PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LAI VUNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 13/06/2016

Họ và tên thí sinh:.......................................... Số báo danh:..........................
Chữ ký của giám thị 1:...................... Chữ ký của giám thị 2:............................
NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi có 02 trang, gồm 6 câu)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức A = n(n  5)  (n  3)(n  2) (với n là số tự nhiên). Chứng
minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n.
b) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh biểu thức
B  4 x  x  y  x  y  z  x  z   y 2 z 2 là một số chính phương.
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức P  4 x 2  4 x  5 . Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của x.
b) Giải bất phương trình:

x 3
2
x2

Câu 3 (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức N 

x 3 . x  4
x 2  7 x  12

với 3  x  4

b) Cho x, y là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện x 2  9 y 2  4 xy  2 xy  x  3 .
Tính giá trị của biểu thức N 

x 2  25
y2
: 2
.
3
2
x  10 x  25 x y  y  2

Câu 4 (4,0 điểm)
a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD,
đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ B trở
về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang? Biết rằng cả lúc đi
lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống dốc là 20 km/h; vận tốc
trên đường nằm ngang là 15 km/h.
b) Cho a, b là hai số thực dương bất kì thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ
2

1

1


nhất của biểu thức M  1     1  
a
b








2


Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung
điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân?
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng

AB 5
 , đường cao
AC 6

AH=30cm. Tính HB, HC.
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc
cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo
thứ tự ở M, N.
a) Chứng minh rằng CM .DN  a 2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 900.

c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất ?
--- HẾT --Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LAI VUNG
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN

I. HƯỚNG DẪN CHUNG:
1. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng
đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.
2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm
bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện
trong tổ chấm thi.
3. Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm.
II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
Câu

Nội dung
Điểm
a) Cho biểu thức A = n(n  5)  (n  3)(n  2) (với n là số tự nhiên). Chứng
1,0
minh A chia hết cho 6 với mọi giá trị của n.
A  n2  5n   n2  n  6 
0,5

 6n  6 6 ( với mọi n  N )

1

0,5

b) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh
B  4 x  x  y  x  y  z  x  z   y 2 z 2 là một số chính phương.

2,0

B  4  x 2  xy  xz  x 2  xy  xz  yz   y 2 z 2 . Đặt a  x 2  xy  xz

0,5

B  4a  a  yz   y 2 z 2  4a 2  4ayz  y 2 z 2

0,5

B   2a  yz 

2

0,5
2

Vậy B   2 x 2  2 xy  2 xz  yz  là số chính phương

0,5


2

a) Cho biểu thức P  4 x  4 x  5 . Chứng minh P > 0 với mọi giá trị của
x.
P  4x2  4x  5  4 x2  4x  1  4
2

P   2 x  1  4  0 với mọi giá trị của x.

b) Giải bất phương trình:

2

x3
2
x2

1,0
0,5
0,5
2,0

x3
x3
2
2  0
x2
x2
x  3  2x  4
x  7


0
0
x2
x2
 x  7  0
 x  7
TH1: 
(loại)

x  2  0
 x  2

0,5
0,5
0,5

 x  7  0
 x  7

 7  x  2
x  2  0
 x  2

TH2: 



0,5




Vậy tập nghiệm của bpt: S  x  R7  x  2


Câu

Nội dung
a) Rút gọn biểu thức N 

x 3 . x  4

với 3  x  4
x 2  7 x  12
Vì 3  x  4 nên x  3  x  3 ; x  4  4  x
N

 x  3 4  x 

Điểm
1,5
0,5
0,5

x 2  7 x  12
 x  3 4  x   1

 x  3 x  4 

0,5


b) Cho x, y là hai số bất kì thỏa mãn điều kiện x 2  9 y 2  4 xy  2 xy  x  3 .

3

x 2 - 25
y-2
.
: 2
3
2
x -10 x  25 x y - y - 2
 x  5 x  5    y  1 y  2    x  5 y  1
N
2
y2
x  x  5
x  x  5

Tính giá trị của biểu thức N 

1,5

0,5

2

x 2  9 y 2  4 xy  2 xy  x  3   x  3 y   x  3  0

0,5


x  3y  0
x  3


x  3  0
y 1
8
N
3

4

0,5

a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD,
đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ
B trở về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang? Biết
rằng cả lúc đi lẫn lúc về thì: vận tốc lên dốc là 10 km/h; vận tốc xuống
dốc là 20 km/h; vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h.
- Gọi quãng đường nằm ngang CD là x (0 < x < 30; km)
Thì tổng quãng đường lên dốc và xuống dốc AC + DB là: 30 – x
- Kể cả lúc đi và lúc về thì:
+ Quãng đường nằm ngang dài: 2x
+ Quãng đường lên dốc dài:
30 – x
+ Quãng đường xuống dốc dài: 30 – x
2 x 30  x 30  x
5



4
- Lập được phương trình:
15
10
20
12
- Giải phương trình tìm được: x  5
- Trả lời: Quãng đường nằm ngang dài 5 km.
b) Cho a, b là hai số thực dương bất kì thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ



1

2




1

2

nhất của biểu thức M   1    1  
a
b
2

 ab   ab 

M  1 
  1 

a  
b 

2



0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25

2,0



2

0,5

2

a 2 b2

b 
a
a b

M   2     2    8  2  2  4  
b
a
a 
b
b a


Vì

2,0

a 2 b2
a b
 2  2 ;   2 nên M  8  2  4.2  M  18
2
b
a
b a

Vậy GTNN của M = 18  a  b 

1
2

0,5

0,5
0,5


Câu

Nội dung
Điểm
a) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung
điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang 2,0
cân?
A

D

E

B

C
H M

Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC
 DE / / HM . Do đó tứ giác DEMH là hình thang.

0,5

Mặt khác tam giác AHC vuông tại H và HE là đường trung tuyến nên:
HE 


0,5

AC
1
2

DM là đường trung bình của tam giác ABC nên:
DM 

5

0,5

AC
 2
2

Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE.
Hình thang DEMH có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang
cân. (đpcm)
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng

AB 5
 , đường cao AH =
AC 6

0,5

2,0


30cm. Tính HB, HC.
A

B

C

H

Chứng minh: ABH


CAH 

AB AH

AC CH

5 30

 CH  36cm
6 CH

Từ ABH
 BH 

CAH 

AH BH


 BH .HC  AH 2
HC AH

AH 2 302

 25cm
CH
36

0,5
0,5
0,5
0,5


Câu

Nội dung
Điểm
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc
cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng 3,0
CD theo thứ tự ở M, N.
K
A

B

F

E

a

N

D

C

M

a) Chứng minh rằng CM .DN  a 2 .
- Ta có : AB // MN

6



CM CE AF BA



BA BE FD DN

1,0
0,5

CM.DN = AB2 = a2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKN = 900.



CM DA
CM AB


nên
AB DN
CB DN
- Do đó  CMB đồng dạng  DAN (c.g.c) nên CMB = DAN

- Ở câu a ta có

Suy ra CMB + DNA = 900.Vậy MKN = 90 0
c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
- Độ dài MN nhỏ nhất  CM + DN nhỏ nhất.
mà CM.DN = a2 là không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất  CM = DN
- Khi đó CM2 = a2 , CM = DN = a ; nên độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi
và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD.

---Hết---

0,5
1,0
0,25
0,5
0,25
1,0
0,25
0,25
0,5