Copy of DE 11 THI HSG r
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (72.41 KB, 3 trang )
PHÒNG GD – ĐT
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học : 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN – Lớp 9
Ngày thi: 17/11/2007
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
§Ò Sè 11
ĐỀ THI:
Bài 1: (3 điểm)
Cho a,b ∈ Z Chứng minh rằng nếu a + 5b chia hết cho 7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
Bài 2: (4 điểm)
Cho a, b, c, x, y, z là nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện:
a b c
x y z
+ + = 0 và + + = 1
x y z
a b c
a 2 b2 c 2
Tính giá trị của biểu thức: 2 + 2 + 2
x
y
z
Bài 3: (4 điểm)
Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
a +b +c ≥
2
2
2
a − b)
ab + bc + ca + (
26
2
( b − c)
+
6
2
( c − a)
+
2
2009
Bài 4: (4 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M = 2 x2 − 8x + x2 − 4 x + 5 + 6
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, đường chéo có độ dài bằng 1. Gọi MNEF là tứ giác lồi có bốn
đỉnh lần lượt nằm trên các cạnh của hình vuông.
Chứng minh rằng: MN + NE + EF + FM ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi nào?
------------------------ Hết ------------------------
PHÒNG GD – ĐT
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
§Ò Sè 11
ĐÁP ÁN
Bài 1: (3 điểm)
Ta có: 10a + b = 10(a + 5b) – 49b
Vì: a + 5b chia hết cho 7, nên: 10(a + 5b) chia hết cho 7; a,b ∈ ¢ .
49b chia hết cho 7, với b ∈ ¢
Suy ra: 10a + b chia hết cho 7; a,b ∈ ¢ .
Vậy: nếu a + 5b thì 10a + b chia hết cho 7, a,b ∈ ¢ .
Bài 2: (4 điểm)
Cho a, b, c, x, y, z là nhựng số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện:
a b c
x y z
+ + = 0 và + + = 1
x y z
a b c
a 2 b2 c2
Tính giá trị của biểu thức: 2 + 2 + 2
x
y
z
x y z
xbc + ayc + abz
= 0 ⇒ xbc + ayc + abz (vì abc ≠ 0)
* + + =0⇔
a b c
abc
* Mặt khác ta có:
2
a b c
a b c
+ + =1⇒ + + ÷ =1
x y z
x y z
2
2
2
a b a c b c
a b c
⇒ ÷ + ÷ + ÷ + 2 . + . + . ÷= 1
x y z
x y x z y z
abz + acy + bcx
a 2 b2 c2
⇒ 2 + 2 + 2 + 2
÷= 1
x
y
z
xyz
0
a 2 b2 c2
+ 2 + 2 + 2
÷= 1
2
x
y
z
xyz
a 2 b2 c2
⇒ 2 + 2 + 2 =1
x
y
z
⇒
Bài 3: (4 điểm)
Ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca +
( a − b)
2
( b − c)
+
2
( c − a)
+
2
26
6
2009
2
2
2
⇔ 2a2 +2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + 2 ( c − a )
13
3
2009
2
2
2
⇔ (a2 – 2ab + b2 ) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2 ) ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + 2 ( c − a )
13
3
2009
2
2
2
⇔ (a – b )2 + (b – c)2 + (c – a )2 ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + 2 ( c − a )
13
3
2009
Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a, b, c.
Vậy: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca +
( a − b)
26
2
( b − c)
+
6
2
( c − a ) ; với mọi số thực a, b, c.
+
2
2009
Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ta có: M = 2 x 2 − 8 x + x 2 − 4 x + 5 + 6 = 2 (x2 – 4x + 5) +
x2 − 4 x + 5 – 4
= 2[(x – 2)2 + 1] + ( x − 2) 2 + 1 – 4
Vì: 2[(x – 2)2 + 1] ≥ 2
( x − 2) 2 + 1 ≥ 1
Nên: M ≥ 2 + 1 – 4 hay M ≥ –1
Vậy: Min M = –1 khi: x = 2
Bài 5: Chứng minh: MN + NE + EF + FM ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi nào?
M
A
B
N
H
F
S
K
D
C
E
Gọi H, S, K lần lượt là trung điểm của MF, ME và NE.
1
MF (Vì AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền MF)
2
1
CK = NE (Vì CK là trung tuyến thuộc cạnh huyền NE)
2
Ta có: AH =
1
EF (Vì HS là đường trung bình của ∆ MEF)
2
1
SK = MN (Vì KS là đường trung bình của ∆ NME)
2
Vậy: MN + NE + EF + FM = 2(SK + CK + HS + AH) ≥ 2(CS + AS) ≥ 2AC = 2.
HS =
Dấu “=” xảy ra khi: H, S, K ∈ AC
Khi đó: Tứ giác MNEF là hình chữ nhật.
(Vì AC = 1)
