H

TH

NG HÌNH H

C KHƠNG GIAN

1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng :
 Phương pháp :
Để chứng minh điểm M  mp  ta chứng minh :




a

M  Đường thẳng a
 M  mp
Đường thẳng a  mp

M


2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :
 Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp  ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ  chứa đường thẳng a
( Chú ý : Mặt phẳng  và  dể xác đònh giao tuyến )
a
Bước 2 : Tìm giao tuyến  của  và 
Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và  . Chứng minh I

là giao điểm của đường thẳng a và mp 


( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp  )
M

3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :
 Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và  ta dùng các cách sau :

C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
 A , B  mp 
 Đường thẳng AB  mp mp .

 A , B  mp

A

C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến
B
( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố đònh cho trước )
Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các đònh lý :
- Nếu a // (P) thì a // với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a


- Hai mặt phẳng song song bò cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này //
- Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó .
4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng
A
Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt  và 

A, B, C thuộc giao tuyến của  và  nên thẳng hàng
B
Thường CM như sau:

( )  ( )  AB 
  C  AB , nên A, B, C thẳng hàng
C  ( )  ( ) 

C

5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b.
Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng  và  nào đó sao cho
a
c = giao tuyến của  và  .

 I  mp
Bước 3 : Chứng minh : 
 I  đường thẳng c
 I  mp





c

b


I

 3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui.



 Cách khác :



Dùng đònh lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này // hoặc đồng quy’’ Như vậy nếu
chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy.
6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố đònh :
 Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố đònh
7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau :
 Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng
(Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra
điều vô lý. Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau)
8/ Chứng minh hai đường thẳng // .
C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba .

www.nguoithay.com
1


wwww.nguoithay.com

a
b


a, b phân biệt & a // c, a // c  a // b

c

C3 : Dùng đònh lý giao tuyến:
R

(P) // (Q), (R)  (P )  a, (R)  (Q)  b  a // b

a

P

b

Q

www.nguoithay.com

C4 : Dùng đònh lý giao tuyến:
b

a

(P) // a, (Q) // a, (P )  (Q)  a  a // b
P

Q


C5 : Dùng đònh lý giao tuyến:

a





b

P

b

Q

Q



b

a

a
Q

P

P


a // b, (P) qua a, (Q) qua b, (P )  (Q)  

  // a,  // b hoặc  trùng với a hoặc b
www.nguoithay.com – trang d y h c tr c tuy n
C6 : Dùng đònh lý giao tuyến:
a

a // (P), (Q) qua a, (P )  (Q)  b  a // b
Q

b

P
9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng.
C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
a

a  (P ) , b  (P ) , a // b ,  a // (P )

b
P

C2 : Dùng hệ quả:
.

a

Q


(P) // (Q), a  (Q)  a // (P )
a

P

C3 : Dùng hệ quả:

a  (P ) , (P )  b, a  b  a // (P )

H
P
www.nguoithay.com

2

b


10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song.
C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia.

a, b  (Q) , a cắt b, a // (P) và b // (P)  (P ) // (Q )
P
a
b

Q

C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuôn g góc với một đường thẳng .
a


(P ) , (Q ) phân biệt, (P )  a, (Q)  a  (P ) // (Q )
P

Q

C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau .
11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc .
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a  b  góc (a; b)

 90o .

C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P )
  a  b  (P ) // (Q )
b  (P )

b

P
C4: Dùng hệ quả:
b

b // c , a  b  a  c

a


c

C5 : Dùng hệ quả:

a song song (P )
  a  b  (P ) // (Q )
b  (P )


a
b

P



C6 : Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả:

  AB 
    BC
  AC 

A

B

C

12/ Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

C1 : Dùng đònh lý.
a

b , c cắt nhau , b, c  (P ) , a  b, a  c  a  (P )

b
P

c

3


C2 : Dùng hệ quả:
b

a

a // b , b  (P )  a  (P )
P

C3 : Dùng hệ quả:
Q

(P )  (Q)  b 
  a  (P )
a  (Q ), a  b 

a
b


P

C4 : Dùng hệ quả:

( )  ( )  


    (P )
( )  (P ),( )  (P )



( )

()

P

13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

 ( )  ( )   , Ox  ( ),Ox   , Oy  ( ),Oy  



Khi đó:

O



x

góc (( );( ))  góc (Ox ;Oy)  xOy   : 0    90o

y

 ( )  ( )    90o




C2 : Dùng hệ quả:

a  ( )
  ( )  ( )
a  ( ) 

a



 CÁCH XÁC ĐINH GÓC
1/ Góc của hai đường thẳng

A
a'

a


 =(a; b)

O
b'
b

B




Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .




Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB
Thường chọn điểm O  a hoặc O  b

2. Góc của hai mặt phẳng
4


www.nguoithay.org

O

Chọn điểm O thuộc giao tuyến của












.
OA  ( )
OB  ( )
Dựng qua O : 
và 
OA  
OB  
Góc ( ,  ) = Góc (OA,OB) = AOB  



và

Chú ý:

B

*

A


0    90o

* Nếu



  90o

thi chọn góc

( ;  )  180o  



3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng
A
a



O

B




Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.

Dựng qua AB  ( ) tại B.



Dựng giao điểm O của a và  nếu chưa có.
( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (  ))



Khi đó: Góc (a;( )) = Góc (OA,OB) =

AOB   .



 KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng

M

M


H



H

Dùng MH   : d(M,) = MH

Dùng: MH  ( ), H thc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH

Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song
 1 //  2

Khoảng cách giữa mặt
phẳng và đường thẳng //
 song
M song

1
M

 // ( )

2

H

H


Chän ®iĨm M thc  , dùng MH  
( H thc ( )), ta cã d( ,( )) = MH


Chän ®iĨm M trªn  1, dùng MH   2
( H thc  2) ta cã d( 1, 2) = MH

Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
( ) // (),  chøa trong ( )




M
A a

M
a'

H

Ta cã: d(( ),()) = d( ,( )) = MH
(M thc , MH  ( ), H thc  )

H
B

b




 Dùng mỈt ph¼ng ( ) chøa b & ( ) // a
 Dùng MH  ( ), M thc a, H thc ( )
 Dùng a' trong mỈt ph¼ng ( ), a' // a
®-êng th¼ng a' c¾t ®-êng th¼ng b t¹i B
 Dùng  qua B vµ // MH,  c¾t a t¹i A
Khi ®ã: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB

 a vµ b chÐo nhau

www.nguoithay.com
5


 HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
1/ Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều:

S

 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:

h



A


 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác đều



C

H



I

B

Cách vẽ:
Vẽ
đáy ABC

 Vẽ trung tuyến AI
 Dựng trọng tâm H
 Vẽ SH  (ABC)
Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  
2/ Hình chóp tứ giác đều
S


A

D






I

H

B

Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuông
 Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
 Vẽ đáy ABCD
 Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD
 Vẽ SH  (ABCD)
Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp

C

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

2/ Hình
chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
S



A


 SA  (ABC)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  
C
S

B

 SA  (ABCD)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA  

Bài gi ng d

.


A


B

D


C

i d ng video chúng tơi đã xây d ng xong t i Nguoithay.com . Trang giúp h c sinh khơng ph i đi h c thêm

6