TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC ĐẠI CƯƠNG

ĐẶNG TRẦN CHIẾN
NGUYỄN SỸ HẢI

CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Tài liệu dành cho sinh viên
ngành địa chất, tài nguyên môi trường

LƯU HÀNH NỘI BỘ

HÀ NỘI 2016


Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

§1. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC
1.
Hệ quy chiếu quán tính
Các định luật cơ học của Niutơn được kiểm nghiệm đúng đắn trong hệ
quy chiếu quán tính.
Hệ quy chiếu trong đó các định luật Niutơn được nghiệm đúng gọi là
hệ quy chiếu quán tính.
Ngược lại, gọi là hệ quy chiếu không quán tính. Các chuyển động cơ
học xảy ra trong hệ quy chiếu quán tính là tuyệt đối. Còn xẩy ra trong hệ quy
chiếu không quán tính là tương đối. Trong cơ học thiên thể thường người ta
lấy hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu gốc tâm mặt trời, ba trục đi qua ba
ngôi sao cố định. Trong thực tế tính toán với mức độ chính xác nhất định, các

chuyển động xảy ra gần mặt đất, ta cũng có thể chọn gần đúng hệ quy chiếu
quán tính là hệ quy chiếu gắn chặt với quả đất.
2.
Định luật 1 Newton (Định luật quán tính)
Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển
r
r uuuuur
động thẳng đều. Tức là nếu F = 0 thì v = cos nt .
Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi là
chuyển động theo quán tính của nó.
3
Định luật 2 Newton (Định luật cơ bản của Động lực học)
Dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướng
với hướng của lực và có độ lớn tỷ lệ với độ lớn của lực
Tức là:
r
r
(1-1)
F = ma
và
F = ma
(1-2)
Trong đó m là khối lượng của chất điểm (m > 0)
Hệ thức (1-1) còn gọi là phương trình cơ bản của động lực học.
Trong cơ học cổ điển (cơ học của Niutơn), người ta coi khối lượng là
một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc chuyển động.
Khối lượng là độ đo mức quán tính của chất điểm.
Mọi vật ở trong tường trọng lực (với độ cao không lớn lắm) đều rơi với
r
u

r
gia tốc g và chịu tác dụng của trọng lực P . Theo các hệ thức (1-1), (1-2) ta
u
r
r
suy ra: P = mg và P = mg .
4. Định luật độc lập tác dụng của các lực

1


Dưới tác dụng của đồng thời một số lực, chất điểm có gia tốc bằng tổng
hình học các gia tốc mà chất điểm có được khi mỗi lực tác dụng riêng biệt.
Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của các lực
r r
r
r
F1 ,F2 ,...,Fn . Gọi a là gia tốc của chất điểm khi chịu tác dụng của đồng thời
r r
r
r r
r
các lực đó, và a1 ,a 2 ,...,a n là gia tốc của nó khi từng lực F1 ,F2 ,...,Fn tác dụng
riêng rẽ. Theo tiên đề thứ ba ta có:
r r r
r
(1-3)
a = a1 + a 2 + ... + a n
Nếu nhân hai vế của nó với khối lượng m của chất điểm và chú ý tới
tiên đề thứ hai ta có:

r
r
r
r
ma = ma 1 + ma 2 + ... + ma n
hoặc:
r n r
ma = ∑ FK
(1-4)
K =1

Hệ thức (1-4) là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm dưới
tác dụng của một hệ lực.
5. Định luật 3 Newton (Định luật tác dụng và phản tác dụng)
Những lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm là những lực cùng
đường tác dụng, trái chiều và có cùng cường độ.
r
Nếu chất điểm A tác dụng lên chất điểm B lực FB , thì chất điểm B cũng
r
tác dụng lên chất điểm A lực FA và ta có:
r
r
FA = - FB

r
FA

r
FB


A •

Hình 1-1

2

B
•


§2. HỆ ĐƠN VỊ CƠ HỌC
Theo bảng đơn vị SI, các đại lượng cơ bản trong cơ học là: độ dài, khối
lượng và thời gian.
Lực là đại lượng dẫn xuất.
Các đơn vị cơ bản tương ứng là: mét ký hiệu m; kilôgam ký hiệu kg,
giây ký hiệu s. Từ đó suy ra cho đơn vị lực từ phương trình dẫn xuất.
F = ma

Với m = 1kg, a = 1 m/s2, thì F = 1 kg.1m/s2 hay F = 1 mkg/s2
Người ta gọi đơn vị trên của lực là Niutơn, ký hiệu N và:
1N = 1 mkg/s2
Vậy, Niutơn là lực gây ra cho vật có khối lượng một kilôgam gia tốc
một mét trên giây bình phương.
Thứ nguyên của các đại lượng cơ bản được ký hiệu:
[Độ dài] = L, [Khối lượng] = M, [Thời gian] = T
Thứ nguyên của các đại lượng cơ học khác là dẫn xuất từ ba thứ
nguyên của đại lượng cơ bản.
Ví dụ:
[Lực] = [Khối lượng][Gia tốc] = M


3

L
T2


Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
Xét chuyển động của chất điểm tự do, khối lượng m, trong hệ quy
r r
r
r
chiếu quán tính Oxyz, dưới tác dụng của các lực F1 , F2 ,..., Fn , nhận gia tốc a .
r
Lực tác dụng lên chất điểm nói chung là phụ thuộc vào vị trí ( r ), vận
r
tốc ( v ) của nó và thời gian chuyển động (t). Tức là:
r r rr
F = F(r, v, t)

Dưới đây ta sẽ lập phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
trong các dạng tọa độ khác nhau.
1. Dạng véc tơ
Như đã biết trong động học, nếu phương trình chuyển động của chất
r r
điểm là r = r(t) thì gia tốc của nó sẽ là:
r

r d2 r r
a = 2 =&
r&
dt

Theo phương trình cơ bản của động lực học ta có:
r
r
F
=
ma
K
∑
K

r&
m&
r=

Vậy suy ra

r

∑F
K

K

(2-1)


Phương trình (2-1) là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
dưới dạng véctơ.
2. Dạng tọa độ Đề các
Chiếu phương trình (15-1) lên các trục tọa độ Đề các Ox, Oy, Oz ta được:
x&=
m&

∑X

y&=
m&

∑Y

z&=
m&

∑Z

K

K

K

K

(2-2)

K


K

Trong đó x, y, z là tọa độ của chất điểm trong hệ Oxyz. Còn: X K, YK, ZK
r
là các thành phần của lực FK trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Hệ (2-2) là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng
tọa độ Đề các.
3. Dạng tọa độ tự nhiên
Chiếu phương trình (2-1) lên hệ trục tọa độ tự nhiên ta được:

4


maτ =

∑F

man =

∑F

mab =

∑F

K

K


K

Kτ

Kn

Kb

Theo kết quả đã biết trong động học:
s&2
aτ = &
s&, an = , ab ≡ O
ρ
Vì vậy phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ở dạng tọa độ
tự nhiên sẽ là:
&= ∑ FKτ
ms&
K

s&
= ∑ FKn
ρ K
O = ∑ FKb
2

m

(2-3)

K


Hệ (2-3) áp dụng thuận lợi khi biết trước quỹ đạo tuyệt đối của chất điểm.
4. Dạng tọa độ cực
Khi giải các bài toán chuyển động của chất điểm trong mặt phẳng ta có
thể dùng tọa độ cực. Nếu chiếu phương trình cơ bản (1-4) lên trục hướng theo
r
r
bán kính véc tơ r và trục vuông góc với véc tơ r về phía tăng của góc ϕ ta
được:
r& 2
m(r&
− r&ϕ& ) = ∑ FKr
K

(2-4)
m d 2
. (r ϕ&) = ∑ FKϕ
r dt
K
Hệ phương trình (2-4) là phương trình vi phân chuyển động của chất
điểm trong tọa độ cực.
Áp dụng các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ta có thể
giải hai bài toán cơ bản của động lực học chất điểm.
§2. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Bài toán thứ nhất (Bài toán thuận)
Phát biểu
Cho biết chuyển động của chất điểm và khối lượng của nó. Hãy xác
định lực tác dụng lên chất điểm đó.
Cách giải:


5


Bài toán này giải quyết rất dễ dàng bằng cách đạo hàm phương trình
chuyển động với số lần cần thiết, sau đó nhân với khối lượng của chất điểm,
ta sẽ tìm được lực tác dụng lên chất điểm trên cơ sở các phương trình (2-1);
(2-2); (2-3) và (2-4) đã giới thiệu ở trên.
Ví dụ 2-1
Chất điểm có khối lượng m, chuyển động trong mặt phẳng Oxy với
phương trình chuyển động là:
x = acoskt, y = bsinkt
Trong đó a, b, k là các hằng số, còn k là biến số thời gian. Tìm lực tác
dụng lên chất điểm đó? (Hình 2-1).
Bài giải:
Theo bài ra ta thấy phương trình quỹ đạo của chất điểm sẽ là:
y
M
•

y r

F
r
O
r x

x

Hình 2-2


x 2 y2
+ =1
a 2 b2
Đó là một E-líp, có bán trục tương ứng là a, b. Áp dụng phương trình vi
phân chuyển động của chất điểm ở dạng tọa độ Đề các ta có:
&
&= ∑ X K ,my
&
&= ∑ YK
mx
K

K

Trong đó:
x = acoskt thì &
x&= -k 2a cos kt = - k 2 x
y&= −k 2 bsinkt = −k 2 y
y = bsinkt thì &
Vậy:
m&
x&= -mk2acoskt = -mk2x = ∑ X K
K

y&= -mk2bsinkt = -mk2y =
m&

∑Y
K


K

r
Khi đó lực tác dụng lên chất điểm ( F ) sẽ là:
2

2

F =  ∑ X K ÷ +  ∑ YK ÷ = mk 2 x 2 + y 2 = mk 2 r
 K
 K

6


r
Trong đó r là bán kính véc tơ mô tả chuyển động của chất điểm. Cô sin
r
chỉ phương của lực F sẽ là:
r
x
cos F, x = −
F
r
y
cos F, y = −
F
r
r
Suy ra lực F hướng ngược chiều với bán kính véc tơ r . Vậy:

r
r
2
F = -mk r
Ví dụ 2.2:
Chất điểm có khối lượng m chuyển động từ trạng thái đứng yên theo vòng
tròn bán kính R, với gia tốc tiếp tuyến a τ = const = a. Xác định độ lớn của lực

( )
( )

tác dụng lên chất điểm tại thời điểm khi nó đi được một quãng S = R 2 ?
Bài giải:
Áp dụng phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ở dạng tọa
độ tự nhiên:
ma τ = ∑ FKτ
K

ma n = ∑ FKn
K

Trong đó: aτ = a = const. Từ đó xác định được:
∑ FKτ = ma
K

Để xác định

∑F
K


Kn

, ta đi xác định an. Vì chuyển động từ trạng thái đứng

yên và aτ = a = const, nên suy ra:
at 2
V = at, S =
2
Do đó ta có:
v 2 ma 2 t 2
FKn = m =
∑
K
ρ
R
Khi chất điểm đi được quãng đường S = R 2 , thì:
t2 =

2 2R
a

Từ đó:

7


2

 ma 2 2 2R 
2





F =  ∑ FKτ ÷ +  ∑ FKn ÷ = (ma) + 
.
÷ =
 K
  K

R
a


2

2

= (ma 2 ) 1 + (2 2) 2  = 3ma
2. Bài toán thứ hai (Bài toán ngược)
Phát biểu:
Cho biết lực tác dụng lên chất điểm, biết khối lượng và điều kiện ban
đầu của nó. Hãy xác định chuyển động của chất điểm ấy.
Cách giải:
Từ việc phát biểu bài toán ta suy ra rằng: Muốn tìm chuyển động cụ thể
của chất điểm ta phải giải hệ phương trình vi phân chuyển động. Đó là hệ
phương trình vi phân cấp II, ứng với các điều kiện ban đầu cụ thể. Vì vậy việc
giải bài toán còn gặp khó khăn khi tích phân phương trình vi phân cấp hai
tổng quát. Tuy nhiên trong một số trường hợp đơn giản ta có thể giải bài toán
dễ dàng.

Bây giờ, giả sử xét chuyển động của chất điểm trong tọa độ Đề các.
Phương trình vi phân chuyển động của nó là:
&
&= ∑ X K (t, x, y,z, x,
& y,z)
&&
mx
&
&= ∑ YK (t, x, y,z, x,
& y,z)
&&
my
&= ∑ ZK (t, x, y,z, x,
& y,z)
&&
mz&

Đây là hệ ba phương trình vi phân cấp II. Nghiệm của nó phụ thuộc vào
sáu hằng số tích phân: c1, c2, c3, c4, c5, c6. Tức là:
x = x(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
y = y(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
z = z(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
Các hằng số tích phân này sẽ được xác định nhờ những điều kiện đầu
của chuyển động. Chẳng hạn cho biết:
Tại t = 0 thì vị trí của chất điểm là:
x t =0 = x 0 , y t =0 = y 0 , z t =0 = z 0
và vận tốc của chất điểm là:
x&t =0 = x&0 , y&t =0 = y&0 ,z&t =0 = z&0
Do đó ta có:
x0 = x(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)

y0 = y(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
z0 = z(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)

8


x&0 = x&(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
y&0 = y&(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
z&0 = z&(0, c1, c2, c3, c4, c5, c6)
Hệ thống phương trình trên cho ta giải ra sáu hằng số tích phân c 1, c2,
c3, c4, c5, c6 phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu: x 0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 . Thay giá
trị của các hằng số tích phân vào nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
ta tìm được phương trình chuyển động của chất điểm ở dạng:
x = x(t, x0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 )
y = y(t, x0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 )
z = z(t, x0, y0, z0, x&0 , y&0 ,z&0 )
Chú ý rằng: Những điều kiện ban đầu của bài toán phải cho như thế nào
đó sao cho đảm bảo tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.
Trong một số bài toán điều kiện ban đầu cho chưa cụ thể thì ta cần chọn hệ
tọa độ, gốc tọa độ cụ thể sao cho việc tính toán đơn giản nhất.
Ví dụ 2-3:
Một chất điểm có khối lượng m, chuyển động trong mặt phẳng dưới tác
r
r
r
r
dụng của lực F hút vào tâm O cố định theo luật F = - k2m r , trong đó r là véc
tơ định vị của chất điểm và k là hệ số tỷ lệ. Tìm phương trình chuyển động và
quỹ đạo của nó biết rằng tại thời điểm ban đầu (t = 0) thì x 0 = l, y0 = 0, x&0 = 0,
y&0 = V0.

Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại tâm O cố định. Theo bài ra:
r
r
2
F= - k m r
Nên phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ở dạng véc tơ:
r
r&
m&
r = - k2 m r
y
ur
M V0
y r •
F
r x
O r
M0

Hình 2-3

9

x


Chiếu phương trình trên lên hai trục Ox, Oy ta có:
&
&= −k 2 mx,my

&
&= −k 2 my
mx
Hoặc:

y&+ k 2 y = 0
&
x&+  k 2 x = 0 , &

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân trên là:
x = c1coskt + c2sinkt
y = c3coskt + c4sinkt
Trong đó c1, c2, c3, c4 là các hằng số tích phân. Ta xác định chúng từ các
điều kiện ban đầu. Theo bài ra tại t = 0 thì x 0 = l, y0 = 0, x&0 = 0, y&0 = V0 nên ta
có:
Và

l = x 0 = c1 ,
0 = x&0 = kc2 ,

0 = y0 = c3
V0 = y&0 = kc4

V0
k
Vậy phương trình chuyển động của chất điểm sẽ là:
Từ đó xác định được: c1 = l, c2 = 0, c3 = 0, c4 =

V0
sinkt

k
Quỹ đạo của nó là Elíp có phương trình sau:
x = lcoskt

,

y=

x 2 k 2 y2
+ 2 =1
l2
V0
Ví dụ 2-4
Một chất điểm có khối lượng m được ném thẳng đứng lên trên từ mặt
đất, với vận tốc ban đầu V0, chuyển động dưới tác dụng của lực hút quả đất
theo định luật vạn vật hấp dẫn. Xác định sự phụ thuộc vận tốc của điểm vào
khoảng cách từ nó đến tâm quả đất
Bài giải:
Chọn trục Ox hướng theo quỹ đạo thẳng của chất điểm; Gốc tọa độ O ở
tâm quả đất (Hình 2-3).
r
Theo bài ra, lực hút của quả đất F đặt lên chất điểm có độ lớn là:
F=

k
x2

Hằng số k có thể biểu diễn qua các đại lượng khác nhau. Trong trường
riêng như đã biết thì k = mµM. Với µ là hằng số hấp dẫn vũ trụ M là khối
lượng của quả đất.


10


•

M

r
F

x

O

R

Hình 2-4

Ở bài toán ta xét, hệ số k được xác định khi chất điểm nằm trên mặt đất,
tức là:
x = R thì F = P = mg
Từ đó suy ra: k = mgR2
Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trên trục Ox là:
mgR 2
&
&= − 2
mx
x
Với điều kiện ban đầu: Tại k = 0 thì x0 = R, x&0 = V0

Để giải phương trình vi phân trên ta chú ý đến phép biến đổi sau:
d 2 x dV dx
dV
&
x&= 2 =
. =V
[ 0,1]
dt
dx dt
dx
Vậy phương trình vi phân trên có dạng:
dV
gR 2
V.
=− 2
dx
x
dx
hay
V.dV = −gR 2 2
x
Khi x = R thì V = V0, còn khi x = x(t) thì V = V(t)
nên:
V
2 x dx
∫V V.dV = −gR ∫R x 2
V 2 V02
1 1 
−
= gR 2  − ÷

hay là:
2
2
x R
0

1 1 
V02 + 2gR 2  − ÷
x R
Rõ ràng khi V = 0 thì chất điểm sẽ đạt được một khoảng cách xa nhất
xmax phụ thuộc vào vận tốc ban đầu V0, ta có:
Suy ra:

V=

11


x max

2gR 2
=
2gR − V02

2
Từ đó, nếu 2gR - V0 → 0 thì xmax → ∞. Vậy khi chất điểm được ném
lên từ mặt đất với vận tốc giới hạn (Vgh):

Vgh =


2gR

thì sẽ không trở về mặt đất nữa: Bây giờ nếu lấy g ≈ = 9,8m/s2, R =
6,4.106m thì Vgh = 11,2km/s. Vận tốc Vgh = 11,2km/s gọi là vận tốc vũ trụ cấp II
Ví dụ 2-5
Một chất điểm có khối lượng m được ném lên từ mặt đất với vận tốc
ur
V 0 lập với phương ngang góc α. Bỏ qua sức cản của không khí. Xác định
chuyển động của chất điểm? Biện luận tầm xa nhất và độ cao nhất?
Bài giải:
y

ymax

r
r

ur
V0
α

M
u
r
P

O

xmax


Hình 2-5
u
r

Chất điểm chỉ chịu tác dụng của trọng lực P , vì thế phương trình vi
phân chuyển động của nó ở dạng véc tơ là:
r
r
r
d2 r u
m 2 = P = mg
dt
r
r&
&
hay:
r =g
(1)
Ta chọn gốc O tại vị trí xuất phát của chất điểm, nên điều kiện ban đầu
của bài toán là:
r
r ur
Tại t = 0, thì r 0 = 0 và r&= V 0
0

Từ phương trình (1) ta có:
Tích phân lên ta được:

ur r
dV = g dt

ur r
ur
V = gk + C1

12


ur

Để xác định hằng véc tơ C1 , ta dựa vào điều kiện ban đầu: t = 0 thì:
ur
ur r
ur
V t =0 = V 0 = g.0 + C1
ur

ur

Suy ra C1 = V 0 . Do đó biểu thức vận tốc của chất điểm là:
ur r ur
V = gt + V 0
(2)
Tích phân tiếp (2) ta có:
r r k 2 ur
ur
r = g + V 0t + C2
2
ur
Dựa vào điều kiện ban đầu xác định được C2 = 0, nên luật chuyển động
của chất điểm biểu thị ở dạng véctơ là:

r r t 2 ur
r = g + V0t
(3)
2
Từ (2) và (3) ta kết luận được: Chất điểm luôn chuyển động trong mặt
phẳng thẳng đứng. Chọn hệ trục Oxy thuộc mặt phẳng quỹ đạo, trục Ox nằm
ngang, trục Oy thẳng đứng (Hình 2-4). Khi đó:
r r r
r = xi + y j
r
r
g = −g j
ur
r
r
V 0 = V0 cos αi + V0 sin α j
Thay vào phương trình (3) ta suy ra:
 x = (V0 cos α).t

(4)

gt 2
 y = (V0 sin α)t − 2
Khử t ở hệ phương trình (4) ta được phương trình quỹ đạo:
g
y = xtgα −
x2
2
2
2V0 cos α

Vậy quỹ đạo của chất điểm là một parabôn có trục đối xứng song song
với trục Oy.
Bây giờ ta xét tầm xa nhất và độ cao nhất. Ứng với các giá trị V 0 và α
cho trước tầm xa nhất của chất điểm đạt được (khi y = 0) sẽ là:
V02 sin 2α
x max =
g
Nếu cho trước giá trị V0 thì với α = 450 chất điểm sẽ có tầm xa cực đại:
V02
Lmax=xmax =
g

13


Độ cao nhất của chất điểm ứng với V 0 và α cho trước đạt được tại
x=

x max
sẽ bằng:
2
V02 sin 2 α
ymax =
2g
Nếu cho trước giá trị V0 thì với α = 900 chất điểm sẽ đạt tới độ cao cực đại.
V02
Hmax= ymax =
2g
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ


Khảo sát chuyển động của một cơ hệ gồm m chất điểm. Để thiết lập
phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, ta dựa vào phương trình cơ bản
của động lực học chất điểm và lập cho từng chất điểm thuộc hệ.
Vì lực tác dụng lên từng chất điểm thuộc hệ có các cách phân chia khác
nhau, nên dạng phương trình vi phân chuyển động của hệ cũng khác nhau.
1) Nếu phân tích lực tác dụng lên cơ hệ thành nội lực và ngoại lực. Ta
gọi hợp lực của các ngoại lực và của các nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k
re
ri
(Mk) thuộc hệ là FK và FK , thì phương trình vi phân chuyển động của MK là:
r
re ri
m K a K = FK + FK
Cho k đi từ 1 đến n, ta được phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ:
r
re ri
m K a K = FK + FK k = 1, 2, …, n
Hay có thể viết:

r r r
m a1 = F1e + F1i
 1 r re ri
m a 2 = F2 + F2
(2-5)
 2
............
 r re ri
m n a n = Fn + Fn
2) Nếu phân lực tác dụng lên cơ hệ thành lực hoạt động và phản lực
liên kết. Ta gọi hợp lực của các lực hoạt động và hợp lực của các phản lực liên

ur
ra
kết tác dụng lên chất điểm thứ k(M K) của hệ là FK và N K , thì phương trình vi
phân chuyển động của nó là:
r
r a ur
m K a K = FK + N K
Lấy k = 1, 2,…, n ta được phương trình vi phân của hệ:

14


r r ur
m a1 = F1a + N1
 1 r r a ur
m a 2 = F2 + N 2
(2-6)
 2
............

 r r a ur
m n a n = Fn + N n
Vì chưa có phương pháp tổng quát để giải tìm nghiệm của hệ phương
trình vi phân (2-5) và (2-6), hơn nữa trong thực tế nhiều trường hợp cũng
không cần thiết phải biết chuyển động của từng chất điểm của hệ, nên khi
giải các bài toán động lực học cơ hệ, thường người ta không tích phân trực
tiếp phương trình vi phân chuyển động của hệ mà đi tìm các tích phân đầu
của chúng.
HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG


Chương 3

§1. KHỐI TÂM CỦA HỆ
Cho hệ chất điểm M1, M2,…, Mn có khối lượng tương ứng là m 1, m2,…,
r r
r
mn và có vị trí được xác định bởi các véctơ định vị r1 ,r 2 ,...,r n (Hình 3.1)
z

M1 C
×
+
r
r1

r
rc r
r2

M
+ 2

O

y

x

Hình 3-6


Khối tâm của hệ là một điểm hình học C được xác định bưởi công thức:
r
m
r ∑ K rK
(3-1)
rc = K
M
r
Trong đó mK, r K là khối lượng và véc tơ định vị của chất điểm thứ K thuộc hệ.
M là khối lượng của toàn hệ: M = ∑ m K
K

Chiếu đẳng thức (4.1) lên ba trục tọa độ ta có:
15



∑ mK x K
x C = K
M


mK yK
∑

K
(3-2)
 yC =
M


mK zK

∑
K
zC =
M


Trong đó xK, yK, zK là tọa độ của chất điểm thứ K thuộc hệ
Nếu hệ khảo sát là vật rắn ở trên mặt đất thì vị trí khối tâm của vật
trùng với vị trí trọng tâm của nó. Thật vậy, trong công thức trên, nếu ta nhân
cả tử và mẫu số với gia tốc trọng trường g thì ta được công thức xác định
trọng trường đã biết trong tĩnh học. Chú ý rằng khái niệm khối tâm tổng quát
hơn khái niệm trọng tâm rất nhiều. Khối tâm luôn luôn tồn tại, còn trọng tâm
của vật chỉ tồn tại trong trường trọng lực mà thôi.
Nếu hệ gồm nhiều vật rắn thì trong công thức xác định vị trí của khối
r
tâm (3-1), (3-2) ta coi r K ; xK, yK, zK; mK tương ứng là bán kính véc tơ định vị,
tọa độ của khối tâm và khối lượng của vật thể thứ K thuộc hệ vật.
Thí dụ 1:
Cho cơ cấu thước vẽ elip gồm hai con chạy A, B và trọng lượng Q, tay
quay OC có trọng lượng P và thước AB có trọng lượng 2P (Hình 3.2). Cho
biết OC = AC = BC = l. Coi cơ cấu là đồng nhất. Hãy xác định tọa độ khối
tâm của cơ cấu theo góc α.
Bài giải
Hệ khảo sát gồm có 4 vật rắn: Thanh AB, thanh OC, con chạy A và con
chạy B. Khối lượng và khối tâm được xác định lần lượt như sau:
y
A•
C

O
///////

ϕ

B

•

Hình 3-7

16

x


l

x
=
cos ϕ
2

2
 x = lcos ϕ
2P
C
m1 =
C1  1
P 2 

l
g
 y1 = lsin ϕ m 2 = g ;  y 2 = sin ϕ

2
;
;
m3 = m 4 =

x 3 = 0
 x 4 = 2lcos ϕ
Q
; C3 
; C4 
g
 y4 = 0
 y3 = 2lsin ϕ

Theo công thức (3-2) ta tìm được tọa độ khối tâm C của cơ cấu elíp:
m x + m 2 x 2 + m3 x 3 + m 4 x 4 5P + 4Q l
xC = 1 1
=
. .cos ϕ
m1 + m 2 + m 3 + m 4
3P + 2Q 2
yC =

m1y1 + m 2 y 2 + m 3 y3 + m 4 y 4 5P + 4Q l
=
. .sin ϕ

m1 + m 2 + m 3 + m 4
3P + 2Q 2
§2. MÔ MEN QUÁN TÍNH

1. Định nghĩa
Mô men quán tính của cơ hệ đối với trục z, ký hiệu J z, là tổng các tích
khối lượng mK của mỗi chất điểm thuộc hệ với bình phương khoảng cách d K
từ chất điểm đến trục:
2
Jz = ∑ m K .d K
(3.3)
K

Mô men quán tính của cơ hệ đối với điểm O, ký hiệu Jo, là tổng các tích khối
lượng mK của mỗi chất điểm thuộc hệ với bình phương khoảng cách rK từ chất
điểm ấy tới O:
J o = ∑ m K rK2
(3.4)
K

Đơn vị đo mô men quán tính: kgm2
Thứ nguyên của mô men quán tính:
[J] = ML2
Lấy hệ tọa độ Oxyz, khi đó chất điểm thứ K có khối lượng m K, có tọa
độ xK, yK, zK thì mô men quán tính của cơ hệ đối với các trục tọa độ là:
J = m (y 2 + z 2 )
K
K
K
 x ∑

K

2
2
(3.5)
J y = ∑ m K (z K + x K )
K

J z = ∑ m K (x K2 + y K2 )

K
17


Và mô men quán tính đối với tâm O (gốc tọa độ) sẽ là:
J o = ∑ m K (x K2 + y K2 + z K2 )
(3.6)
K

Từ (3.5) và (3.6) ta suy ra mối liên hệ:
Jx + Jy + Jz = 2Jo
(3.7)
(3.7) là mối liên hệ giữa mô men quán tính của hệ đối với trục tọa độ và gốc
tọa độ.
Trong kỹ thuật, mô men quán tính của vật đối với trục thường được
biểu thị bằng tích khối lượng của toàn vật với bình phương một độ dài, ký
hiệu là ρ.
J z = Mρz2
(3.8)
Đại lượng ρz được gọi là bán kính quán tính của vật (hệ) đối với trục z,

được đo bằng độ dài.
Chú ý rằng các công thức trên biểu diễn mô men quán tính của hệ gồm
nhiều chất điểm rời rạc. Nếu hệ là vật rắn thì các công thức trên sẽ thay thế
tổng bằng tích phân.
2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất đơn giản
a) Thanh đồng chất:
Tính mô men quán tính của thanh mỏng AB đồng chất, dài l, khối
lượng M, đối với trục Ay vuông góc với thanh và đi qua đầu A của thanh
(Hình 3.3).
y

B

A

x
xK
∆xK

Hình 3-8

Muốn vậy ta chia thanh ra nhiều phần tử
Xét một phần tử cách trục Ay một đoạn xK và độ dài ∆xK. Khối lượng
của nó là mK mà:
M
mK = γ∆ xK, trong đó γ =
l
Theo định nghĩa ta có:

18



M
.∆x K .x K2
K
1
l
lM
l2
Ml 2
J Ay = ∫0 x 2dx = M.
vậy J Ay =
(1)
l
3
3
b) Tâm chữ nhật đồng chất:
Cho tâm chữ nhật đồng chất khối lượng M, dài là a, rộng là b. Tính mô men
quán tính của tâm đối với hai trục Ax, Ay đi qua hai cạnh của tâm (Hình 3. 4)
∞

J Ay = ∑ m K x K2 = ∑

y

a
b

∆xK
A


xK

x

Hình 3-9

Để tính JAy ta chia tấm ra những dải yếu tố song song với trục Ay có độ
rộng ∆xK, cách trục y một đoạn là xK. Khối lượng của dải sẽ là:
M
m K = .∆x K
a
Theo (3.3) ta có:
a M
J M
Ma 2
J Ay = ∑ m K x K2 =
∆x K x K2 = ∫0 x 2 .dx =
K
K a
a
3
2
Ma
Vậy: J Ay =
(2)
3
Mb 2
Tương tự: J Ax =
3

c) Vòng tròn đồng chất:
Cho vòng tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R. Tìm mô men quán
tính của vòng tròn đối với trục z đi qua tâm C của vòng tròn và vuông góc với
mặt phẳng của nó (Hình 3.5). Áp dụng công thức (3.3) ta có:
J y = ∑ m K rK2 = ∑ m K R 2 = MR 2
K

K

2

Vậy
Jcz = MR
(3)
Công thức (3) còn dùng để tính mô men quán tính của vỏ trụ đối với
trục của nó.

19


z

R

C •

Hình 3-10

d) Tấm tròn đồng chất:
y


C
x
∆rK

Hình 3-11

Cho tấm tròn đồng chất có khối lượng M bán kính R. Tính mô men quán
tính của tấm đối với trục đi qua tâm của nó và vuông góc với tấm (Hình 3.6)
Muốn vậy ta chia tấm ra các dải tròn đồng tâm, mỗi dải có bán kính r K,
M
.2πrK.∆RK.
πR 2
Mô men quán tính ∆Jcz của dải đó đối với trục cz tính theo công thức

độ rộng là ∆rK, khối lượng mK =
(3) là:

∆Jcz = m K rK2 =

M
.2πrK .∆rK .rK2
2
πR

Suy ra:
M
1
3
.2

π
r
.dr
=
MR 2 (4). Công thức (4) dùng để tính mô
2
πR
2
men quán tính của khối trụ đồng chất đối với trục của nó
R

J cz = ∫0

20


3. Định lý Huyghen (Định lý chuyển trục)
Mô men quán tính của vật đối với trục z 1 vào đó bằng tổng mô men
quán tính của nó đối với trục z đi qua khối tâm của vật và song song với z 1 và
tính khối lượng của vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục ấy:
Jz1 = Jcz + Md2
(3.9)
Chứng minh:
Theo định nghĩa ta có:
J z = ∑ m K rK'2
K
(1)
Kẻ trục Cz song song với z1 và đi qua khối tâm của vật. Gọi khoảng
cách giữa hai trục là d. Xét tam giác MKAB (Hình 3.7) ta có:
rK'2 = rK2 + d 2 − 2drK cos α K

1

z1

z
B αK
rK

d┑
A

r'K

MK

C

yK y

xK
x

Hình 3-12

Gọi tọa độ của MK là xK, yK, zK
ta có: xK = rKcosαK, do đó:
rK'2 = rK2 + d 2 − 2dx K
Thay vào công thức (1) ta có:
J z = ∑ m K (rK2 + d 2 − 2d.x K ) = ∑ m K rK2 + ∑ m K d 2 − 2∑ m K .d.x K
1


Vì:

K

∑m
K

K

r = J cz ;

2
K K

∑m
K

K

K

K

(2)

d 2 = Md 2

−2∑ m K .d.x K = −2d ∑ m K .x K = −2d.Mx C = 0 vì C là gốc tọa độ, cho nên
K

K
xC = 0
Thay các kết quả trên vào (2) ta có:
J z = J cz + Md 2
1

21


4. Tính mô men quán tính của vật đối với trục đi qua một điểm và
có hướng cho trước. Mô men tính quán tính
Cho điểm O và trục L đi qua O. Lấy O làm gốc tọa độ của hệ trục tọa độ
đề các vuông góc. Hướng của trục L được xác định bằng ba góc chỉ phương là
α, β, γ (Hình 3.8). Hãy xác định mô men quán tính của vật đối với trục L.
z

L
H
K

γ
β

O
xK

α

•M


K

z

y
K

AK

K

y

BK

x

Hình 3-13

Gọi khoảng cách từ chất điểm M K bất kỳ thuộc vật đến trục L là h K =
MKHK.
Theo định nghĩa, mô men quán tính của vật đối với trục L sẽ là:
J L = ∑ m K h K2
(1)
K

Từ tam giác vuông OMKHK ta có:
h 2K = OM 2K − OH 2K

(2)


OM 2K = x 2K + y 2K + z K2
Trong đó:
(3)
Còn OHK là hình chiếu của đoạn OMK lên trục L; mặt khác ta có:
uuuu
r
uuur
uuuur
uuuuu
r
OM K = OA K + A K BK + BK M K
Chiếu đẳng thức này lên trục L ta có:
OHK = xKcosα + yKcosβ + zKcosγ
(4)
Thay (3) vào (4) vào (2) ta có:
h 2K = x 2K + y 2K + z 2K − (x K cos α + y K cos β + z K cos γ ) 2
= x 2K (1 − cos 2 α) + y 2K (1 − cos 2 β) + z 2K (1 − cos 2 γ )
− 2x K y K cos α cos β − 2x K z K cos α cos γ − 2y K z K cos β cos γ
Chú ý rằng cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , ta có:

22


h 2K = x 2K (cos 2 β + cos 2 γ ) + y 2K (cos 2 α + cos 2 γ ) + z 2K (cos 2 α + cos 2 β)
− 2x K y K cos α cos β − 2y K z K cos β cos γ − 2x K z K cos α cos γ =
h 2K = (y 2K + z K2 )cos 2 α + (y 2K + x 2K )cos 2 γ + (x 2K + z 2K )cos 2 β −
− 2x K y K cos α cos β − 2y K z K cos β cos γ − 2x K z K cos α cos γ
Thay giá trị này vào (1) ta có:
J L = ∑ m K h K2 = cos 2 α ∑ m K (y 2K + z 2K ) + cos 2 β∑ m K (x K2 + z 2K ) +

K

K

K

+ cos γ ∑ m K (x + y ) − 2cos β cos γ ∑ m K y K z K −
2

2
K

K

2
K

K

− 2cos α cos β∑ m K x K y K − 2cos α cos γ ∑ m K x K z K
K

K

hoặc:
J L = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ − 2J xy cos α cos β −
− 2J yz cos β cos γ − 2J zx cos α cos γ

(3.10)


Trong đó:
J x = ∑ m K (y K2 + z K2 )
K

J y = ∑ m K (x K2 + z K2 )
K

J z = ∑ m K (x K2 + y K2 )
K

là những mô men quán tính của vật đối với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
Và
J = m y x = J
K K K
yx
 xy ∑
K

(3.11)
J yz = ∑ m K y K z K = J zy
K

J zx = ∑ m K x K z K = J xz

K
Gọi là những mô men tích quán tính (hay còn gọi là những mô men
quán tính ly tâm) của vật trong hệ tọa độ Oxyz.
Từ (3.10) suy ra rằng có thể tính mô men quán tính của vật đối với một
trục bất kỳ nếu biết 6 đại lượng: Ba mô men quán tính của vật đối với các trục
tọa độ và ba mô men quán tính ly tâm của vật trong hệ tọa độ ấy.

5. Trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm
Trục Oz mà đối với nó các mô men tích quán tính J yz và Jxz bằng không
(Jyz = 0 và Jxz = 0) được gọi là trục quán tính chính của vật tại điểm O.
Người ta đã chứng minh rằng: Tại mỗi điểm của vật có ba trục quán
tính chính vuông góc với nhau.

23


Các trục quán tính chính của vật tại khối tâm của nó được gọi là các
trục quán tính chính trung tâm.
Mô men quán tính của vật đối với trục quán tính chính được gọi là mô
men quán tính chính.
Mô men quán tính của vật đối với trục quán tính chính trung tâm được
gọi là mô men quán tính chính trung tâm.
Bây giờ ta khảo sát tính chất của trục quán tính chính và trục quán tính
chính trung tâm:
Giả sử trục Cz là trục quán tính chính trung tâm (Hình 3.9) và trục Oz
là trục quán tính chính tại điểm, tùy ý O (Hình 3.10).
z z1
O1

O1

y1

y1
d

d

C

O

x1

y

x1

y

x

X

Hình 3-14

Hình 3-15

Vì các trục đó là các trục quán tính chính nên ta có:

Jyz = 0
Jxz = 0
Lấy trên trục tọa độ đó điểm O1 tùy ý (CO1 = d và OO1 = d) và kẻ qua
O1 các trục x1//x, y1//y. Trục z1 lấy trùng với trục z. Giữa tọa độ của điểm
trong hệ xyz và x1y1z1 có hệ thức:
x1 = x
y1 = y
z1 = z - d

Ta có các mô men tích quán tính sau:
J y z = ∑ m k y1k z1k = ∑ m k y k (z k − d) = −∑ m k y k d
1 1

(Vì

k

∑m
k

k

k

k

y k z k = J yz = 0 )

Theo (3.2) thì:

24