạn thẳng bằng nhau)
(0,5 điểm)
=> BE = BN
(0,25 điểm)
Lại có góc NBE = 1 vuông (gt)
(0,25 điểm)
Nên tam giác BNE vuông cân tại B.
(0,25 điểm)
c) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp. 2 điểm
- Chỉ ra được góc NHM = góc NAM = 450 (cùng chắn cung MN) (1)
(0,5 điểm)
0
- Chỉ ra được góc NHB = góc NEB = 45
(2)
(0,5 điểm)
=> góc NHB = góc NHM =>HM trùng với HB hay B, M, H thẳng hàng.
(0,5 điểm)
- Chỉ ra được tứ giác AHDB nội tiếp
(0,5 điểm)
4
