HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Chuyên đề 3.
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
PHẦN 1. LÝ THUYẾT

1


HUỲNH ĐỨC KHÁNH

PHẦN 2. BÀI TẬP
A - HÀM BẬC BA
Bài 1 . Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 1.
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
1.1 Tại điểm có hoành độ bằng 1.
1.2 Biết tiếp tuyến đi qua điểm M (1; 3) và hệ số góc của tiếp tuyến lớn hơn 1.
1.3 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình (d) : y = 9x + 3.
1
1.4 Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình (d) : y = − x + 2.
24
4
1.5 Biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : x + y + 5 = 0 một góc α mà cos α = √ .
41
1.6 Biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân.
1.7 Biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB
thỏa mãn OB = 9OA.
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị và
2.1 Vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị tại M(1; 3).
2.2 Song song với tiếp tuyến của đồ thị tại M (1; 3).................
2.3 Vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu.

3. Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M đi qua điểm A(0; −6).
4. Tiếp tuyến của đồ thị tại M (1; 3) cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác
OAB.
5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua M(−2; 3) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt
đồ thị tại ba điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại ba giao điểm đó cắt nhau tạo
thành tam giác vuông.
6. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = m( x − 1) + 3 cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt M (1; 3), N, P sao cho hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại N và P
vuông góc với nhau.
7. Cho hai điểm A(0; −1) và B(1; 3) thuộc đồ thị. Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị
sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Bài 2 . Cho hàm số y = x3 + 3x + 1.

√
1. Tìm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt đồ thị tại N thỏa mãn MN = 3 37.
2. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không thể tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến với đồ
thị hàm số tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
2


HUỲNH ĐỨC KHÁNH
3. Xét ba điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc đồ thị. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là giao điểm của
đồ thị với tiếp tuyến của đồ thị tại A, B, C. Chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Bài 3 . Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1.
1. Gọi A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số. Tìm biểu thức liên hệ giữa x1
và x2 để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B song song với nhau.
2. Tìm m để đồ thị có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y = mx. Giả sử M, N là
các tiếp điểm, chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là một điểm cố định
khi m thay đổi.
3. Chứng minh trên đồ thị có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song

song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm
cố định.
4. Xác định k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k. Gọi hai tiếp
điểm là M và N, viết phương trình đường thẳng qua M, N theo k.
5. Chứng minh hàm số có cực đại và cực tiểu. Lấy A bất kỳ thuộc phần đồ thị nằm giữa
hai điểm cực đại và cực tiểu. Chứng minh rằng luôn tìm được hai điểm B, C trên đồ thị
sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với tiếp tuyến tại A.
6. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị
√ sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 4 2.
7. Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thi tại A và B song song nhau
và đường thẳng đi qua A, B
7.1 Vuông góc với đường thẳng (d) : x + y − 5 = 0.
7.2 Song song với đường thẳng (d) : 6x − y + 5 = 0.
7.3 Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
7.4 Cắt hai trục tọa độ Ox tại A, Oy tại B sao cho OB = 2OA.
8. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 4 . Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2.
1. Tìm tất cả những điểm thuộc đường thẳng y = −2 mà từ đó kẻ được
1.1 Ba tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
1.2 Ba tiếp tuyến với đồ thị trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
1.3 Hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
1.3 Một tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
2. Từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng x = 1 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
với đồ thị hàm số.
3


HUỲNH ĐỨC KHÁNH
3. Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho qua M chỉ vẽ được duy nhất một tiếp tuyến.

Bài 5 . Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1, (m là tham số).
1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng −1
1.1 Đi qua A (2; 0).
1.2 Song song với đường thẳng (∆) : 2x − y + 5 = 0.
1.3 Vuông góc với đường thẳng (∆) : 2x − 7y + 3 = 0.
3
1.4 Tạo với đường thẳng (∆) : x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α = √ .
34
1.5 Trùng với đường thẳng .........
1.6 Cách đều hai điểm A(), B().
1.7 Thỏa mãn khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến bằng một khoảng ....
1.8 Tiếp xúc với đường tròn (C ) : ....
1.9 Cắt đường tròn tâm I (...) bán kính bằng ... tại hai điểm A, B mà tam giác I AB có
diện tích lớn nhất
1.10 Cắt đường tròn (C ) : ... theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
1.11 Thỏa mãn khoảng cách từ điểm I (...) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
1.12 Thỏa mãn hai điểm A(), B() nằm về hai phía của tiếp tuyến.
1.13 Chắn trên hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
1.14 Chắn trên hai trục tọa độ Ox tại A, Oy tại B thỏa mãn OB = 6OA.
1.15 Chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
2. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị tồn tại
2.1 Một điểm duy nhất mà tiếp tuyến tại đó tạo với đường thẳng ... một góc....
2.2 Một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường
thẳng ...
2.3 Một điểm duy nhất có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó song song với đường
thẳng ...
2.4 Đúng hai điểm mà tiếp tuyến tại đó tạo với đường thẳng ...một góc....
2.5 Đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
...
2.6 Đúng hai điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng ...

2.7 Có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng ...
2.8 Có điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng ...
3. Tìm M để đồ thị cắt đường thẳng.....tại ba điểm phân biệt A(...; ...), B, C sao cho
4


HUỲNH ĐỨC KHÁNH
3.1 Tiếp tuyến với đồ thị tại B và C song song với nhau.
3.2 Tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
4. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với
4.1 Đường thẳng y = b...............
4.2 Đường thẳng y = ax + b.............
5. Tìm điểm cố định của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng −1.
6. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua. Khi đó tìm
giao điểm của các tiếp tuyến đó.
Bài 6 . Cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx − m + 4, (m là tham số).
1. Đường thẳng y = 3 − x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm theo thứ tự là A, I (1; 2), B. Tiếp
tuyến tại A, B cắt đồ thị tại M, N. Tìm m để
1.1 Tứ giác AMBN là hình bình hành.
1.2 Tứ giác AMBN là hình thoi.
1.3 Tứ giác AMBN là hình vuông.
2. Tìm m để từ M(...) kẻ được
2.1 Đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
2.2 Đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
2.3 Đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
——— HẾT ———

5