Phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (265.67 KB, 4 trang )
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để chứng minh bất đẳng thức
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ
BẤT ĐẲNG THỨC
TRẦN CÔNG DIÊU
TU BÔNG - VẠN NINH - KHÁNH HÒA
Trong mặt phẳng tọa độ
:
Mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng :
với
Đường tròn có phương trình tổng quát dạng :
kính là .
Khoảng cách giữa điểm
và
khác không.
với tâm là
và bán
là
Sau đây là một số bài toán được giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phằng!
ví dụ 1: Cho số thực
thỏa mãn
. Chứng minh:
a/
b/
Lời giải. Bất đẳng thức a/ được viết lại dưới dạng như sau:
Ta lấy các điểm
trên hệ trục tọa độ
đều nằm trên vòng tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng
Bất đẳng thức tương đương với:
. Như vậy từ giả thiết các điểm này
.
Mà tam giác đều cạnh
là tam giác có chu vi lớn nhất trong các tam giác nội tiếp trong
đường tròn bán kính có tâm tại gốc tọa độ nên ta có điều phải chứng minh!
Bất đẳng thức b/ tương đương với :
Mà
Tam giác đều cạnh
lớn nhất nên suy ra
ở đây
nội tiếp trong đường tròn tâm
bán kính
có diện tích
. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu trong cả hai bất đẳng thức a/, b/ điều xảy ra khi và chỉ khi tam giác
đạt tại:
là tam giác đều,
hoặc
VÍ DỤ 2. Cho các số thực
thức:
thỏa mãn điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
(Olympic 30-4 năm 2007)
Lời giải. Biểu thức
viết lại dưới dạng như sau:
Đặt
Như vậy, ta có:
Mà
và
nên
. ( Đẳng thức xảy ra khi
là hình chiếu của
trên
)
Suy ra
Vậy
đạt được khi và chỉ khi
Chẳng hạng với
VÍ DỤ 3. Cho hai số thực
thỏa mãn:
. Chứng minh:
a/
b/
Lời giải. Giả thiết có thể biến đổi lại như sau:
Vì vậy a/ đúng khi và chỉ khi
Xét hệ trục tọa độ
tâm
Nối
cắt
tại
, lấy điểm
thỏa mãn
.
và khi đó với mọi
ta có:
. Vậy a/ đã được chứng minh!
Dấu bằng bên trái xảy ra khi
Dấu bằng bên phải xảy ra khi
Để chứng minh b/, ta vẽ tiếp tuyến
suy ra
Khi đó với mọi điểm
ta có:
. Đặt
suy ra
như vậy
hay
Suy ra
, vậy ta có điều phải chứng minh!
Dấu bằng xảy ra khi
VÍ DỤ 4. Cho
là số thực thỏa mãn
,
Chứng minh
Lời giải. Ta viết lại giả thiết như sau:
và
Như vậy các điểm
tương ứng nằm trên vòng tròn tâm
tâm
bán kính .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Nối với
Hiển nhiên
Mà
Tương tự
cắt vòng tròn bé tại
vây từ
Dấu
bên phải xảy ra khi và chỉ khi
Dấu
bên phải xảy ra khi và chỉ khi
bán kính và vòng tròn
và vòng tròn lớn tại
và ta lại có
ta có điều phải chứng minh.
VÍ DỤ 5. Cho các số thực
thỏa mãn
và
Chứng minh
Lời giải. Từ giả thiết bất đẳng thức được viết lại dưới dạng như sau
Lấy các điểm
trên hệ trục tọa độ thì rõ ràng
kính và nằm trên vòng tròn tâm
bán kính , nên
Mà ta luôn có
và
nằm trên vòng tròn tâm
bán
vì
vậy từ
Dấu bằng bên phải xảy ra khi và chỉ khi
Dấu bằng bên trái xảy ra khi và chỉ khi
đúng!
trùng
và trùng
đạt tại
trùng , trùng
đạt tại
Qua các ví dụ trên các bạn có thể dễ dàng nhận ra các bài toán có dạng tương tự, các bài toán sau
cũng giải bằng phương pháp này:
Bài 1. Cho số thực
Chứng minh
Bài 2. Cho
thỏa mãn
là
,
số thực bất kì
Chứng minh
Bài 3. Cho các số thực
Chứng minh
thỏa mãn
,
