Kênh Youtube: NĐT OFFICIAL
Page Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Đáp án Luyện Tập Trắc Nghiệm Bất Đẳng Thức Phần 1

1 .Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝐴=

3+𝑎²

1

𝑏+𝑐

+

3+𝑏²
𝐶+𝑎

+

3+𝑐²
𝑎+𝑏

3

A.
B.6
C.
D.15
2
2

2.Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4𝑎3
4𝑏 3
4𝑐 3
𝑃=
+
+
1+𝑏 1+𝑐
1+𝑐 1+𝑎
1+𝑎 1+𝑐
3
A.2
B.1
C.3
D.
4
3 .Cho hai số x,y dương thỏa mãn 𝑥 ≥ 2𝑦 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑀=

2𝑥²+𝑦²−2𝑥𝑦
𝑥𝑦

4 .Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑜 và 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
1
𝐾 = 𝑎5 + 𝑏 5 + 𝑐 5 + + +
𝑎

5


𝑏
3

𝑐

A.
B.
C.2
D.6
2
4
5 . Với a,b là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑎+𝑏+𝑐
𝑁=
𝑐(𝑐+3𝑎)+ 𝑏(𝑏+3𝑐)+ 𝑎 𝑎+3𝑏
1

5

A.3
B.
C.4
D.
2
4
6 .Cho a,b,c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑎²

𝑏²


𝑐²

𝐵=
+
+
𝑏−1
𝑐−1
𝑎−1
A.12
B.13
C.14
D.15
7 .Cho các số thực thỏa mãn 𝑥𝑦𝑧 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1
𝑄=
+
+
𝑥+𝑦 +1

𝑦 +𝑧+1

𝑧+𝑥+1

A.1
B.2
C.3
D.5

8 .Với số thực x,y thỏa mãn 𝑥 − 𝑥 + 6 = 𝑦 + 6 – 𝑦. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức 𝑇 = 𝑥 + 𝑦
A.6 và 4
B.1 và 2
C. 3 và 7
D.2 và 4
3
2
1
1
1
S  a 2  2  b2  2  c 2  2
b
c
a

9 . Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

𝐴. 3

𝐵.

3 17
2

𝐶.

2 2
3


D.1
3
a

10 .Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c  
A.10

B.11

C.12

D.13

9 4

2b c


1 1 1
   4 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1
1
1
P


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

11 .Cho x,y,z> 0 và


A.5

B.3

C.1

D.7

12 . Cho x,y,z>0 và x  y  x  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
A.1

B.2

3

𝐵.

2

x
y2
z2


yz zx x y

C.3

D.4


13 . Cho x,y >0 và x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
𝐴.

2

5

𝐶.

2

3x  4 2  y 3

4x
y2
2

7

𝐷.

2

9
2

14 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A   x  1   x  3  6  x  1  x  3 
A.2
B.4

C.6
D.8
2
2
2
15 .Cho a,b,c là các số dương và 𝑎 +𝑏 +𝑐 = 3. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:
4

𝐿=
𝐴.

1

𝑎³
𝑏²+3

+

𝑏³
𝑐²+3

4

2

2

𝑐³

+


𝑎²+3
3

𝐵.

2

𝐶.

2

5

𝐷.

2

7
2

16.Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: 𝑃 =
1

𝑎³
𝑏+𝑐+𝑑

+


𝑏³
𝑐+𝑑+𝑎
1

+

𝑐³
𝑎+𝑏+𝑑

+

𝑑³
𝑎+𝑏+𝑐

1

1

A.
B.
C.
D.
2
3
4
6
17. Cho các số dương a, b, c,thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
𝑎²

𝑏²


𝑐²

thức :𝑀 =
+
+
𝑎 +2𝑏²
𝑏+2𝑐²
𝑐+2𝑏²
A.1
B.2
C.3
D.4

18. Cho a, b, c 1 và abc=1.Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1
𝐵=
+
+
2+𝑎
2+𝑏
2+𝑐
A.3
B.4
C.2
D.1
19. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P 

1 1

A.− ;

3 3

 x  y 1  xy 
2
2
1  x  1  y 
1 1

B.− ;

4 4

1 1

C. − ;

5 5

1 1

D.− ;

6 6

20. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị
3 3 3


4
(
a

bc
)1

5
a
b
c
nhỏ nhất của biểu thức P
.
A.2
B.4
C.8
D.12
21.Cho x,y là các số thực.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 𝑄 =
1

1

1

𝑥 2 −𝑦 2 (1−𝑥 2 𝑦 2 )
1+𝑥 2 2 (1+𝑦²)²
1

A.

B.
C.
D.
3
4
5
6
22. Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
1

A.

B.

2

3

8a 2  b
 b2
4a

C.

2

5


D.

2

7
2

23. Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : a2  b2  c2  3 .Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức : 𝐾 =
1

A.

B.

2

𝑎
𝑎 2 +2𝑏+3

+

𝑏
𝑏 2 +2𝑐+3

7

+


C.

2

𝑐
𝑐 2 +2𝑎+3

9

D.

2

11
2

24. Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a  1;b  4;c  9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P 
10

A.

B.

11

11

bc a  1  ca b  4  ab c  9
abc


C.

12

13

D.

14

25. Cho x  0, y  0 thỏa mãn x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

A

15

2

2 xy
1  xy

2

2

1

A.

B. −
C.
3
3
3
26. Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2+𝑎
1−2𝑏
𝑇=
+
2

14

1+𝑎

1+2𝑏

5

8

D.−

1
3

3

A.

B.
C.
D.
5
7
7
8
27.Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:abc=1
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑄 = 5 5
+ 5 5
+ 5 5
𝑎 +𝑏 +𝑎𝑏
𝑏 +𝑐 +𝑐𝑎
𝑐 +𝑎 +𝑐𝑎
A.1
B.2
C.4
D.5
28. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+y≥3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
2
thức: 𝑃 = 𝑥 + 𝑦 + + .
3

2𝑥

1


𝑦

7

9

A.
B.
B.
D.
2
2
2
2
29. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: 2a+b≥7.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
9
1
thức: 𝑆 = 𝑎2 − 𝑎 + 3𝑏 + + + 9
𝑎
𝑏
A.11
B.22
C.33
D.44
30.Cho 3 số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
18
𝐾 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏𝑐 +
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
A.10

B.11
C.12
D.13
31.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện: 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 +
𝑧𝑥 ≥ 2𝑥𝑦𝑧 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
A.1/2
B.1/4
C.1/6
D.1/8
32. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.


P

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)


yz
zx
xz

A.1
B.2
C.4
D.5
2
2
2

33. Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
3

a3
1  b2



b3
1  c2



c3
1  a2

2

1

A.
B.
C.
2
2
3
34. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1.

D.


1
6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2yz + zx.

A.1
B.-1
C.2
35.Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1.
𝑥+𝑦
𝑦 +𝑧
𝑧+𝑥
Tìm giá trị nhỏ nhất: 𝑄 =
+
+
𝑥𝑦 +𝑧

𝑦𝑧 +𝑥

D.-2

𝑧𝑥 +𝑦

A.2
B.3
C.5
D.6
2009
2009

2009
36.Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn :𝑎
+𝑏
+𝑐
=3
4
4
4
Tìm giá trị lớn nhất của 𝑄 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
A.1
B.2
C.3
D.4
37. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn :

1
1
1
+
+
 2
1 x
1 z
1 y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz
A.1/2
B.1/4
C.1/6
D.1/8

38.Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
a

1
b

1
c

thức: F = (a  ) 2  (b  ) 2  (c  ) 2
A.37/33

B.99/33

39. Tìm giá trị lớn nhất của P =
A.2
B.3

C.100/33

D.25/33

2x  3 + 5  2x
C.4

D.5
x -x+1
40. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
x +x+1

A.2 và ½
B.3 và 1/3
C.4 và ¼
D.5 và 1/5
2

4
3

41. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x  xy  3 xyz  . Tìm giá
trị nhỏ nhất của x + y + z.
A.1
B.2
C.3
D.4
42. Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x), với x,y,z > 0 và x + y + z
= 1.
B.16/729

B.8/729

C.4/729

D.5/729

43. Tìm giá trị lớn nhất của y  x 1  x  với x   0; 1 
3

A. 27/256


B.28/256

44. Cho hai sè thùc d-¬ng x, y tho¶ m·n:

C.29/256

D.30/25






x3  y 3  3xy x 2  y 2  4 x 2 y 2  x  y   4 x3 y 3  0 .

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y.

A. 2 + 3

B.3 + 5

45. Cho các số a, b, c đều lớn hơn

C.1 + 7

D.1 + 3

25
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4


a
b
c


2 b 5 2 c 5 2 a 5
A.11
B.12
Q

C.14

D.15

Câu 46: Với x,y,z,t là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑥−𝑡 𝑡−𝑦 𝑦−𝑧 𝑧−𝑥
𝐴=
+
+
+
𝑡+𝑦 𝑦+𝑧 𝑧+𝑥 𝑥+𝑡
A.0
B.1
C.2
D.2
𝑎6

𝑏6


𝑐6

Câu 47:Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:𝐵 = 3 3 + 3 3 + 3 3 .Trong đó
𝑏 +𝑐
𝑐 +𝑎
𝑎 +𝑏
a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1
A.1/9
B.1/12
C.1/18
D.1/20
Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thưc:𝐶 =

𝑎8
𝑏 2 +𝑐 2

+
2

𝑏8
𝑐 2 +𝑎 2

+
2

Trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :ab+bc+ca=1
A.1/2
B.1/4
C.1/6
D.1/8


𝑐8
𝑎 2 +𝑏 2 2

.

1

Câu 49: Cho x,y,z>0 thỏa mãn 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: 𝐷 =

𝑥3
2𝑥+3𝑦 +5𝑧

A.1/10

+

𝑦3
2𝑦 +3𝑧+5𝑥

+

𝑧3

3

2𝑧+3𝑥+5𝑦

B.1/20


C.1/30

D.1/40

Câu 50: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm GTLN của: P = 2 x  yz +
2 y  xz + 2 z  xy
A.2
B.4
C.6
D.8
Câu 51: Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x  y  z  12 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  4x  2 x  1  4y  2 y  1  4z  2 z  1 .
A. 21

B.2 21

Câu 52: Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn

C.3 21

1 1
  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b

1
1
 4
.
2

2
a  b  2ab b  a  2ba 2
A.1/2
B.1/4
Q

4

D.4 21

2

C.1/6

D.1/8


1
4

Câu 53: . Cho x và y là hai số dương có tổng bằng 1.Chứng minh xy  .

1 
1

trị nhỏ nhất của biểu thức: A   x     y  
x 
y

2


A.5/2

B.15/2

Tìm giá

2

C.25/2

D.25

1
1 1
 2  2  3. Tìm giá trị nhỏ nhất
2
x
y
z
2 2
2 2
2 2
y z
z x
x y
của biểu thức: P 


.

x  y 2  z 2  y  z 2  x2  z  x2  y 2 
A.1/2
B.3/2
C.5/2
D.7/2
Câu 54: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn:

Câu 55: Với x > 2015, tìm giá trị nhỏ nhất của A =
A.3

B.4

x
x

2015 x  2015

C.5

D.6

Câu 56:cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1

1

1

1


𝑆= 2 2 2+ + +
𝑎 +𝑏 +𝑐
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
A.10
B.30

C.50

D.70
2

35

Câu 57: Cho a, b > 0 và a  b  4 . Tìm GTNN của P  a 2  b2  ab  2ab
A.17
B.19
C.21

D.23

Câu 58: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a 1 b 1 c 1
của biểu thức: M =


1  b2 1  c 2 1  a 2
A.1
B.2

C.3
D.4

Câu 59: Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn:
1
1
1


 2017 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ab bc ca
1
1
1
P


.
2a  3b  3c 3a  2b  3c 3a  3b  2c
A.2017/2
B.2017
C.2017/4

D.2017/5

Câu 60: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  1 .Tìm giá
ab  c  2a 2  2b2
trị nhỏ nhất của biểu thức M 
1  ab
A.1

B.2
C.3
D.4


Hưỡng dẫn giải chi tiết:
1 .Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3+𝑎²

𝐴=

𝑏+𝑐

1

+

3+𝑏²
𝐶+𝑎

+

3+𝑐²
𝑎+𝑏

A.

3

B.6


2
𝑎²

𝑏²

C.

D.15

2

𝑐²

1

1

1

Giải: 𝐴 =
+
+
+ 3(
+
+
)
𝑏+𝑐
𝑐+𝑎
𝑎+𝑏

𝑏+𝑐
𝑐+𝑎
𝑎+𝑏
Áp dụng bất đẳng thức cauchy –schwarz:
𝑎²
𝑏+𝑐
1
𝑏+𝑐

+
+

𝑏²
𝑐+𝑎
1
𝑐+𝑎

+
+

𝑐²
𝑎+𝑏
1
𝑎+𝑏

≥
≥

(𝑎+𝑏+𝑐)²
2(𝑎+𝑏+𝑐)

9
2(𝑎+𝑏+𝑐)
3

≤

3

(1)

2

=> 3(
9

1
𝑏+𝑐

+

1
𝑐+𝑎

+

1
𝑎+𝑏

)≥


9
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 𝐴 ≥ + = 6 dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
2
2
=> Đáp án B
2.Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4𝑎3
4𝑏 3
4𝑐 3
𝑃=
+
+
1+𝑏 1+𝑐
1+𝑐 1+𝑎
1+𝑎 1+𝑐
3
A.2
B.1
C.3
D.
4
Giải:Ta có:
3
4𝑎3
1+𝑏 1+𝑐
4𝑎3

1+𝑏 1+𝑐
3𝑎
+
+
≥3
.
.
≥
1+𝑏 1+𝑐
8
8
1+𝑏 1+𝑐
8
8
4
3
4𝑏3
1+𝑐 1+𝑎
4𝑏 3
1 + 𝑐 1 + 𝑎 3𝑏
+
+
≥3
.
.
≥
1+𝑐 1+𝑎
8
8
1+𝑐 1+𝑎

8
8
4
3
4𝑐 3
1+𝑎 1+𝑏
4𝑐 3
1 + 𝑎 1 + 𝑏 3𝑐
+
+
≥3
.
.
≥
1+𝑎 1+𝑐
8
8
1+𝑎 1+𝑐
8
8
4

6

𝑎 +𝑏+𝑐

8

4


 𝑃+ +

≥

3(𝑎+𝑏+𝑐)
4

3

áp dụng bất đẳng thức cô si:

 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3 𝑎𝑏𝑐 ≥ 3
9
3
3
3
 𝑃 ≥ − − = dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
4
4
4
4
 Đáp án C
3 .Cho hai số x,y dương thỏa mãn 𝑥 ≥ 2𝑦 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑀=

2𝑥²+𝑦²−2𝑥𝑦
𝑥𝑦

Giải: 𝑥 ≥ 2𝑦 ↔ 𝑥 2 ≥ 4𝑦 2
𝑀=


2𝑥²+𝑦²−2𝑥𝑦

2 𝑥 2 .4𝑦 2
4𝑥𝑦

𝑥𝑦
7

=

2𝑥 2 +𝑦 2
𝑥𝑦

−2=

8𝑥 2 +4𝑦 2
4𝑥𝑦

−2=

7𝑥
4𝑦

+

𝑥 2 +4𝑦 2
4𝑥𝑦

− 2 = − 1 − 2 = 5/2 dấu “=” xảy ra khi x=2y

2

−2≥

7
4

.

2𝑦
𝑦

+


4 .Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑜 và 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
1
𝐾 = 𝑎5 + 𝑏 5 + 𝑐 5 + + +
𝑎

5

A.

𝑏
3

𝑐


B.

2

C.2

4

1

1

a

a

D.6

Giải:Ta có: a5 + ≥ 2 a5 . = 2a2 tương tự:
1
1
≥ 2𝑏 2 ; 𝑐 5 + ≥ 2𝑐 5
𝑏
𝑐

𝑏5 +

→𝐾 ≥ 2(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )
Áp dụng bất đẳng thưc Bunhicacopxki ta được:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 ≤ 1 + 1 + 1 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
𝑎+𝑏+𝑐 2
𝑎+𝑏+𝑐
2
2
2
→ 𝑎 +𝑏 +𝑐 ≥
↔ 2 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ≥ 2
3
3

2

𝑎 +𝑏+𝑐 2

→𝐾 ≥ 2
=6
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 6 dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

5 . Với a,b là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑎+𝑏+𝑐
𝑁=
𝑐(𝑐+3𝑎)+ 𝑏(𝑏+3𝑐)+ 𝑎 𝑎+3𝑏
𝟏

A.3
Giải:
Ta có:𝑁 =


B.

C.4

𝟐

2(𝑎+𝑏+𝑐)
2 𝑐(𝑐+3𝑎)+2 𝑏(𝑏+3𝑐)+2 𝑎 𝑎 +3𝑏
4𝑐+𝑐+3𝑎
5𝑐+3𝑎

4𝑐 𝑐 + 3𝑎 ≤

=

; 4𝑎 𝑎 + 3𝑏 ≤

2
4𝑎+𝑎+3𝑏

2
2(𝑎+𝑏+𝑐)

 𝑁 = 5𝑐+3𝑎
2

=

5𝑏 +3𝑐 5𝑎 +3𝑏
+

+
2
2

=

8(𝑎 +𝑏+𝑐)

4

4𝑐(𝑐+3𝑎 )+ 4𝑏(𝑏+3𝑐)+ 4𝑎 𝑎 +3𝑏
4𝑏+𝑏+3𝑐
5𝑏+3𝑐

2
5𝑎+3𝑏

2
4(𝑎 +𝑏+𝑐)

5

2(𝑎+𝑏+𝑐)

; 4𝑏(𝑏 + 3𝑐) ≤

=

D.


2

=

2

1

= .
2

 Đáp Án B

6 .Cho a,b,c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑎²

𝑏²

𝑐²

𝐵=
+
+
𝑏−1
𝑐−1
𝑎−1
A.12

B.13


C.14

D.15

7 .Cho các số thực thỏa mãn 𝑥𝑦𝑧 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1
𝑄=
+
+
𝑥+𝑦 +1

𝑦 +𝑧+1

𝑧+𝑥+1

A.1
B.2
C.3
D.5
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta đặt x = a³ , y = b³, z = c ³→abc=1
Khi đó ta có:𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 𝑎𝑏𝑐 ≥
𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 ≥ 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐


Tương tự: 𝑦 + 𝑧 + 1 ≥ 𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝑧 + 𝑥 + 1 ≥ 𝑐𝑎(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
1
1

1
𝑎𝑏𝑐
𝑄=
+
+
≤
𝑥+𝑦 +1

𝑦 +𝑧+1

𝑧+𝑥+1

𝑎𝑏 𝑎+𝑏+𝑐

+

𝑎𝑏𝑐
𝑏𝑐 (𝑎+𝑏+𝑐)

+

𝑎𝑏𝑐
𝑐𝑎 (𝑎+𝑏+𝑐)

=1

Vậy GTNN bằng 1 khi a=b=c=1 hay x=y=z=1
 Đáp án A
8 .Với số thực x,y thỏa mãn 𝑥 − 𝑥 + 6 = 𝑦 + 6 – 𝑦. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức 𝑇 = 𝑥 + 𝑦

A.6 và 4
B.1 và 2
C. 3 và 7
D.2 và 4
Giải:
Điều kiên: 𝑥 ≥ −6, 𝑦 ≥ −6
Từ điều kiện đề bài: 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 và
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 6 + 𝑦 + 6 => 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 + 12 + 2 𝑥 + 6 (𝑦 + 6) (*)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ta có:
2 𝑥 + 6 (𝑦 + 6 ≤ 𝑥 + 6 + 𝑦 + 6 = 𝑥 + 𝑦 + 12
 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 + 12 + 2 𝑥 + 6 𝑦 + 6 ≤ 2 𝑥 + 𝑦 + 24
 𝑥 + 𝑦 2 − 2 𝑥 + 𝑦 − 24 ≤ 0 → 𝑥 + 𝑦 − 6 (𝑥 + 𝑦 + 4) ≤ 0
 −4 ≤ (𝑥 + 𝑦) ≤ 6
Khi x=y=3 thi x+y=6
Ta có: 2 𝑥 + 6 𝑦 + 6 ≥ 0 nên từ (*) suy ra:
𝑥 + 𝑦 2 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 12→ 𝑥 + 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 − 12 ≥ 0
→ 𝑥 + 𝑦 − 4 𝑥 + 𝑦 + 3 ≤ 0 → (𝑥 + 𝑦) ≥ 4(𝑑𝑜 𝑥 + 𝑦 + 4 ≥ 0)
Khi x=10,y=-6 hoặc x=-6 và y=10 thì x+y=4
Vậy GTLN của T là 6 khi x=y=3 và GTNN của t là 4 khi x=10,y=-6 hoặc x=6,y=10
Đáp án A
3
2
1
1
1
S  a 2  2  b2  2  c 2  2
b
c
a


9 . Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

𝐴. 3
Giải:

𝑩.

S  a2 

𝟑 𝟏𝟕
𝟐

3

1
1
1
1
4
)  (1.a  4. ) 2 a 2  2 
(a  )
2
b
b
b
b
17

Tương tự
1

1
4
1
1
4

(b  ); c 2  2 
(c  )
2
c
c
a
a
17
17

Do đó:

2 2

1
1
1
 b2  2  c2  2
2
b
c
a

(12  42 )(a 2 


b2 

𝐶.

D.1


1
4 4 4
1
36
(a  b  c    ) 
(a  b  c 
)
a b c
abc
17
17

S

1
17




 3 17
9

135
(a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   2



Đáp Án B
3
a

10 .Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c  
A.10
B.11
Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4

C.12

9 4

2b c

D.13

12 18 16
12  
18   16 

   a  2b  3c   3a     2b     c   
a b c
a 
b 

c 

20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13
Đáp Án D
1 1 1
11 .Cho x,y,z> 0 và    4 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1
1
1
P


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
4S  4a  4b  4c 

A.5
Giải:
Ta có

B.3

C.1

D.7

1 1
4 1 1
4
1 1 1 1

4
4
16
1
1 1 2 1
 
;  
    



    
x y x y y z yz
x y y z x  y y  z x  2y  z
x  2 y  z 16  x y z 
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
    ;
    
2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z 
1 4 4 4
    1
16  x y z 
Đáp Án C
S

12 . Cho x,y,z>0 và x  y  x  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

A.1
Giải:

B.2

Ta có:

𝑥2
𝑦 +𝑧
𝑦²
𝑧+𝑥
𝑧²

𝑥+𝑦

+

𝑦 +𝑧

+

𝑧+𝑥

+

 𝑃+

4
𝑦 +𝑧


𝑦+𝑧
𝑦²

≥2

4

𝑥+𝑦

𝑥2

≥2

4

≥2

+

𝑧+𝑥

4
4
2(𝑥+𝑦 +𝑧)

C.3

𝑧+𝑥
𝑧²


.

.

𝑦 +𝑧

.

𝑧+𝑥

4
4

𝑥+𝑦

𝑥+𝑦
4
𝑥+𝑦

+

4

=𝑥
=𝑦
=𝑧

≥ 𝑥+𝑦+𝑧

 𝑃+

≥ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
4
 𝑃 ≥2 Đáp án D

x2
y2
z2


yz zx x y

D.4


3x 2  4 2  y 3

4x
y2

13 . Cho x,y >0 và x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
𝐴.

3

5

𝐵.

2


Giải:

3𝑥 2

Ta có:𝐴 =

4𝑥
𝑥

=

4

4

+

+

4𝑥
1

+ +
𝑥

2

2
𝑦²


𝐶.

2

𝑦3

+

𝑦2

𝑦

+ +

𝑦2

4

3𝑥

=

1

+ +

4

𝑦


𝑥

𝑥

𝑦

2

7

𝑫.

2

𝑥

𝑥

1

2

4

2

𝑥

𝑦²


+𝑦 = + + +

𝑦²

𝟗
𝟐

𝑦

𝑦

𝑦

4

4

2

+ + +

+( + )

4

2

2

𝑦 𝑦


5

4 𝑥 𝑦2 4 4

2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si chi 5 số dương,kết hợp giải thiết 𝑥 + 𝑦 ≥ 4 ta được:
𝑥
4
𝑥
2

1

2

𝑥
𝑦

𝑦2

+ +

𝑦

𝑦

4


4

+ + ≥5

𝑥 1

5

. .

2

. . ≥ (1)

+ ≥2

(2)

2

5

9

2
9

2

Từ (1) và (2) ta được𝐴 ≥ + 2 =


Vậy giá trị nhỏ nhất bằng dấu “=” xảy ra khi 𝑥 = 𝑦 = 2. Chọn đáp án D
2

14 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A   x  1   x  3  6  x  1  x  3 
A.2
B.4
C.6
D.8
4

4

2

2

Giải: Đặt 𝑥 − 2 = 𝑡
Ta được: 𝐴 = 𝑡 + 1 4 + 𝑡 − 1 24 + 6 𝑡 + 1 2 𝑡 − 1 2
= 𝑡 4 + 4𝑡 3 + 6𝑡 2 + 4𝑡 + 1 + 𝑡 4 − 4𝑡 3 + 6𝑡 2 − 4𝑡 + 1 + 6 𝑡 4 − 2𝑡 2 + 1
= 8𝑡 4 + 8 ≥ 8. Khi x=2 Đáp án D
15 .Cho a,b,c là các số dương và 𝑎2 +𝑏 2 +𝑐 2 = 3. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:
𝐿=
1

𝑎³
𝑏²+3

𝑏³


+

𝑐³

+

𝑐²+3

𝑎²+3
𝟑

𝐴.
2
Giải:
Ta có:

𝑩.

𝑎³
2 𝑏²+3
𝑏³
2 𝑐²+3

+
+

𝑐³





𝑎³
2 𝑏²+3
𝑏³
2 𝑐²+3

𝑏²+3

+

𝑏²+3

2 𝑎²+3
2 𝑎²+3
𝑏²+3
𝑐²+3

𝐿+
𝐿+

+

4
4
𝑎²+𝑏²+𝑐²+9
9

 𝐿≥ −
2
 Đáp án B


4
12
4

=

𝟐

+

𝑐³

+

𝐶.

3
2

4
4

+
+

≥

≥3


3

≥3

3

𝑎²+3
4
𝑎²+3

𝐷.

2

.

𝑎³

.

𝑏³

2 𝑏²+3 2 𝑏²+3

≥3
≥

𝑎³

5


𝑏³

2 𝑐²+3 2 𝑐²+3
3

𝑐³

.

.

𝑏²+3

.

𝑐²+3

4

𝑐³

2 𝑎²+3 2 𝑎²+3

3(𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 )

4
3(𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 )

2


2

dấu „=” xảy ra khi a=b=c=1

4

.

=

3𝑎²

=

3𝑏²

𝑎²+3
4

2

=

2
3𝑐²
2

7
2



16.Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:𝑃 =
1

𝑎³
𝑏+𝑐+𝑑

+

𝑏³
𝑐+𝑑+𝑎
𝟏

+

𝑐³
𝑎+𝑏+𝑑

+

𝑑³
𝑎+𝑏+𝑐

1

1

A.

B.
C.
D.
2
𝟑
4
6
Giải
Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d)
= 4(ab + bc + cd + da) = 4  a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)
a3
b  c  d a 1 2a

  
bcd
8
6 12 3
Tương tự ta có
b3
a  c  d b 1 2b

  
cd a
8
6 12 3
3
c
a  b  d c 1 2c

  

abd
8
6 12 3
d3
a  b  c d 1 2d

  
abc
8
6 12 3
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:
a3
b3
c3
d3
a bc d 1 2 1 1




   
bc d c d a a bd a bc
3
3 3 3 3

a3
b3
c3
d3
1





vậy P=
bcd cd a a bd a bc 3
 Đáp Án B
17. Cho các số dương a, b, c,thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất
𝑎²

𝑏²

𝑐²

của biểu thức :𝑀 =
+
+
𝑎+2𝑏²
𝑏+2𝑐²
𝑐+2𝑏²
A.1
B.2
C.3
Giải:

D.4

a  b  c 
a
b

c



a  2b2 b  2c 2 c  2a 2 a3  b3  c3  2  a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 
2

2

2

2

Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a2 +b2+c2)2  a3+ b3+ c3+2(a2b2+ c2b2+ a2c2)
4
4
4
3
3
3
a + b + c  a + b + c
Thật vậy
3(a3+ b3+ c3) = (a3+ b3+ c3)(a+b+c)  (a2 +b2+c2)2
2
2
2
2
 (a +b +c )(1+1+1)  (a+b+c) =9


2

2 2


Do đó a2 +b2+c2  3, suy ra a3+ b3+ c3  a2 +b2+c2
(a4+ b4+ c4)( a2 +b2+c2)  (a3+ b3+ c3)2  a4+ b4+ c4  a3+ b3+ c3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Đáp án A
18. Cho a, b, c  1 và abc=1.Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
1
1
𝐵=
+
+
2+𝑎
2+𝑏
2+𝑐
A.3
B.4
C.2
D.1
Giải:
Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:

x/ y
y/ z
z/ x



1
2 x/ y
2 y / z
2 z / x
x
y
z



1
x  2y
y  2z
z  2x
theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

 x  y  z
x
y
z



1
x  2 y y  2 z z  2 x x( x  2 y )  y ( y  2 z )  z ( z  2 x)
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1

 Đáp án D
19. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
 x  y 1  xy 
nhất của biểu thức P 
2
2
1  x  1  y 
1 1

A.− ;
3 3
Giải:

𝟏 𝟏

B.− ;

𝟒 𝟒

1 1

C. − ;

5 5

1 1

D.− ;

6 6


 x  y  1  xy 

 x  y 1  xy    x  y 1  xy   
2
  1  1  P  1
P
2
2
2
2
2
4
1  x  1  y  1  x  1  y   x  y  1  xy  4 4
2

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = ¼ => Đáp án B
20. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị
3 3 3

4
(
a

bc
)1

5
a

b
c
nhỏ nhất của biểu thức P
.
A.2
B.4
C.8
D.12


Giải:
2 2
2
2 2
2

a

(
b

c
)

(
a

b

c

)
(
a
b

c
)

b

(
c

a
)

(
b

c

a
)
(
b
c

a
)
Có a

(1) , b
(2)
2 2
2
c

ca

(

b
)

(
c

a

b
)
(
c
a

b
)
(3) . Dấu „=‟ xảy ra abc
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế
b
c


(
a

b

c
)
(
b
c

a
)
(
c
a

b
)
với vế của (1), (2), (3) ta có : a
(*)
a
b
c

(
2

2

a
)
(
2

2
b
)
(
2

2
c
)
Từ abc2 nên (*) 

8

8
(
a

b

ca
)

8
(
b


b
c

c
a
)

9
a
b
c

0

8

9
a
b
c

8
(
a
b

b
c


c
a
)

0

9
a
b
c

8
(
a
b

b
c

c
a
)


8
(*)


b


c

()
a

b

c

3
()
a

b

c
(
a
b

b
c

c
a
)

3
a
b

c

8

6
(
a
b

b
c

c
a
)

3
a
b
c
Ta có a
3
3
3
(
a

b

c

)

1
5
a
b
c

2
7
a
b
c

2
4
(
a
b

b
c

c
a
)

3
2


3
9
a
b
c

8
(
a
b

b
c

c
a
)

3
2


Từ đó 4
(**)
3 3 3
(
a

b


c
)

1
5
a
b
c

3
.
(

8
)

3
2

8
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4
3
3
3

3

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc3.

2

Giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi abc3
 Đáp Án C
21.Cho x,y là các số thực.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 𝑄 =
1

𝟏

A.

1

B.

3

𝑥 2 −𝑦 2 (1−𝑥 2 𝑦 2 )

C.

𝟒

Giải: Đặt a=x²,b=y² 𝑎, 𝑏 ≥ 0 Thì 𝑄 =

1+𝑥 2 2 (1+𝑦²)²
1

D.


5
𝑎−𝑏 (1−𝑎𝑏 )
1+𝑎 2 (1+𝑏)²

6

Vì a,b≥0 nên 𝑎 − 𝑏 1 − 𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑎²𝑏 − 𝑏 + 𝑎𝑏² ≤ 𝑎 + 𝑎𝑏² = 𝑎(1 + 𝑏 2 ) ≤
𝑎 1 + 2𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎(1 + 𝑏)²
Lại có 1 + 𝑎

2

= 1−𝑎

𝑎 1+𝑏 2

2

+ 4𝑎 ≥ 4𝑎 → 𝑄 ≤
4𝑎
𝑥 = ±1
𝑎=1
Dấu “=” xảy ra khi
↔
𝑦=0
𝑏=0
𝑥
=
±1
1

Vậy GTLN của 𝑄 = 𝑘ℎ𝑖
→ Đáp Án B
4
𝑦=0

1+𝑏 2

=

1
4

22. Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0
8a 2  b
A=
 b2
4a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
𝟏

A.

B.

𝟐

3

C.


2

Giải:Dự đoán điểm rơi 𝑎 = 𝑏 =
Ta có: A =

5

D.

2

1
2

𝑏
1
𝑏
1
8a 2  b
 b 2 =2𝑎 + 2 + 𝑏 2 = 2𝑎 − +
+ + 𝑏2
4𝑎
4
4𝑎
4
4a
1

𝑎+𝑏


4

4𝑎

 𝐴 = 2𝑎 − +
 𝐴=𝑎+

1
4𝑎

+ 𝑏 2 𝑑𝑜 𝑎 + 𝑏 ≥ 1
1

1

4

4𝑎

+ 𝑏2 + 1 − 𝑏 − = 𝑎 +

+ 𝑏−

1 2
2

+

1

2

(1)

7
2


Do a>0 ta có 𝑎 +

1
4𝑎

≥ 2 𝑎.

1
4𝑎

≥1

1

3

2

2

Từ (1) và (2) suy ra 𝐴 ≥ 1 + =


(2)

𝑎+𝑏 =1
1
1
𝑎=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là Khi
→𝑎
=
𝑏
=
4𝑎
3
2

2

2𝑏 − 1 = 0

Đáp Án B
23. Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : a2  b2  c2  3 .Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức : 𝐾 =
1

A.

𝑎
𝑎 2 +2𝑏+3

B.


2

+

𝑏
𝑏 2 +2𝑐+3

7

+

𝑐
𝑐 2 +2𝑎+3

C.

2

9

D.

2

a 2 b2 c 2  a  b  c 
a 2 b2  a  b 
Giải: * C/M bổ đề:  
và   
.

x
y x
x yz
x
y
x y
2

2

Thật vậy
a 2 b2  a  b 
2
2
 
 a 2 y  b 2 x  x  y   xy  a  b    ay  bx   0
x
y
x y
2





(Đúng)  ĐPCM
a 2 b2 c 2  a  b  c 
Áp dụng 2 lần , ta có:   
x
y x

x yz
2
2
* Ta có : a  2b  3  a  2b  1  2  2a  2b  2 , tương tự Ta có:
2

a
b
c
a
b
c
 2
 2



a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2a  2b  2 2b  2c  2 2c  2a  2
1
a
b
c

 A 


(1)

2 
a  b 1 b  c 1 c  a 1 

A

2

B

a
b
c


1
a  b 1 b  c 1 c  a 1
a
b
c

1
1 
 1  2
a  b 1
b  c 1
c  a 1
b  1
c  1
a  1



 2

a  b 1 b  c 1 c  a 1
b 1
c 1
a 1



2
a  b 1 b  c 1 c  a 1

Ta chứng minh

 b  1
 c  1
 a  1



2
a  b  1 b  1  b  c  1 c  1  c  a  1 a  1



2

2

3 B

* Áp dụng Bổ đề trên ta có:


2

(2)

11
2


 a  b  c  3
 3 B 
 a  b  1 b  1   b  c  1 c  1   c  a  1 a  1
2
a  b  c  3

 3 B 
(3)
2

a 2  b2  c 2  ab  bc  ca  3(a  b  c)  3

* Mà:
2  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  3(a  b  c)  3
 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca  6a  6b  6c  6
 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca  6a  6b  6c  6 ( Do : a 2  b 2  c 2  3)
 a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  6a  6b  6c  9
  a  b  c  3


2


 a  b  c  3

2

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  3(a  b  c )  3

2

(4)

Từ (3) và (4)  (2)
Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
24. Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a  1;b  4;c  9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P 
10

A.

B.

11

𝟏𝟏

bc a  1  ca b  4  ab c  9
abc

C.


𝟏𝟐

13

D.

14

14
15

𝑎−1
𝑏−4
𝑐−9
bc a  1  ca b  4  ab c  9
Giải: P 
=
+
+
𝑎
𝑏
𝑐
abc
Vì a  1;b  4;c  9 áp dụng bất đẳng thức cô si cho các số dương ta có:

1. 𝑎 − 1 ≤
Suy ra: 𝑃 =

1+𝑎−1

2
𝑎−1
𝑎

𝑎

𝑏

= tương tự : 2 𝑏 − 4 ≤ ; 3 𝑐 − 9 ≤

+

2
𝑏−1

𝑏
11

+

𝑐−1
𝑐

≤

𝑎
2𝑎

+


𝑏
4𝑏

+

4
𝑐

6𝑐

=

11

𝑐
6

12

Vậy GTLN của P là khi a=2,b=8,c=18
12
 Đáp Án B
25. Cho x  0, y  0 thỏa mãn x2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
2

A.
3
Giải:

B. −


𝟐
𝟑

1

C.

3

D.−

2 xy
2 xy
1 1  xy
1
1
 A 




1  xy
1  xy
A
2 xy
2 xy 2
1
1
 0 do đó Amin   Amax 

min .
Vì x  0, y  0  A  0   A  0 
A
A
1
2
Mặt khác  x  y   0  x 2  y 2  2 xy  2 xy  1 
 1 (vì 2 xy  0 )
2 xy

Cách 1: Ta có A 

1
3

2 xy
1  xy


1
1 3
 1   . Dấu “ = ” xảy ra khi x  y .
A
2 2
 x  0, y  0

2
Từ  x  y
xy
2

 2
2
x

y

1

1
2 
2   2 . Vậy min A   2 khi x  y  2 .
Lúc đó A 
1
3
2
3
1
2
Cách2:Với x  0, y  0 tacó

Do đó

x2  y 2
1
3
1
2
2
4
 xy  xy   1  xy  

 

2
2
2
1  xy 3
1  xy 3
2 xy
2
4
2
Do đó A 
 2 
 2    .
1  xy
1  xy
3
3
Dấu “=” xảy ra khi x  y .

 x  0, y  0

2
Từ  x  y
xy
2
 2
2
x


y

1


Vậy min A  

2
2
khi x  y 
.
3
2

Cách 3:
Với x  0, y  0 và x2  y 2  1





2
2
2
2 2 2 xy 2  2 xy  6 xy 2 x  y  4 xy 2  x  y 
2



0 A

Ta có A   
3 3 1  xy
3 1  xy 
3 1  xy 
3 1  xy 
3

Dấu “=” xảy ra khi x  y 
A

2
2
2
. Vậy min A   khi x  y 
.
3
2
2

a
a 2 xy
 0;  b  0   
 0  a  axy  2bxy  0  a x 2  y 2   2b  a  xy  0
b
b 1  xy






a  0
2b  a 
a 2

 2
2
 a x  y 
xy   0   2b  a
 
a
b 3


 a  2

 Đáp Án B.
26. Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2+𝑎
1−2𝑏
𝑇=
+
2

1+𝑎

A.
5
Giải:
Ta có:


1+2𝑏

B.

5
7

C.

𝟖
𝟕

1
1
1
1
2

2

=
(1) (bđt Côsi)
a  1 2b  1 a  1 b  1
1
(a  1)(b  )
2
2

D.


3
8


1
a 1 b 
1
2  7 (bđt Cô si)
(a  1)(b  ) 
2
2
4
2
8
 (2)

7
1
(a  1)(b  )
2
1
2
8


Từ (1) và (2) suy ra: T=
1  a 1  2b 7
1
3
5

Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2  a = và b =
2
4
4

 Đáp Án C.
27.Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:abc=1
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑄 = 5 5
+ 5 5
+ 5 5
𝑎 +𝑏 +𝑎𝑏
𝑏 +𝑐 +𝑐𝑎
𝑐 +𝑎 +𝑐𝑎
A.1
B.2
C.4
D.5
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 5 số dương ta có:
5

𝑎5 + 𝑎5 + 𝑎5 + 𝑏 5 + 𝑏 5 ≥ 5 𝑎5 𝑎5 𝑎5 𝑏5 𝑏 5 ≥ 5𝑎3 𝑏 2
 3𝑎5 + 2𝑏 5 ≥ 5𝑎3 𝑏 2
Tương tụ ta có: 2𝑎5 + 3𝑏 5 ≥ 5𝑎2 𝑏 3
=>5𝑎5 + 5𝑏 5 ≥ 5 𝑎3 𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 3 ≥𝑎2 𝑏 2 𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏


=>

𝑎 5 +𝑏 5 +𝑎𝑏

≤

𝑎𝑏
𝑎 2𝑏2

𝑎 +𝑏 +𝑎𝑏

=

1
𝑎𝑏 𝑎 +𝑏 +1

=

𝑐

=

𝑎𝑏𝑐 𝑎 +𝑏 +𝑐

𝑐
𝑎+𝑏+𝑐

Tương tự công lại ta được:
𝑐
𝑎

𝑏
𝑄≤
+
+
= 1 dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
Vậy GTLN là 1

28. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+y≥3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
2
𝑃 =𝑥+𝑦+ + .
3

2𝑥

𝑦

A.

2

Giải: 𝑃 =

B.
𝑥
2


+

1
2𝑥

1
2

7

𝟗

B.
𝑦

2

𝑥+𝑦

2

𝑦

2

+( + )+
𝑥

1


2

2𝑥

Áp dụng bất đẳng thức cô si: +
3

9

2

2

≥2

D.

2

𝑥 1
2 2𝑥

𝟐

𝑦

2

𝑦2


2

𝑦

2𝑦

=; + ≥ 2

=2

 𝑃 ≥ 1 + 2 + = dấu “=” xảy ra khi x=1 và y=2
 Đá𝑝 Á𝑛 𝐷

29. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: 2a+b≥7.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
9
1
𝑆 = 𝑎2 − 𝑎 + 3𝑏 + + + 9
𝑎
𝑏
A.11
B.22
C.33
D.44
9
1
Giải: 𝑆 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 3 + 9 + 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 + 𝑏 + +
𝑎

𝑏



9

1

= 𝑎 − 3 2 + 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 + + 𝑏 +
𝑎
𝑏
Trong đó : 𝑎 − 3 2 ≥ 0 dấu bằng xảy ra khi a=3
4𝑎 + 2𝑏 ≥ 14 (𝑣ì 2a + b ≥ 7) dấu “=” khi a=3,b=1
Áp dụng bất đăng thức cô si:
9

9

𝑎

𝑎

1

1

1

𝑏

𝑏

𝑏


𝑎 + ≥ 2 𝑎.

= 6 dấu “=” xảy ra khi 𝑎 =

9
𝑎

→𝑎=3

𝑏 + ≥ 2 𝑏. = 2 dấu “=” xảy ra khi 𝑏 = → 𝑏 = 1
Do đó 𝑆 ≥ 0 + 14 + 6 + 2 = 22 Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 22 khi a=3 và b=1
 Đáp Án B.
30.Cho 3 số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
18
𝐾 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏𝑐 +
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
A.10
B.11
C.12
D.13
2
2
2
Giải: Ta cần chứng minh: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 2𝑎𝑏𝑐 + 1 ≥ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
Thật vậy,trong ba số(a-1)(b-1)(c-1) luôn có hai số tích không âm.Không mất tính tổng
quát giả sử : 𝑎 − 1 𝑏 − 1 ≥ 0
Ta có: 1𝑎 𝑎 − 1 𝑏 − 1 ≥ 0 ↔ 2𝑎𝑏𝑐 ≥ 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎 − 2𝑐
Do đó ta cần chứng minh:𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 1 ≥ 2𝑐 + 2𝑎𝑏 ↔ 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑐 − 1 2 ≥ 0
Bất đẳng thức trên luôn đúng.Suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
Khi đó:
𝐾 ≥ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 +

18
𝑎𝑏 +𝑏𝑐 +𝑐𝑎

− 1 ≥ 2 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 .

18
𝑎𝑏 +𝑏𝑐 +𝑐𝑎

− 1 =11

Vậy giá trị nhỏ nhất của K bằng 11 khi a=b=c=1
 Đáp án B.
31.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện: 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥
2𝑥𝑦𝑧 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
A.1/2
B.1/4
C.1/6
D.1/8
Giải:
1
x

1
y

1

z

Ta có xy  yz  xz  2 xyz     2 nên
1
1
1 y 1 z 1
( y  1)( z  1)
 1 1 

2
(1)
x
y
z
y
z
yz

Tương tự ta có

1
1
1 x 1 z 1
( x  1)( z  1)
 1 1 

2
(2)
y
x

z
x
z
xz

1
1
1 x 1 y 1
( x  1)( y  1)
 1 1 

2
(3)
y
x
y
x
y
xy

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( x  1)( y  1)( z  1) 

1
8


1
3
x yz
8

2
Vậy Đáp Án D

vậy Amax =

32. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A.1

P

x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)


yz
zx
xz

B.2

C.4

D.5

Giải:
x 2 x 2 y2 y2 z2 z 2
(*)




 
y
z
z
x
x
y
Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  

Ta có : P 

Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0

x 2 y2

 x  y x, y > 0
y
x

hay

y2 z 2
  y  z y, z > 0
z
y

Tương tự, ta có :

z2 x 2


 z  x x, z > 0
x
z
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1
1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.
3
Vậy Đáp Án B.

33.

Cho a, b, c  0 và a2  b2  c2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a3

P

A.

𝟑

1  b2



b3
1  c2

c3




1  a2

B.

𝟐

2

C.

2

1

D.

3

Giải:
Ta có: P + 3 =
 P

6
4 2




a3
1 b

a

3

2 1 b2

 b2 

2



a

b3
1 c

2

2 1 b2



2

 c2 


1 b
4 2

2

c3
1 a



2

 a2

b3
2 1  c2



b2
2 1  c2



1  c2
4 2

a6
b6
c6

1 a2
 33
 33
 33
16 2
16 2
16 2
2 1 a2 2 1 a2 4 2
3
3
9
9
3
9
3
3
 P

(a 2  b 2  c 2 )  6  P 




2 2 23 2 2
2 8
2
26 23 2 2 2 2 2 2


c3




c2



Để PMin khi a = b = c = 1
Vậy Đáp Án A
34. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1.

1
6


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2yz + zx.

A.1
Giải:

B.-1

C.2

D.-2

a 2  b2  c 2
1

2

2
2
2
2
2
2
2
2
Ta có : (a+c)2 ≥ 0  ac   a  c  b  (a  b  c )  b  1   1
2
2
2
2
1
1
Do đó F  ab  bc  ca  ca      1
2
2
a  b  c  0
b  0
F min = -1. Dấu “=” xẩy ra khi a  c  0, b  0  
2
a 2  b 2  c 2  1
 a  c  

2


Ta có : (a+b+c)2 ≥ 0  ab  bc  ca  


Vậy Đáp Án B
35.Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1.
𝑥+𝑦
𝑦 +𝑧
𝑧+𝑥
Tìm giá trị nhỏ nhất: 𝑄 =
+
+
𝑥𝑦 +𝑧

𝑦𝑧 +𝑥

𝑧𝑥 +𝑦

A.2
B.3
C.5
Giải:Ta có 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 → 𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑧, ta có:
𝑥+𝑦
1−𝑧
1−𝑧
=
=
𝑥𝑦 +𝑧
1−𝑥

𝑥𝑦 +1−𝑥−𝑦
1−𝑥

𝑦𝑧 +1−𝑦 −𝑧

1−𝑦

=

𝑥𝑦 +1−𝑧−𝑥)

Khi đó
𝑄=

+

D.6
𝑦 +𝑧

1−𝑥 1−𝑦

𝑧+𝑥
𝑧𝑥 +𝑦

1−𝑦 1−𝑧
1−𝑦

𝑦𝑧 +𝑥

=

=

1−𝑧 1−𝑦


1−𝑧
1−𝑥 1−𝑦
≥3

3

+

1−𝑥
1−𝑦 1−𝑧

1−𝑧

1−𝑥 1−𝑦
Vậy minQ=3 khi x=y=z=1/3
Đáp Án B

.

+

1−𝑦
1−𝑧 1−𝑦

1−𝑥
1−𝑦 1−𝑧

.

1−𝑦

1−𝑧 1−𝑦

=3

36.Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn :𝑎2009 + 𝑏 2009 + 𝑐 2009 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của 𝑄 = 𝑎4 + 𝑏 4 + 𝑐 4
A.1
B.2
C.3
D.4
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2005 số 1 và 4 số 𝑎2009 ta có:
1 + 1+. . +1 + 𝑎2009 + 𝑎2009 + 𝑎2009 + 𝑎2009 ≥
2009
2009
𝑎2009 . 𝑎2009 . 𝑎2009 . 𝑎2009 ≥ 2009𝑎2
1+. . +1 + 𝑏 2009 + 𝑏 2009 + 𝑏 2009 + 𝑏 2009 ≥ 2009𝑏2

1+


1 + 1+. . +1 + 𝑐 2009 + 𝑐 2009 + 𝑐 2009 + 𝑐 2009 ≥ 2009𝑐 2
Cộ lại ta có: 6015 + 4 𝑎2009 + 𝑏 2009 + 𝑐 2009 ≥ 2009(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )
↔ 6027 ≥ 2009 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 → 𝑄 ≤ 3
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3 khi a=b=c=1
Đáp Án C
37. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn :

1
1

1
+
+
 2
1 x
1 z
1 y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz
A.1/2
B.1/4
C.1/6
Giải:

D.1/8

Từ giả thiết suy ra

1
y
1
1
z
)+( 1)=
+
 (1 2
1 x
1 z
1 y
1 y 1 z


Tương tự :

1
 2
1 y

zx
(1  x)(1  z )

1
1 z

xy
(1  x)(1  y )

 2

Nhân từng vế của các bất đẳng thức được P = xyz 
=> Max P =

yz
(1  y )(1  z )

1
8

1
1
khi x = y = z =

8
2

Vậy Đáp Án D
38.Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
a

1
b

1
c

F = (a  ) 2  (b  ) 2  (c  ) 2
A.37/33

B.99/33

C.100/33

1
1
1
Giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( 2  2  2 ) + 6
a
b
c

Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có :

(a.1 + b.1 + c.2)2  3(a2 + b2 + c2)
=> a2 + b2 + c2 
1
a

1
b

1
c

1
3

1
1
1
(1)
 2  2)
2
a
b
c
1 1 1
Mặt khác ta chứng minh được (   )(a + b + c)  9
a b c
1 1 1
=>    9 do a + b + c = 1
a b c
1 1 1

=> (   ) 2  81
(2)
a b c
1
1
1
Từ (1) và (2)
=> ( 2  2  2 )  27
a
b
c

Tương tự : (   ) 2  3 (

D.25/33


1
1
+ 27 + 6 = 33
3
3
1
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
1
Vậy Min F = 33 khi a = b = c = .
3
3

=> F 

Đáp án C
39. Tìm giá trị lớn nhất của P = 2 x  3 + 5  2 x
A.2
B.3
C.4
3
5
x
Giải: TXĐ :
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:

D.5

(1. 2 x  3 + 1. 5  2 x )2  2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 2 x  3 + 5  2 x  2 hay P  2. Dấu “=” xảy ra  2 x  3 =
 x = 2 (thỏa mãn TXĐ)
Vậy Max P = 2  x = 2
Đáp án A

5  2x

x2-x+1
40. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
x +x+1
A.2 và ½
B.3 và 1/3

C.4 và ¼
D.5 và 1/5
2
Giải: Dễ thấy x +x+1 > 0 với mọi x.
Ta có 2(x - 1)2  0 => 2x2 - 4x + 2  0 => 3(x2 - x + 1 )  x2 + x + 1
x2-x+1 1
=> 2
 . Dấu “ = “ xảy ra khi x = 1
x +x+1 3
Ta có 2(x + 1)2  0 => 2x2 + 4x + 2  0 => 3(x2 + x + 1 )  x2 - x + 1
x2-x+1
=> 2
≤ 3 . Dấu “ = “ xảy ra khi x = -1
x +x+1
1
1
Vậy  A  3. Do đó min A = x = 1; Max A = 3  x = -1.
3
3
Đáp Án A
4
3

41. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x  xy  3 xyz  . Tìm giá trị nhỏ
nhất của x + y + z.
A.1
B.2
C.3
Giải: Áp dụng BĐT côsi cho các số dương ta có:
xy =


x
1 x

2 y    2 y  (1);
2
22


3

xyz =

D.4

3

x
1 x

y 4 z    y  4 z  (2)
4
3 4



Từ(1)

và


(2) 

4
1 x
 1 x
4
 x  xy  3 xyz    2 y  +   y  4 z  = (x
3
22
 3 4
 3

+

y

+

z)

 x  y  z  1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức
Kết hợp với giả thiết x  xy  3 xyz 

x
= y = 4z.
4

4

16
4
1
ta suy ra x = ; y = ; z = . Vậy x + y +
3
21
21
21

z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Đáp Án A
42. Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x), với x,y,z > 0 và x + y + z = 1.
B.16/729

B.8/729

C.4/729

D.5/729
1
3

Giải: Vì x,y,z > 0, áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z  3 3 xyz  3 xyz   xyz 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y; y+z ; x+z ta có

x  y    y  z   z  x  33 x  y  y  z z  x  2  3 3  x  y  .  y  z  .  z  x 
1
8 1
8
Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  .Suy ra S 

.
. 
3

Vậy S có giá trị lớn nhất là

27 27

729

1
8
khi x  y  z  .
3
729

Đáp Án B
43. Tìm giá trị lớn nhất của y  x 1  x  với x   0; 1 
3

A. 27/256

B.28/256

C.29/256

D.30/25

1
3

Giải: Biến đổi y  x 1  x   3x 1  x 1  x 1  x 
3

Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm ta được
1  3x  1  x   1  x   1  x  
1 3
33
. Dấu bằng xảy ra khi
y 



 
4
3
4
3
4
4



4

3x  1  x  x 

1
4

Đáp án C

44. Cho hai sè thùc d-¬ng x, y tho¶ m·n:

4

1
27






x3 y 3 3xy x 2 y 2 4 x 2 y 2 x y 4 x3 y 3 0 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.

A. 2 + 3

B.3 + 5

C. +

D.1 + 3

Gii: Đặt a = x+y = M; b = xy; a 2 4b Từ giả thiết có:
a 2b
a3 3ab 3a2b 6b2 4ab2 4b3 = (a 2b)(a 2 ab 2b 2 3b) 0 2
2
a ab 2b 3b 0
+) Nếu a =2b

Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y)2 4xy nên (x+y)2 2( x y) M x y 2;" " khi : x y 1.
+) Nếu

(*)

a ab 2b 3b 0 2b (a 3)b a 0 (1)

a ab 2b 3b 0
2

2

2

2

2

2

a 3 a2
b=

2
4

a2
Giả sử (1) có nghiệm b thoả mãn b
thì
4

a 2 2a 6 0 a 1 7;( Do : a 0) và

(a 3)2 8a 2 0 ... (a 3 2a 2)(a 3 2a 2) 0 a

3
2 2 1

Vậy a 1 7 (**)
Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1.

ỏp ỏn C
45. Cho cỏc s a, b, c u ln hn

25
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
4

a
b
c


2 b 5 2 c 5 2 a 5
A.11
B.12
C.14
Gii:
25
Do a, b, c >
(*) nờn suy ra: 2 a 5 0 , 2 b 5 0 , 2 c 5 0

4
Q

p dng bt ng thc Cụ si cho 2 s dng, ta cú:

D.15

a
2 b 5 2 a (1),
2 b 5

b
2 c 5 2 b (2)
2 c 5
c
2 a 5 2 c (3)Cng v theo v ca (1),(2) v (3), ta cú: Q 5.3 15 .
2 a 5
Du = xy ra

a b c 25 (tha món iu kin (*)) Vy Min Q = 15 a b c 25

ỏp n D
Cõu 46: Vi x,y,z,t l cỏc s dng.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

=
+
+
+
+ + + +
A.0

B.1
C.2
D.2




Gii: Ta cú: =
+1+
+1+
+1+
4
+

+

+

+