H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG

=====

SÁCH H

=====

NG D N H C T P

TOÁN CAO C P (A2)
(Dùng cho sinh viên h đào t o đ i h c t xa)
L u hành n i b

HÀ N I - 2006


Gi i thi u môn h c

0. GI I THI U MÔN H C

1. GI I THI U CHUNG:
Toán cao c p A1, A2, A3 là ch ng trình toán đ i c ng dành cho sinh viên
các nhóm ngành toán và nhóm ngành thu c kh i k thu t. N i dung c a toán cao
c p A1, A3 ch y u là phép tính vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, còn
toán cao c p A2 là các c u trúc đ i s và đ i s tuy n tính. Có khá nhi u sách giáo
khoa và tài li u tham kh o vi t v các ch đ này. Tuy nhiên v i ph ng th c đào
t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u h n, do
đó c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c. T p tài li u
h ng d n h c môn toán cao c p A2 này đ c biên so n c ng nh m m c đích
trên.

T p tài li u này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c
vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông. N i dung c a cu n sách bám sát các giáo
trình c a các tr ng đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h chính qui c a H c
vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông biên so n n m 2001 và theo kinh nghi m
gi ng d y nhi u n m c a tác gi . Chính vì th , giáo trình này c ng có th dùng làm
tài li u h c t p,tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng, các ngành đ i h c
và cao đ ng.
Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t
ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa. Tr c khi nghiên c u các n i dung chi
ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích ý
ngh a, yêu c u chính c a ch ng đó. Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c
có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch ng minh rõ ràng.
c bi t b n đ c nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m
r ng t ng quát h n các k t qu . H u h t các bài toán đ c xây d ng theo l c đ :
đ t bài toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t
toán gi i quy t bài toán này. Các ví d là đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý
ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i đ c d dàng h n khi ti p thu bài h c. Sau
các ch ng có ph n tóm t t các n i dung chính và cu i cùng là các câu h i luy n
t p. Có kho ng t 30 đ n 40 bài t p cho m i ch ng, t ng ng vói 3 -5 câu h i
cho m i ti t lý thuy t. H th ng câu h i này bao trùm toàn b n i dung v a đ c
h c. Có nh ng câu ki m tra tr c ti p các ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có
nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p và sáng t o các ki n
5


Gi i thi u môn h c

th c đ gi i quy t. Vì v y vi c gi i các bài t p này giúp h c viên n m ch c h n lý
thuy t và ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a mình.
Các bài t p đ c cho d i d ng tr c nghi m khách quan, đây là m t ph ng

pháp r t phù h p v i hình th c đào t o t xa. H c viên có th t ki m tra và đ i
chi u v i đáp án cu i sách. Tuy nhiên ph ng pháp tr c nghi m c ng có nh ng
m t h n ch c a nó, ch ng h n ph ng pháp này không th hi n đ c kh n ng
trình bày k t qu , kh n ng l p lu n, mà đây là m t trong nh ng yêu c u chính c a
vi c h c toán. M t bài toán có th gi i cho đúng k t qu nh ng cách gi i sai th m
chí sai c v b n ch t. Hai l n sai d u tr bi n thành d u c ng và cho k t qu đúng
nh ng th c ch t là sai. M t khác có th gi i bài toán tr c nghi m b ng cách th các
tr ng h p và lo i tr , nh ng cách làm này khá tiêu c c.
kh c ph c nh ng h n
ch c a ph ng pháp ki m tra tr c nghi m chúng tôi khuyên ng i đ c nên t gi i
quy t các bài toán theo ph ng pháp t lu n, sau đó m i đ i chi u v i các tr ng
h p a, b, c, d đ ch n ph ng án đúng.
Giáo trình g m 7 ch

ng t

ng ng v i 4 đ n v h c trình (60 ti t):

Ch

ng I: Lô gích toán h c, lý thuy t t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s .

Ch

ng II: Không gian véc t .

Ch

ng III: Ma tr n.


Ch

ng IV:

Ch

ng V: H ph

Ch

ng VI: Ánh x tuy n tính.

Ch

ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph

nh th c.
ng trình tuy n tính

ng.

Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa h c khác, toán h c còn đ c
xem là m t ngành khoa h c có ph ng pháp t duy l p lu n chính xác ch t ch . Vì
v y vi c h c toán c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t duy. Các ph ng pháp
này đã đ c gi ng d y và cung c p t ng b c trong quá trình h c t p ph thông,
nh ng trong ch ng I các v n đ này đ c h th ng hoá l i. N i dung c a ch ng
I đ c xem là c s , ngôn ng c a toán h c hi n đ i. M t vài n i dung trong
ch ng này đã đ c h c ph thông nh ng ch v i m c đ đ n gi n. Các c u trúc
đ i s thì hoàn toàn m i và khá tr u t ng vì v y đòi h i h c viên ph i đ c l i
nhi u l n m i ti p thu đ c.

Các ch ng còn l i c a giáo trình là đ i s tuy n tính. Ki n th c c a các
ch ng liên h ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng này là công c c a ch ng
khác. Vì v y h c viên c n th y đ c m i liên h này. c đi m c a môn h c này
6


Gi i thi u môn h c

là tính khái quát hoá và tr u t ng cao. Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá
t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông. Khi h c ta nên liên h đ n các
k t qu đó.
2. M C ÍCH MÔN H C
Cung c p cho sinh viên các ki n th c c b n v đ i s : M nh đ , t p h p,
ánh x , c u trúc đ i s và đ i s tuy n tính bao g m các khái ni m v không gian
vecto, ma tr n, đ nh th c, ánh x tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn
ph ng..., làm c s đ ti p thu các môn k thu t đi n và đi n t .
3. PH

NG PHÁP NGHIÊN C U MÔN H C
h c t t môn h c này, sinh viên c n l u ý nh ng v n đ sau :

1- Thu th p đ y đ các tài li u :
◊ Bài gi ng: Toán cao c p A2. Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n

Công ngh BCVT, 2005.
◊ Sách h

ng d n h c t p và bài t p: Toán cao c p A2. Lê Bá Long,
Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005.


N u có đi u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o trong
m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách này.
2-

t ra m c tiêu, th i h n cho b n thân:
t ra m c các m c tiêu t m th i và th i h n cho b n thân, và c g ng
th c hi n chúng

Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh các
môn h c khác, sinh viên nên t đ t ra cho mình m t k ho ch h c t p cho riêng
mình. L ch h c này mô t v các tu n h c (t h c) trong m t k h c và đánh d u
s l ng công vi c c n làm. ánh d u các ngày khi sinh viên ph i thi sát h ch, n p
các bài lu n, bài ki m tra, liên h v i gi ng viên.
Xây d ng các m c tiêu trong ch

ng trình nghiên c u

Bi t rõ th i gian nghiên c u khi m i b t đ u nghiên c u và th th c hi n, c
đ nh nh ng th i gian đó hàng tu n. Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên c u đ
“Ti t ki m th i gian”. “N u b n m t quá nhi u thì gi nghiên c u”, b n nên xem
l i k ho ch th i gian c a mình.
3- Nghiên c u và n m nh ng ki n th c đ c t lõi:
7


Gi i thi u môn h c

Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c khi nghiên c u bài gi ng
môn h c và các tài li u tham kh o khác. Nên nh r ng vi c h c thông qua đ c tài
li u là m t vi c đ n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s d ng các

hình th c h c t p khác.
Hãy s d ng thói quen s d ng bút đánh d u dòng (highline maker) đ đánh
d u các đ m c và nh ng n i dung, công th c quan tr ng trong tài li u.
4- Tham gia đ y đ các bu i h

ng d n h c t p:

Thông qua các bu i h ng d n h c t p này, gi ng viên s giúp sinh viên n m
đ c nh ng n i dung t ng th c a môn h c và gi i đáp th c m c; đ ng th i sinh
viên c ng có th trao đ i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác cùng l p. Th i gian
b trí cho các bu i h ng d n không nhi u, do đó đ ng b qua nh ng bu i h ng
d n đã đ c lên k ho ch.
5- Ch đ ng liên h v i b n h c và gi ng viên:
Cách đ n gi n nh t là tham d các di n đàn h c t p trên m ng Internet. H
th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p trong su t 24 gi /ngày
và 7 ngày/tu n. N u không có đi u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch đ ng
s d ng hãy s d ng d ch v b u chính và các ph ng th c truy n thông khác
(đi n tho i, fax,...) đ trao đ i thông tin h c t p.
6- T ghi chép l i nh ng ý chính:
N u ch đ c không thì r t khó cho vi c ghi nh . Vi c ghi chép l i chính là
m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y nó giúp ích r t nhi u cho
vi c hình thành thói quen t h c và t duy nghiên c u.
7 -Tr l i các câu h i ôn t p sau m i ch

ng, bài.

Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c các câu h i. Hãy c g ng v ch
ra nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n.
i v i các bài t p, sinh viên nên t gi i tr c khi tham kh o h ng d n, đáp
án.

ng ng i ng n trong vi c liên h v i các b n h c và gi ng viên đ nh n đ c
s tr giúp.
Nên nh thói quen đ c và ghi chép là chìa khoá cho s thành công c a vi c t h c!

8


Ch

1. CH

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

NG 1: M
U V LÔGÍCH M NH
,T PH P
ÁNH X VÀ CÁC C U TRÚC
IS

1.1 M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A
ây là ch ng m đ u làm c s , làm ngôn ng và công c không nh ng cho
toán h c mà còn cho các ngành khoa h c khác.
Ta bi t r ng toán h c là m t ngành khoa h c lý thuy t đ c phát tri n trên c
s tuân th nghiêm ng t các qui lu t l p lu n c a t duy lôgich hình th c. Các qui
lu t c b n c a lôgich hình th c đã đ c phát tri n t th i Aristote (Arít-xt t ) (th
k th 3 tr c công nguyên) cùng v i s phát tri n r c r c a v n minh c Hy
L p. Tuy nhiên mãi đ n th k 17 v i nh ng công trình c a De Morgan (
Mocgan), Boole ... thì lôgích hình th c m i có m t c u trúc đ i s đ p đ và cùng
v i lý thuy t t p h p giúp làm chính xác hoá các khái ni m toán h c và thúc đ y
toán h c phát tri n m nh m . Vi c n m v ng lôgich hình th c giúp h c viên không

nh ng h c t t môn toán mà còn có th v n d ng trong th c t và bi t l p lu n
chính xác. H c t t môn lôgich là c s đ h c t t đ i s Boole, v n d ng đ gi i
các bài toán v s đ công t c r le, các s đ đi n và công ngh thông tin. Yêu c u
c a ph n này là ph i n m v ng khái ni m m nh đ toán h c, các phép toán liên k t
m nh đ và các tính ch t c a chúng.
Khái ni m t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s là các khái ni m c b n: v a
là công c v a ngôn ng c a toán h c hi n đ i. Vì vai trò n n t ng c a nó nên khái
ni m t p h p đ c đ a r t s m vào ch ng trình toán ph thông (l p 6). Khái
ni m t p h p đ c Cantor đ a ra vào cu i th k 19. Sau đó đ c chính xác hoá
b ng h tiên đ v t p h p. Có th ti p thu lý thuy t t p h p theo nhi u m c đ
khác nhau. Chúng ta ch ti p c n lý thuy t t p h p m c đ tr c quan k t h p v i
các phép toán lôgich hình th c nh "và", "ho c", phép kéo theo, phép t ng
đ ng, l ng t ph bi n, l ng t t n t i. V i các phép toán lôgích này ta có
t ng ng các phép toán giao, h p, hi u các t p h p con c a các t p h p.
Trên c s tích Descartes ( -các) c a hai t p h p ta có khái ni m quan h
hai ngôi mà hai tr ng h p đ c bi t là quan h t ng đ ng và quan h th t .
Quan h t ng đ ng đ c dùng đ phân m t t p nào đó thành các l p không giao
nhau, g i là phân ho ch c a t p đó. Quan h đ ng d môđulô p (modulo) là m t
quan h t ng đ ng trong t p các s nguyên. T p th ng c a nó là t p
p các

9


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

s nguyên môđulô p. T p


p có nhi u ng d ng trong lý thuy t m t mã, an toàn

m ng. Quan h th t đ c dùng đ s p x p các đ i t ng c n xét theo m t th t
d a trên tiêu chu n nào đó. Quan h ≤ trong các t p h p s là các quan h th t .
Khái ni m ánh x là s m r ng khái ni m hàm s đã đ c bi t. Khái ni m
này giúp ta mô t các phép t ng ng t m t t p này đ n t p kia tho mãn đi u
ki n r ng m i ph n t c a t p ngu n ch cho ng v i m t ph n t duy nh t c a t p
đích và m i ph n t c a t p ngu n đ u đ c cho ng v i ph n t c a t p đích.
đâu có t ng ng thì ta có th mô t đ c d i ngôn ng ánh x .
S d ng khái ni m ánh x và t p h p ta kh o sát các v n đ c a gi i tích t
h p, đó là các ph ng pháp đ m s ph n t . Gi i tích t h p đ c s d ng đ gi i
quy t các bài toán xác su t th ng kê và toán h c r i r c.
Ta có th th c hi n các phép toán c ng các s , hàm s , đa th c, véc t ho c
nhân các s , hàm s , đa th c... Nh v y ta có th th c hi n các phép toán này trên
các đ i t ng khác nhau. Cái chung cho m i phép toán c ng hay nhân trên là các
tính ch t giao hoán, k t h p, phân b ... M t t p h p có phép toán tho mãn đi u
ki n nào đó đ c g i là có c u trúc đ i s t ng ng. Các c u trúc đ i s quan
tr ng th ng g p là nhóm, vành, tr ng, không gian véc t .
i s h c là m t
ngành c a toán h c nghiên c u các c u trúc đ i s . Lý thuy t Nhóm đ c Evarist
Galois (Galoa) đ a ra vào đ u th k 19 trong công trình "Trong nh ng đi u ki n
nào thì m t ph ng trình đ i s có th gi i đ c?", trong đó Galoa v n d ng lý
thuy t nhóm đ gi i quy t. Trên c s lý thuy t nhóm ng i ta phát tri n các c u
trúc đ i s khác.
Vi c nghiên c u các c u trúc đ i s giúp ta tách ra kh i các đ i t ng c th
mà th y đ c cái chung c a t ng c u trúc đ kh o sát các tính ch t, các đ c tr ng
c a chúng. Ch ng h n, t p các ma tr n vuông cùng c p, các t đ ng c u tuy n tính,
các đa th c ... có c u trúc vành không nguyên nên có nh ng tính ch t chung nào
đó.
Các c u trúc đ i s có tính khái quát hoá và tr u t ng cao vì v y ng i ta

ngh r ng khó áp d ng vào th c ti n. Tuy nhiên th c t cho th y đ i s Boole đ c
ng d ng r t hi u qu trong vi c gi i quy t các bài toán v s đ m ch đi n, vào
máy tính. Lý thuy t nhóm đ c ng d ng vào c h c l ng t . Lý thuy t v nhóm
và vành đ c ng d ng trong lý thuy t m t mã, lý thuy t Ôtômát.
1.2 TÓM T T N I DUNG
1.2.1 Lôgíc m nh đ
a. M nh đ
10


ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch

b. Liên k t m nh đ :
Phép ph đ nh: p đ c không p
Phép h i: p ∧ q đ c p và q
Phép tuy n: p ∨ q đ c p ho c q
Phép kéo theo: p ⇒ q đ c p kéo theo q, p suy ra q
Phép t

ng đ

ng: p ⇔ q đ c p t

L

ng t ph bi n: ∀ đ c v i m i

L


ng t t n t i: ∃ đ c t n t i.

ng đ

ng q

1.2.2 T p h p và ph n t
a. T p h p
a là ph n t c a A ký hi u a ∈ A , đ c a thu c A
a không ph i là ph n t c a A ký hi u a ∉ A , đ c a không thu c A.
T p r ng φ

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B )

T p con:

T p b ng nhau A = B ⇔ (( A ⊂ B) ∧ ( B ⊂ A) )

b. Các phép toán trên t p h p
H p

x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B )

Giao

x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B )

Hi u


x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B )

Ph n bù

A⊂ X , A = X \ A

T p t t c các t p con c a X :
Tích đ các

P (X ) = { A

A⊂ X }

A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}
A × B × C = {(a, b, c) a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}

c. Quan h
Quan h hai ngôi R trên X là t p con

R⊂X×X,g

xR x , ∀ x ∈ X

o ph n x n u
11

i là có tính:


Ch


ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

o đ i x ng n u

xR y ⇒ yR x
xR y ∧ yR z ⇒ xR z

o b cc un u

xR y ∧ yR x ⇒ x = y

o ph n đ i x ng n u

Quan h hai ngôi R trên X đ c g i là quan h t
có tính ph n x đ i x ng b c c u, ký hi u ~.
L pt

ng đ

ng c a y, ký hi u

ng đ

ng n u nó

y = {x ∈ X x ~ y }

Quan h hai ngôi R trên X đ c g i là quan h th t n u nó có tính
ph n x ph n đ i x ng và b c c u, ký hi u ≤.

Quan h th t ≤ trên X đ c g i là quan h th t toàn ph n n u hai
ph n t b t k x, y c a X đ u có th so sánh đ c v i nhau, ngh a là
x ≤ y ho c y ≤ x . Quan h th t không toàn ph n đ c g i là quan
h th t b ph n.
1.2.3 Ánh x

a. Ánh x : Ánh x t t p X vào t p Y là m t quy lu t cho ng m i x ∈ X v i
m t và ch m t y ∈ Y , ký hi u f : X → Y ,
b. Phân lo i: y = f ( x) ho c x a y = f ( x) đ

c g i là công th c xác đ nh

nh.
f là m t đ n ánh n u

f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y .

f là m t toàn ánh n u

f (X ) = Y .

f là m t song ánh n u

f v a đ n ánh v a toàn ánh.

N u f là m t song ánh thì có ánh x ng
b i:

c f −1 : Y → X xác đ nh


y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) c ng là m t song ánh.

c. Các phép toán
H p c a hai ánh x

f : X →Y

và g : Y → Z

là ánh x

g o f : X → Z xác đ nh b i g o f ( x) = g ( f ( x) ) .

L c l ng c a t p h p : Hai t p h p g i là cùng l c l ng n u có m t
song ánh t t p này lên t p kia. T p có cùng l c l ng v i {1, 2, ..., n }

12


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

đ c g i là t p h u h n có n ph n t . T p r ng là t p h u h n có 0
ph n t . T p không h u han đ c g i là t p vô h n.
đ

T p cùng l c l ng v i t p s t nhiên
đ c. T p s th c không đ m đ c.


c g i là t p vô h n đ m

1.2.4 Gi i tích t h p

Pn = n!

S các hoán v n ph n t là

np

S các ch nh h p l p ch p p c a n ph n t là
S các ch nh h p không l p ch p p c a n ph n t là
n!
Anp = n(n − 1)...(n − p + 1) =
(n − p )!
S các t h p ch p p c a n ph n t là
p
p An
=
Cn =

p!

n!
(n − p )! p!

Nh th c Niu-t n
(a + b) = Cnn a n + Cnn −1a n −1b + ... + Cn0b n =
n


S l

n

∑ Cnp a pb n − p .

p =0

c v phép đ m

o Công th c c ng: A ∪ B + A ∩ B = A + B ,
o Công th c nhân:

A1 × ... × Ak = A1 ⋅ ... ⋅ Ak
,

o Ch nh h p có l p:

{ f : A → B} =

A

B

,

P ( A) = 2 A .

o N u f : A → B song ánh thì A = B .
1.2.5 Các c u trúc đ i s


Lu t h p thành trong, hay còn g i là phép toán hai ngôi, trên t p X là m t
ánh x t X × X vào X , ký hi u * : X × X → X
( x, y ) a x * y
Lu t h p thành trong * c a t p X đ

c g i là:

Có tính k t h p n u ∀x, y, z ∈ X : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z
Có tính giao hoán n u ∀x, y ∈ X : x ∗ y = y ∗ x
13


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Có ph n t trung hoà (hay có ph n t
∀x ∈ X : x ∗ e = e ∗ x = x

đ n v ) là e ∈ X n u

Gi s * có ph n t trung hoà e ∈ X . Ph n t x'∈ X đ
ph n t đ i x ng c a x ∈ X n u x ∗ x' = x'∗ x = e .
T p khác tr ng G v i lu t h p thành * đ
k t h p và có ph n t trung hoà.

c g i là

c g i là m t v nhóm n u * có tính


V nhóm là m t nhóm n u m i ph n t c a G đ u có ph n t đ i.
N u * có tính giao hoán thì nhóm (G ,*) đ

c g i là nhóm giao hoán

hay nhóm Abel.
Vành ( A,+,⋅) , trong đó "+,⋅" là hai lu t h p thành trong c a A ≠ φ tho mãn:
( A,+) là m t nhóm Abel,
Lu t nhân có tính k t h p,
Lu t nhân có tính phân ph i hai phía đ i v i lu t c ng, ngh a là:
∀x, y, z ∈ A : x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z phân ph i bên trái
∀x, y, z ∈ A : ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z phân ph i bên ph i
N u tho mãn thêm đi u ki n:
Lu t nhân có tính giao hoán thì ( A,+,⋅) là vành giao hoán.
Lu t nhân có ph n t đ n v là 1 thì ( A,+,⋅) là vành có đ n v .
Vành không có
Tr

cc a 0 đ

c g i là vành nguyên.

ng là m t vành giao hoán có đ n v ( K ,+,⋅) sao cho m i ph n t

x≠0

c a K đ u kh ngh ch (có ph n t đ i c a lu t nhân).

( ,+,⋅) , ( ,+,⋅) , ( ,+,⋅) là tr

( n ,+,⋅) là tr
1.2.6

ng.

ng khi và ch khi n là s nguyên t .

i s Bool:

i s Boole ( B,∨,∧, ' ) là m t t p khác tr ng B v i hai phép toán hai ngôi
∨,∧ : B × B → B và phép toán m t ngôi ': B → B tho mãn các tiên đ sau:
B1: ∨,∧ có tính k t h p, ngh a là v i m i a, b, c ∈ B

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
14


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

B2: ∨,∧ có tính giao hoán, ngh a là v i m i a, b ∈ B

a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a
B3: T n t i các ph n t không và ph n t đ n v 0,1 ∈ B sao cho
0 ≠ 1 và v i m i a ∈ B a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a
B4: V i m i a ∈ B thì a '∈ B là ph n t đ i theo ngh a là:
a ∨ a ' = 1, a ∧ a' = 0
B5: Lu t ∨ phân ph i đ i v i lu t ∧ và lu t ∧ phân ph i đ i v i lu t
∨ , ngh a là v i m i a, b, c ∈ B


a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) .
Hai công th c Boole trong đ i s Boole ( B,∨,∧, ' ) đ
trong m t công th c ta thay ∨,∧,0,1, b ng ∧,∨,1,0 thì ta đ

c g i là đ i ng u n u
c công th c hai.

Nguyên lý đ i ng u: N u m t công th c c a đ i s Boole đ c ch ng minh là
đúng d a trên c s h tiên đ B1-B5 thì công th c đ i ng u c a chúng c ng đúng.
Có th áp d ng đ i s Boole đ gi i quy t các bài toán v m ch đi n, thi t k
m t m ng tho mãn nh ng yêu c u nào đó, rút g n m ng đi n...
1.3 CÂU H I VÀ BÀI T P
Câu 1: Hãy ch n câu tr l i đúng nh t;

a) "M i s nguyên t đ u là s l có ph i không?" là m t m nh đ lôgich
toán h c.
b) "Trái đ t quay xung quanh m t tr i" không ph i là m t m nh đ
lôgich toán h c.
c) M nh đ p ∨ p luôn đúng.
d) T t c các ý trên đ u sai.
Câu 2: Hãy ch n câu tr l i đúng nh t

(

)

a) ( p ∧ ( p ⇒ q ) ) ≡ q .

b) ( p ⇒ q ) ≡ p ∧ q .


c) (( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r ) ) ≡ ( p ⇒ r ) .

d) T t c các ý trên đ u đúng.

Câu 3: Cho t p A và ph n t x c a A. i u nào sau đây sai

a) x ∈ A .

b) x ⊂ A .

c) φ ∈ P ( A) .

15

d) φ ⊂ P ( A).


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Câu 4: Gi s

A, B, C , D là t p con c a E . Tr

ng h p nào sau đây là

sai:


a) A \ B = φ khi và ch khi A ⊂ B .
b) N u A ⊂ B, C ⊂ D thì A ∪ C ⊂ B ∪ D, A ∩ C ⊂ B ∩ D .
c) A ∪ A ≠ A .
d) N u A ∪ C ⊂ A ∪ B, A ∩ C ⊂ A ∩ B thì C ⊂ B .
Câu 5: Cho A, B là hai t p con c a E . Hãy ch n câu tr l i đúng nh t:

a) A ⊂ B ⇔ B ⊂ A .
b) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∪ B = E .
c) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ B ∪ A = φ .
d) T t c các ý trên đ u đúng.
Câu 6: Cho A, B là hai t p con c a E . Hãy ch n câu tr l i đúng nh t:

a) A \ ( A \ B) = A ∩ B .
b) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C ) .
c) A ∪ ( B \ A) = A ∪ B .
d) T t c các ý trên đ u đúng.
Câu 7: Gi s

A, B, C , D là t p con c a E . Tr

ng h p nào sau đây là

sai:

a) A ∩ B ≠ φ ⇔ ( A × B ) ∩ ( B × A) ≠ φ .
b) ( A × C ) ∪ ( B × D) = ( A ∪ B) × (C ∪ D) .
c) ( A × C ) ∩ ( B × D) = ( A ∩ B ) × (C ∩ D) .
d) N u A ⊂ B, C ⊂ D thì A × C ⊂ B × D .
Câu 8: Trong các tr
và B không b ng nhau


{

a) A = x ∈

ng h p sau đây tr

}

{

x2 + 2x > 1 , B = x ∈

ng h p nào thì hai t p h p A

}

x > 2 −1 .

b) A là t p m i s th c ≥ 0 , B là t p m i s th c ≥ tr tuy t đ i c a
chính nó.

16


ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Ch

⎧

c) A = ⎨ x ∈
⎩

1 ⎫
⎬ , B = { a,− 2a }.
3⎭

x 3 − a 3 = x − a; a =

d) A là t p các s t nhiên nguyên t nh h n 15, B = {2, 3, 5, 7,11,13 } .
đ

ng h p sau đây là quan h t

Câu 9: Quan h nào trong các tr
ng trong t p các s nguyên .

ng

a) aRb ⇔ a chia h t cho b .
b) aRb ⇔ a không nguyên t v i b .

R

c) a b ⇔ (a, b) = 1 (a và b nguyên t cùng nhau)

R

d) a b ⇔ a − bM m , trong đó m ≥ 2 là m t s t nhiên cho tr
Câu 10: Trong , xét quan h t


ng đ

ng

R

c.

xác đ nh b i:

aRb ⇔ a 3 − b 3 = a − b .
Tìm l p t

ng đ

ng a c a a trong các tr

ng h p sau:

a) Tr tuy t đ i c a a tho mãn: a > 2

3.

b) Tr tuy t đ i c a a tho mãn: a = 1

3.

c) Tr tuy t đ i c a a tho mãn: a < 2


3 vµ a ≠ 1

d) Tr tuy t đ i c a a tho mãn: a = 2

3.

Câu 11: Quan h
trong t p t ng ng

R

nào trong các tr

a) aRb ⇔ b − a ≥ 0 , ∀a, b ∈
b) aRb ⇔ bM a , ∀a, b ∈

R

*,
+

c) A B ⇔ A ⊂ B , ∀A, B ∈
d) T t c các tr

3.

ng h p sau đây là quan h th t

.
* là t p các s nguyên d

+

ng.

P ( X ) , trong đó X ≠ φ là m t t p cho tr

c

ng h p trên đ u là quan h th t .

Câu 12: Tìm các ví d v t p đ

c s p ( E , ≤) và hai t p con A, B ⊂ E

tho mãn:

a) T n t i sup A nh ng không t n t i sup B .
b) T n t i sup B nh ng không t n t i sup A .
c) T n t i sup A ∉ A nh ng t n t i max B .
17


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

d) T n t i inf A nh ng không t n t i sup A .
Câu 13: Các ánh x

f:


→

nào sau đây là đ n ánh:

a) f ( x) = 2 x + 5 .

b) f ( x) = x 3 + x 2 − 5 x .

c) f ( x) = 3 x − 2 x .

d) f ( x) = x 2 + bx + c ; b, c ∈ .

Câu 14: Cho hai ánh x

f,g:

→ xác đ nh b i:

⎧n 2 nÕu n ch½n
f (n) = 2n, g (n) = ⎨
⎩(n − 1) 2 nÕu n lÎ

Hãy xác đ nh:
a) f o g .
Câu 15: Gi s

b) g o f .

c) f o f .


d) f o g o f .

A, B, C , D là t p con c a X .

⎧ 1 nÕu x ∈ A
t I A ( x) = ⎨
và g i là hàm đ c tr ng c a t p A.
∉
0
nÕu
x
A
⎩
Hãy ch n câu tr l i đúng nh t:
a) I A ⋅ I A = I A ; I X \ A = 1 − I A .
b) I A∩ B = I A ⋅ I B ; I A∪ B = I A + I B − I A ⋅ I B .
c) A ⊂ B ⇔ I A ≤ I B .
d) T t c các ý trên đ u đúng.
Câu 16: Cho ánh x

f : X → Y và A, B ⊂ X .

i u nào sau đây luôn luôn

đúng:

a) A ⊂ B ⇔ f ( A) ⊂ f ( B ) .

b) f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B ) .


c) f ( A ∩ B ) = f ( A) ∩ f ( B ) .

d) f ( B \ A) = f ( B ) \ f ( A) .

Câu 17: Cho ánh x

f : X → Y và C , D ⊂ Y . i u nào sau đây không luôn

luôn đúng:

a) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C ) ∩ f −1 ( D) .
b) C ⊂ D ⇔ f −1 (C ) ⊂ f −1 ( D) .
c) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C ) ∪ f −1 ( D) .
18


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

d) f −1 (C \ D) = f −1 (C ) \ f −1 ( D) .
Câu 18: Ký hi u h = g o f là h p c a hai ánh x

f : X → Y, g :Y → Z .

i u nào sau đây không luôn luôn đúng:
a) f , g đ n ánh thì h đ n ánh.

b) f , g toàn ánh thì h toàn ánh.


c) h đ n ánh thì g đ n ánh.

d) h toàn ánh thì g toàn ánh.

Câu 19: Ký hi u h = g o f là h p c a hai ánh x

f : X → Y, g :Y → Z .

i u nào sau đây không luôn luôn đúng:
a) h đ n ánh thì f đ n ánh.
b) h toàn ánh thì f toàn ánh.
c) h đ n ánh và f toàn ánh thì g đ n ánh.
d) h toàn ánh và g đ n ánh thì f toàn ánh.
Câu 20: Cho hai phép th c a t p {1,2,3,4}:
⎡1 2 3 4⎤

⎡1 2 3 4 ⎤

σ =⎢
⎥ , μ = ⎢4 2 1 3⎥ . Tìm:
3
4
1
2
⎣
⎣
⎦
⎦
c) σ −1 .


d) μ −1 .

Câu 21: V i các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đ

c bao nhiêu s :

a) σ o μ .

b) μ o σ .

a) G m 4 ch s khác nhau.
b) S ch n g m 4 ch s khác nhau.
c) S l g m 4 ch s khác nhau.
d) S ch n g m ch s b t k .
Câu 22: Tính giá tr A =

a) A =

4
.
5

7!4! ⎛ 8!
9! ⎞
−
⎟
⎜
10! ⎝ 3!5! 2!7! ⎠


b) A =

5
.
4

c) A =

b) m = 1, m = 4 .

d) A =

6
.
7

ng m ≥ 1 tho mãn

Câu 23: Tìm t t c các s t nhiên d

a) m = 4 .

2
.
3

c) m = 3, m = 4 .

19


m!−(m − 1)! 1
=
(m + 1)!
6

d) m = 2, m = 3 .


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

Câu 24: M i ng i b n đi xem phim, cùng ng i m t hàng gh , ch i trò
đ i ch cho nhau. Cho r ng m t l n đ i ch m t h t m t phút, h i th i gian
h đ i ch cho nhau là bao nhiêu?

a) H t 10 ngày đêm.

b) H t 100 ngày đêm.

c) H t 1670 ngày đêm.

d) H t 2520 ngày đêm.

Câu 25: M t h p tác xã có 225 xã viên. H mu n b u m t ng i làm ch
nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m. Gi s m i xã viên
đ u có kh n ng đ c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách ch n?

a) Có 12600 cách.


b) Có 13800 cách.

c) Có 14580 cách.

d) Có 13680 cách.

Câu 26: M t h p tác xã có 225 xã viên. H mu n b u m t h i đ ng qu n
tr g m m t ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m. Gi
s m i xã viên đ u có kh n ng đ c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách
ch n?

a) Có 2100 cách.

b) Có 2300 cách.

c) Có 4860 cách.

d) Có 2280 cách.

Câu 27: M t cái h p đ ng 10 qu c u trong đó có 7 qu c u tr ng và 3
qu c u đ . H i có bao nhiêu cách:

a) L y ra 4 qu c u t h p.
b) L y ra 4 qu c u, trong đó có đúng 2 qu c u đ .
c) L y ra 4 qu c u, trong đó có nhi u nh t 2 qu c u đ .
d) L y ra 4 qu c u, trong đó có ít nh t 2 qu c u đ .
Câu 28: Hãy ch n câu tr l i đúng nh t:

a) Cnk−1 + Cnk−−11 = Cnk .
b) Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2 n .

c) C12n + C23n + C25n + ... + C22nn −1 = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn .
d) T t c các ý trên đ u đúng.
Câu 29: Tìm s h ng l n nh t trong khai tri n c a nh th c (37 + 19)31 .
10 21 10
37 .19 .
a) C31

12 12 19
c) C31
37 .19 .
20


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

10 10
b) C31
37 .19 21 .

12 19 12
d) C31
37 .19 .

Câu 30: Phép toán nào sau đây không ph i là m t lu t h p thành trong:

a) Phép c ng hai véc t .

b) Tích vô h


ng hai véc t .

c) Phép c ng hai đa th c.

d) Phép nhân hai hàm s .

Câu 31: Phép h p thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:

a) Phép c ng các s th c.
b) Phép nhân các s t nhiên.
c) Phép h p các ánh x t t p E ≠ φ vào chính t p E .
d) Phép c ng các hàm s .
Câu 32: Tr

ng h p nào sau đây không có c u trúc nhóm

a) T p các s t nhiên

v i phép c ng.

b) T p các s t nhiên

v i phép c ng.
*

c) T p các s h u t khác không
d) T p các s h u t d
Câu 33: Gi s


(G,*) là m

v i phép nhân.

ng khác không

*
+ v i phép nhân.

t nhóm. i u nào sau đây không đúng:

a) Ph n t trung hoà e là duy nh t.
b) V i m i ph n t x , ph n t đ i x' c a nó là duy nh t.
c) Ph n t trung hoà e không có ph n t đ i.
d) Tho mãn lu t gi n
tr

c, ngh a là n u x * y = x * z thì y = z .

Câu 34: Trong m i t p s sau đây v i phép c ng s và phép nhân s ,
ng h p nào không ph i là m t vành:

a) T p các s nguyên ch n.
b) T p các s h u t d

ng

+.

c) T p các s có d ng a + b 2 , a và b nguyên.

d) T p các s nguyên môđulô p .
Câu 35: Cho A là m t vành. Ph n t

x∈ A đ

c g i là lu linh n u t n

t i m t s t nhiên n ≠ 0 sao cho x n = 0 . i u nào sau đây không đúng:

21


Ch

ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x và các c u trúc đ i s

a) N u x, y lu linh và xy = yx thì x + y c ng l y linh.
b) N u x lu linh và xy = yx thì xy c ng l y linh.
c) N u x ∈ A lu linh thì t n t i x −1 .
d) N u x ∈ A lu linh thì t n t i (1 − x )−1 .
đ

Câu 36: Hãy xác đ nh các công th c đ i s Boole nào sau đây là t
ng:

a) ( x ∧ z ) ∨ ( x'∧ y ) .

b) ( x ∧ y ') ∨ z .

c) ( x ∨ y ) ∧ ( x'∨ z ) ∧ ( y ∨ z ) .


d) [ y ∨ ( x ∧ z )] ∧ [z ∨ ( x'∧ y )].

ng

Câu 37: Công th c [x ∨ ( y '∧ z ) ∨ ( x ∧ z ' )] ∨ ( y ∧ z ) có công th c rút g n là
công th c nào sau đây:

a) y ∨ z .

c) ( x ∧ y ' ) ∨ z .

b) x ∨ z .

d) ( x ∧ z ' ) ∨ y .

Câu 38: Tr

ng h p nào sau đây là công th c rút g n c a m ng

•

•

a) x ∧ ( y ∨ z ) .

b) x ∨ ( y ∧ z ) .

c) z ∧ ( y ∨ x ) .


d) y ∨ ( x ∧ z ) .

22


Ch

2. CH

2.1

ng 2: Không gian véc t

NG 2: KHÔNG GIAN VÉC T

M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A

Khái ni m không gian véc t có ngu n g c t v t lý. Ban đ u các véc t là
nh ng đo n th ng có đ nh h ng, v i khái ni m này ng i ta đã s d ng đ bi u
di n các đ i l ng v t lý nh : véc t v n t c, l c tác đ ng, l c đi n t ... . Các nhà
v t lý còn s d ng ph ng pháp véc t Fresnel đ t ng h p các dao đ ng đi u hoà.
Cu i th k 17 Descartes đã đ xu t ph ng pháp to đ đ gi i quy t các bài
toán hình h c. V i ph ng pháp này m i véc t trong m t ph ng đ c đ ng nh t
v i m t c p s là hoành đ và tung đ còn véc t trong không gian đ c đ ng nh t
v i b ba s . Các phép toán c a véc t (c ng véc t , nhân 1 s v i véc t ) có th
chuy n t ng ng b ng phép toán trên các b s và tho mãn m t s tính ch t nào
đó. Trong nhi u l nh v c khác chúng ta c ng th y nh ng đ i t ng khác nh các
đa th c, hàm s , v.v... có các phép toán tho mãn các tính ch t t ng t các véc t .
i u này d n đ n vi c khái quát hoá khái ni m véc t .
Trong các công trình v s quaternion t n m 1843 c a nhà toán h c Anh

Hamilton, ng i ta có th tìm th y m t d ng thô s c a khái ni m không gian vec
t 3 và 4 chi u. Hamilton dùng các s quaternion đ nghiên c u các v n đ toán lý.
Sau đó các nhà v t lý nh Maxwell và Gibbs đã phát tri n d n lý thuy t không gian
véc t 3 chi u. Khái ni m không gian véc t 4 chi u đ c Einstein (Anh-xtanh) s
d ng trong thuy t t ng đ i. Ngày nay lý thuy t không gian véc t nhi u chi u
đ c s d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c khác nhau c a toán h c và các ngành
khoa h c khác.
Chúng ta th y khái ni m không gian véc t đ c hình thành qua m t quá trình
lâu dài trên c s các thành t u v lý thuy t c ng nh ng d ng th c t và khái
quát hoá cao. Vì v y đ h c t t ch ng này đ i h i ng i h c ph i n m v ng khái
ni m không gian véc t vói m c đ tr u t ng cao, còn các mô hình c th là các
không gian 2 chi u, 3 chi u ta đã bi t.
i t ng c a ta đây là các không gian
véc t h u h n chi u. ó là các không gian có h sinh h u h n. Trong không gian
này m i véc t đ u có th bi u di n thành t h p tuy n tính c a các véc t c a h
sinh. Mu n cho bi u di n này là duy nh t thì h sinh ph i đ c l p tuy n tính, lúc đó
ta g i là m t c s c a không gian véc t . Các h s trong bi u di n trên đ c
g i là to đ c a véc t .

23


Ch

ng 2: Không gian véc t

H c viên c n luy n t p tìm to đ c a m t véc t trong các c s khác nhau.
Tìm h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h véc t cho tr c. Tìm h ng c a
m t h véc t , tìm chi u c a không gian con. Công th c chi u c a t ng hai không
gian véc t con, chi u c a giao c a hai không gian véc t con. Th y đ c m i liên

h gi a h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h sinh và c s , liên h gi a h ng
c a h sinh và chi u c a không gian sinh b i h sinh này (đ nh lý 2.17). Liên h
v i nh ng phép toán và tính ch t véc t đã bi t ph thông.
2.2 TÓM T T N I DUNG
2.2.1 Khái ni m không gian vect

Không gian véc t trên tr

ng K là t p V khác φ v i hai phép toán:

* Phép toán trong

* Phép toán ngoài
K ×V →V

V ×V →V
(u, v) a u

(α , u ) a αu

tho mãn các tiên đ sau v i m i u , v, w ∈ V và α , β ∈ K
(u + v) + w = u + (v + w)
Có 0 ∈ V sao cho u + 0 = 0 + u = u
V i m i u ∈ V có − u ∈ V sao cho u + (−u ) = (−u ) + u = 0

u+v =v+u
(α + β )u = αu + βu

α (u + v) = αu + αv
(αβ )u = α ( βu )

1u = u , trong đó 1 là ph n t đ n v c a K .
Khi K =

thì V đ

Khi K =

thì V thì đ

Các ph n t c a V đ
ph n t vô h ng.

c g i là không gian véc t th c.
c g i là không gian véc t ph c.
c g i là các véc t , các ph n t c a K đ

c g i là các

Vì (V ,+ ) là m t nhóm Abel nên véc t 0 và véc t đ i − u c a u là duy nh t
v i m i u ∈V .
Có lu t gi n

c: u + v = u + w ⇒ v = w .

V i m i u ∈ V , 0u = 0 , (−1)u = −u .
24


Ch


ng 2: Không gian véc t

V i m i α ∈ K , α0 = 0 .
N u αu = 0 thì α = 0 ho c u = 0 .
Ta đ nh ngh a u − v := u + (−v) , khi đó u + v = w ⇔ u = w − v .
V i các véc t u1, u 2 , ..., u n ∈V và v i m i α1,α 2 , ..,α n ∈ K , do tính k t h p
c a phép c ng nên ta có th đ nh ngh a theo qui n p:
n

∑α k uk = α1u1 + ... + α nun = (α1u1 + ... + α n −1un −1 ) + α nun ∈V

k =1

bi u th c này đ

c g i là m t t h p tuy n tính c a các véc t u1,..., u n .

Trong giáo trình này ta ch xét K =

, ngh a là ch xét các không gian véc t

th c.
2.2.2 Không gian vect con

a. Không gian véc t con:
T p con W ≠ φ c a V sao cho hai phép toán t V thu h p vào W tr thành
không gian véc t (tho mãn các tiên đ V1-V8) thì W đ
t con c a V (hay nói t t: không gian con c a V ).

c g i là không gian véc


b. Không gian con W bé nh t ch a h véc t S đ c g i là không gian sinh
b i h S ký hi u W = span S và S đ c g i là h sinh c a W .
W = span S b ng t p h p t t c các t h p tuy n tính c a S .
N u V = span S , S = {v1 , ..., vn } h u h n thì V đ c g i là không gian h u
h n sinh. Lúc đó, v i m i u ∈ V ; u = x1v1 + ... + xn vn , x1,..., xn ∈ .
c. T ng c a m t h không gian véc t con: Gi s W1,..., Wn là n không gian
con c a V . Ta ký hi u W1 + ... + Wn là t ng c a các không gian con W1,..., Wn và
đ nh ngh a nh sau:
u ∈W1 + ... + Wn ⇔ u = u1 + ... + u n , ui ∈Wi ; i = 1,..., n .
Tuy nhiên, nói chung cách vi t trên không duy nh t.
Khi v i m i u ∈W1 + ... + Wn cách vi t trên duy nh t thì t ng các không gian
con này đ

c g i là t ng tr c ti p. Lúc đó ta ký hi u: W1 ⊕ ... ⊕ Wn .

T ng W1 + W2 là t ng tr c ti p khi và ch khi W1 ∩ W2 = {0} .
Ta có th ch ng minh đ

c W1 + ... + Wn = span(W1 ∪ ... ∪ Wn )
25


Ch

ng 2: Không gian véc t

M t cách t ng quát ta đ nh ngh a và ký hi u t ng c a m t h các không gian
véc t con (Wi )i∈I là
V y


⎛
⎞
⎜ W ⎟.
W
span
=
∑ i
⎜U i⎟
i∈I
⎝ i∈I ⎠

∑Wi = {ui1 + ... + uik

i∈I

2.2.3

}

ui j ∈Wi j , i j ∈ I , j = 1,..., k ; k = 1, 2, ... .

c l p tuy n tính

H n véc t S = {u1,..., u n } c a V đ

α1u1 + ... + α n u n = 0,α1 ,...,α n ∈

c g i là đ c l p tuy n tính n u:
thì α1 = ... = α n = 0 .


H không đ c l p tuy n tính đ

c g i là ph thu c tuy n tính.

H con {v1,..., vn } c a h S đ

c g i là đ c l p tuy n tính t i đ i c a S n u

nó là h đ c l p tuy n tính và n u thêm b t k véc t nào c a S thì ta có h ph
thu c tuy n tính.
M i h véc t S đ u có h con đ c l p tuy n tính t i đ i, s véc t c a các h
con đ c l p tuy n tính t i đ i c a S đ u b ng nhau và ta g i là h ng c a S , ký
hi u r (S ) .
M i h sinh đ c l p tuy n tính c a V đ
N u

B = {e1,..., en } là m t c

nh t x1,..., xn ∈

c g i là m t c s c a V .

s c a V . Lúc đó, v i m i u ∈ V ; t n t i duy

sao cho u = x1v1 + ... + xn vn .

( x1 ,..., xn ) = [u ]

B đ c g i là to đ c a véc t u trong c s


B.

M i không gian h u h n sinh V đ u t n t i c s . S ph n t c a m i c s
c a V đ u b ng nhau và đ c g i là s chi u c a V , ký hi u dimV .

dim(spanS ) = r (S ).
2.3 CÂU H I VÀ BÀI T P
Câu 1: Tr ng h p nào sau đây t p
ngh a là không gian véc t

3

v i các phép toán đ

⎧( x, y, z ) + ( x' , y ' , z ' ) = ( x + x' , y + y ' , z + z )
a) ⎨
α∈
⎩α ( x, y, z ) = (αx, y, z ) ;
⎧( x, y, z ) + ( x' , y ' , z ' ) = ( x + x' , y + y ' , z + z ' )
b) ⎨
α∈
⎩α ( x, y, z ) = (2α x,2α y,2α z ) ;
26

c đ nh


Ch


ng 2: Không gian véc t

⎧( x, y, z ) + ( x' , y ' , z ' ) = ( x + x'+1, y + y '+1, z + z '+1)
c) ⎨
α∈
⎩α ( x, y, z ) = (0,0,0) ;
⎧( x, y, z ) + ( x' , y ' , z ' ) = ( x + x' , y + y ' , z + z ' )
.
d) ⎨
α∈
⎩α ( x, y , z ) = (α x,α y,α z ) ;

Câu 2: V i các phép c ng hai hàm s và phép nhân hàm s v i s th c,
t p các hàm s nào sau đây là không gian véc t .

a) T p các hàm s không âm trên [a, b].
b) T p các hàm s b ch n trên [a, b].
c) T p các hàm s kh vi trên [a, b] ( có đ o hàm t i m i đi m).
d) T p các hàm s trên [a, b] sao cho f (b) = 1 .
Câu 3: T p h p các véc t có d ng nào sau đây không là không gian con
c a

3

a) Các véc t có d ng ( x,0, z ) .
b) Các véc t có d ng ( x, y,1) .
c) Các véc t có d ng ( x, y, z ) tho mãn x + y + z = 0 .
d) Các véc t có d ng ( x, y, z ) , 2 x − y + z = 0 , x + y − 4 z = 0 .
Câu 4: T p h p các véc t có d ng nào sau đây không là không gian con
c a


3

a) Các véc t ( x, y, z ) tho mãn x ≤ y ≤ z .
b) Các véc t ( x, y, z ) tho mãn xy = 0 .
c) Các véc t ( x, y, z ) tho mãn 3 x + 2 y − 4 z = 0 .
d) Các véc t ( x, y, z ) tho mãn x = y 2 .
Câu 5: Tìm véc t u sau c a không gian
3(v1 − u ) + 2(v 2 + u ) = 5(v 3 + u )

4

tho mãn ph

trong đó v1 = (2,5,1,3) ; v 2 = (10,1,5,10) ; v 3 = (4,1,−1,1)
a) u = (6,12,18,24) .

b) u = (7,−2,3,0) .

c) u = (1,2,3,4) .

d) u = (−2,3,7,0) .
27

ng trình:


Ch

ng 2: Không gian véc t


Câu 6: Hãy bi u di n véc t u thành t h p tuy n tính c a v1 , v2 , v3 :

a) u = (7,−2,15) ; v1 = (2,3,5) , v2 = (3,7,8) , v3 = (1,−6,1) .
b) u = (1,4,−7,7) ; v1 = (4,1,3,−2) , v2 = (1,2,−3,2) , v3 = (16,9,1,−3) .
c) u = (6,9,14) ; v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,2) , v3 = (1,2,3) .
d) u = (6,2,−7) ; v1 = (2,1,−3) , v2 = (3,2,−5) , v3 = (1,−1,1) .
Câu 7: Hãy xác đ nh λ sao cho x là t h p tuy n tính c a u , v, w :
x = (7,−2, λ ) ; u = (2,3,5) , v = (3,7,8) , w = (1,−6,1) .

a) λ = 10 .

c) λ = −11.

b) λ = 12 .

d) λ = 11 .
3

Câu 8: H véc t nào sau đây sinh ra

a) u = (2,1,−3) , v = (3,2,−5) , w = (1,−1,1) .
b) u = (2,−1,3) , v = (4,1,2) , w = (8,−1,8) .
c) u = (3,1,4) , v = (2,−3,5) , w = (5,−2,9) , s = (1,4,−1) .
d) u = (3,0,13) , v = (2,7,4) , w = (1,−10,11) .
Câu 9: H véc t nào sau đây c a

3

là đ c l p tuy n tính


a) u = (1,−2,1) , v = (2,1,−1) , w = (7,−4,1) .
b) u = (1,−3,7) , v = (2,0,8) , w = (8,−1,8) , x = (3,−9,7) .
c) u = (1,2,−3) , v = (1,−3,2) , w = (2,−1,5) .
d) u = (2,−3,13) , v = (0,0,0) , w = (1,−10,11) .
Câu 10: H véc t nào d

i đây là đ c l p tuy n tính.

a) u = (4,−2,6) , v = (6,−3,9) trong

3

.

b) u = (2,−3,1) , v = (3,−1,5) , w = (1,−4,3) trong
c) u = (5,4,3) , v = (3,3,2) , w = (8,1,3) trong

3

3

.

.

d) u = (4,−5,2,6) , v = (2,−2,1,3) , w = (6,−3,3,9) , s = (4,−1,5,6)
trong

4


Câu 11: Tìm

.

λ đ h véc t sau ph thu c tuy n tính:
28