TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

----------

Đề tài:

TOÁN TỬ HAMILTON VÀ
PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER TRONG
NGHIÊN CỨU HỆ NHIỀU HẠT
Luận văn tốt nghiệp
Chuyên ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

TS. Huỳnh Anh Huy

Cao Hữu Hạnh
Mã số SV: B1300559
Lớp: Sư phạm Vật lý - CN
Khóa: 39

Cần Thơ, năm 2017


LỜI CẢM TẠ


Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Thầy Huỳnh Anh Huy đã tận tình
hướng dẫn vào tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô Bộ môn Sư phạm Vật
lí, Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ đã truyền đạt kiến
thức trong suốt thời gian tôi học tập.
Tôi xin được gởi lời cảm đến gia đình của tôi đã luôn ủng hộ,
động viên tôi trong suốt quá trình học tập.

Cần Thơ, ngày 21 tháng 4 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................... 1
2. Mục tiêu của đề tài ....................................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 2
4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................. 2
5. Cấu trúc của luận văn ................................................................................................... 2
PHẦN NỘI DUNG .............................................................................................................. 3
Chương 1: TOÁN TỬ HAMILTON & PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER ............... 3
1.1. Toán tử Hamilton .................................................................................................. 3
1.2. Phương trình Schrödinger ..................................................................................... 5

Chương 2: HỆ NHIỀU HẠT .......................................................................................... 10
2.1. Khái quát về hệ nhiều hạt .................................................................................... 10
2.2. Hệ hạt đồng nhất .................................................................................................. 13
2.3. Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt ............................................................. 24
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU HỆ NHIỀU HẠT .................................. 28
3.1. Phương pháp tách chuyển động khối tâm ........................................................... 28
3.2. Phương pháp gần đúng đoạn nhiệt ...................................................................... 33
3.3. Phương pháp trường trung bình .......................................................................... 37
3.4. Phương pháp nhiễu loạn ...................................................................................... 49
3.5. Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai ................................................................ 60
Chương 4: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER VÀO NGHIÊN CỨU
CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ TRONG
VẬT LÍ CHẤT RẮN ..................................................................................................... 69
4.1. Hàm sóng của điện tử trong tinh thể chất rắn...................................................... 69
4.2. Năng lượng của điện tử trong tinh thể chất rắn ................................................... 78
4.3. Cấu trúc vùng năng lượng trong chất rắn ............................................................ 80
4.4. Dao động mạng tinh thể trong chất rắn ............................................................... 97
PHẦN KẾT LUẬN ..........................................................................................................107
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................................112


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí hệ nhiều hạt là tên gọi chung cho các bài toán hay vấn đề vật lí liên quan đến
thuộc tính của các hệ vi mô được cấu tạo từ một số lượng lớn hạt có tương tác. Tính chất
vi mô ở đây là bao hàm việc cơ học lượng tử đã được sử dụng mô tả chính xác các hệ hạt

này. Trong các hệ nhiều hạt lượng tử, sự tương tác lặp đi lặp lại giữa các hạt tạo ra mối
tương quan lượng tử giữa các hạt, hoặc thậm chí là rối lượng tử. Kết quả là hàm sóng của
cả hệ là một đối tượng phức tạp. Bởi vậy, bài toán hệ nhiều hạt thường được nghiên cứu
bằng các phương pháp gần đúng và là một trong những lĩnh vực chuyên sâu của khoa
học.
Năm 1926, Schrödinger đưa ra phương trình sóng mô tả trạng thái vi hạt dựa trên ý
tưởng sóng vật chất của de Broglie thì khi đó cơ học lượng tử ra thời và lấy các đại lượng
vật lí cổ điển làm cơ sở kinh điển. Từ ấy, hàm Hamilton đã khoát lên mình chiếc áo toán
tử và gắn bó với phương trình Schrödinger đến tận ngày hôm nay. Khi phương trình
Schrödinger vừa mới ra đời, nó được áp dụng nó cho nguyên tử hidro, cho dao động tử
điều hòa, cho phân tử có hai nguyên tử,… nghiệm nhận được là rất phù hợp với kết quả
thực nghiệm. Về sau, phương trình Schrödinger tiếp tục được ứng dụng vào vật lí chất
rắn, hóa học,…
Phương trình Schrödinger thời gian giúp chúng ta xác định trạng thái của một hệ
lượng tử biến đổi theo thời gian. Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài
biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrödinger dừng (phương trình hàm riêng trị riêng của toán tử Hamilton) có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ đang xét
và trị riêng là năng lượng của hệ đang xét. Từ hàm sóng và năng lượng sau khi giải
phương trình Schrödinger cho phép ta tính toán các đặc tính mong muốn và tìm ra những
tính chất mới cũng như hình dung một cách tổng quan hơn về phổ năng lượng của bài
toán.
Trong nghiên cứu hệ nhiều hạt, việc áp dụng phương trình Schrödinger cho hệ nhiều
hạt và giải nó là bất khả thi vì số biến là quá lớn. Mặt khác, thành phần thế năng tương
tác giữa các hạt trong hệ trong biểu thức của toán tử Hamilton làm cho việc giải phương
trình Schrödinger thêm phần bất khả thi hơn. Do đó, người ta đã dựa vào đặc thù của
từng hệ hạt cụ thể để đưa ra một số phương pháp đơn giản hóa việc giải phương trình
Schrödinger. Những phương pháp phổ biến được ứng dụng trong nghiên cứu hệ nhiều hạt
như: phương pháp gần đúng đoạn nhiệt (là phương pháp hàng đầu trong việc đơn giản
hóa phương trình Schrödinger cho hệ hạt trong tinh thể chất rắn), phương pháp trường
trung bình (là phương pháp được áp dụng để đưa bài toán cho hệ nhiều hạt về bài toán
một hạt), phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai (được ứng dụng trong nghiên cứu lý

thuyết trường, nghiên cứu hệ electron siêu dẫn),…
GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 1

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Từ khi phương trình Schrödinger ra đời cho đến nay thì nó đã được được ứng dụng
rộng rãi. Như đối với việc nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng trong vật lí chất rắn,
bằng việc áp dụng phương trình Schrödinger cho hệ hạt trong tinh thể chất rắn thì ta tìm
được phổ năng lượng có cấu trúc vùng. Để có được kết quả cuối cùng cũng như ý nghĩa
vật lí của bài toán là phải trãi qua một loạt các phương gần đúng để giải phương trình
Schrödinger tổng quát cho hệ tinh thể.
Toán tử Hamilton và phương trình Schrödinger có vai trò quan trọng trong vật lí học
nói chung và nghiên cứu hệ nhiều hạt nói riêng. Vì thế, tôi lựa chọn đề tài “Toán tử
Hamilton và phương trình Schrödinger trong nghiên cứu hệ nhiều hạt” làm đề tài
Luận văn tốt nghiệp.

2. Mục tiêu của đề tài
 Thiết lập toán tử Hamilton và phương trình Schrödinger.
 Khái quát về hệ nhiều hạt.
 Trình bày một số phương pháp giải bài toán hệ nhiều hạt.
 Giải một số bài toán hệ nhiều hạt đơn giản.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Tìm hiểu về cấu trúc vùng năng lượng và dao động mạng tinh thể trong vật lí chất
rắn bằng việc áp dụng và giải phương trình Schrödinger cho hệ hạt trong tinh thể
chất rắn.

4. Phương pháp nghiên cứu
 Tìm kiếm, phân tích, so sánh, tổng hợp tài liệu.

5. Cấu trúc của luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm có ba phần. Phần mở đầu giới thiệu lí do chọn đề tài,
mục tiêu của đề tài, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu. Phần nội
dung gồm có 4 chương. Chương 1 trình bày sơ lược về toán tử Hamilton và phương trình
Schrödinger. Chương 2 giới thiệu về hệ nhiều hạt. Trong chương 3, chúng tôi mô tả một
số phương pháp để giải bài toán hệ nhiều hạt. Một bài toán áp dụng cụ thể được thể hiện
trong chương 4. Phần kết luận tóm tắt lại các kết quả đạt được của luận văn.

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 2

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: TOÁN TỬ HAMILTON & PHƯƠNG
TRÌNH SCHRÖDINGER
Phương trình sóng Schrödinger là phương trình mô tả dáng điệu động lực học của


 Hˆ  , với Hˆ là toán tử Hamilton.
hệ lượng tử trong không gian và thời gian: i
t

1.1. Toán tử Hamilton
Toán tử Hamilton được suy ra theo nguyên lý tương ứng từ hàm Hamilton do nhà
bác học người Ireland, William Rowan Hamilton (1805 - 1865) thiết lập nên trong cơ học
cổ điển. Toán tử Hamilton chính là toán tử quan trọng bậc nhất của cơ học lượng tử. Bởi
vì mọi bài toán trong cơ học lượng tử cuối cùng đều quy về việc đi tìm hàm riêng và trị
riêng của toán tử Hamilton.
1.1.1. Toán tử Hamilton trong hệ tọa độ Descartes
Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trong trường ngoài với thế năng V  r , t  .
Khi trường lực ngoài tác dụng lên hệ không đổi theo thời gian thì năng lượng toàn phần
E của hệ là bảo toàn và bằng tổng động năng K và thế năng V :
E  K V

(1.1.1)

Ở đây, K là hàm của xung lượng, V là hàm của tọa độ:
2
2
2
p 2 px  p y  pz
K

2m
2m

(1.1.2)


V  V  r , t   V  x, y , z , t 

(1.1.3)

Áp dụng nguyên lý tương ứng, thay các đại lượng động lực cổ điển bằng các toán tử
tương ứng ta được:
pˆ 2 ˆ
Hˆ 
V r ,t 
2m

(1.1.4)

Ta có:


pˆ 2  pˆ x2  pˆ y2  pˆ z2

 
  
 
  
 
 

  i
 i
   i
 i

   i
 i

x 
x  
y 
y  
z 
z 


GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 3

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

 



2

2

2  


x 2  

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt
2

2  

y 2  

2

2 

z 2 

 2
2
2 
 2 2 2
z 
 x y

 pˆ 2   2  ;

(1.1.5)

với  là toán tử Laplace trong hệ tọa độ Descartes:




2
2
2
 2  2  2
x y
z

(1.1.6)

Vˆ  r , t   Vˆ  x, y, z, t   V  r , t   V  x, y, z, t 

(1.1.7)

Biểu thức (1.1.4) được viết lại:
Hˆ  

2

2m

 V r ,t 

(1.1.8)

Đây chính là biểu thức của toán tử Hamilton.
1.1.2. Toán tử Hamilton trong hệ tọa độ cầu
Toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu có dạng:


1   2  

1
 
 
1
2
r

sin






r 2 r  r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2

(1.1.9)



1   2   1
r
    ,   ;
r 2 r  r  r 2

(1.1.10)

Hay:


với:
  ,   

1  
 
1
2
sin




sin   
  sin 2   2

(1.1.11)

Suy ra toán tử Hamilton trong hệ tọa độ cầu là:
Hˆ  

1   2   1

r
  2   ,     V  r , ,  

2
2m  r r  r  r


(1.1.12)


Hˆ  

1   2  
L2 
r

 V  r , ,   ;


2m  r 2 r  r  2mr 2 

(1.1.13)

2

Hay:
2

trong đó, Lˆ là toán tử moment động lượng:
Lˆ2  

2

 1  
 
1
2 
sin



  2   ,  

 sin   
2
2


sin








GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 4

(1.1.14)

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt


1.2. Phương trình Schrödinger
Xuất phát từ ý niệm sóng vật chất của nhà vật lí người Pháp, Louis de Broglie (1892
- 1987) và sự tương đồng giữa quang học và cơ học. Năm 1926, nhà vật lí người Áo,
Erwin Schrödinger (1887 - 1961) đã thiết lập nên phương trình sóng mô tả trạng thái của
hệ lượng tử.
Phương trình Schrödinger là phương trình cơ bản trong cơ học lượng tử. Cũng như
nhiều phương trình vật lí cơ bản khác, phương trình Schrödinger có tính chất tiên đề. Sự
đúng đắn của phương trình Schrödinger được khẳng định thông qua sự so sánh các kết
quả thu được từ phương trình này với thực nghiệm. Một mặt khác, đó chính là sự tiên
đoán thiên tài vĩ đại của Schrödinger.
1.2.1. Phương trình Schrödinger đối với hạt chuyển động tự do
Xét trường hợp hạt chuyển động phi tương đối tính (v

c) . Hàm sóng mô tả sóng

phẳng của một hạt chuyển động tự do có năng lượng E và xung lượng p có dạng:
  r , t   Ae



i

 Et  pr 

;

(1.2.1)

với A là biên độ sóng.
Lấy đạo hàm bậc một của hàm sóng (1.2.1) theo thời gian, ta được:


i
  r , t    E  r , t 
t

i
  r , t   E  r , t 
t

(1.2.2)

Lấy đạo hàm bậc hai của hàm sóng (1.2.1) theo tọa độ, ta được:
 2
2
2 
p2



r
,
t


 r ,t 
 
 2
2
2 
2

 x y z 
   r , t   

p2
2

 r ,t 

  2   r , t   p 2  r , t 

(1.2.3)

Vì hạt chuyển động tự do nên năng lượng của hạt bằng động năng của nó:
EK

p2
2m

(1.2.4)

Nhân hai vế biểu thức này với hàm sóng   r , t  :
E  r , t  

p2
 r ,t 
2m

(1.2.5)

Thay (1.2.2) và (1.2.3) vào (1.2.5) ta được:

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 5

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học
i

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

2
  r , t 

  r , t 
t
2m

(1.2.6)

Đây là phương trình Schrödinger đối với hạt chuyển động tự do. Phương trình này
là phương trình tuyến tính đối với  và  chính là nghiệm của nó. Tổ hợp tuyến tính các
hàm  cũng là nghiệm của phương trình này.
Nghiệm của phương trình Schrödinger đối với hạt chuyển động tự do có dạng sóng
phẳng de Broglie và có thể được viết như sau:
  r , t   Ae




i

 Et  pr 

   r   t     r  e

i
 Et

(1.2.7)

Thay hàm sóng này vào phương trình (1.2.6) ta được:


2

2m

  r   E  r 

(1.2.8)

Phương trình này chỉ phụ thuộc vào tọa độ và nghiệm của nó xác định hàm sóng
  r  cho hạt chuyển động tự do.
Áp dụng nguyên lý tương ứng cho biểu thức (1.2.4) ta tìm được biểu thức của toán
tử Hamilton cho cho hạt chuyển động tự do:
Hˆ  

2


2m



(1.2.9)

Phương trình (1.2.6) được viết lại:
i

  r , t  ˆ
 H  r , t 
t

(1.2.10)

1.2.2. Phương trình Schrödinger tổng quát
Trong trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trong một trường lực. Phương trình
của hạt chuyển động tự do cũng đúng cho hạt (hay hệ hạt) chuyển động trong trường lực.
Tức là đối với trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trong trường lực thì phương trình
Schrödinger của hệ cũng có dạng như phương trình Schrödinger đối với hạt chuyển động
tự do. Bây giờ ta sẽ tổng quát hóa phương trình Schrödinger đối với hạt chuyển động tự
do sang cho trường hợp hạt chuyển động trong trường lực.
Nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc thời gian (nhưng không phụ thuộc
vào vận tốc hạt), theo nguyên lý tương ứng ta có:
E  K  V  r , t   Hˆ  

2

2m


 V r ,t 

(1.2.11)

Nếu hạt chuyển động trong trường thế, năng lượng của hạt là:
E  K  V  r   Hˆ  

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

2

2m

 V r 

Trang 6

(1.2.12)

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Thay biểu thức toán tử Hamilton (1.2.12) vào phương trình (1.2.10) ta được phương
trình Schrödinger cho hạt chuyển động trong trường thế:
i


i

  r , t  ˆ
 H  r , t 
t

  r , t 
t

2


 
  V  r    r , t 
 2m


(1.2.13)

Đây chính là phương trình Schrödinger tổng quát, hay còn được gọi là phương trình
Schrödinger phụ thuộc thời gian.
Từ dạng tường minh của phương trình Schrödinger thời gian, ta nhận thấy nghiệm
của phương trình này có một số đặc điểm sau:
 Do toán tử năng lượng Hˆ ở vế phải và phép lấy đạo hàm theo thời gian ở vế trái đều
là những toán tử tuyến tính nên phương trình Schrödinger là phương trình tuyến
tính. Do đó, nghiệm của nó phải thỏa mãn nguyên lý chồng chất trạng thái:
  r , t    Cn n  r , t 

(1.2.14)


 Phương trình Schrödinger là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời
gian và bậc hai theo tọa độ. Nhưng do có thừa số ảo i ở vế trái, nên mặc dù là
phương trình vi phân bậc một theo thời gian thì phương trình Schrödinger vẫn có
nghiệm tuần hoàn theo thời gian. Nghiệm của phương trình được tìm ra khi ta biết
điều kiện ban đầu và điều kiện biên.
1.2.3. Phương trình Schrödinger dừng
Trong trường hợp vi hạt chuyển động trong trường lực không đổi theo thời gian thì
Hamiltonian của hệ cũng không phụ thuộc thời gian. Trong trường hợp này ta có thể tách
biến phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian bằng cách viết hàm sóng dưới dạng
tích của hai hàm. Trong đó, một hàm phụ thuộc thời gian và một hàm phụ thuộc không
gian:
  r , t   Ae



i

 Et  pr 

   r   t     r  e

i
 Et

(1.2.15)

Thay hàm sóng này vào phương trình Schrödinger thời gian (1.2.13). Ta được:
i  r 

  t  ˆ

 H  r   t 
t

(1.2.16)

Chia hai vế phương trình này cho   r , t     r   t  . Ta được:
  t 
1
1 ˆ
i

H  r   const  E ;
 t 
t
 r 

(1.2.17)

với E là hằng số tách biến có thứ nguyên năng lượng.

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 7

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt


Từ phương trình này ta rút ra hai phương trình như sau:
 Phương trình thứ nhất là phương trình:
i

  t 
 E  t 
t

(1.2.18)

Nghiệm của phương trình này có dạng:
  t   Ae

i
 Et

(1.2.19)

 Phương trình thứ hai là phương trình:
Hˆ  r   E  r 

(1.2.20)

Đây chính là phương trình Schrödinger dừng hay còn gọi là phương trình
Schrödinger không phụ thuộc thời gian.
Ta thấy rằng phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian chính là phương
trình hàm riêng - trị riêng của toán tử năng lượng toàn phần Hˆ . Giả sử rằng phương trình
này có phổ gián đoạn với các trị riêng, hàm riêng tương ứng lần lượt là En  và  n  r  .
Khi đó nghiệm của phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian có thể được viết như

sau:
 n  r , t   n  r  e

i
 Ent

(1.2.21)

Như vậy, trong trạng thái này, năng lượng của hạt có giá trị xác định là E  En . Khi
Hˆ không phụ thuộc vào thời gian t thì hàm sóng biến thiên tuần hoàn theo t với tần số:

n 

En

(1.2.22)

Từ đây, việc giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian có thể được quy về
việc giải phương trình Schrödinger dừng. Có nghĩa là khi giải các bài toán trong trường
lực không phụ thuộc thời gian thì trước hết ta đi tìm nghiệm   r  từ phương trình
i
 En t

 e t ta sẽ thu được
Schrödinger dừng, sau đó ghép nghiệm này với thừa số đơn sắc e
nghiệm tổng quát   r , t  của phương trình Schrödinger tổng quát. Trạng thái được mô tả

bởi hàm sóng (1.2.21) được gọi là trạng thái dừng.
Thay toán tử Hamilton (1.2.12) vào phương trình Schrödinger dừng:
2




 2m   V  r    r   E  r 



(1.2.23)

Ta thấy rằng nghiệm của phương trình Schrödinger dừng phụ thuộc vào dạng của
thế V  r  . Nếu ta biết được dạng cụ thể của hàm thế năng V  r  thì khi ta giải phương

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 8

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian ta sẽ tìm được hàm riêng   x, y, z  và các
trị riêng năng lượng E . Nghĩa là ta xác định được trạng thái và năng lượng của hệ.
Việc giải bài toán ứng với phương trình Schrödinger dừng là một trong những bài
toán cơ bản của cơ học lượng tử.

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy


Trang 9

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Chương 2: HỆ NHIỀU HẠT
Hệ nhiều hạt là hệ gồm từ hai hạt trở lên. Hạt được khảo sát trong bài toán hệ nhiều
hạt có thể là nguyên tử, phân tử, ion, hạt nhân, electron, photon, phonon, neutron,… Hạt
được hiểu gần giống như khái niệm về chất điểm trong cơ học. Nghĩa là hạt có kích thước
rất bé so với quãng đường trung bình mà hạt di chuyển và không phân biệt giữa các hạt
cùng loại với nhau.

2.1. Khái quát về hệ nhiều hạt
2.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt
a) Hệ nhiều hạt cổ điển
Theo cơ học cổ điển, hệ nhiều hạt cơ học là hệ có số hạt nhiều nhưng chưa làm thay
đổi tính chất chuyển động của các hạt.
Xét một hệ cơ học gồm có N hạt, ta kí hiệu tọa độ và động lượng của các hạt trong
hệ lần lượt là:
q1 , q2 ,..., qi ,..., q3 N  q

(2.1.1)

p1 , p2 ,..., pi ,..., p3 N  p

(2.1.2)


Tọa độ và động lượng của tất cả các hạt trong hệ được xác định bởi phương trình
Hamilton:
H

qk  p

k
; với k  1, 2,...,3N


H
p  
 k
qk

(2.1.3)

Trong đó, qk và pk lần lượt là đạo hàm theo thời gian t của thành phần tọa độ và
động lượng. Còn H là hàm Hamilton của hệ:
H  H  q, p   T  q, p   U  q , p  ;

(2.1.4)

với T  q, p  là động năng và U  q, p  là thế năng của hệ.
Nghiệm của phương trình (2.1.3) xác định trạng thái của hệ có dạng:
q1  t , q(0), p(0)  , q2  t , q(0), p(0)  ,..., q3 N  t , q(0), p(0) 

(2.1.5a)


p1  t , q(0), p(0)  , p2  t , q(0), p(0)  ,..., p3 N  t , q(0), p(0) 

(2.1.5b)

Các kí hiệu q(0) và p(0) biểu thị hai tập hợp các đại lượng tương ứng xác định các
trạng thái ban đầu của hệ:
GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 10

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

q1 (0), q2 (0),..., qs (0)  q(0)

(2.1.5c)

 p1 (0), p2 (0),..., ps (0)  p(0)

(2.1.5d)

Một cách tương đương, trạng thái của hệ được mô tả bởi quỹ đạo của tất cả các hạt
được xác định từ (2.1.5).
Dùng khái niệm không gian pha, tức không gian 2s  6 N chiều  q, p  đối với hệ có
s bậc tự do, ta thấy mỗi trạng thái của hệ được biểu diễn bằng một điểm pha. Với thời


gian các dại lượng q , p thay đổi và do đó điểm pha vẽ nên quỹ đạo pha. Như vậy, quỹ
đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian.
b) Hệ nhiều hạt lượng tử
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ được xác định bởi hàm sóng:
  q, t    0  q  e

i
 Et

;

(2.1.6)

với q là tập hợp các biến xác định trạng thái của hệ.
Hàm sóng này là nghiệm của phương trình Schrödinger.
Trị trung bình của một đại lượng vật lí tương ứng với toán tử Fˆ  q  là đại lượng
không phụ thuộc thời gian được xác định:
F   *  q, t  Fˆ  q 

 q, t  dq

(2.1.7)

2.1.2. Đặc điểm chung của bài toán hệ nhiều hạt lượng tử
Bài toán hệ nhiều hạt là bài toán của hệ phương trình Hamilton (cho hệ cổ điển) hay
hệ phương trình Schrödinger (cho hệ lượng tử). Với bài toán hệ nhiều hạt cổ điển thì
chúng ta không thể áp dụng phương trình Hamilton để tìm nghiệm mô tả trạng thái của hệ
được bởi vì số biến quá lớn. Đối với hệ nhiều hạt lượng tử, do số biến của phương trình
Schrödinger quá lớn nên việc giải bài toán để xác định được các trạng thái lượng tử và
các mức năng lượng cho từng hạt rất phức tạp và không thể giải một cách chính xác. Mặc

khác, do thành phần thế năng tương tác giữa các hạt trong hệ làm cho việc xác định dạng
tường minh của toán tử Hamilton của hệ hạt càng thêm phức tạp.
a) Hàm sóng của hệ nhiều hạt
Hệ nhiều hạt ( N hạt) được coi như là một hệ có 3N bậc tự do. Hàm sóng mô tả hệ
N hạt được xác định trong không gian cấu hình có dạng:
    x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , ... , xN , yN , z N ; t     r1 , r2 ,..., rN ; t 

(2.1.8)

Nếu biết được hàm sóng mô tả trạng thái của hệ hạt thì ta có thể xác định được
chuyển động của một hệ con bất kì bằng cách lấy tích phân theo các tọa độ của tất cả các

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 11

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

hạt, trừ hạt thứ k mà ta muốn xét. Kết quả là ta sẽ thu được xác suất tìm thấy riêng hạt
thứ k trong thể tích dV  dV  dr  dxdydz  đã cho:
  rk , t  drk  drk    r1 , r2 ,..., rk 1 , rk 1 ,..., rN , t  dr1dr2 ...drk 1drk 1...drN
2

(2.1.9)


b) Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt
Toán tử Hamilton cho hệ N hạt có dạng:
N 
N

pˆ 2
Hˆ    i  Vi  ri , t   Vij  ri , rj   ;
i 1  2mi
i j


(2.1.10)

trong đó:


pˆ i2
là toán tử động năng của hạt thứ i .
2mi

 Vi  ri , t  là thế năng của hạt thứ i với trường ngoài.


 V r , r 
N

i  j 1

ij


i

j

là thế năng gây bởi tương tác của hạt thứ i với tất cả các hạt

còn lại của hệ.
c) Phương trình Schrödinger của hệ nhiều hạt
Sự biến thiên trạng thái của hệ hạt được mô tả bằng phương trình Schrödinger:
i


 Hˆ 
t

(2.1.11)

Nếu ta xét trong trường hợp hệ các hạt không tương tác thì việc giải phương trình
này để tìm nghiệm sẽ đơn giản. Bởi vì nếu các hạt trong hệ không tương tác với nhau thì
thành phần thế năng tương tác giữa các hạt trong hệ với nhau được đề cập đến trong biểu
thức của toán tử Hamilton (2.1.10) sẽ bằng không. Khi đó phương trình (2.1.11) cho trạng
thái dừng có thể được viết dưới dạng:
Hˆ  E
2
N 

   
 i  Vi    E

 i 1  2mi


 N

   Hˆ i   E
 i 1 
N





  Hˆ i  E
i 1

(2.1.12)

Vì toán tử Hamilton của toàn hệ có dạng một tổng nên ta có thể tìm hàm sóng của
toàn hệ dưới dạng một tích:
N

  r1 , r2 ,..., rN    1  r1  2  r2  ... i  ri  ... N  rN    i  ri 

(2.1.13)

i 1

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 12


SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Thay hàm sóng này vào (2.1.12):

 Hˆ   r   r  ...  r  ...  r    E   r   r  ...  r  ...  r  
i

1

1

2

2

i

i

N

N

1


1

2

2

i

i

N

N

(2.1.14)

i

Chia hai vế phương trình này cho hàm sóng (2.1.13) ta được kết quả:
N

E
i 1

Hˆ i i  ri  N
  Ei
 i  ri 
i 1

(2.1.15)


Như vậy, đối với hệ hạt không tương tác thì ta thấy rằng hàm sóng của hệ hạt bằng
tích các hàm sóng của từng hạt. Còn năng lượng toàn phần của hệ hạt bằng tổng các năng
lượng của từng hạt riêng biệt.

2.2. Hệ hạt đồng nhất
Các hạt đồng nhất là các hạt có những tính chất nội tại như khối lượng (m) , điện
tích (e) , spin (s) , moment từ (  ) , … là hoàn toàn như nhau sao cho trong những điều
kiện vật lí như nhau thì chúng có biểu hiện giống nhau.
Thí dụ như hệ các electron, tất cả các electron trong hệ đều có điện tích như nhau,
khối lượng như nhau.
2.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử
a) Hệ hạt đồng nhất trong cơ học cổ điển
Trong cơ học cổ điển thì tính chất của mỗi hạt được đặc trưng bởi khối lượng của
nó. Nếu hai hạt có khối lượng bằng nhau thì có thể coi là hoàn toàn giống nhau.
Trạng thái của mỗi hạt tại thời điểm ban đầu ( t  0 ) được xác định bởi điều kiện ban
đầu. Trong khi chuyển động theo quỹ đạo xác định, ta giả sử rằng tại một thời điểm nào
đó chúng va chạm đàn hồi với nhau trong không gian, sau đó lại bay tản đi theo những
quỹ đạo tương ứng xác định. Nếu ta biết trước được những điều kiện ban đầu thì quỹ đạo
chuyển động của mỗi hạt sẽ hoàn toàn được xác định và nhờ vào điều này mà ta có thể
theo dõi được chuyển động của chúng. Vậy nên, trong tập hợp các hạt đồng nhất cổ điển
thì ta có thể phân biệt được từng hạt với nhau tại bất cứ thời điểm nào vì chúng chuyển
động theo những quỹ đạo xác định.
Như vậy, trong cơ học cổ điển, mặc dù các hạt là hoàn toàn giống nhau, song nó vẫn
bảo toàn cá tính của nó nên ta có thể phân biệt được là hạt nào, sau khi va chạm chúng đi
theo những quỹ đạo nào trong không gian.
b) Hệ hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử
Trong cơ học lượng tử, quá trình va chạm giữa hai vi hạt xảy ra hoàn toàn khác so
với cơ học cổ điển. Giả sử rằng lúc va chạm, hai vi hạt ở vị trí xác định nào đó trong
không gian. Nhưng theo nguyên lý bất định thì khi đó xung lượng của chúng sẽ hoàn toàn

không có giá trị xác định. Nếu sau khi va chạm ta có thể ghi lại được quỹ đạo của chúng
GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 13

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

(như hai vết trong buồng Wynson). Nhưng rõ ràng hai hạt là như nhau nên sau khi va
chạm hạt nào chuyển động theo quỹ đạo nào thì ta không thể xác định được.
Cụ thể, ta xét hệ gồm hai nguyên tử Hidro. Khi hai nguyên tử ở khá xa nhau thì các
đám mây điện tử của hai nguyên tử sẽ không cắt nhau mà mỗi electron được định xứ
xung quanh hạt nhân của mình. Nhưng đến khi hai nguyên tử xích lại gần nhau đến một
lúc nào đó thì các đám mây điện tử của hai nguyên tử sẽ cắt nhau. Nghĩa là tại miền cắt
nhau đó, xác suất để thấy hai electron của hai nguyên tử là khác không, nhưng cũng sẽ
không có một phương pháp nào cho phép ta phân biệt được electron nào thuộc nguyên tử
nào.
Vì vậy, theo quan điểm lượng tử thì trong thế giới vi mô ta chỉ có thể xác định được
xác suất tìm thấy hạt ở tại một vị trí nào đó vào một thời điểm nào đó. Tức là do các hạt
giống hệt nhau có cùng hàm sóng nên ta “Không thể phân biệt các hạt đồng nhất trong
hệ”. Đó chính là nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử. Một
mặt khác, việc không thể phân biệt được các hạt đồng nhất có liên quan đến nguyên lý
bất định, đó chính là do hệ quả của nguyên lý bất định và nó sẽ chi phối các tính chất của
tập hợp các hạt vi mô.
Như vậy, hệ hạt đồng nhất theo quan điểm lượng tử đó chính là “Không thể phân
biệt được”.

2.2.2. Hàm sóng của hệ hạt đồng nhất
Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất đã dẫn đến một hệ quả đặc biệt, đó
chính là trạng thái của một hệ các hạt đồng nhất là không thay đổi khi ta hoán vị các hạt
cho nhau. Do đó, sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất đối xứng của hàm sóng mô tả
các hệ hạt đồng nhất.
a) Tính chất đối xứng của hàm sóng
Giả sử ta có hệ gồm N hạt đồng nhất và trạng thái của hệ hạt này được đặc trưng
bằng hàm sóng:
  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

(2.2.1)

Gọi Pˆij là toán tử hoán vị mà khi nó tác dụng lên hàm sóng  của hệ hạt thì sẽ làm
hoán vị vị trí các hạt thứ i và thứ j , tức là các tọa độ của các hạt thứ i và thứ j sẽ đổi
chổ cho nhau:
Pˆij  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN    '  q1 , q2 ,..., q j ,..., qi ,..., qN 

(2.2.2)

Ta thấy rằng  ..., qi ,..., q j ,... là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt đồng nhất
trước khi hoán vị. Còn khi ta đã hoán vị các hạt thứ j và thứ i thì trạng thái mới của hệ
sẽ được mô tả bằng hàm sóng  ' ..., q j ,..., qi ,... .
GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 14

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học


TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Theo nguyên lý không thể phân biệt các hạt đồng nhất ta suy ra rằng trạng thái của
hệ trước và sau khi hoán vị là không đổi, tức là  và  ' mô tả cùng một trạng thái của hệ
như (2.2.2). Theo nguyên lý chồng chất trạng thái thì hai hàm sóng cùng diễn tả một trạng
thái chỉ khác nhau một hằng số nào đó thôi  '    , tức là:

Pˆij  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN     q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

(2.2.3)

Phương trình này chính là phương trình hàm riêng - trị riêng. Trong đó,  và  lần
lượt là hàm riêng và trị riêng của toán tử hoán vị Pˆij .
Ta dễ thấy rằng trị riêng của toán tử Pˆij chính là bằng 1 . Thật vậy, để chứng minh
điều này thì ta cho toán tử Pˆij tác dụng vào phương trình (2.2.3) thêm một lần nữa:
Pˆij 2  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN    Pˆij  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

 Pˆij 2  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN    '  q1 , q2 ,..., q j ,..., qi ,..., qN 
 Pˆij 2  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN    2  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

(2.2.4)

Từ đây, ta suy ra trị riêng của chính Pˆij 2 là bằng  2 . Với  2  1 ta suy ra   1 . Do
đó trị riêng của Pˆij  1 . Kết hợp điều này với biểu thức (2.2.2) ta được:
 Pˆij  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN     q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 


ˆ


 Pij  q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN     q1 , q2 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

(2.2.5)

Như vậy, khi hoán vị hai cặp hạt  qi , q j  thì hàm sóng mô tả trạng thái của hệ hoặc
là không đổi, hoặc là đổi dấu. Ta gọi hàm sóng ứng với   1 là hàm sóng đối xứng
( S ), còn hàm sóng ứng với   1 là phản đối xứng (  ).
Từ đây, ta suy ra hai làm riêng tương ứng của toán tử Pˆij khi tác dụng lên hàm sóng
  q1 ,..., qi ,..., q j ,..., qN  chính là:

 S  q1 ,..., qi ,..., q j ,..., qN    S  q1 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

(2.2.6)

   q1 ,..., qi ,..., q j ,..., qN      q1 ,..., qi ,..., q j ,..., qN 

(2.2.7)

Như vậy, hàm sóng  S là hàm chẵn có tính đối xứng với sự hoán vị các biến qi , q j
và hàm sóng   là hàm lẻ có tính phản đối xứng với sự hoán vị các biến qi , q j .
 Kết luận:
 Từ tính bình đẳng của tất cả các hạt trong hệ hạt đồng nhất, ta kết luận rằng không
thể có hàm sóng là đối xứng với một cặp hạt này và đồng thời lại là phản đối xứng

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 15

SVTH: Cao Hữu Hạnh



Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

với một cặp hạt khác. Do đó, ta kết luận rằng chỉ có thể có hai lớp trạng thái cho các
hạt đồng nhất chính là:
Pˆij S   S

(2.2.8)

Pˆij    

(2.2.9)

 Biểu thức (2.2.8) là biểu thức đối xứng theo tất cả các hạt, còn biểu thức (2.2.9) là
biểu thức phản đối xứng theo tất cả các hạt.
b) Đặc điểm của tính chất đối xứng của hàm sóng
Tính đối xứng là như nhau đối với tất cả các cặp biến
Một đặc điểm quan trọng nhất của tính chất đối xứng của hàm sóng đó chính là tính
đối xứng là như nhau đối với tất cả các cặp biến. Nghĩa là hàm sóng là đối xứng đối với
sự hoán vị của một cặp biến  qi , q j  thì cũng là đối xứng với sự hoán vị của tất cả các cặp
biến khác. Hoặc ngược lại, nếu hàm sóng là phản đối xứng đối với sự hoán vị của một
cặp biến  qi , q j  thì cũng là phản đối xứng đối với sự hoán vị của tất cả các cặp biến
khác.
Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin
Hàm sóng của hệ hạt đồng nhất là đối xứng hay phản đối xứng là tùy theo bản chất
của loại hạt trong hệ, hay nói cách khác là tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào
spin. Các hạt có spin nguyên tuân theo quy luật thống kê Bose - Einstein và được gọi là
các hạt boson. Các hạt có spin bán nguyên tuân theo quy luật thống kê Fermi - Dirac và

được gọi là các hạt fermion.
Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng hàm sóng là đối xứng trong trường hợp spin của hạt
là nguyên  s  0,1, 2,... , hàm sóng là phản đối xứng trong trường hợp spin là bán nguyên
1 3 

 s  , ,...  . Như vậy, spin của hạt xác định tính chẵn - lẻ của hàm sóng của hệ.
2 2 


Thí dụ: Các hạt có spin nguyên là photon, meson  , meson K .... Các hạt có spin
bán nguyên là electron, proton, neutron,.. Các hạt nhân, các nguyên tử có spin nguyên
hay bán nguyên tùy thuộc vào số hạt có spin nguyên hay bán nguyên tham gia tạo thành
hạt phức hợp là chẵn hay lẻ.
Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu
Xét Hamiltonian của hệ ta có:
N
 pˆ 2
 N
Hˆ     i  i  V  qi , t     V  qi , q j 
i 1  2mi
 i j

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 16

(2.2.10)

SVTH: Cao Hữu Hạnh



Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Ta thấy Hamiltonian này là không thay đổi khi hoán vị tọa độ của một cặp hạt

q

i

 q j  cho nhau. Mặt khác, ta nhận thấy rằng tính chất đối xứng của hàm sóng là tích

phân chuyển động. Nghĩa là:
dPˆij
dt



Pˆij
t



i

 Hˆ , Pˆij   0




(2.2.11)

Thật vậy, ta có thể dễ dàng chứng minh điều này. Do toán tử hoán vị Pˆij không phụ
thuộc tường minh vào thời gian, cho nên ta chỉ cần đi chứng minh rằng toán tử Hˆ và toán
tử Pˆij giao hoán với nhau. Có nghĩa là ta đi chứng minh:
 Pˆij , Hˆ   0


ˆ ˆ 0
 Pˆ Hˆ  HP
ij

ij

ˆˆ
 Pˆij Hˆ  HP
ij

(2.2.12)

Nhân hai vế phương trình này với hàm sóng  :
ˆ ˆ
Pˆij Hˆ  HP
ij
 Pˆij Hˆ  Hˆ 

(2.2.13)

Ta đi tính vế trái của biểu thức này:
 ˆ

  
Pˆij Hˆ  Pˆij  i
Pij  Hˆ  ;
i

t

t



 

với: i

(2.2.14)


 Hˆ  - Phương trình Schrödinger.
t

Thay kết quả Pˆij Hˆ  Hˆ  vừa tính được vào (2.2.13). Ta suy ra:
ˆ ˆ  0 (điều phải chứng minh)
Pˆij Hˆ  HP
ij

Vậy nên, tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu bởi vì các hạt là đồng nhất nên
toán tử Hamiton của hệ là bất biến đối với tất cả các hoán vị  qi  q j  . Mặt khác, toán tử
Pˆij giao hoán với Hˆ cho nên nó thỏa mãn điều kiện là tích phân chuyển động. Do đó,


phép hoán vị ứng với toán tử Pˆij là bảo toàn. Nói một cách khác, nếu Pˆij có trị riêng bằng
1 thì trị riêng này sẽ bằng 1 mãi mãi.

Vì vậy, sẽ không có một tác động bên ngoài nào có thể làm thay đối tính chất đối
xứng của hệ.
2.2.3. Nguyên lý loại từ Pauli

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 17

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Nguyên lý loại trừ Pauli do nhà vật lí người Thụy Sỹ, Wolfgang Pauli (1900 - 1958)
đề ra vào năm 1925. Nó được thiết lập trên cơ sở phân tích phổ phát xạ của nguyên tử
phức tạp trước khi cơ học lượng tử ra đời.
Hệ các hạt đồng nhất fermion được mô tả bởi các hàm sóng phản đối xứng tuân theo
nguyên lý loại trừ Pauli. Nguyên lý loại trừ Pauli được Pauli đưa ra lần đầu tiên khi áp
dụng cho các electron trong nguyên tử và được phát biểu: “Trong hệ nhiều điện tử không
thể có hai điện tử hoặc nhiều hơn hai điện tử ở cùng một trạng thái”. Thí dụ như trong
trường hợp của nguyên tử, hai electron chuyển động tự do thì không thể có cùng bốn giá
trị lượng tử

 p , p , p , s  . Hoặc hai electron chuyển động trong trường xuyên tâm thì
x


y

z

không thể có cùng bốn số lượng tử  n, l , m, sz  .
Nguyên lý Pauli là nguyên lý quan trọng nhất chi phối cấu trúc của nguyên tử vì thế
nó cho ta hiểu được tính quy luật của cấu trúc nguyên tử có nhiều electron và của các hạt
nhân phức tạp. Vậy nên, bây giờ ta sẽ phát biểu lại nguyên lý loại trừ Pauli trên cơ sở lý
thuyết tổng quát của hệ nhiều hạt.
Trước hết ta đi xây dựng lý thuyết biểu diễn trong trường hợp hệ nhiều hạt. Gọi
phép biểu diễn cho hệ N hạt là Fˆ1 , Fˆ2 ,..., Fˆk ,..., FˆN

 k  1, 2,..., N  . Trong đó, mỗi

Fˆk cần

phải được xác định bởi 4N toán tử giao hoán độc lập với nhau. Ví dụ, Fˆ1 là bao gồm bốn
toán tử Fˆ1(1) , Fˆ1(2) , Fˆ1(3) , Fˆ1(4) .
Ta kí hiệu Fˆ1( i ) là đại lượng gồm bốn thành phần Fˆ1(1) , Fˆ1(2) , Fˆ1(3) , Fˆ1(4) . Giả sử rằng hạt
thứ nhất có bốn toán tử giao hoán với nhau Fˆ1( i ) là các tích phân chuyển động, tức là:
 Hˆ , Fˆ1(i )   0 ; với i  1, 2,3, 4



(2.2.15)

Vì bốn toán tử Fˆ1( i ) giao hoán với nhau nên tồn tại hàm riêng chung   q1  của
chúng. Kết quả là ta sẽ được:
Fˆ1(1)  q1   p1(1)  q1 

Fˆ1(2)  q1   p1(2)  q1 

(2.2.16)

Fˆ1(3)  q1   p1(3)  q1 
Fˆ1(4)  q1   p1(4)  q1 

Ta ký hiệu p1(i ) là đại lượng gồm bốn thành phần p1(1) , p1(2) , p1(3) , p1(4) :
p1(i )  p1(1) , p1(2) , p1(3) , p1(4) ; với i  1, 2,3, 4 .

Ta viết lại các phương trình (2.2.16) dưới dạng ngắn gọn hơn:
Fˆ1(i ) p1  q1   p1(i ) p1  q1 

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

(2.2.17)

Trang 18

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Tương tự cho các toán tử Fˆ2(i ) ,..., Fˆk(i ) ,..., FˆN(i ) ta được:
Fˆ2(i ) p p2  q2   p2( i ) p2  q2 
....................
Fˆk(i ) pk  qk   pk( i ) pk  qk 


(2.2.18)

....................
FˆN(i ) pN  qN   pN( i ) pN  qN 

Do toán tử Fˆk (k  1, 2,..., N ) chỉ tác dụng lên hàm của các biến số qk nên ta suy ra
hàm riêng chung của tất cả N toán tử Fˆk có dạng:
 p p ... p  q1 , q2 ,..., qk ,..., qN    p  q1   p  q2  ... p  qk  ... p  qN 
1 2

N

1

2

k

N

(2.2.19)

Khai triển Fourier hàm sóng  của hệ N hạt theo hệ kín đầy đủ các hàm riêng
 p p ... p  q1 , q2 ,..., qk ,..., qN  ta nhận được:
1 2

N

C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN(i ) , t  p1  q1  ... p j  q j  ... p k  qk  ... pN  qN  ;






p1 ,..., p j ,..., pk ,..., pN

(2.2.20)

Ở đây, phép lấy tổng được lấy theo tất cả các giá trị có thể có của các trị riêng
p ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN(i ) .
(i )
1

Theo lý thuyết biểu diễn thì ta thấy rằng tập hợp C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN( i ) , t  chính
là hàm sóng  trong F - biểu diễn.
Ta gọi  là xác suất thu được các giá trị p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN(i ) ở thời điểm t khi
đo các đại lượng tương ứng với các toán tử Fˆ1 ,..., Fˆ j ,..., Fˆk ,..., FˆN :
  C  p1( i ) ,..., p (ji ) ,..., pk( i ) ,..., p N( i ) , t 

2

(2.2.21)

Thay hàm sóng (2.2.20) vào (2.2.7), ta được:
Pˆij

C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN( i ) , t 1  q1  ... p j  q j  ... pk  qk  ... pN  qN 



p1 ,..., p j ,..., pk ,..., pN



C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN( i ) , t  p1  q1  ... p j  q j  ... pk  qk  ... pN  qN 


p1 ,..., p j ,..., pk ,..., pN





C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN(i ) , t  p1  q1  ... pi  qi  ... p j  q j  ... pN  qN 

p1 ,..., p j ,..., pk ,..., pN

(2.2.22)

Ở phép biến đổi cuối cùng thì ta đã đổi chổ p (ji ) và pk(i ) dựa trên tập hợp các trị riêng
p (ji ) và pk(i ) là như nhau.

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 19

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học


TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Từ tính trực giao của các hàm  p  qi  , ta có:
i

p p

'
i i

 p' p  0, khi p 'j  p j
 j j
    qi   pi  qi  dqi ; với 
'
 p'j p j  1, khi p j  p j
*
p 'i

(2.2.23)

Từ phép khai triển (2.2.22) ta suy ra:
C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN(i ) , t   C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk( i ) ,..., pN( i ) , t 

(2.2.24)

Giả sử p (ji )  pk(i ) . Khi đó ta có:
C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk( i ) ,..., pN( i ) , t   0

(2.2.25)


Thay kết quả này vào biểu thức (2.2.21) ta được:
  C  p1(i ) ,..., p (ji ) ,..., pk(i ) ,..., pN( i ) , t   0
2

(2.2.25)

Như vậy, xác suất tìm thấy trong hệ fermion một cặp hạt mà kết quả đo các đại
lượng đặc trưng cho các trạng thái của hạt như nhau là bằng không. Điều khẳng định này
có thể coi là phát biểu tổng quát của nguyên lý Pauli. Nó đúng cho tất cả các fermion
(electron, positron, neutrino,…).
2.2.4. Hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác
a) Dạng hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác
Để thiết lập hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác, chúng ta kí hiệu
 p  qi  là hàm sóng một hạt mô tả trạng thái pi trong đó chỉ có một hạt thứ i tồn tại với
i

tập các biến qi mô tả hạt thứ i đó.
Các hàm  p  qi  có dạng:
i

 p  qi   n  ri    si  ;
i

(2.2.26)

i

với:



 n  ri  là hàm sóng phụ thuộc tọa độ xác định trạng thái một hạt ni trong
i

đó có một hạt thứ i .


  si  là hàm sóng spin với spin si ở trạng thái spin  .

 Các biến lượng tử qi   ri , si  xác định trạng thái pi   ni ,   của hạt thứ i .
Hàm sóng của một hạt (2.2.26) là trực chuẩn, thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

  q   q dq   dr    r    s   r     s   
*
pi

i

pk

i

i

i

*
ni

*


i

*

i

nk

i

i

ni nk

   p p (2.2.27)
i k

si

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 20

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt


Hàm sóng    q1 , q2 ,..., qN  của toàn hệ là tổ hợp của các hàm sóng  p  qi  . Về
i

nguyên tắc, hàm sóng của hệ gồm các hạt không tương tác phải được tổ hợp từ tích của
tất cả các hàm sóng của từng hạt  p  qi  vì xác suất xuất hiện trạng thái của hệ chính là
i

xác suất tồn tại đồng thời của tất cả các hạt trong hệ. Ngoài ra hàm sóng còn phải thỏa
mãn tính chẵn lẻ như đã viết ở trên.
Theo Pauli, các hạt fermion được diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng    , còn
các hạt boson được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng  S  .
b) Hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác
Xét một hệ gồm N hạt đồng nhất không tương tác nhau, toán tử Hamilton của hệ là:
2
N

 N
ˆ
H   
 i  U  qi     Hˆ i
2mi
i 1 
 i 1

(2.2.28)

Vì mỗi một hạt thứ i có thể có N trạng thái nên ta gọi hàm sóng mô tả trạng thái
dừng có thể có của một hạt thứ i nào đó là:
  qi    p  qi  , p  qi  ,..., p  qi  ,..., p  qi  ; với j  1, 2,..., N

1

2

j

N

(2.2.29)

Trong đó, các chỉ số p1 , p2 ,... p j ,..., pN là kí hiệu các trạng thái dừng có thể có của
hạt thứ i trong hệ.
Hàm sóng của hệ sẽ được xác định khi ta biết trạng thái (tức hàm sóng) của từng hạt
trong hệ. Ta sẽ chứng minh rằng hàm sóng của hệ là tổ hợp tuyến tính của các tích hàm
sóng của các hạt và có dạng:
  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN    C j p  q1  p  q2  ... p  qN 
1

2

(2.2.30)

N

j

Tổng lấy theo j là tất cả các hoán vị có thể có giữa các trạng thái có thể của các hạt
(chẳng hạn như có 6 hoán vị thì sẽ có 6 số hạng dạng tích trên trong tổng) và trong mỗi
tích thì mỗi hạt chỉ có một hàm sóng tham gia (vì hạt không thể đồng thời chiếm hơn một
vị trí).

Phương trình Schrödinger của hệ hạt ở trạng thái dừng có dạng:
Hˆ  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN   E  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN 
  Hˆ i  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN   E  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN 
i
2
N 

   
 i  U  qi     q1 , q2 ,..., qi ,..., qN   E  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN  (2.2.31)

 i 1  2mi

Toán tử Hˆ i chỉ tác dụng lên hàm sóng của hạt thứ i mà thôi:
GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 21

SVTH: Cao Hữu Hạnh


Luận văn tốt nghiệp Đại học

TT Hamilton và PT Schrödinger trong NC hệ nhiều hạt

Hˆ i p j  qi   E p j  qi 

(2.2.32)

Khi cho Hˆ i tác dụng lên tích hoán vị thứ j nào đó thì ta được:
C j p1  q1  p2  q2  ...  Hˆ i p j  qi   ... pN  qN   C j Ei p1  q1  p2  q2  ... pN  qN 




hay:
Hˆ iC j p1  q1  p2  q2  ... pN  qN   C j Ei p1  q1  p2  q2  ... pN  qN 

(2.2.33)

với C j là hệ số hoán vị đứng bên cạnh tích hoán vị thứ j .
Đặt Aj  C j p  q1  p  q2  ... p  qN  , ta viết lại (2.2.33):
1

2

N

Hˆ i Aj  Ei Aj
 Hˆ i  Aj  Ei  A j
j

(2.2.34)

j

Lại lấy tổng theo i ta được:

 Hˆ  A   E  A
i

i


j

i

j

i

j

j

 Hˆ  A j  E  A j
j

(2.2.35)

j

So sánh (2.2.32) và (2.2.35) ta được   q1 , q2 ,..., qi ,..., qN    A j , tức là:
j

  q1 , q2 ,..., qi ,..., qN    C j p  q1  p  q2  ... p  qN 
1

2

N


(2.2.36)

j

Như vậy, hàm sóng của hệ là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm sóng của các
hạt. Nhưng vấn đề được đặt ra là chọn tổ hợp tuyến tính ấy như thế nào. Để cho đơn giản
chúng ta xét hệ gồm hai hạt không tương tác với nhau rồi sau đó ta sẽ mở rộng cho hệ
gồm N hạt.
Đối với hệ hai hạt boson không tương tác ta có thể chọn hàm sóng của hệ này là:
 S  q1 , q2   C1 p  q1  p  q2   C2 p  q1  p  q2 
1

2

1

2

Vì xác suất để hệ ở hai trạng thái là như nhau và bằng
C1  C2  C 

(2.2.37)

1
nên:
2

1
2


Vậy, hàm sóng của hệ hai hạt boson là:

GVHD: TS. Huỳnh Anh Huy

Trang 22

SVTH: Cao Hữu Hạnh