Nguyến Anh Tuấn

Đại số 9

CHƢƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC
BA
I. CĂN BẬC HAI - CĂ N TH Ứ C BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
2

• Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x = a .
• Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là

a , số âm kí

hiệu là − a .

• Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
• Với số dương a, số

a đgl căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đgl căn bậc hai số học của 0

• Với hai số không âm a, b, ta có: a < b ⇔
2. Căn thức bậc hai
• Với A là một biểu thức đại số, ta gọi
•

0=0.

a< b.

A là căn thức bậc hai của A.

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
A
neáu A ≥ 0
A2 = A = 
neáu A < 0
− A
Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ

•

A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

A CÓ NGHĨA

1
có nghĩa ⇔ A > 0
A

•

Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

− 3x

b)

3x + 1


e)

4 − 2x

c)

9x − 2
2
1
ĐS: a) x ≤ 0
b) x ≤ 2
c) x ≤
d) x ≥ −
3
3
Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x
x
a)
b)
+ x−2
+ x−2
x+2
x−2
d)

d)

1

3 − 2x

e)

4
2x+3

3
2
Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
ĐS: a) x > 2
a)

b) x ≥ 2

x2 + 1

c) x > 2
b)

d) x <

4x2+3

2

a)

4−x


d)

x2 − 2 x − 3

ĐS: a) x ≤ 2

b) x ≥ 4

6x − 1
2
e) x ≥
9

f)

f) x ≥
6

x

9 x2 − 6 x + 1

2
f) −2 x − 1
e) x = −5
f) không có

b)

x 2 − 16


c)

x2−3

e)

x( x + 2)

f)

x 2 − 5x + 6

c) x ≥ 3

1

+ x−2
2
x −4
−2
f)
x+1
3
e) x > −
f) x < −1
2
c)

c)


2
d) − x + 2 x − 1
e) − x + 5
ĐS: a) x ∈ R
b) x ∈ R
c) x ∈ R
d) x = 1
Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

−3x + 2

d) x ≤ −1 hoặc x ≥ 3 e) x ≤ −2 hoặc x ≥ 0

Trang 1


f) x ≤ 2 hoặc x ≥ 3
Bài 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

x −1

b)

d)

x−2 x−1

e)


ĐS: a) x ≥ 1

Áp dụng:

x−1−3

4− x

c)

1

1

f)

9 − 12 x + 4 x 2

x+2 x−1
3
b) x ≤ −2 hoặc x ≥ 4 c) x ≤ 4
d) x ≥ 1
e) x ≠
2
Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
A
neáu A ≥ 0
2
A = A=

A
neáu A < 0
−

f) x ≥ 1

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) −0,8 (−0,125)2
d)

(2

2 − 3)

(−2)

e)

 1
1
− 

 2 2

c)

(

f)


( 0,1 −

2

2

ĐS: a) −0,1

6

b)

c) 2 − 3

b) 8

d) 3 − 2 2

e)

3 − 2 )2

1

−

2

1
2


0,1

2

)

f)

0,1 − 0,1

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)

( 3 − 2 2 )2

c)

(2 −

e)

(

+

3 )2 +

5 − 2 )2 +


( 3 + 2 2 )2
(1 −
(

b)

( 5 − 2 6 )2

d)

(3 +

3 )2
5 + 2 )2

f)

ĐS: a) 6
b) −4 6
c) 1
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

(

d) 4

a)

5+2 6 − 5−2 6


b)

7 − 2 10 − 7 + 2 10

d)

24 + 8 5 + 9 − 4 5

e) 17 − 12 2 + 9 + 4 2

ĐS: a) 2 2
b) −2 2
c) 2 3
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)

5 − 3 − 29 − 12 5

−

2 )2 −

2 + 1) 2 −
e) 2 5

(

( 5 + 2 6 )2
(1 −


2 )2

2 − 5 )2
f) 2 2 − 4

c)

4−2 3+ 4+2 3

f)

6 − 4 2 + 22 − 12 2

d) 3 5 − 4

b) 13 + 30 2 + 9 + 4 2

c)

(

3− 2) 5+2 6

d) 5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3
e) 1 + 3 + 13 + 4 3 + 1 − 3 − 13 − 4 3
ĐS:
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
a)
Dạng 3: RÖT GỌN BIỂU THỨC
A

neáu A ≥ 0
A2 = A = 
Áp dụng:
A
neáu A < 0
−
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 2


2

a) x + 3 + x − 6x + 9 (x ≤ 3)

b)

x2−2x+1

d) x − 2 +

x−1
ĐS: a) 6
b) 2
c) 1
Bài 2. * Rút gọn các biểu thức sau:
2

d) 2 x − 1 −


d) 1 − x

b) x − 2y − x 2 − 4xy + 4y2

1 − 4a + 4a − 2a

a)

2

2

(−2 ≤ x ≤ 0)

x2 − 4 x +

4

( x > 1)

c)

2

x + 4x + 4 − x

4

2


e)

x − 4x + 4
2
x −2

2

2

2

4

2

c) x + x − 8x + 16

2

x − 10 x + 25
x−5

( x < 2)

x−2

f)

( x − 4)2 +


x−4
2

x − 8x + 16

ĐS:
2

Bài 3. Cho biểu thức A = x + 2 x − 1 − x − 2 x −
1 . a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
b) Tính A nếu x ≥ 2 .
ĐS: a) x ≤ −1 hoặc x ≥ 1
b) A = 2
Bài 4. Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện: xy + yz + zx = 1 . Tính:
A=x

(1 + y 2 )(1 + z 2 )
+y
2
1+x

(1 + z 2 )(1 + x 2 )
+z
2
1+y

(1 + x 2 )(1 + y 2 )
1+z


2

2
2
ĐS: A = 2 . Chú ý: 1 + y = (xy + yz + zx) + y = (x + y)(y + z) ,
2

2

1 + z = (y + z)(z + x) , 1 + x = (z + x)(x + y)
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
Dạng 4: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
2

•

2

A = A;

Áp dụng:

B ≥ 0
A =B⇔
2
 A=B
B ≥ 0
• A =B⇔
 A = B hay A = −B


 A ≥ 0 (hay B ≥ 0)
A= B⇔
A=B

•

A≥0
A<0
hay 
• A =B⇔
A=B
 A = −B

A=0
• A+ B =0⇔ 
B = 0

• A = B ⇔ A = B hay A = −B
•

2

A = B ⇔ A = ±B ;

A=0
A+ B =0⇔
B = 0

Bài 1. Giải các phương trình sau:

2

2

2

a)

(x − 3) = 3 − x

b)

4 x − 20 x + 25 + 2 x = 5 c)

1 − 12 x + 36 x = 5

d)

x+2 x−1=2

e)

x − 2 x − 1 = x − 1 − 1 f)

1
1
2 1
x − x+
= −x
2

16 4

5
2
c) x = 1; x = −
2
3
Bài 2. Giải các phương trình sau:
ĐS: a) x ≤ 3

b) x ≤

d) x = 2

e) x ≥ 2

f) x ≤
4

a)

2x + 5 = 1 − x

b)

x2−x = 3−x

c)

2x2−3 = 4x−3


d)

2x − 1 = x − 1

e)

x2−x−6 =

f)

x 2 − x = 3x − 5

Trang 3

x−3

1


ĐS: a) x = −

4
3

b) x = ± 3

Bài 3. Giải các phương trình
sau:
a)


x2 + x = x

d)
0

x2 − 1 − x2 + 1 =

Bài 4. Giải các phương trình
sau:
a)

d)

x 2 − 2 x + 1 = x2 −
1
2

x +x+

x

1

=

d) vô nghiệm e) x = 3

2
b) 1 − x = x −

1

e)

b) x = 1

ĐS: a) x = 0

c) x = 2

c)

x2 − 4 − x + 2 = 0

x2−4x+3=x−2

2
f) 1 − 2 x = x − 1

c) vô nghiệm d) x = ±1; x = ±
2
b)
1

4 x2 − 4 x + 1 = x −

e)
x

x − 8x + 16 = 2 −


4

f) vô nghiệm

2

e) x = 2

f) vô nghiệm

c)

x4−2x2+1=x−1

f)
=

9x +6x+1

2

11 − 6 2

4

ĐS: a) x = 1; x =
−2

b) vô nghiệm c) x = 1


d) vô nghiệm e) x = 2; x = −3; x = −1

2− 2
2−4
;x=
3
3
Bài 5. Giải các phương trình sau:
2
b) x − 3 = x − 3
a) 3x + 1 = x + 1
f) x =

d)

x2 − 4 x + 4 =

ĐS: a) x = 0; x = −

c)

9 x 2 − 12 x + 4 =

x2

2

4 x − 12 x + 9


1
2

b) x = 3; x = − 3 + 1; x =
−

Bài 6. Giải các phương trình
sau:

b)

3−1

c) x = 1; x = d) x = 1; x =
3
1
2

5

x 2 − 8x + 16 + x + 2 = 0 c) 1 − x 2 + x + 1 = 0

2

a) x − 1 + x + 1 = 0
2

2
d) x − 4 + x + 4 x + 4 = 0
ĐS: a) x = −1 b) vô nghiệm c) x = −1


d) x = −2

Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
b)
ĐS:
II. L IÊ N HỆ GIỮ A PHÉ P KHAI PHƢ ƠNG V À PHÉ P NHÂN,
PHÉ P CHIA

• Khai phương một tích:
Nhân các căn bậc hai:

A.B = A. B (A ≥ 0, B ≥ 0)
A.B ( A ≥ 0, B ≥ 0)
A. B =
Trang 4


A

• Khai phương một thương:

A
A

Chia hai căn bậc hai:

B


( A ≥ 0, B > 0)

B

=
B

=

A
( A ≥ 0, B > 0)
B

Dạng 1 : T HỰ C HIỆ N PHÉ P T ÍN H

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
b) 2 3( 27 + 2 48 − 75)
2
a) 12 + 2 27 + 3 75 − 9
c) ( 2 2 −
2
)
3
48
d) (1 + 3 − 2 )(1 + 3 + 2

)

ĐS: a) −13 3


b) 36

e)

(

3− 5+ 3+ 5

c) 11 − 4 6

)

d) 2 + 2 3

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

Trang 5

f)

(

e) 10

11 + 7 −

2

11 − 7


f) 2 7 − 4

)


a)
c)

(

2+ 3− 2− 3
6 + 2 )( 3 − 2 )

21 − 12 3 − 3
10 −
d) ( 4 + 15 )(
6 ) 4 − 15
b)

3+2

e) 13 − 160 − 53 + 4 90

(

4±2 3
ĐS: Chú ý:

2± 3 =


2

a) 2
b) 3 − 3
Bài 3. Thực hiện các phép tính
sau:

=

3 ± 1)
2

c) −2

2

6−2

f)

2 + 12 + 18 − 128

3±1
=

2

d) 2

e) −4 5


a) 2 5 − 125 − 80 + 605 b) 15 − 216 + 33 −12 6 c)
d)

2− 3( 6+ 2)

e)

3− 5 + 3+ 5

f)

f)

3−1

8 3 − 2 25 12 + 4

(

192

2 + 1) 3 − 2 − 1) 3

(
ĐS: a) 4 5
b) 6
c) 0
d) 2
e) 10

f) 14
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
10 + 2 10
8
2 8 − 12
5 + 27
2− 3
2+ 3
b)
c)
−
+
+
a)
5+ 2 1− 5
18 − 48
30 + 162
2+ 3
2− 3
2
1
1
e)
( 5 + 2) − 8 5
3 − 5 .(3 + 5
+
f)
d)

)


10 + 2
6
2
Bài 5. Thực hiện các phép tính
sau:
ĐS: a) –2

2+ 2+ 3
2− 2− 3
c) 4
d) 1

2 5−4

b) −

a) A = 12 − 3 7 − 12 + 3 7
3− 5 + 3+ 5
c) C =

b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

2
2
2
ĐS: Chứng tỏ A < 0, B > 0,C > 0 . Tính A , B ,C ⇒ A
=−

6 ; B = 5 + 1, C = 10


Dạng 2 : RÖT GỌN B IỂ U TH Ứ C VÀ TÍNH GIÁ TRỊ B IỂ
U TH Ứ C
Bài 1. Rút gọn các biểu thức:
15 − 6
1 0 + 15
2 15 − 2 10 + 6 − 3
a)
b)
c)
35 − 14
8 + 12
2 5 − 2 10 − 3 + 6
x + xy
a+a b− b−b a
2 + 3 + 6 + 8 + 16
e)
f)
d)
ab − 1
2+ 3+ 4
y + xy


3

ĐS: a)

c)


x

f)

3− 2

d) 1 + 2 . Tách 16 = 4 + 4

1− 2

2

7
e)

5

b)

a− b

ab − 1
y
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

x x+y y
x+ y

c)


x−1

y−1

−

(

( y−2
1)2

x−

y

)

2

b)

x−2 x+1
x+2 x+1

y+

(x − 1)

4


(x ≠ 1, y ≠ 1, y >
0)

(x ≥ 0)


ĐS: a)

xy

x−1

b)

c)

x+1

1
1−
x

nếu 0 < y < 1 và

Bài 3. Rút gọn và tính:
b − 1 với a = 7, 25; b = 3,
a−1
25
a)

:
b+1
c)

a+1

2

10a − 4a 10 + 4

với a =

2
5

ĐS: a)
Bài 4.
a)
ĐS:

a−1 5
;
b−1 3

b) 4

+

1 nếu y > 1
x−1


2
b) 15a − 8a 15 + 16 với a = 3 +

5

5

2

2

5
3

2

d) a + 2 a − 1 − a − 2 2
a − 1 với a = 5

2
c) 5

d) 2

Dạng 3 : GIẢI PHƢ ƠNG T RÌNH
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2
2x−3
c) 4 x − 9 = 2 2 x + 3

2x−3
=2
a)
b)
=2
x−1
x−1
d)
=

7x + 5

9x−7

e)
3

4 x − 20 +

x − 5 1 9 x − 45 = 4
−
9
3

7x + 5

ĐS: a) x =

1
2


b) vô nghiệm c) x = −

3

;x=
7
2
2

d) x = 6

e) x = 9

Bài 2.
a)
ĐS:
Bài 1. So sánh các số:

Dạng 4: CHỨ NG MIN H B ẤT ĐẲNG T HỨ C

a) 7 − 2 và 1
b) 8 + 5 và 7 + 6
ĐS:
Bài 2. Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:
a+b
b) a + b < a + b
a)
≥ ab
2

d) a + b + c
≥

ab + bc +

ca e)

c)

2005 + 2007 và

c) a + b +

a+ b
1
≥
2

a+b
a+ b
≥
2
2

ĐS:
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = x − 2 + 4 − x
ĐS: a) A = 2 ⇔ x = 3

b) B = 6 − x + x + 2

Bài

c) C = x + 2 − x
4. a) ĐS:

2006


1
b) B = 4 ⇔ x = 2
c) C = 2 ⇔ x =
III. B IẾ N ĐỔI ĐƠ N GIẢN B IỂ U TH Ứ C CHỨA CĂN T HỨ C
BẬC HAI

• Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

2

A B=A B

• Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B = A2 B
• Với A.B ≥ 0 và B ≠ 0 thì

A
B

=

2


+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B = − A B
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B = − 2
A B

AB
B

+ Với B > 0 thì

A
B

=

A B
B


C

2
• Với A ≥ 0 và A ≠ B thì

A±B

=

C( A
A−B


C

• Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B thì

B)

A± B

=

2

C( A
B)
A−B

Dạng 1 : T HỰ C HIỆ N PHÉ P T ÍNH
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) 125 − 4 45 + 3 20 − 80
b) ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 3 22
c) 2

27

−

48

−


2 75

d) 3

4

9 5 16


5− 55+ 5
e) 1 +
+

1 
 1− 5 1+ 5

b) 22

ĐS: a) −5 5

e)

1
3+ 2− 5
1
3

+

1

3 2

−

c)

7 3
6

d) −

b)

3 12

32 7 − 20
ĐS: a)
9

−

1

+

3− 2

3+ 2

5 2

12

e) −4

2

+

2

f) 2 3

5

+

6+2
6
 6− 2
5 
1
d)
:
−
5  5 − 2
 1 − 3

1

f)


6

17 6
b)
6

18

6−2

3+ 2+ 5
5

25

+

2

1

f)

1

1

+


49

−

8

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
7−5 6−2 7
6
5
a)
−
+
−
2
4
7−2 4+ 7
c)

9

c)

30
6

2 3 − 3 + 13 + 48
6− 2
d) −3


e)

3
2

f) 1

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a)
ĐS:
Dạng 2 : RÖT GỌN B IỂ U TH Ứ C
Bài 1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
x − 11
1
1
a2 +2
a) A =
, x = 23 − 12
b) B =
, a= 2
+
−
3
2(1 a ) 2(1 a ) 1 − a3
x−2−3
+
−
4
2
a − 4a + 3

1
1
c) C =
, a= 3− 2
d) D =
, h=3
+
4

2

a − 12a + 27

2x+2 x2 −4
e)
, x = 2( 3 +
1) E =
2

x −4+x+2

h+2 h−1

h−2 h−1

3
 3
 

3

f) F = 
+ 1 − a :
+ 1 , a 2=+ 3


  1 − a2
 1+ a



2

ĐS: a) A = x − 2 + 3 = 2
3
d) D =
2
Bài
2.
a)

2 h−1
h−2

=2

−1
2−3
b) B =
=
2

7
1+a+a
e) E =

1
x+2

=

3−1
2

c) C =

a −1
2

=5−2 6

a −9
f) F = 1 − a = 3 − 1


ĐS:

Dạng 3: GIẢI PHƢ ƠNG T RÌNH
Bài 1. Giải các phương trình sau:
4x − 4 − 25x − 25 + 2 = 0
1
3 9x−9+

a) x − 1
x − 1 − 24
b)
+
c)
2

9 x 2 + 18 +

= −17

2
2
64
2
2
x + 2 − 25x + 50 + 3 = 0 d) 2 x − x + 6 x − 12 x + 7 = 0
2

2

2

e) (x + 1)(x + 4) − x + 5x + 2 = 6
3
ĐS: a) x = 2

x−1

f)


c) vô nghiệm d) x = 1 ± 2 2 e) x = 2; x = −7

b) 290

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
ĐS:

Bài 1. Cho biểu
thức:
a) Tính S2 ; S3 .

Dạng 4: CHỨ NG MIN H ĐẲNG T HỨ C
n
(với n nguyên dương).
Sn = ( 2 + 1) + ( 2 −
n

1)

b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m > n , ta có: S
= Sm .Sn − Sm−n
m+ n
c) Tính S4 .
b) Chứng minh Sm+ n + Sm−n =
c) S4 = 34
ĐS: a) S2 = 6; S3 = 10 2
Sm Sn
Bài 2. Cho biểu

thức:
a) Chứng minh rằng:

Sn = ( 3 + 2 )n + ( 3 − 2 ) (với n nguyên dương).
n

2

S2n = Sn − 2

b) Tính S2 , S4 .

2
2
2
b) S = 2 3; S = 10;
HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a + b = (a + b) −
S
2ab
1
2
n
n
Sn = (2 − 3) + (2 + 3)
Bài 3. Cho biểu
(với n nguyên dương).
3
thức:

a) Chứng minh rằng:


S3n + 3Sn = Sn
3

3

= 98
4

b) Tính S3 , S9 .
3

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a + b = (a + b) − 3ab(a + b) . Chứng minh
S
b) S1 = 4; S3 = 61; S9 = 226798
.
Bài
4.
a)

3

3n

= S − 3S .
n

n



HD:
IV. RÖT GỌN B IỂ U TH Ứ C CHỨ A CĂN T HỨ C BẬC
HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến
đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và
trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.
Bài 1. Cho biểu
thức:

A=

x+1

x−2
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.

+

2 x

+

2+5 x

.

4−x
x+2
b) Rút gọn biểu thức A.


c) Tìm x để A = 2 .


ĐS: a) x ≥ 0, x ≠ 4

c) x = 16

3 x

b) A =

x+2



 (1 − x)2
A=
.
−
.
 x−1

2

x + 2 x + 1
a) Rút gọn A nếu x ≥ 0, x ≠ 1. b) Tìm x để A dương
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
x−x
b) 0 < x < 1
1

1
ĐS: a) A =
c) max A = khi x = .
4
4

Bài 2. Cho biểu
thức:

Bài 3. Cho biểu
thức:
x+1

x+2

x+3

−

−

2 x+1

.

x−5 x+6
x−2 3− x
b) Tìm x để A < 1 .
b) 0 < x < 9; x ≠ 4 .


x−3
A
 =

Bài
thức: 4. Cho biểu

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A =
+2

2

2 x−9

A=

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A =

x−

2a + 2 a

a a−1

a a+1




+ a− 1  a+1+ a−1 .



a a−1
a + 1 
a− a
a+ a 

b) Tìm a để A = 7
c) Tìm a để A > 6 .
1
c) a > 0, a ≠ 1 .
b) a = 4; a =
4
−

a
A=

Bài 5. Cho biểu
thức:

15 x − 11

+

3 x−2

x+2 x−3

x

ĐS: a) A =

2−5

b) x =

xx+


3
Bài 6. Cho biểu
thức:

1+ x

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A = a − a

:

2

A=

a + a

.


3+ x
1
.
2

+
x

+
3

x

+

1+ x
x−2 3− x
b) Tìm x để A < 0 .
b) 0 ≤ x < 4 .

x−2

Bài 7. Cho biểu
thức:

x

2 x+3

1

.
121
 

A = 1 −

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A =

1−

b) Tìm x để A =

a) Rút gọn A.

−

−

2 +
a
a

a− a+1
a
b) Tìm a để A = 2 .
b) a = 4




+
2

+

x

2

.

x−5 x+6

+1.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.


c) min A = −

1

khi a =

Bài 9. Cho biểu
thức:

4

.


4

2

 a
1   a−1
a+1
A=
−
−
 
.

 
a − 1
 2 2 a  a+1
b) Tìm a để A < 0 .
c) Tìm a để A = −2 .
b) a > 1
c) a = 3 + 2 2 .

Bài 8. Cho biểu
thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A = 1

1

−
a

a
 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
A=1+
.
−
.
 1−a
 2 a−1
1
a−a




b) Tìm a để A =

a) Rút gọn A.

6
1+ 6

c) Chứng minh rằng A >

.

2
.
3

ĐS:

x−5 x
 
25 − x
x+3
x−5
A=
− 1 : 
−
+
.
 x − 25
  x + 2 x − 15
x − 3 
x+5

 
b) Tìm x để A < 1 .
b) x > 4; x ≠ 9; x ≠ 25 .

Bài 10.Cho biểu
thức:
a) Rút gọn A.
5

ĐS: a) A =

3+ x
Bài
thức: 11.Cho biểu


A=



1


 a−1

a) Rút gọn A.
a−2

ĐS: a) A =

1   a+1
−
:
−
 

a   a − 2
1
b) Tìm a để A > .
6
b) a > 16 .

a+2
.

a − 1 


3 a
 x + 1 x − 1  2
A=
:
−

  2
x−1 x+1
x −

1  

Bài 12.Cho biểu
thức:

b) Tính giá trị của A khi x =

a) Rút gọn A.
ĐS: a)

b) x = −2

4x
1−x

c) x =

2


y− x

a) Rút gọn B.
x
ĐS: a) B =
y
Bài
thức: 15.Cho biểu

a) Rút gọn B.
ĐS:

; x=− 5.

b) Tính giá trị của B khi x = 3, y = 4 + 2 3 .
b) B = 1 .

a) Rút gọn B.

Bài 14. Cho biểu
thức:

5


y − xy   x
y
x+y
B= x+
:

+
−
 
 .
x+ y
xy + y
xy − x
xy

Bài
thức: 13. Cho biểu

ĐS: a) B =

1

x
1 
.
−
+

x−1 x+1

3+ 8.
c) Tìm x để A = 5 .

B=

x


3

−

2x

.

1 −x

.

xy − 2y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và B < 0, 2 .

b) x ∈{2;3; 4} .

 1
1 
2
1 1

B=
+
.
+ + :


 x+ y


x y
 x
y 


x

3

+y x+x y+ y
x 3 y + xy3

b) Cho x.y = 16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.

3

.


Bài
thức: 16.Cho biểu

a) Rút gọn B.
ĐS:
Bài 17.Cho biểu
thức:


 


1
3 ab
a−b
B=
+
.
−
:


 

 a + b a a + b b   a − b a a − b b  a + ab + b 

 


b) Tính B khi a = 16, b = 4 .


1

3 ab


B= x−y
 x− y



+


x − y 
:
3

y−x

3




(

)

2

x − y + xy

x+ y

.


Đại số 9 Anh Tuấn
Nguyến


Nguyễn Anh
ĐạiTuấn
số 9
b) Chứng minh B ≥ 0 .

a) Rút gọn B.
ĐS:

 a+1
  a+1

ab + a
ab + a
1  :
1 .
B =
+
−
−
+
 ab + 1
 
ab − 1
ab − 1  

  ab + 1
3−1
b) Tính giá trị của B nếu a = 2 − 3 và b =
.
1+ 3


Bài 18.Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.

a+ b =4.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu
ĐS:
Bài 19.Cho biểu thức:
a)
ĐS:

V. CĂN BẬC B A

• Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a .
• Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
3

3

3

• A
3

•

3

3

A.B = A. B

• Với B ≠ 0 ta có:

3

A
A
=3
B
B

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Áp dụng:

3 3

a =a;

( 3 a )3

=a

3

3

2

2

3

(a − b) = a − 3a b + 3ab − b

a + b = (a + b)(a − ab + b ) ,

a − b = (a − b)(a + ab + b )

và các hằng đẳng thức: (a + b) = a + 3a b + 3ab + b ,
3

3

2

2

3

3

3

3

2

2

2

2

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
d)

3

( 2 + 1)(3 + 2 2)

( 3 4 + 1) 3 − ( 3 4 − 1) 3

b)

3

(4 − 2 3)( 3 −1)
e)

3

−64 − 3 125 + 3 216

( 3 9 − 3 6 + 3 4 )( 3 3 + 3 2 )
3

ĐS: a) 2 + 1 b) 3 − 1
c) −3
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
3

c)

d) 12 2 + 2

3

e) 5.

3

a) A = 2 + 5 + 2 − 5

3

b) B = 9 + 4 5 + 9 − 4 5

3

c) C = (2 − 3). 26 + 15 3

d) D = 3 3 + 9 +
3

125 3
125

− −3 + 9 +
27
27
3

1± 5
ĐS: a) A = 1 . Chú ý: 2 ± 5 = 

 2 

3± 5
b) B = 3 . Chú ý: 9 ± 4 5 = 

 2 
3

c) C = 1. Chú ý: 26 + 15 3 = (2 + 3)

125
125
5
3
3
3
, b = 3 −3 + 9 +
⇒ a − b = 6, ab = . Tính D .
27
27
3
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

a)
ĐS:
d) D = 1 . Đặt a = 3 3 + 9 +

Dạng 2 : CHỨ NG MIN H ĐẲNG T HỨ C
Trang 11

3


Nguyến Anh Tuấn

Đại số 9

1 1 1
Bài 1. Chứng minh rằng, nếu: ax 3 = by3 = cz3 và + + = 1
x y z
3

thì

2

2

2

3

3

3

ax + by + cz = a + b + c .
t

HD: Đặt ax 3 = by3 = cz3 = t ⇒ a =

x

3

,b=

t
y

3

, c =3
z

t

. Chứng tỏ VT = VP = 3 t .

Bài 2. Chứng minh đẳng thức:
x + y + z − 33 xyz =

1


( 3 x + 3 y + 3 z ) 2 ( 3 x − 3 y ) + ( 3 y − 3 z ) + ( 3 z − 3
2

2

x)
2
HD: Khai triển vế phải và rút gọn ta được vế trái.
Bài 3.
Dạng 3: SO SÁNH HAI
SỐ
3
3
Áp dụng:
A


Bài 1. So sánh:
3

3

a) A = 2 3 và B = 23
ĐS: a) A > B
b) A > B
Bài 2. So sánh:
3

3

b) A = 33 và B = 3 133
c) A < B

3

3

c) A = 5 6 và B = 6 5

3

a) A = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 và B = 2 5
ĐS: a) A < B . Chú ý: 20 ± 14 2 = ( 2 ± 2 )3 .
Bài 3.
a)
Dạng 4: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
3

Áp dụng:

A=B⇔A=B

3

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
d)

3

2x + 1 = 3

b)

3

2 − 3x = −2

3

x3 + 9 x 2 = x + 3

e)

3

5+x−x=5

10
c) x = 0; x = 1; x = 2
3
Bài 2. Giải các phương trình sau:
ĐS: a) x = 13

b) x =

3

3

c)

3

d) x = −1

3

x−1+1=x

e) x = −5; x = −4; x = −6
3

a) x − 2 + x + 1 = 3
b) 13 − x + 22 + x = 5
c) x + 1 = x − 3
ĐS: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
a) x = 3
b) x = −14; x = 5
c) x = 7
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
ĐS:
B ÀI TẬP ÔN CHƢ ƠNG I
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

20 − 45 + 3 18 + 72

b) ( 28 − 2 3 + 7) 7 + 84

1 1 3
 1
4
2+
200 :
d) 
−
5
2 2 2
 8
ĐS: a) 15 2 − 5

b) 21

c) 11
Trang 12

d) 54 2

c)

(

6 + 5 )2 − 120

Đại số 9 Anh Tuấn
Nguyến

Nguyễn Anh
ĐạiTuấn
số 9

Bài 2. Rút gọn các biểu thức
sau:
1

a)

1

c)

2

+

2

−

1

−

5+ 3

4−2 3

b)

6− 2
3
c) 1 −
3

5− 3

2
b)
2

ĐS: a) − 3

2+ 3

6

3+ 3

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 2 2 ( 3 − 2 ) + (1 + 2 2 ) − 2 6 =
2

b)

2+ 3+ 2− 3 = 6

9
4

4

c)

−

(2 −

d) 11 − 6 2 + 11 + 6 2 = 6

=8

(2 + 5 )
5)
ĐS: Biến đổi VT thành VP.
Bài 4. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
3 và 10
b) 2003 + 2005 và 2 2004
a) 2 +
ĐS: a)

2

2 + 3 < 10

Bài 5. Cho biểu
thức:

2

b) 2003 + 2005 < 2 2004
2x
x+1 3−
với x ≠ ±3 .
A=
−
−
121x x + 3 3 − x
x −9

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A < 2.
b) −6 < x < 3; x ≠
3x
ĐS: a) A =
−3
x−3
 +
x 1 x− 1
A=
−
+
x−1 x+1

a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.

c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
x + 2003
ĐS: a) x ≠ 0; x ≠ ±1
b) A =
x

Bài 6. Cho biểu
thức:

c)

5 3 và

3 5

c)

5 3> 3 5

c) Tìm x nguyên để A nguyên.
c) x ∈{−6; 0; 2; 4; 6; 12} .

x − 4 x− 1

2

+x 2003
.
.
2


x
x −1 
b) Rút gọn A.
c) x ∈{−2003; 2003}.

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
A=
x− x+1
4
1
ĐS: max A = khi x =
3
.
4
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= 1−6x+9x
+

2

2

9 x − 12 x + 4

ĐS: Sử dụng tính chất a + b ≥ a + b , dấu "=" xảy ra ⇔ ab ≥ 0 . min A = 1 khi
Bài 9. Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị
Trang 20

n

1

≤x≤
3
3
g

2

.


Nguyến Anh Tuấn
A=

Đại số 9

uyên:
x+1
x−3

ĐS: x ∈{49; 25;1;16; 4}. Chú ý: A = 1 +
∈Z

Bài 10. Cho biểu
thức:
a) Rút gọn Q.

4

. Để A ∈ Z thì

x

x−3

x+2
x−2 x+1
Q=
.
−
.
x+2 x+1 x−1 
x


b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.

Trang 21

và

x − 3 là ước của 4.


ĐS: a) Q =

2

x−1

Bài 11. Cho biểu
thức

b) x ∈{2; 3} .

M=

1

1

+


:

a + 1 với a > 0, a ≠ 1 .

a−1 a−2 a+1
a− a

b) So sánh giá trị của M với 1.
b) M < 1 .
1

a) Rút gọn biểu thức M.
a−1
ĐS: a) M =

=1−
a
a


2

x−1 2 2−
 x− x−1
−
x 
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.

Bài 12. Cho biểu
thức


P=

1

−

c) Tính giá trị của P với x = 3 − 2 2 .
ĐS: a) x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠
3

b) P =

2− x

x−3

x

a) Rút gọn B.
ĐS: a) B = x − 1

b) x = 16 .

Bài
thức: 14. Cho biểu

2x − x 


c) P = 2 + 1 .

3

 2 x+ 1
x  +
1
x
B=
−
 .
−
 3


 x − 1 x + x + 1  1 + x
b) Tìm x để B = 3.

Bài 13. Cho biểu
thức:

x+ 2
.

−


x  với x ≥ 0 và x ≠ 1 .


 1
1 
2
1 1
A=
+
.
+ + :

x
y
+




x y
y 
 x


x

3



+y x+x y+ y
3

x y + xy

với x > 0, y > 0
. a) Rút gọn A.
b) Biết xy = 16 . Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
b) min A = 1 ⇔ x = y = 4 .
x+ y
ĐS: a)
xy
1
x
P=
.
+
Bài 15. Cho biểu

thức:
x+1
a) Rút gọn P.
ĐS: a) P =

x+1
1−
x

Bài 16.Cho biểu
thức:
a)

x−x

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
b) P = −3 − 2 2 .

ĐS:

1
2

.

3

3

CHƢƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. KHÁI NIỆ M HÀM S Ố
1. Khái niệm hàm số
• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác
định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y đgl hàm số của x, x đgl biến số.
Ta viết: y = f (x), y = g(x),...

• Giá trị của f (x) tại x0 kí hiệu là f (x0 ) .


• Tập xác định D của hàm số y = f (x) là tập hợp các giá trị của x sao cho f (x) có nghĩa.
• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y đgl hàm hằng.
2. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
sao cho x, y thoả mãn hệ thức y = f (x) .
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập R.
a) y = f (x) đồng biến trên R ⇔ ( ∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) )
b) y = f (x) nghịch biến trên R ⇔ ( ∀x1, x2 ∈ R : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) )
Bài 6. Cho hai hàm số f (x) = và g(x) = 3 − x .
2
x
 1  f (0), g(1), g(2), g(3) .
a) Tính f (−3), f −
,


 2
3
ĐS: b) a = 1; a = − .

2
+
Bài 7. Cho hàm f ( x) = x 1 .
x−1
số
a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Xác định a để 2 f (a) = g(a) .

b) Tính f ( 4 − 2 3 ) và f (a2 ) với a < −1 .
2

d) Tìm x sao cho f (x) = f (x ) .
a − c) x ∈{0; 4; 9} d) x = 0
b) f ( 4 − 2 3 ) = − ( 3 + 2 3 ) f (a2 ) =
1
,
a+1

c) Tìm x nguyên để f (x) là số nguyên.
ĐS: a) x ≥ 0, x ≠ 1

x+1+x−1
Bài 8. Cho hàm f (x) =
.
x+1− x−1
số
a) Tìm tập xác định D của hàm số.
ĐS: b) D = R \ {0}
Bài 9. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

3

2

a) y = x − 2x + x − 1

d) y =

3 x−1
x −2

ĐS: a) x ∈ R

b) y =

b) Chứng minh rằng f (−x) = − f (x), ∀x ∈ D .

x−1
(x + 1)(x −
3)

e) y = x − 5 − x + 3

b) x ≠ −1; x ≠
3

c) x ∈ R

c) y =

1
2

x −2x+3

f) y = x + 2 + 2 − x

d) x ≥ 1; x ≠ e) x ≥ 5
2

f) x ≤ 2

2
Bài 10.Chứng tỏ rằng hàm số y = f (x) = x − 4x + nghịch biến trong khoảng (−∞; 2) và đồng
3
biến trong khoảng (2; +∞) .

HD: Xét f (x1 ) − f (x2 ) .
3

Bài 11.Chứng tỏ rằng hàm số y = f (x) = x luôn luôn đồng biến.


HD: Xét f (x1 ) − f (x2 ) .
x + 1 nghịch biến trong từng khoảng xác định của nó.
Bài 12.Chứng tỏ rằng hàm y = f (x) =
x−2
số
HD: Xét f (x1 ) − f (x2 )
.

Bài 13.Chứng tỏ rằng hàm số y = f (x) 3 − x + 2 2 −
x
=
nó.

nghịch biến trong khoảng xác định của