Mũ logarit rất hoàn chỉnh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.47 KB, 16 trang )
Chuyªn ®Ị :II ? PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOGARÍT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
•
•
•
•
•
•
an = a.a...a
123
(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R)
n thua so
1
a = a ; ∀a
a0 = 1 ; ∀a ≠ 0
1
a− n = n ;
a
m
n
a n = am
−
a
m
n =
;
1
=
m
an
(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R /{ 0} )
( a > 0;m,n∈ N )
1
n m
a
2. Các tính chất :
•
•
am.an = am+ n
am
n
= am− n
•
a
(am)n = (an)m = am.n
•
(a.b)n = an.bn
•
1
x
n
a
a
( )n = n
b
b
3. Hàm số mũ:
Dạng : y = ax ; ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác đònh : D = R
x
• Tập giá trò :
T = R+ ; ( a > 0 ∀x∈ R )
• Tính đơn điệu:
*a>1
: y = ax đồng biến trên R
•
y
y=ax
0
* 0 < a < 1 : y = ax nghòch biến trên R
Đồ thò hàm số mũ :
1
( Các em xem lại đònh nghóa ĐB và NB ở bài 1)
y=ax
x
a>1
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1
Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0
1. Đònh nghóa:
loga N = M
dn
⇔
aM = N
a > 0
a ≠ 1
N > 0
log a N có nghóa khi
Điều kiện có nghóa:
2. Các tính chất :
•
loga 1= 0
loga a = 1
•
loga aM = M
•
loga(N.M) = loga N + loga M
•
loga Nα = α .loga N ; N >0
alogaN = N
M
loga( ) = loga M − loga N
N
Đặc biệt : loga N2 = 2.loga N
3. Công thức đổi cơ số L
•
loga N = loga b.logb N
•
logb N =
•
loga N
loga b
* Hệ quả:
1
loga b =
logb a
log k N =
và
a
1
loga N
k
4. Hàm số logarít:
Dạng y = loga x ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác đònh : D = R +
• Tập giá trò
T=R
• Tính đơn điệu:
*a>1
: y = loga x đồng biến trên R +
y
* 0 < a < 1 : y = loga x nghòch biến trên R +
• Đồ thò của hàm sốy lôgarít:
y=logax
Đạo hàm
O
1
x
O
y=logax
1
x
'
'
= a x .lna ; ( a u ) = a u .lna.u'
0
'
'
x
x
u
u
2. ( e ) = e ; ( e ) = e .u'
'
'
1
u'
3. ( log a x ) =
; ( log a u ) =
xlna
u.lna
' u'
' 1
4. ( lnx ) = ,(x > 0) ; ( ln u ) = , (Trong đó U = U(x) có đạo hàm theo x)
x
u
( )
1. a x
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT MŨ VÀ PT LOGARIT
I.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
2
1.
X
Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản: aM = aN ⇔ M = N và a = b ⇒ X = log a b; b > 0
x
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2
HD:
2x
2
+3 x − 2
=
2
+3 x − 2
=
1
4
2
1
⇔ 2 x +3 x − 2 = 2−2
4
x = 0
⇔ x 2 + 3x − 2 = −2 ⇔ x 2 + 3 x = 0 ⇔
x = −3
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = −3
x 2 −3 x +1
1
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : ÷
3
x 2 −3 x +1
HD:
1
÷
3
= 3 ⇔ 3− ( x
2
−3 x +1)
=3
= 31
x = 1
⇔ −( x 2 − 3 x + 1) = 1 ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔
x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1, x = 2
2 x +1 + 2 x −2 = 36
Ví dụ 3: Giải phương trình sau :
HD:
2 x +1 + 2 x − 2 = 36 ⇔ 2.2 x +
2x
= 36
4
8.2 x + 2 x
= 36 ⇔ 9.2 x = 36.4 ⇔ 2 x = 16 ⇔ 2 x = 2 4 ⇔ x = 4
4
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1, x = 2
Ví dụ 4: Giải phương trình sau :
5 x.22 x−1 = 50
⇔
HD:
5 x.22 x −1 = 50 ⇔ 5 x.
4x
= 50 ⇔ 20 x = 100 ⇔ x = log 20 100
2
Vậy phương trình có nghiệm: x = log 20 100
2.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số(Dạng 1)
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
HD:
38.32 x − 4.35.3x + 27 = 0
( )
⇔ 6561. 3x
2
− 972.3x + 27 = 0 (*)
Đặt t = 3x > 0 (các em có thể đặt t = 3x+4 )
1
t = 9
2
Phương trình (*) ⇔ 6561t − 972t + 27 = 0 ⇔
t = 1
27
1
t = ⇔ 3x = 3−2 ⇔ x = −2
Với
9
1
t=
⇔ 3x = 3−3 ⇔ x = −3
Với
27
Vậy phương trình có nghiệm: x = −2, x = −3
Trên bước đường thành công, không có dấu chân của kẻ lười biếng.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25 x − 2.5 x − 15 = 0
HD:
25 x − 2.5 x − 15 = 0 ⇔ ( 5 x ) − 2.5 x − 15 = 0 (*)
2
3
Đặt t = 5 x > 0
t = 5
2
Phương trình (*) ⇔ t − 2t − 15 = 0 ⇔
t = −3 (loai)
Với
t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 3x + 2 − 32 − x = 24
9
x+2
2− x
x
x 2
x
HD: 3 − 3 = 24 ⇔ 9.3 − x − 24 = 0 ⇔ 9. ( 3 ) − 24.3 − 9 = 0 (*)
3
Đặt t = 3x > 0
t = 3
2
Pt (*) ⇔ 9t − 24t − 9 = 0 ⇔
t = − 1 ( loai)
3
x
Với
t = 3 ⇔ 3 = 3 ⇔ x =1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
éma 2x + n a.b x + pb 2x = 0
( )
ê
ê
Dạng 2:
êma 2f ( x ) + n ( a.b ) f ( x ) + pb2f ( x ) = 0
ê
ë
* Cách giải : Chia hai vế của pt cho a2x hoặc b2x ; (a2f(x) hoặc b2f(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
1) 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0; 2). 2.22x - 9.14x + 7.72x = 0; 3.) 25x + 10x = 22x + 1
3.
Phương pháp: Lấy logarit hai vế
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
HD:
8 x.5x
2
−1
=
1
8
Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
2
2
1
1
8 x.5x −1 = ⇔ log8 (8x.5 x −1 ) = log8 ( )
8
8
x
x 2 −1
−1
⇔ log8 8 + log8 5
= log8 8 ⇔ x + x 2 − 1 log8 5 = −1
(
)
(
)
⇔ x + 1 + x 2 − 1 log8 5 = 0 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( x − 1) log 8 5 = 0
x +1 = 0
⇔ ( x + 1) 1 + ( x − 1) log8 5 = 0 ⇔
1 + ( x − 1) log8 5 = 0
x = −1
x = −1
⇔
⇔
x.log8 5 = log8 5 − 1 x = 1 − log 5 8
Vậy phương trình có nghiệm: x = −1, x = 1 − log 5 8
2
Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
3x.2 x = 1
HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được
2
2
3x.2 x = 1 ⇔ log3 (3x.2 x ) = log 3 1
⇔ x + x 2 log3 2 = 0 ⇔ x ( 1 + x log 3 2 ) = 0
4.
x = 0
x = 0
x = 0
⇔
⇔
⇔
1
x = −
1 + x log 3 2 = 0
x = − log 2 3
log3 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = − log 2 3
Hỏi một câu chỉ dốt trong chốc lát,dốt không hỏi dốt nát
cả đời
Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu
để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
4
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không
quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm
duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b)
thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 ∈
(a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 3x + 4 x = 5 x
x
HD:
x
3 4
3 + 4 = 5 ⇔ ÷ + ÷ = 1 (*)
5 5
x
x
x
2
2
3 4
Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì ÷ + ÷ = 1
5 5
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
x
x
3 4
Thật vậy, xét f ( x) = ÷ + ÷
5 5
x
x
3 4
4
3
Ta có f ( x) NB trên R vì f '( x ) = ÷ ln + ÷ ln < 0 , ∀x ∈ R . Do đó
5 5
5
5
x
x
x
x
3 4
+ Với x > 2 thì f ( x) < f (2) hay ÷ + ÷ < 1 , nên pt (*) không thể có nghiệm x > 2
5 5
3 4
+ Với x < 2 thì f ( x) > f (2) hay ÷ + ÷ > 1 , nên pt (*) không thể có nghiệm x < 2
5 5
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Giải các phương trình sau:
x +5
16 x −10 = 0,125.8 x −15
2.
32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
3.
6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0
4.
( 2 − 3 )x + ( 2 + 3 )x = 4
5.
7.
2 x − x − 22+ x − x = 3
2.22 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0
6.
8.
3.8 x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
12.3x + 3.15 x − 5 x+1 = 20
9.
log x log 9 ( 3x − 9 ) = 1
10.
1
÷ = 2x +1
3
11.
2x
13.
15.
17.
19.
2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 3x − 3x −1 + 3x − 2
2
( x 2 − x + 1) x −1 = 1
3x +1 = 5x − 2
22 x +6 + 2 x +7 − 17 = 0
14.
16.
18.
20.
21.
2.16 x − 15.4 x − 8 = 0
22.
23.
(7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0
24.
2.4 + 6 = 9
26.
5 x + 5x +1 + 5 x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2
27.
8 −2
+ 12 = 0
log 2 ( x + 3) = 1 + log 2 ( x − 1)
28.
x 2 − (3 − 2 x ) x + 2(1 − 2 x ) = 0
29.
2 x− 4 = 3 4
30.
32 x −3 = 9 x
32.
5
2
÷ − 2 ÷
2
5
25.
31.
II.
x +10
1.
2
2
2
− x +8
32
x +5
x −7
x2 −6 x −
5
2
2
= 16 2
x x −1 x − 2
2 .3 .5 = 12
25 x + 10 x = 2 2 x +1
7 x + 2.71− x − 9 = 0
(2 + 3) x + (2 − 3) x − 4 = 0
(3 + 5) x + 16(3 − 5) x = 2 x+3
1
x
1
x
x
x +17
1
= .128 x −3
4
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.
12.
= 41−3 x
3 x +3
x
2
x
x
2
1
x
+ 3 x −5
x+1
+
8
=0
5
( Đề nghị các em xem lại tính ĐB – NB của hàm số mũ )
Bất Phương trình cơ bản(dạng1):
5
a.
b.
a
a
f ( x)
f (x )
Bất Phương trình có vô số nghiệm
>b⇔
b ≤ 0
b > 0
Bất Phương trình vô nghiệm
b ≤ 0
b > 0
f ( x ) > log a b
Bất pt : a f ( x ) > b ⇔
f ( x ) < log a b
f ( x ) < log a b
Bất Pt : a f ( x ) < b ⇔
f ( x ) > log a b
2 x −1
khi a > 1
khi 0 < a < 1
≤ 2 ⇔ 2 x − 1 ≤ log 3 2 ⇔ x ≤
Giải bất phương trình: 3
Ví dụ 1:
khi a > 1
khi 0 < a < 1
1 + log 3 2
2
1 + log 3 2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −∞;
2
3x −1 − 1
3x
Giải bất phương trình: x +1
< 3 ⇔ − 1 < 3. ( 3.3x + 1) ⇔ 3x − 3 < 27.3x + 9
3 +1
3
Ví dụ 2:
⇔ 26.3x > −12 ⇔ 3x > −
6
, ∀x ∈ R
13
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( −∞; +∞ )
2.
bản(dạng2)
Phương pháp:
a.
b.
Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số: Bất Phương trình cơ
f ( x ) > g ( x)
a f ( x) > a g ( x) ⇔
f ( x ) < g ( x)
f ( x ) < g ( x)
a f (x) < ag(x) ⇔
f ( x ) > g ( x)
Ví dụ 1:
HD:
Giải bất phương trình:
( 3)
x
2
>9
x− 2
khi
khi
a >1
0 < a <1
khi
khi
a >1
0 < a <1
( 3)
x
2
x
4
> 9 x− 2
⇔ 3 > 32 x −4 ⇔
x
16
> 2 x − 4 ⇔ x > 8 x − 16 ⇔ x <
4
7
16
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = −∞; ÷
7
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình:
HD:
Ta có:
(
5+2
)(
(
5+2
)
x −1
≥
(
5 −2
)
1
=
5+2
5 − 2 =1⇔ 5 − 2 =
Phương trình (1) ⇔
(
5+2
)
x −1
≥
(
5+2
)
− x2 +3
)
x 2 −3
(1)
(
5+2
)
−1
⇔ x −1 ≥ x2 − 3
⇔ x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [ −1; 2]
3.
Phương pháp:
Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
6
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình: 5 x + 52− x < 26
HD:
5 x + 52− x < 26 ⇔ 5 x +
25
x 2
−
26
<
0
⇔
5
− 26.5 x + 25 < 0 (1)
(
)
x
5
Đặt t = 5 x > 0
Ta có: (1) ⇔ t 2 − 26t + 25 < 0 ⇔ 1 < t < 25
⇔ 1 < 5x < 25 ⇔ 50 < 5 x < 52 ⇔ 0 < x < 2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( 0; 2 )
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình: 32x+1 − 10.3x + 3 ≤ 0
HD:
x
x
32x+1 − 10.3x + 3 ≤ 0 ⇔ 3. ( 3 ) − 10.3 + 3 ≤ 0 (1)
2
Đặt t = 3x > 0 .
1
1
≤ t ≤ 3 ⇔ ≤ 3x ≤ 3 ⇔ 3−1 ≤ 3x ≤ 31 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
3
3
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [ −1;1]
2
Ta có: (1) ⇔ 3t − 10t + 3 ≤ 0 ⇔
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình: 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x > 0 (*)
HD:
x
5 x
5
x
Chia (*) hai vế cho 4 > 0 ta được: 5 + 2. ÷ − 7. ÷ > 0 (**)
2
2
2
x
5
Đặt t = ÷ > 0 .
2
5 x
0 < t < 1 0 < ÷ < 1
x < 0
2
2
⇔
Ta có: (**) ⇔ 2t − 7t + 5 > 0 ⇔ 5 ⇔
x > 1
x
t >
5
5
÷ >
2
2
2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( −∞;0 ) ( 1; +∞ )
.
BÀI TẬPỀN LUYỆN:
Giải các bất phương trình sau:
2 x+ 5
1
x− 4
1.
2.
16 ≥ 8 ;
÷ <9;
3
3.
4 x 2 −15 x + 4
4.
4
x2 − x +6
> 1;
5.
1
÷
2
6
9 x ≤ 3 x+ 2
4 x 2 −15 x +13
<2
3x−4
;
1
6. ÷
2
4 −3 x
1
< ÷
2
x
x 2 − 7 x +12
8.
1
> ÷ ;
16
7.
5
10.
25 x−1 ≥ 125 ;
13.
52 x −3 − 2.5x − 2 ≤ 3 ;
16.
16 x −10 ≤ 0,125.8 x −15 ; 17.
19.
( 2 − 3 ) x + ( 2 + 3 ) x < 4 ; 20.
22.
2.22 x − 9.14 x + 7.7 2 x ≥ 0
x +10
≤ 1;
x−1
11.
2
9. 2 x + 2.5x + 2 ≤ 23 x.53 x
22 x +6 + 22 x + 7 > 17 ;
1
1
14. 4 x −1 > 2 x − 2 + 3 ;
x +5
12.
15
(
2− 3
)
x −1
(
≥ 2+ 3
)
− x2 +3
5.4 x + 2.25 x ≤ 7.10 x
32 x +8 − 4.3x +5 + 27 ≤ 0 ; 18.
6.9 x − 13.6 x + 6.4 x ≥ 0
log 2 ( x + 3) > 1 + log 2 ( x − 1) ; 21. 2 x
2
2 log 8 ( x − 2) + log 1 ( x − 3) ≥
23.
3
8
2
−6 x −
5
2
> 16 2
I.
II.
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
7
b
1. Phương pháp : Đưa về dạng cơ bản: log a M = log a N ⇔ M = N và log a f ( x) = b ⇒ f ( x) = a
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : log 2 x + log 2 ( x + 3) = log 2 4
HD: log 2 x + log 2 ( x + 3) = log 2 4 (1)
x > 0
x > 0
⇔
⇔ x>0
Điều kiện:
x + 3 > 0
x > −3
Do đó phương trình (1) ⇔ log 2 x ( x + 3) = log 2 4 ⇔ x( x + 3) = 4
x = 1
⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔
⇔ x =1
x = −4 (loai)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
2
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : log 2 x + log 2 x = log 2 9 x
log 2 x + log 2 x 2 = log 2 9 x (1)
Điều kiện: x > 0
Phương trình (1) ⇔ log 2 x + 2 log 2 x = log 2 9 + log 2 x ⇔ 2 log 2 x = log 2 9
1
⇔ log 2 x = log 2 9 ⇔ log 2 x = log 2 3 ⇔ x = 3
2
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0
HD:
2.
HD:
log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0 (1)
Điều kiện: x > 0
2
Phương trình (1) ⇔ log 2 x + log 2 x − 2 = 0
Đặt t = log 2 x
x = 2
log 2 x = 1
t = 1
⇔
⇔
Lúc đó: log x + log 2 x − 2 = 0 ⇔ t + t − 2 = 0 ⇔
x = 1
t = −2
log 2 x = −2
4
1
Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x =
4
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4
HD: 1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4 (1)
2
2
2
x −1 > 0
x > 1
⇔
Điều kiện:
x −1 ≠ 1
x ≠ 2
(*)
Phương trình (1) ⇔ 1 + log 2 ( x − 1) =
log 2 4
2
⇔ 1 + log 2 ( x − 1) =
log 2 ( x − 1)
log 2 ( x − 1)
⇔ [ log 2 ( x − 1) ] + log 2 ( x − 1) − 2 = 0 (2)
2
Đặt t = log 2 ( x − 1)
t = 1
2
Lúc đó: phương trình (2) ⇔ t + t − 2 = 0 ⇔
t = −2
x −1 = 2
x = 3
log 2 ( x − 1) = 1
⇔
⇔
1 ⇔
5 thỏa (*)
log
(
x
−
1)
=
−
2
x
−
1
=
x=
2
4
4
5
Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x =
4
3.
Phương pháp: Mũ hóa hai vế:
8
x
Ví dụ: log 3 (3 − 8) = 2 − x
Điều kiện: 3x − 8 > 0
log 3 (3x − 8) = 2 − x ⇔ 3log3 (3
−8)
= 32− x ⇔ 3x − 8 = 32− x
3x = −1(loai )
⇔ ( 3 ) − 8.3 − 9 = 0 ⇔ x
⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2
3 = 9
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Phương pháp: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không
quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm
duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b)
thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 ∈
(a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : log 2 x + log 5 ( 2 x + 1) = 2
x 2
4.
x
HD:
x
log 2 x + log5 ( 2 x + 1) = 2 (1)
Điều kiện: x > 0
Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì log 2 2 + log 5 ( 2.2 + 1) = 2
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, hàm số y = log 2 x, y = log 5 ( 2 x + 1) đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó
đồng biến.
+
Với x > 2 , ta có:
+
log 2 x > log 2 2 = 1
log 5 ( 2 x + 1) > log 5 ( 2.2 + 1) = 1
log 2 x + log 5 ( 2 x + 1) > 2
Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi x > 2
+
Với 0 < x < 2 , ta có:
log 2 x < log 2 2 = 1
+
log 5 ( 2 x + 1) < log 5 ( 2.2 + 1) = 1
log 2 x + log 5 ( 2 x + 1) < 2
Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi 0 < x < 2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau
4x + 6
log 1
=0
log x 2.log 2 x 2.log 2 4 x = 1 ;
1.
2.
x
3
3.
log 2 ( x + 3) = 1 + log 2 ( x − 1) ;
5.
2 log 8 ( x − 2) + log 1 ( x − 3) =
7.
1
log 2 ( x − 1) 2 + log 1 ( x + 4) = log 2 (3 − x)
2
2
8
2
;
3
4.
6.
log 3 log 1 x ÷ = 0
2
log 2 (4 x + 4) = x − log 1 (2 x +1 − 3)
2
9
10.
4
3
log 2 x + 2.log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x
12.
log 5 x + log 25 x = log 0,2 3
14.
log( x 2 + 2 x − 3) + log
log 2 3 x + 3 log 2 x =
8.
16.
18.
20.
x+3
=0
x −1
1
2
+
=1
4 − log x 2 + log x
1
log 3 log 9 x + + 9 x ÷ = 2 x
2
2
log 1 log 4 ( x − 5 ) = 0
9.
log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0
11.
log 5 x = log 5 ( x + 6 ) − log 5 ( x + 2 )
13.
log x ( 2 x 2 − 5 x + 4 ) = 2
15.
log 5 (4 x + 144) − 4 log 5 2 = 1 + log 5 (2 x− 2 + 1)
17.
log 2 x + 10 log 2 x + 6 = 0
19.
log 2 ( 4.3x − 6 ) − log 2 ( 9 x − 6 ) = 1
21.
log ( 6.5x + 25.20 x ) = x + log 25
3
(
)
(
22.
log 8 ( x 2 − 4 x + 3) = 1
23.
2 ( log 2 − 1) + log 5
24.
log 2 ( 2 x − 1) .log 1 ( 2 x+1 − 2 ) = −2
25.
log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = log
26.
log 1 x +
2
3
5
= log x 3
2
27.
x
+ 1 = log 51−
1
2
x
+5
)
1
8
log 1 ( x 2 − 6 x + 8 ) + 2 log 5 ( x − 4 ) = 0
5
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1.
Phương trình cơ bản1:
a.
f ( x) > a b khi a > 1
log a f ( x) > b ⇔
b
f ( x) < a khi 0 < a < 1
,
b.
f ( x) < a b khi a > 1
log a f ( x ) < b ⇔
b
f ( x) > a khi 0 < a < 1
, Điều kiện f ( x ) > 0
Ví dụ 1:
Điều kiện f ( x) > 0
Giải bất phương trình: log 2 ( x − 2) > 3
Điều kiện x − 2 > 0 ⇔ x > 2
log 2 ( x − 2) > 3 ⇔ x − 2 > 23 ⇔ x > 10
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S = ( 10; +∞ )
Ví dụ 2:
2
Giải bất phương trình: log 1 ( x + 7 x) > 3
2
+
x < −7
2
Điều kiện x + 7 x > 0 ⇔
x > 0
3
+
+
2.
Phương pháp:
log 1 ( x 2 + 7 x) > 3 ⇔ x 2 + 7 x < 1 ⇔ x 2 + 7 x − 1 < 0
÷
2
8
2
97
97
−7 −
−7 +
2
⇔
2
2
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:….(Tự giải nhé!)
Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ sốLDạng cơ bản 2)
10
f ( x) > g ( x) khi a > 1
a. log a f ( x) > log a g ( x ) ⇔
,
f ( x) < g ( x ) khi 0 < a < 1
Điều kiện f ( x ) > 0, g ( x ) > 0
f ( x) < g ( x ) khi a > 1
b. log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔
, Điều kiện f ( x ) > 0, g ( x ) > 0
f ( x) > g ( x ) khi 0 < a < 1
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình: log 2 ( x + 5) + log 1 (3 − x) ≥ 0
HD:
+
2
+
x + 5 > 0
⇔ −5 < x < 3
Điều kiện:
3 − x > 0
log 2 ( x + 5) + log 1 (3 − x) ≥ 0 ⇔ log 2 ( x + 5) − log 2 (3 − x) ≥ 0
2
⇔ log 2 ( x + 5) ≥ log 2 (3 − x) ⇔ x + 5 ≥ 3 − x ⇔ x ≥ −1
+
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S = [ −1;3)
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình: log 0,5 ( x + 1) ≤ log 2 (2 − x)
HD:
+
+
x +1 > 0
x > −1
⇔
⇔ −1 < x < 2
Điều kiện:
2 − x > 0
x < 2
Lúc đó: log 0,5 ( x + 1) ≤ log 2 (2 − x) ⇔ − log 2 ( x + 1) ≤ log 2 (2 − x)
⇔ log 2 (2 − x) + log 2 ( x + 1) ≥ 0 ⇔ log 2 ( 2 − x ) ( x + 1) ≥ 0
+
Ví dụ 3:
HD:
⇔ ( 2 − x ) ( x + 1) ≥ 1 ⇔ − x 2 + x + 1 ≥ 0 ⇔ 1 − 5 ≤ x ≤ 1 + 5
2
2
1 − 5 1 + 5
;
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S =
2
2
Giải bất phương trình: log 5 ( x + 2) + log5 ( x − 2) < log 5 (4 x + 1)
+
+
x > −2
x + 2 > 0
1
Điều kiện: 4 x + 1 > 0 ⇔ x > − ⇔ x > 2
4
x − 2 > 0
x > 2
Lúc đó: log 5 ( x + 2) + log 5 ( x − 2) < log 5 (4 x + 1)
⇔ log 5 ( x + 2 ) ( x − 2 ) < log 5 (4 x + 1) ⇔ log 5 ( x 2 − 4) < log 5 (4 x + 1)
+
3.
Phương pháp:
⇔ x 2 − 4 < 4 x + 1 ⇔ x 2 − 4 x − 5 < 0 ⇔ −1 < x < 5
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = ( 2;5 )
Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình: log 0,5 x + log 0,5 x ≤ 2
HD:
+
+
Điều kiện: x > 0
Đặt : t = log 0,5 x
+
2
Lúc đó: log 0,5 x + log 0,5 x ≤ 2 ⇔ t 2 + t ≤ 2 ⇔ t 2 + t − 2 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 1
x ≤ 4
x ≤ ( 0,5 ) −2
⇔ −2 ≤ log 0,5 x ≤ 1 ⇔
⇔
1
x
≥
0,5
x ≥ 2
1
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = ; 4
2
2
+
11
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình: log 2 x >
HD:
+
2
log 2 x − 1
+
x > 0
x > 0
⇔
Điều kiện:
log 2 x ≠ 1 x ≠ 2
Đặt : t = log 2 x
2
t > 2
t2 − t − 2
⇔
>0⇔
Lúc đó: log 2 x >
log 2 x − 1
t −1
−1 < t < 1
x > 4
log 2 x > 2
⇔
⇔ 1
1
<
log
x
<
1
2
2
+
1
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = ; 2 ÷U ( 4; +∞ )
2
+
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình: log 2 x − 13log x + 36 > 0
HD:
+
+
+
Điều kiện: x > 0
Đặt : t = log x
Lúc đó: log 2 x − 13log x + 36 > 0 t 2 − 13t + 36 > 0
x < 104
t < 4
log x < 4
⇔
⇔
⇔
9
t > 9
log x > 9
x > 10
4
9
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = ( 0;10 ) U ( 10 ; +∞ )
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các bất phương trình sau:
3x − 1
log 1
>1
log 4 ( x + 7) > log 4 (1 − x)
1.
2.
3 x+2
3.
log 2 ( x + 5) ≤ log 2 (3 − 2 x) − 4
4.
log 2 ( x 2 − 4 x − 5) < 4
5.
log 5 (26 − 3x ) > 2
6.
7.
log 3 x + log 9 x + log 27 x > 11
8.
log 3 (13 − 4 x ) > 2
1
1
+
>1
1 − log x log x
9.
log x 2.log x 2 >
16
1
log 2 x − 6
3x − 1 3
)≤
4
16
4
3
x + log 1 x + log 3 (3 x 4 ) > 3
10.
log 4 (3x − 1).log 1 (
11.
2(log 3 x ) 2 − 5log 3 ( 9 x ) + 3 < 0
12.
log
13.
log 2 ( x + 3) > 1 + log 2 ( x − 1)
14.
2 log 8 ( x − 2) + log 1 ( x − 3) =
3
3
8
15.
17.
log 3 log 1 x ÷ ≤ 0
2
log 1 log 4 ( x 2 − 5 ) > 0
2
3
16.
log 5 (4 x + 144) − 4 log 5 2 > 1 + log 5 (2 x− 2 + 1)
18.
log 1 ( x 2 − 6 x + 8 ) + 2 log 5 ( x − 4 ) > 0
7 + 2.71− x − 9 > 0
5
3
19.
log 5 x + log 25 x > log 0,2 3
20.
21.
22 x +6 + 2 x +7 − 17 ≥ 0
22.
23.
2.16 x − 15.4 x − 8 < 0
24.
log 2 ( 4.3x − 6 ) − log 2 ( 9 x − 6 ) ≤ 1
25.
log 5 x > log5 ( x + 6 ) − log 5 ( x + 2 ) ;
26.
log( x 2 + 2 x − 3) + log
x
log 8 ( x 2 − 4 x + 3) ≤ 1
x+3
>0
x −1
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1
12
GIẢI PT – HỆ PT – BPT
23.
1. 43+2cosx - 7.41+cosx - 2 = 0
x
2 . log x (log 3 (9 − 72)) ≤ 1.( KB / 2002)
24. 2sin
25.
2
3. 16 log 27 x3 x − 3 log 3 x x = 0
4. Cho pt: log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0.
2
3
2
3
a. Giải pt khi m = 2 .
b. Đònh m để pt có nghiệm thuộc
đoạn 1;3 3
[
]
2
7.
8. 2 log 92 x = log 3 x. log 3 ( 2 x + 1 − 1)
9. 2.x log 2 x + 2.x −3 log 2 x − 5 = 0
4 log3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log3 2
10. 2
x + y 2 − 3x − 3 y = 12
11. log 3 x − log 5 x = log 3 x. log 5 x
13.
log x 2.( 2 + log 2 x) >
1
log 2 x 2
=2
x+
3
2
− 32 x −1
1
+2
8
2
18. 2 x + log 2 ( x − 4 x + 4) > 2 − ( x + 1) log 0,5 (2 − x)
19. log 5 (5 x − 1). log 25 (5 x +1 − 5) = 1
x − 4 y + 3 = 0
log 4 x − log 2 y = 0
log x (log 2 (4 − 6)) ≤ 1
x
b. log 2 36 − log 2 4 + log 2 81 = log 2 3x
x 2 − 2 x − x −1
1
2
1
41. 9x + 9x. = 2 x 2 2 + 2x 2
3
2
17. 2 x + log 2 ( x − 4 x + 4) = 2 − ( x + 1) log 0,5 (2 − x)
− 7 .3
x+
2
16. 4 log 4 x − log 2 x = 3
x2 − 2 x − x
9 −2
x
x
1
− > 2 log 4 8
16
x
x
39.a 1 + 9 1
> 12 ;
3
3
40. log 2 ( x − 2) − 2 = 6 log 1 3 x − 5
3
9
x −1
36. 25x - 2(3 - x).5x + 2x - 7 = 0
37. 9 x − 3 x + 2 > 3 x − 9
21− x + 1 − 2 x
38. a.
≤0;
2x −1
log 32 x + 1
>1;
15. a.
1 + log 3 x
b. log 2 [ log 1 (log 5 x)] > 0
22 .
30. 52x+1 + 7 x+1 - 175x - 35 = 0
35.
x + log 3 y = 3
14 .
2
x
(2 y − y + 12).3 = 81y
21. a.
x
26. 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
27. 2x + 3x = 1 + 6x
28 . 3.16 x + 2.81x − 5.36 x = 0
29. (7 + 4 3 ) x − 3(2 − 3 ) x + 2 = 0
1
34 .
4
2
20.
x
21) + 7 ( 5 + 21) = 2x+3
4 x + y = 128
33 . 3 x −2 y −3
;
5
=1
log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x. log 3 x
log 2 ( x − 4 x + 8)
< 2;
log 2 (3 − x)
( 5-
2
+ 2cos x = 3
32. ( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x = 14
2
12. .
2x
2 x-1
x
x
x
x-1
31 . x 3 + x ( 3 - 2 ) = 2 ( 2 -3 )
5. 4cos2x + 4 cos x = 3
x
2 x +1
− 3.2 x )
6. log 1 (4 + 4) ≥ log 1 (2
2
15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1
2
− 4 x −15
42. 1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4
43. log 3 x +7 (4 x 2 + 12 x + 9) + log 2 x +3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4
44.. 2log 2 x.3log 2 x −1.5log 2 x − 2 ≥ 12
1
lg(5 x − 4) + lg x + 1 = 2 + lg 0,18
45.
2
2
46. 3 log3 x + x log3 x = 162
log 4 x − log 2 y = 0
47. 2
2
x − 5 y + 4 = 0
48. log 2 (4.3 x − 6) − log 2 (9 x − 6) = 1 .
49. 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 ;
50. 2 log 92 x = log3 x.log 3 ( 2 x + 1 − 1) .
=2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 2
13
A.GIAÛI PT – HEÄ PT – BPT
1. 2sin x + 4.2cos x = 6
2
B. GIAÛI PT – HEÄ PT – BPT
x 2 − 3x + 2
≥0
1. log 1
x
2
log 2 (3 x + 1) log 3 x = −2 log 1 (3 x + 1)
2
x2 − y 2 = 2
log 2 ( x + y ) − log 3 ( x − y ) = 1
2.
2.
3. 3.25 +(3x – 10)5 + 3 – x = 0
x-2
x-2
3.
x −1 + 2 − y = 2
4.
2
3
3log 4 (4 x ) − log 2 y = 3
5. log ( x +3) (3 − 1 − 2 x + x 2 ) =
4. ln3x - 3 ln2x - 4lnx = - 12
5. ln2x + lnx2 - 24 = 0
6. 2 log x .5 log x = 400
7. e2+lnx – x = 3
1
2
3
2 log 2 x − 3 y = 15
6. y
y +1
3 log 2 x = 2 log 2 x + 3
7. 76-x = x + 2
8. (7 + 3 5) x + 12(7 − 3 5) x = 2 x+3
9. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0
10.
4log10 x − 6log x = 2.3log100 x
11.
a. 5 3−log x = 25 x ;
b. 3 2−log x = 81x
12.
a. 2x = 3 – x
;
b.
2
2
2
5
3
2
3 x −1.2 x = 8.4 x −2
1
a.
2
13.
+4
14.
x 2 −5 x + 4
b. 52x+1 > 5x
>4 ;
1
log 2 (4 + 15.2 + 27) + 2 log 2
=0
4.2 x − 3
a. 9 x − 2.3 x + 3 ≤ 0 ; b. 5.2x+1 <
x
x
15.
4.5x+1
16.
17.
8( 2) x − y = 0,5x − y
log 3 ( x − 2 y ) + log 3 (3 x + 2 y ) = 3
31− x − 3 x + 1
≤ 0;
a.
3x − 1
2
x +1
18.
a. 1
19.
20.
21.
22.
23.
6.9 2 x − x − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ 0
2
2
2
2.5 2 x − x +1 + 9 2 x − x +1 ≥ 34.15 2 x − x
4 x 2 + 3 x .x + 31+ x = 2.3 x .x 2 + 2 x + 6
2
2
a. 2 x − x − 2 2+ x − x < 3 ;
2
2
2
4 x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12
24.
25.
a. 8 sin x = 8.8 2 cos ( 4 − 2 )+sin
3
2
3
1
+ 3
3
1
+1
x +1
> 12 ;
2
2
2
π x
2
1
log 3 ( x − 3) + log 3 ( x − 5) 2 = 1
2
2
x
2
3
x2 + x
log
log
(
) ÷< 0
8. 0,7 6
x+4
1
2
+
=1
9. 4 + log 3 x 2 + log 1 x
3
2
10.
log(x – x – 6) + x = log(x +
2) + 4
11.
logx + logx2 = log9x
12.
logx4 + log4x = 2 + logx3
13.
14.
15.
x2 + x
log 0,7 log 6 (
) ÷< 0 .
x+4
log 2 (2 x + 1) log 2 (2 x +1 + 2) = 2
1 + 2 log ( 2+ x ) 5 = log 5 ( x + 2)
17.
log 2 ( x + 2) 2 − log 3 ( x + 2)3
>0
x2 − 2x − 3
log 3 ( x − 2) log 5 x = −4 log 1 ( x − 2)
18.
log 1 ( x + 2 x − 8) ≥ −4
19.
2 log 3 (4 x − 3) + log 1 (2 x + 3) ≤ 2
16.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
9
2
2
3
.
1
log 3 ( x − 3) + log 3 ( x − 5) 2 < 1
2
log 62 x
log 6 x
6
+x
≤ 12
x
log 2 (9 − 2 ) + x = 3
3
x3 1
log 3 . log 2 x − log 3
= + log 2
x
3 2
log 2
x
2
= x log 2 6 − x 2
3x − 1 3
x
log 4 (3 − 1). log 1 (
)≤
16
4
4
2.9
log 2 ( x 2 + 3x + 2) + log 2 ( x 2 + 7 x + 12) = 3 + log 2 3
14
x
(Heä phöông trình vaø heä BPT daønh cho Ban Naâng cao )
15
GIẢI PT – HỆ PT – BPT
log 1 x + 2 log 1 ( x − 1) + log 2 6 ≤ 0
1.
22 . 2 x
x
2 . log x (log 3 (9 − 72)) ≤ 1.( KB / 2002)
24. 5 x − 51− x + 4 = 0
25. 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0
26. 5x + 5x+1 +5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1
27. (2 + 3 ) x + (2 − 3 ) x − 4 = 0
28 . 3.16 x + 2.81x − 5.36 x = 0
29. (7 + 4 3 ) x − 3(2 − 3 ) x + 2 = 0
30. 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0
31 . 3x + 4x = 5x
1
1
32 a. x 2 +5 x −6 > x + 2 ; b. ( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x = 14
3
3
2
23.
4
2
3. 16 log 27 x3 x − 3 log 3 x x = 0
4. Cho pt: log 32 x + log 32 x + 1 − 2m − 1 = 0.
(KA/02)
a. Giải pt khi m = 2 .
b. Đònh m để pt có nghiệm thuộc
đoạn 1;3 3
[
]
6.
log x ( x 3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y ) = 3
3
2
log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3
log 1 (4 x + 4) ≥ log 1 (2 2 x +1 − 3.2 x )
7.
log 2 x + log 3 x < 1 + log 2 x. log 3 x
5.
2
2
x
2
1
+2
x
x
2
39.a 1 + 9 1
> 12 ; b. 5(log5 x ) + x log5 x ≤ 10
3
3
40. log 2 ( x − 2) − 2 = 6 log 1 3 x − 5
1
log 2 x 2
8
x + log 3 y = 3
14 .
2
x
(2 y − y + 12).3 = 81 y
log 32 x + 1
>1;
15. a.
b. log 2 [ log 1 (log 5 x)] > 0
3
1 + log 3 x
log x (3 x + 2 y ) = 2
16.
log y (3 y + 2 x) = 2
2
17. 2 x + log 2 ( x − 4 x + 4) = 2 − ( x + 1) log 0,5 (2 − x)
2
18. 2 x + log 2 ( x − 4 x + 4) > 2 − ( x + 1) log 0,5 (2 − x)
x
x +1
19. log 5 (5 − 1). log 25 (5 − 5) = 1
41. lg x − lg x + 2 = 0
42. 1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4
2
2
43. log 3 x + 7 (4 x + 12 x + 9) + log 2 x +3 (6 x + 23x + 21) = 4
2
3
44.. 2log 2 x.3log 2 x −1.5log 2 x − 2 ≥ 12
1
lg(5 x − 4) + lg x + 1 = 2 + lg 0,18
45.
2
2
46. 3 log3 x + x log3 x = 162
log 4 x − log 2 y = 0
47. 2
2
x − 5 y + 4 = 0
48. log 2 (4.3 x − 6) − log 2 (9 x − 6) = 1 .
49. 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 ;
50. 2 log 92 x = log 3 x.log 3 ( 2 x + 1 − 1) .
x − 4 y + 3 = 0
log 4 x − log 2 y = 0
21. a.
b. log 4 ( x + 2).log x 2=1
x −1
x
21− x + 1 − 2 x
;
b.
x +1
x−2
≤
0
4 ≤ 0, 25.32
2x −1
38. a.
4 log 4 x − log 2 x = 3
20.
15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1
x −1
log 2 ( x − 4 x + 8)
< 2 ; b.
log 2 (3 − x)
log x 2.( 2 + log 2 x) >
2
− 2 2+ x − x = 3
1
1
34 . − > 2 log 4 8
4
16
x
−x
35. 3 + 9.3 − 10 < 0
36. 5.4x + 2.25x – 7.10x < 0
37. 9 x − 3 x + 2 > 3 x − 9
2
13.
−x
4 x + y = 128
33 a. 3 x −2 y −3
;
5
=1
8. 2 log 92 x = log 3 x. log 3 ( 2 x + 1 − 1)
9. 2.x log 2 x + 2.x −3 log 2 x − 5 = 0
4 log3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log3 2
10. 2
x + y 2 − 3x − 3 y = 12
11. log 3 x − log 5 x = log 3 x. log 5 x
12. a.
2
2
2
51. log 2 ( x + 3x + 2) + log 2 ( x + 7 x + 12) = 3 + log 2 3 .
log x (log 2 (4 x − 6)) ≤ 1
b. log 2 36 − log 2 4 + log 2 81 = log 2 3x
2
− 4 x −15
c. ( x − 1) lg 2 + lg(2 x +1 + 1) < lg(7.2 x + 12)
16
