công thuc toan' hoc
toan hoc


MỤC LỤC

i

Mục lục
1

2

3

3.9

Số học

1

1.1

1

Ghi Số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo . . .

7

3.10 Đẳng thức Tích vô hạn . . . . . . . . .

7

3.11 Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.12 Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Đại Số

1

3.13 Đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . .

8

2.1

Số đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3.13.1 Đẳng thức lượng giác cơ bản . .

8


2.2

Phép Toán Đại Số . . . . . . . . . . . .

1

2.3

Toán Số Nguyên . . . . . . . . . . . . .

1

3.13.2 Đẳng thức lượng giác Tuần
hoàn, đối xứng và tịnh tiến . .

8

2.4

Toán Phân Số . . . . . . . . . . . . . .

2

3.13.3 Đẳng thức Pytago . . . . . . . .

8

2.5

Toán Số Phức . . . . . . . . . . . . . .


2

3.13.4 Đẳng thức Tổng và hiệu của góc

8

2.6

Toán Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . .

2

3.13.5 Công thức hạ bậc . . . . . . . .

9

2.7

Toán Căn . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.13.6 Công thức góc chia đôi . . . . .

9

2.8

Toán Log . . . . . . . . . . . . . . . . .


3

3.13.7 Đẳng thức Biến tích thành tổng

9

2.9

Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.13.8 Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

9

3.13.9 Đẳng thức Dạng số phức . . . .

10

Lượng Giác

3

3.13.10 Đẳng thức Tích vô hạn . . . . .

10

3.1


Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.13.11 Đẳng thức Giải tích . . . . . . .

10

3.2

Các hàm số lượng giác cơ bản . . . . .

3

3.13.12 Đẳng thức ường Dùng . . . .

10

3.3

Phép Toán Lượng Giác . . . . . . . . .

3

3.13.13 Đẳng thức góc bội . . . . . . .

11

3.3.1


Đẳng thức lượng giác cơ bản . .

3

3.13.14 Các Hàm lượng giác nghịch đảo

11

3.3.2

Đẳng thức lượng giác Tuần
hoàn, đối xứng và tịnh tiến . .

3 4

Giải Tí

11

3.3.3

Đẳng thức Pytago . . . . . . . .

4

4.1

Phép Toán Giải Tích . . . . . . . . . . .


11

3.3.4

Đẳng thức Tổng và hiệu của góc

4

4.2

Toán Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . .

11

Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . .

4

4.2.1

Công ức Toán Đạo Hàm . . .

11

3.4.1

Đẳng thức Biến tích thành tổng

4


4.2.2

Hoán Chuyển Đạo Hàm . . . .

12

3.4.2

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

4

3.4.3

Đẳng thức Tích vô hạn . . . . .

4

3.4.4

Đẳng thức Giải tích . . . . . . .

5

3.4.5

Đạo Hàm Lượng Giác Cơ Bản .

5 6


3.4.6

Tổng Hai Góc . . . . . . . . . .

5

3.4.7

Hiệu Hai Góc . . . . . . . . . .

5

3.4.8

Tổng Hai Hàm . . . . . . . . .

5

3.4.9

Hiệu Hai Hàm . . . . . . . . . .

5

3.4.10 Đẳng thức góc bội . . . . . . .

5

Các Hàm lượng giác nghịch đảo . . . .


6

3.5.1

Chuổi Số . . . . . . . . . . . . .

6

3.5.2

Tích Phân . . . . . . . . . . . .

6

3.5.3

Số Phức . . . . . . . . . . . . .

6

3.6

Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . .

6

3.7

Công thức góc chia đôi . . . . . . . . .


7

3.8

Đẳng thức Biến tích thành tổng . . . .

7

3.4

3.5

5

Phép Toán Tí Phân
5.0.3

Công thức tích phân . . . . . .

12
12

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép o văn
bản và hình ảnh
25
6.1

Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25


6.2

Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

6.3

Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . .

25


2.4

Toán Phân Số

1

Số học

1.1

Ghi Số

Số học là môn học về số và các phép tính về số. Số
là cách thức con người ghi lại số lượng các đối tượng
như công cụ sản xuất, súc vật chăn nuôi… Các dân
tộc khác nhau có cách kí hiệu khác nhau , mỗi kí hiệu

thường được gọi là một chữ số, hay một con số, ngày
nay thường được gọi là ký số. Người ta ghép các chữ
số khác nhau vào theo những quy ước nhất định để tạo
thành các số . Ngày nay còn lại phổ biến là cách ghi số
của:
1. Người Arập gọi là Số Ả Rập (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9),

1

2.4 Toán Phân Số
1. 1/ ab =

b
a

2.

a
b

+c=

a+bc
b

3.

a
b


−c=

a−bc
b

4.

a
b

×c=

ac
b

5.

a
b /c

ab
c

=

6. c +

a
b


=

a+bc
b

7. c −

a
b

=

a−bc
b

8. c ×

a
b

=

ac
b

9. c/ ab =

bc
a


2. Người La-mã được gọi là Số La Mã (I, V, X, L, C, D,
M),

10.

a
b

+

c
d

=

ad+bc
bd

3. Và nhiều cách ghi số khác.

11.

a
b

−

c
d


=

ad−bc
bd

12.

a
b

×

c
d

=

ac
bd

13.

a c
b /d

2

Đại Số


2.1

Số đại số

=

ad
bc

2.5 Toán Số Phức
1. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

2.2

Phép Toán Đại Số

2. (a + ib) − (c + id) = (a + c) − i(b + d)
3. (a + ib)x(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
4.

2.3

Toán Số Nguyên

(a+ib)
(c+id)

=

(a+ib)(c+id)

(c+id)(c+id)

=

(ac−bd)+i(ad+bc)
(c+id2 )

5. |Z1 |∠θ1 + |Z2 |∠θ2 =

1. a + 0 = a

6. |Z1 |∠θ1 − |Z2 |∠θ2 =

2. a − 0 = a

7. |Z1 |∠θ1 × |Z2 |∠θ2 = Z1 × Z2 ∠(θ1 + θ2 )

3. a × 0 = 0

8. |Z1 |∠θ1 /|Z2 |∠θ2 =

4. a/0 = 00

9. (a + ib) + (a − ib) = 2a

Z1
Z2 ∠(θ1

− θ2 )


5. a + (−a) = 0

10. (a + ib) − (a − ib) = i2b

6. a − (−a) = 2a

11. (a + ib) × (a − ib) = a2 − b2

7. a × (−a) = −a2
8. a/(−a) = −1
9. a + a = 2a

12.

(a+ib)
(a−ib)

=

(a2 −b2 )
(a−ib)2

1. j + j = 2j

10. a − a = 0

2. j + (−j) = 0

11. a × a = a2


3. j − j = 0

12. a/a = 1

4. −j − j = −2j

13. a + b = b + a

5. j × j = j 2

14. a + b + c = (a + b) + c = (a + b) + c

6. −j × (−j) = −j 2


2

2 ĐẠI SỐ
7.

j
j

8.

j
−j

2.7 Toán Căn


=1
= −1

1.

√
−1

2.

9. j =

3.

10. j = 1
2

√
√
√
√

0=0
1=1
−1 = j

10.

a = a½
√

√
√
a a = a2 × a = a3
√
√
an = a a( n − 2)
√
m
( an )m = a n
√√
√
m n
a = mn a
√
√ √
ab = a b
√
√a
√a
b =
b

1. a0 = 1

11.

√
n a

2. a1 = a


12. j =

4.

11. j 3 = −i

5.

12. j 4 = 1

6.

13. j n = 1 . n = 2m

7.
8.

14. j n = j . n = 2m + 1

9.

2.6

Toán Lũy thừa

3. a−1 =

1
a


4. a−n =

1
an

b

=

√
n a
√
n
b

√
−1
√
√
13. j 2 = −1 −1 = 1
√ √ √
14. j 3 = −1 −1 −1 = j
√ √ √ √
15. j 4 = −1 −1 −1 −1 = 1

5. (an )m = am n
6. (−a)n = an Với n = 2m .

2.8 Toán Log


7. (−a)n = −an . Với n = 2m + 1

Nếu b > 0 with b <> 1 , Vậy cho mọi số thực y,a,c

8. am /an = am−n

1. logb (y a ) = a logb (y)

9. (am )n = amn

2. logb (ba ) = a

10. am + an = am (1 + an − m)
11. a − a = a (1 − a − m
m

n

m

3. logb (ac) = logb (a) + logb (c)
4. logb (a/c) = logb (a) − logb (c)

n

5. logb (a) =

12. a × a = a
m


n

m+n

( a )m
b

=

for any d > 0, d <> 1

2.9 Hàm số

13. (ab)m = am × bm
14.

logd (a)
logd (b)

am
bm

15. (a + b)n = (a + b) × (a + b) · · · × (a + b)

Hàm số đại số là một biểu thức đại số dùng để mô tả
tương quan giữa hai đại lượng. Hàm số đại số có ký hiệu
toán

n


16. (a − b)n = (a − b) × (a − b) · · · × (a − b)
n

f (x) = x
Với

1. a2 − b2 = (a − b)(a + b)
2. a2 + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 − 2ab

x

3. a2 + b2 = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 + 2ab

f (x)


3.4

Công thức hạ bậc

Loại hàm số

Hàm số đặc biệt

3
3.3.3 Đẳng thức Pytago
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn
vị:
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

a sin x + b cos x =

3
3.1

Lượng Giác

√
a2 + b2 · sin(x + φ)

với
{

Góc
φ=

arctan(b/a),
π + arctan(b/a),

n´ˆeu a ≥ 0;
n´ˆeu a < 0.

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo một Góc
giửa hai đường thẳng . Ký hiệu Góc là ∠A . Góc đo
bằng đơn vị Độ o . Cho thí dụ ∠A = 300
3.3.4 Đẳng thức Tổng và hiệu của góc
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng
công thức Euler.

3.2


Các hàm số lượng giác cơ bản

Cho biết tương quan giửa Cạnh và Góc trong tam giác sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)
vuông
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)
tan(x) ± tan(y)
tan(x ± y) =
1 ∓ tan(x) tan(y)
cıs(x + y) = cıs(x) cıs(y)
3.3 Phép Toán Lượng Giác
cıs(x)
cıs(x − y) =
cıs(y)
3.3.1 Đẳng thức lượng giác cơ bản
với
Cos(x)
Sin(x)
1
Sec(x) =
cos(x)
1
CoSec(x) =
sin(x)
sin(x)
T an(x) =
cos(x)
cos(x)
Cotan(x) =
sin(x)

3.3.2

cıs(x) = eıx = cos(x) + ı sin(x)
và

ı=

√
−1.

3.4 Công thức hạ bậc
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2 (x) và
sin2 (x), thu được:

Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng
và tịnh tiến

1 + cos(2x)
2
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn
1
−
cos(2x)
vị:
sin2 (x) =
2
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:
1 − cos(4x)
2
2

sin (x) cos 2(x) =
4
√
23
sin
2(x)
−
sin(3x)
a sin x + b cos x = a2 + b2 · sin(x + φ)
sin3 (x) =
4
với
32 cos(x) + cos(3x)
3
cos (x) =
4
{
Cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) Sin(3x) = −4sin^3(x) +
ˆeu a ≥ 0;
arctan(b/a),
n´
φ=
3sin(x)
ˆeu a < 0.
π + arctan(b/a),
n´
cos2 (x) =


4


3

3.4.1

Đẳng thức Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy
ra.

cos (x) cos (y) =

cos (x + y) + cos (x − y)
2

cos (x − y) − cos (x + y)
2
sin (x − y) + sin (x + y)
sin (x) cos (y) =
2
sin (x) sin (y) =

cosh x =

n=1

)

(x)
sin x

=
cos n
x
2
n=1
1. Đẳng thức số
3.4.4 Đẳng thức Giải tích
Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng
radian

lim

x→0

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

x2
1+ 2
π (n − 21 )2

∞
∏

1. Đẳng thức Biển tổng thành tích
3.4.2

∞ (
∏

LƯỢNG GIÁC


sin(x)
= 1,
x

1 − cos(x)
= 0,
x→0
x
d
sin(x) = cos(x)
dx
lim

arcsin(x) + arccos(x) = π/2
arctan(x) + arccot(x) = π/2.
{
ˆeu x > 0
π/2, n´
arctan(x) + arctan(1/x) =
.
ˆeu x < 0
−π/2, n´
(
)
x+y
arctan(x) + arctan(y) = arctan
1 − xy
(
)

x−y
arctan(x) − arctan(y) = arctan
1 + xy
√
sin(arccos(x)) = 1 − x2
√
cos(arcsin(x)) = 1 − x2
x
sin(arctan(x)) = √
1 + x2

3.4.5 Đạo Hàm Lượng Giác Cơ Bản
Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc
của đạo hàm:
d
cos(x) = − sin(x)
dx

d
tan(x) = sec2 (x)
dx
d
cot(x) = − csc2 (x)
dx
d
1
sec(x) = sec(x) tan(x)
cos(arctan(x)) = √
dx
1 + x2

d
csc(x) = − csc(x) cot(x)
x
dx
tan(arcsin(x)) = √
2
1−x
d
1
√
arcsin(x) = √
dx
1 − x2
1 − x2
tan(arccos(x)) =
x
d
1
arctan(x) =
dx
1 + x2
3.4.3 Đẳng thức Tích vô hạn
Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách
tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân
Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn với hàm lượng giác ngược.
sau có ích:

sin x = x

∞ (

∏

1−

n=1

sinh x = x

∞ (
∏

1+

n=1

cos x =

∞ (
∏
n=1

x2
π 2 n2

1−

3.4.6 Tổng Hai Góc

)


x2
π 2 n2

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y

)

x2
π 2 (n − 12 )2

3.4.7 Hiệu Hai Góc
)

sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y
cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y


3.5

Các Hàm lượng giác nghịch đảo

3.4.8

5

Tổng Hai Hàm
(

sin x + sin y = 2 sin


Tổng quát

x+y
2

(
cos x + cos y = 2 cos

)

(
cos

x+y
2

)

x−y
2

(
cos

Nếu T là đa thức Chebyshev bậc n thì

)
cos(nx) = Tn (cos(x)).


x−y
2

)

công thức de Moivre:

cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x) + i sin(x))n
tan x + tan y =

sin (x + y)
cos x cos y

cot x + cot y =

sin (x + y)
sin x sin y

3.4.9

Hàm hạt nhân Dirilet D(x) sẽ xuất hiện trong các
công thức sau:

1 + 2 cos(x) + 2 cos(2x) + 2 cos(3x) + · · · + 2 cos(nx)
((
) )
sin n + 21 x
=
sin(x/2)


Hiệu Hai Hàm

tan x − tan y =

sin (x − y)
cos x cos y

Hay theo công thức hồi quy:

cot x − cot y =

− sin (x − y)
sin x sin y

sin(nx) = 2 sin((n − 1)x) cos(x) − sin((n − 2)x)

(
sin x − sin y = 2 cos

x+y
2
(

cos x − cos y = −2 sin

3.4.10

cos(nx) = 2 cos((n − 1)x) cos(x) − cos((n − 2)x)

)


x+y
2

(
sin

x−y
2

)

(
sin

Đẳng thức góc bội

)

x−y
2

3.5 Các Hàm lượng giác nghịch đảo
)

3.5.1 Chuổi Số
Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay
cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ
có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.


Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định
Bội hai Các công thức sau có thể suy ra từ các công nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n
= 2.
( ) 3 ( ) z5 ( 1·3·5 ) z7
arcsin z = z + 12 z3 + (1·3
5 +) 2·4·6
7 + ···
∑∞ 2·4 (2n)!
z 2n+1
=
n=0 22n (n!)2
(2n+1)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

arccos z

cos(2x) = cos2 (x)−sin2 (x) = 2 cos2 (x)−1 = 1−2 sin2 (x)
tan(2x) =

2 tan(x)
1 − tan2 (x)

arctan z

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. arccsc z
Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2 , 2ab, c 2 ) cũng
vậy.

Bội ba Ví dụ của trường hợp n = 3:


sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x)
cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x)

arcsec z

arccot z

=
=

π
2

− (z

=
3

π
z
2 (− arcsin
)
(
) z7
1·3 z 5
+ 2 3 + (2·4 5 +) 1·3·5
2·4·6
7
∑

∞
(2n)!
π
z 2n+1
−
n=0 22n (n!)2
2
(2n+1)

= z − z3 +
∑∞
=
n=0

( 1 ) z3

z5
z7
+
5 −n 72n+1
(−1) z
2n+1

···

|z| < 1

+ ···)

|z| < 1


|z| < 1

(
)
=
arcsin z −1
( ) −3 ( ) z−5 ( 1·3·5 ) z−7
= z −1 + 21 z 3 +( 1·3
|z| > 1
2·4
5 )+ 2·4·6
7 + ···
∑∞
(2n)!
z −(2n+1)
=
n=0 22n (n!)2
2n+1
( −1 )
=
arccos z
( ) −3 ( ) z−5 ( 1·3·5 ) z−7
= π2 − (z −1 + 21 z 3 + ( 1·3
2·4
5 )+ 2·4·6
7 + ···)
∑∞
(2n)!
π

z −(2n+1)
=
n=0 22n (n!)2
2 −
(2n+1)

=
=
=

π
2

π
z
2 3− arctan
5
7
− (z − z3 + z5 − z7 + · · · )
n 2n+1
∑
∞ (−1) z
π
n=0
2 −
2n+1

|z| < 1



6

3

3.5.2

LƯỢNG GIÁC

3.7 Công thức góc chia đôi

Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu ay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương
thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
hàm khác.
∫

x

arcsin (x) =
0

∫

1
√
dz,
1 − z2

1


1
√
dz,
1 − z2

arccos (x) =
x

∫

x

arctan (x) =
0

∫

1
dz,
1 + z2

∞

arccot (x) =
x

∫

1


arcsec (x) =
x

∫

|x| < 1

∞
x

sin

=±

2

(x)
2

√
=±

1 − cos(x)
2

∀x ∈ R

1
dz,

z2 + 1

z>0

x>1

−1
√
dz,
|z| z 2 − 1

tan

(x)
2

sin(x/2)
=
=±
cos(x/2)

√

1 − cos x
.
1 + cos x

(1)

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý

Pytago để đơn giản hóa:
( )
tan x2
=
√
2
1−cos x
± (1+cos
x)2

x>1

±

√

(1−cos x)(1+cos x)
(1+cos x)(1+cos x)

=

Số Phức
=

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác
nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:
( (
))
√
arcsin(z) = −i log i z + 1 − z 2

(

arccos(z) = −i log z +
arctan(z) =

i
log
2

(

√

1 − iz
1 + iz

( )
tan x2
=
√
(1−cos x)2
± (1−cos2 x)

)
z2 − 1

)

Công thức hạ bậc


Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2 (x) và
sin2 (x), thu được:

1 + cos(2x)
2

sin2 (x) =

1 − cos(2x)
2

1 − cos(4x)
sin (x) cos 2(x) =
4
2

cos3 (x) =

32 cos(x) + cos(3x)
4

√

(1−cos x)(1−cos x)
(1+cos x)(1−cos x)

=

1 − cos x
.

sin x

(x)
2

=

sin(x)
1 − cos(x)
=
.
1 + cos(x)
sin(x)

Nếu

t = tan

2

23 sin 2(x) − sin(3x)
sin3 (x) =
4

±

Suy ra:

tan
cos2 (x) =


sin x
.
1 + cos x

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình
(1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

=

3.6

1 + cos(x)
2

Dẫn đến:

1
√
dz,
|z| z 2 − 1

arccsc (x) =

3.5.3

|x| < 1

cos


√

(x)

(x)
2

,

thì:
Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong
[[giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x)
thành [[hàm của t. Cách này giúp tính [[đạo hàm của
biểu thức dễ dạng.


3.11

Tích Phân

7

3.8

Đẳng thức Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy
ra.

cos (x) cos (y) =


cos (x + y) + cos (x − y)
2

cos (x − y) − cos (x + y)
2
sin (x − y) + sin (x + y)
sin (x) cos (y) =
2
sin (x) sin (y) =

cosh x =

∞ (
∏
n=1

x2
1+ 2
π (n − 21 )2

(x)
sin x
=
cos n
x
2
n=1
∞
∏


3.11 Tích Phân
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu
thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các
hàm khác.
∫

1. [[Đẳng thức Biển tổng thành tích

x

arcsin (x) =

3.9

0

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

∫

1
√
dz,
1 − z2

|x| < 1

1
√

dz,
1 − z2

|x| < 1

1

arccos (x) =

arcsin(x) + arccos(x) = π/2

x

arctan(x) + arccot(x) = π/2.
{
ˆeu x > 0
π/2, n´
arctan(x) + arctan(1/x) =
.
ˆeu x < 0
−π/2, n´
(
)
x+y
arctan(x) + arctan(y) = arctan
1 − xy
(
)
x−y
arctan(x) − arctan(y) = arctan

1 + xy
√
sin(arccos(x)) = 1 − x2
√
cos(arcsin(x)) = 1 − x2
x
sin(arctan(x)) = √
1 + x2
1
cos(arctan(x)) = √
1 + x2
x
tan(arcsin(x)) = √
1 − x2
√
1 − x2
tan(arccos(x)) =
x

3.10 Đẳng thức Tích vô hạn

∫

x

arctan (x) =
0

∫


1
dz,
1 + z2

∞

arccot (x) =
x

∫

1

arcsec (x) =
x

∫

sin x = x

(
1−

n=1

sinh x = x

∞ (
∏
n=1


cos x =

∞
∏
n=1

2

x
π 2 n2

(

1−

)

x2
π 2 (n − 12 )2

z>0

∞

arccsc (x) =
x

x>1


−1
√
dz,
|z| z 2 − 1

x>1

3.12 Số Phức
Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác
nghịch đảo ra cho các biến [[số phức:
( (
))
√
arcsin(z) = −i log i z + 1 − z 2
(
)
√
arccos(z) = −i log z + z 2 − 1
(

1 − iz
1 + iz

)

3.13 Đẳng thức lượng giác

)

x2

1+ 2 2
π n

1
dz,
z2 + 1

∀x ∈ R

1
√
dz,
|z| z 2 − 1

i
arctan(z) = log
2
Trong các ứng dụng với [[hàm đặc biệt, các [[tích vô
hạn sau có ích:
∞
∏

)

)

Trong [[toán học, các đẳng thức lượng giác là các
[[phương trình chứa các [[hàm lượng giác, đúng với
một dải lớn các giá trị của biến số. Các [[đẳng thức
này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm

lượng giác. Ví dụ trong việc [[tính tích phân với các
hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng
các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác
để đơn giản hóa phép tính.


8

3

3.13.1

Đẳng thức lượng giác cơ bản

tan(x) =

sin(x)
cos(x)

cotg(x) =

cos(x)
1
=
sin(x)
tan(x)

]] tanx.cosx = 1
3.13.2


LƯỢNG GIÁC

với

cıs(x) = eıx = cos(x) + ı sin(x)
và

Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng
và tịnh tiến

ı=

√
−1.

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn
vị]]:
3.13.5 Công thức hạ bậc
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

a sin x + b cos x =

√
a2 + b2 · sin(x + φ)

với
{

arctan(b/a),
π + arctan(b/a),


φ=

ˆeu a ≥ 0;
n´
ˆeu a < 0.
n´

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2 (x) và
sin2 (x), thu được:

cos2 (x) =

1 + cos(2x)
2

sin2 (x) =

1 − cos(2x)
2

sin2 (x) cos2 2(x) =
3.13.3

Đẳng thức Pytago

sin3 (x) =

1 − cos(4x)
4


23 sin 2(x) − sin(3x)
4

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên [[vòng tròn đơn
32 cos(x) + cos(3x)
vị:
cos3 (x) =
4
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:
√
a sin x + b cos x = a2 + b2 · sin(x + φ)
với
{

arctan(b/a),
π + arctan(b/a),

φ=

3.13.4

ˆeu a ≥ 0;
n´
ˆeu a < 0.
n´

Đẳng thức Tổng và hiệu của góc

Xem thêm [[Định lý Ptolemaios


3.13.6 Công thức góc chia đôi
ay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương
trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

cos

sin

√

(x)

=±

2

(x)
2

√
=±

1 + cos(x)
2

1 − cos(x)
2

Dẫn đến:


√
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng
(x)
sin(x/2)
1 − cos x
tan
=
=±
.
[[công thức Euler.
2
cos(x/2)
1 + cos x
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)
tan(x) ± tan(y)
tan(x ± y) =
1 ∓ tan(x) tan(y)

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý
Pytago để đơn giản hóa:
( )
tan x2
=
√
2
1−cos x
± (1+cos
x)2


±

√

(1−cos x)(1+cos x)
(1+cos x)(1+cos x)

cıs(x + y) = cıs(x) cıs(y)
cıs(x − y) =

cıs(x)
cıs(y)

(1)

=

sin x
.
1 + cos x

=


3.13

Đẳng thức lượng giác

9


√
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình sin(arccos(x)) = 1 − x2
√
(1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
cos(arcsin(x)) = 1 − x2
√
( )
x
x)(1−cos x)
sin(arctan(x)) = √
tan x2
=
± (1−cos
=
(1+cos x)(1−cos x)
1 + x2
√
(1−cos x)2
± (1−cos2 x)
1
cos(arctan(x)) = √
1 + x2
x
tan(arcsin(x)) = √
1 − cos x
=
.
1 − x2
sin x

√
1 − x2
tan(arccos(x)) =
Suy ra:
x

tan

(x)
2

=

1 − cos(x)
sin(x)
=
.
1 + cos(x)
sin(x)

Nếu

t = tan

(x)
2

,

3.13.9 Đẳng thức Dạng số phức

cos(x) =

eix + e−ix
2

sin(x) =

eix − e−ix
2i

với i2 = −1.

thì:

3.13.10 Đẳng thức Tích vô hạn
Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong
giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) Trong các ứng dụng với [[hàm đặc biệt, các [[tích vô
thành hàm]] của t. Cách này giúp tính [[đạo hàm của hạn sau có ích:
biểu thức dễ dạng.
3.13.7

Đẳng thức Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy
ra.

)
∞ (
∏
x2

sin x = x
1− 2 2
π n
n=1
sinh x = x

∞ (
∏

1+

n=1

cos (x + y) + cos (x − y)
cos (x) cos (y) =
2
cos (x − y) − cos (x + y)
sin (x) sin (y) =
2
sin (x − y) + sin (x + y)
sin (x) cos (y) =
2
1. [[Đẳng thức Biển tổng thành tích
3.13.8

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

cos x =

∞

∏

(
1−

n=1

cosh x =

∞ (
∏

x2
π 2 n2

)

x2
2
π (n − 12 )2

1+

n=1

)

x2
2
π (n − 21 )2


)

(x)
sin x
=
cos n
x
2
n=1
∞
∏

1. [[Đẳng thức số

arcsin(x) + arccos(x) = π/2

3.13.11 Đẳng thức Giải tích

arctan(x) + arccot(x) = π/2.
{
ˆeu x > 0
π/2, n´
.
arctan(x) + arctan(1/x) =
´
−π/2, nˆeu x < 0
(
)
x+y

arctan(x) + arctan(y) = arctan
1 − xy
(
)
x−y
arctan(x) − arctan(y) = arctan
1 + xy

Các công thức trong [[giải tích sau dùng góc đo bằng
[[radian

lim

sin(x)
= 1,
x

lim

1 − cos(x)
= 0,
x

x→0

x→0


10


3

d
sin(x) = cos(x)
dx

3.13.13 Đẳng thức góc bội
• Bội hai

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc
của [[đạo hàm:

d
cos(x) = − sin(x)
dx

LƯỢNG GIÁC

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên.
Cũng có thể dùng công thức de Moivre]] với n = 2.

d
tan(x) = sec2 (x)
dx

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

d
cot(x) = − csc2 (x)
dx


cos(2x) = cos2 (x)−sin2 (x) = 2 cos2 (x)−1 = 1−2 sin2 (x)

d
sec(x) = sec(x) tan(x)
dx

tan(2x) =

d
csc(x) = − csc(x) cot(x)
dx

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago]].
Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2 , 2ab, c 2 ) cũng
vậy.

d
1
arcsin(x) = √
dx
1 − x2

2 tan(x)
1 − tan2 (x)

• Bội ba

d
1

arctan(x) =
dx
1 + x2

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách Ví dụ của trường hợp n = 3:
tích phân với hàm lượng giác]] và danh sách tích phân
với hàm lượng giác ngược]].
sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x)
3.13.12

Đẳng thức Thường Dùng

cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x)

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
• Tổng quát

sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y
(
)
(
)
x+y
x−y
sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2

(
) (
)
x+y
x−y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
)
(
)
(
x−y
x+y
cos
cos x + cos y = 2 cos
2
2
(
) (
)
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2

Nếu T là đa thức Chebyshev]] bậc n thì


cos(nx) = Tn (cos(x)).
[[công
thức
de
Moivre:
:<math>\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n
\,</math> Hàm '''hạt nhân Dirichlet]] Dn(x) sẽ
xuất hiện trong các công thức sau:

1 + 2 cos(x) + 2 cos(2x) + 2 cos(3x) + · · · + 2 cos(nx)
((
) )
n + 21 x
sin(x/2)

tan x + tan y =

sin (x + y)
cos x cos y

=

tan x − tan y =

sin (x − y)
cos x cos y

Hay theo công thức hồi quy:


cot x + cot y =

sin (x + y)
sin x sin y

sin(nx) = 2 sin((n − 1)x) cos(x) − sin((n − 2)x)

cot x − cot y =

− sin (x − y)
sin x sin y

cos(nx) = 2 cos((n − 1)x) cos(x) − cos((n − 2)x)

sin


11
3.13.14

Các Hàm lượng giác nghịch đảo

4.2.2 Hoán Chuyển Đạo Hàm

Chuổi Số Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là Hoán Chuyển Laplace
sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký
df
hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với [[hàm mũ của hàm s =
dt
lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định 1 = − df
s
dt
nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

arcsin z

= z+

2

=
arccos z

=
=

− (z

π
2

=
arctan z

arccsc z

arcsec z

arccot z


4
4.1

Hoán Chuyển Fourier
( 1·3 ) z5 ( 1·3·5 ) z7
3 + (
2·4
5 +) 2·4·6
7 + ···
df
∑
∞
(2n)!
z 2n+1
jω|z|=< 1
n=0 22n (n!)2
(2n+1)
dt

( 1 ) z3

3

π
z
2 (− arcsin
)
(
) z7

1·3 z 5
+ 2 3 + (2·4 5 +) 1·3·5
2·4·6
7
∑∞
(2n)!
π
z 2n+1
n=0 22n (n!)2
2 −
(2n+1)

= z − z3 +
∑∞
=
n=0

( 1 ) z3

5

7

z
z
5 − 7 +
(−1)n z 2n+1
2n+1

···


|z| < 1

1
df
=−
jω
dt
+ · · · ) |z| < 1
Hoán Chuyển Z
Z = ω∠90o

1
1
df
= =−
( −1 )
Z
ω
dt
=
arcsin z
)
(
)
(
)
(
−3
−5

−7
z
1·3·5 z
= z −1 + 12 z 3 +( 1·3
|z| > 1
2·4
5 )+ 2·4·6
7 + ···
∑∞
(2n)!
Công thức tổng quát
z −(2n+1)
=
n=0 22n (n!)2
2n+1
df
( −1 )
= s = jω = ω∠90o
=
arccos z
dt −7
(
)
(
)
(
)
−3
−5
1·3 z

1·3·5 z
= π2 − (z −1 + 21 z 3 + ( 2·4
5 )+ 2·4·6 df
7 + ·1· · ) 1 |z| >1 1
∑
−(2n+1)
∞
(2n)!
z
π
= =
=
−
=
n=0 22n (n!)2
2 −
(2n+1)
dt
s
jω
ω

=
=
=

π
2

π

z
2 3− arctan
5
7
− (z − z3 + z5 − z7 + · · · )
∑∞ (−1)n z2n+1
π
n=0
2 −
2n+1

Giải Tích
Phép Toán Giải Tích

|z| < 1 Thí dụ
di
L = sL = jωL = ωL∠90o
dt
dv
1
= −sC = −jωC =
∠ − 90o
dt
ωC
dv
1
1
1
C
=

=
=
∠ − 90o
dt
sC
jωC
ωC

C

5 Phép Toán Tích Phân
4.2
4.2.1

Toán Đạo hàm
Công Thức Toán Đạo Hàm

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu
thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các
hàm khác.

Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Đạo Hàm Của Hàm Số Đường Cong
Đạo Hàm Của Hàm Số Đặc Biệt
Đạo Hàm Bậc N

∫

x


arcsin (x) =
0

∫

1

∫

x
x

arccos (x) =
arctan (x) =
0

∫

1
√
dz,
1 − z2

1
√
dz, |x| < 1
1 − z2
1
dz, ∀x ∈ R
1 + z2


∞

arccot (x) =
x

|x| < 1

z2

1
dz,
+1

z>0


12

5
∫

1

∫

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

x 1
x 1

+ sin 2ax+C = + sin ax cos ax+C
2 4a
2 2a
x
( 2
)
∫
3
∫ ∞
x
1
x
x
−1
x2 cos2 ax dx =
+
− 3 sin 2ax+ 2 cos 2ax+C
√
arccsc (x) =
dz, x > 1
6
4a
8a
4a
|z| z 2 − 1
x
∫
∫
xn sin ax n
n

x cos ax dx =
−
xn−1 sin ax dx
a
a
5.0.3 Công thức tích phân
∫
∞
∑
cos ax
(ax)2k
∫
(−1)k
dx = ln |ax| +
+C
1
x
2k · (2k)!
sin ax dx = − cos ax + C
k=1
a
∫
∫
∫
cos ax
cos ax
a
sin ax
x
1

x 1
2
dx
=
−
−
dx
(for n ̸= 1)
n−1
sin ax dx = − sin 2ax+C = − sin ax cos ax+Cxn
(n − 1)x
n−1
xn−1
2 4a
2 2a
∫
( ax π )
∫
1
dx
2
x
x
1
tan
=
ln
+
+C
2

x sin ax dx =
−
sin 2ax − 2 cos 2ax + C
cos ax
a
2
4
4
4a
8a
∫
∫
( 2
)
∫
dx
sin ax
n−2
dx
3
x
1
x
x
=
+
(for n > 1)
n
n−1
n−2

−
− 3 sin 2ax− 2 cos 2ax+C
x2 sin2 ax dx =
cos ax
a(n − 1) cos
ax n − 1
cos
ax
6
4a 8a
4a
∫
dx
1
ax
∫
= tan
+C
sin((b1 − b2 )x) sin((b1 + b2 )x)
ax|b1 | ̸=
a |b2 |)2
sin b1 x sin b2 x dx =
−
+C1 + cos
(for
2(b1 − b2 )
2(b1 + b2 ) ∫
dx
1
ax

∫
∫
n−1
= − cot
+C
sin
ax cos ax n − 1
n
n−2
1
−
cos
ax
a
2
sin ax dx = −
+
sin
ax∫dx
(for n > 0)
na
n
x dx
x
ax
2
ax
∫
= tan
+ 2 ln cos

+C
dx
1
ax
1
+
cos
ax
a
2
a
2
= ln tan
+C
∫
sin ax
a
2
x dx
x
ax
2
ax
∫
∫
= − cot
+ 2 ln sin
+C
n−2
dx

cos ax
dx
1 − cos ax
a
2
a
2
+
(for
n
>
1)
=
sinn ax
a(1 − n) sinn−1 ax n − 1
sinn−2 ax ∫ cos ax dx
1
ax
= x − tan
+C
∫
1 + cos ax
a
2
sin ax x cos ax
x sin ax dx =
−
+C
∫
a2

a
1
ax
cos ax dx
= −x − cot
+C
∫
∫
n
1
−
cos
ax
a
2
x
n
n
n−1
x sin ax dx = −
cos ax+
x
cos ax dx
∫(for n > 0)
a
a
sin(a1 − a2 )x sin(a1 + a2 )x
cos a1 x cos a2 x dx =
+
+C

(for |a1 |
∫ a2
3 2 2
2(a1 − a2 )
2(a1 + a2 )
a (n π − 6)
2 nπx
2
∫
x sin
dx =
(for n = 2, 4, 6...)
−a
1
1
a
24n2 π 2
2
tan ax dx = − ln | cos ax|+C = ln | sec ax|+C
a
a
∫
∞
∑
∫
∫
sin ax
(ax)2n+1
dx =
(−1)n

+C
1
n
n−1
tan
ax
dx
=
tan
ax−
tann−2 ax dx
(for n ̸= 1)
x
(2n
+
1)
·
(2n
+
1)!
n=0
a(n − 1)
∫
∫
∫
sin ax
a
cos ax
sin ax
dx

1
q
dx
=
−
+
dx
= 2
(px+ ln |q sin ax+p cos ax|)+C
(for p2 +
xn
(n − 1)xn−1
n−1
xn−1
2
q tan ax + p
p +q
a
∫
∫
( ax π )
dx
1
1
dx
= tan
∓
+C
= ln | sin ax| + C
1 ± sin ax

a
2
4
tan ax
a
∫
( ax π ) 2
( ax π )∫
x dx
x
x
1
dx
= tan
−
+ 2 ln cos
−
+C
= +
ln | sin ax + cos ax| + C
1 + sin ax
a
2
4
a
2
4
tan ax + 1
2 2a
∫

( π ax ) 2
( π ax )∫
x
x dx
dx
x
1
= cot
−
+ 2 ln sin
−
+C
=− +
ln | sin ax − cos ax| + C
1 − sin ax
a
4
2
a
4
2
tan ax − 1
2 2a
∫
∫
( π ax )
sin ax dx
1
tan ax dx
x

1
= ±x + tan
∓
+C
= −
ln | sin ax + cos ax| + C
1 ± sin ax
a
4
2
tan ax + 1
2 2a
∫
∫
1
x
1
tan ax dx
cos ax dx = sin ax + C
= +
ln | sin ax − cos ax| + C
a
tan ax − 1
2 2a
∫
∫
∫
1
cosn−1 ax sin ax n − 1
n

n−2
dxn=> 0)ln |sec ax + tan ax| + C
cos ax dx =
+
cos
ax dx sec ax
(for
a
na
n
∫
∫
∫
secn−1 ax sin ax n − 2
cos ax x sin ax
n
sec ax dx =
+
secn−2 ax dx
(for n ̸=
x cos ax dx =
+
+C
a(n − 1)
n−1
a2
a
arcsec (x) =

1

√
dz,
|z| z 2 − 1

x>1

cos2 ax dx =


13
∫

secn x dx
=
∫
n−2
n−2
sec
x dx [2]
n−1

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

secn−2 x tan x
n−1

+

∫
sin ax cosn ax dx = −
∫

1
cosn+1 ax+C
a(n + 1)

(for n ̸= −1)

∫

sinn−1 ax cosm+1 ax n − 1
sin ax cos ax dx = −
+
sinn−2 ax c
dx
x
+
+
a(n
m)
n
m
= x − tan + C
sec x + 1
2
∫
∫
sinn+1 ax cosm−1 ax m − 1
n
m
sin ax cos ax dx =
+
sinn ax cosm−
1
a(n + m)
n+m
csc ax dx = ln |csc ax − cot ax| + C
a
∫
dx

1
= ln |tan ax| + C
2
sin
ax
cos
ax
a
csc x dx = − cot x + C
∫
∫
dx
1
dx
∫
=
+
(for n
n ax
n−1 ax
n−2 ax
cscn−1 ax cos ax n − 2
sin
ax
cos
a(n
−
1)
cos
sin

ax
cos
n
n−2
csc ax dx = −
+
csc
ax dx
(for n ̸= 1)
∫
∫
a(n − 1)
n−1
1
dx
dx
=
−
+
(for
n
n−1
n−2
1
sin ax cos ax
a(n − 1) sin
ax
sin
ax cos ax
cot ax dx = ln | sin ax| + C

∫
a
sin ax dx
1
∫
=
+C
(for n ̸= 1)
n ax
1
n
n−1
n−2
cos
a(n
−
1)
cosn−1 ax
cot ax dx = −
cot
ax− cot
ax dx
(for n ̸= 1)
a(n − 1)
∫
( π ax )
1
1
sin2 ax dx
∫

= − sin ax+ ln tan
+
+C
dx
tan ax dx
cos ax
a
a
4
2
=
1 + cot ax
tan ax + 1
∫
∫
sin2 ax dx
sin ax
1
dx
∫
=
−
(for n ̸=
tan ax dx
dx
cosn ax
a(n − 1) cosn−1 ax n − 1
cosn−2 ax
=
1 − cot ax

tan ax − 1
∫
∫
sinn−1 ax
sinn−2 ax dx
sinn ax dx
( ax π )
=−
+
(for n ̸= 1)
dx
1
= √ ln tan
±
+C
cos ax
a(n − 1)
cos ax
cos ax ± sin ax
2
8
a 2
∫
∫
sinn ax dx
sinn+1 ax
n−m+2
sinn ax dx
(
)

1
π
dx
=
−
(
=
tan ax ∓
+C
cosm ax
a(m − 1) cosm−1 ax
m−1
cosm−2 ax
(cos ax ± sin ax)2
2a
4
∫
∫
(
sin)n−1 ax
n−1
sinn−2 ax dx
sin∫n ax dx
dx
1
sin x − cos x
dx
=
−
+

(
=
− 2(n − 2)cosm ax
a(n − m) cosm−1 ax n − m
cosm ax
(cos x + sin x)n
n − 1 (cos x + sin x)n−1
(cos x + sin x)n−2
∫
∫
sinn ax dx
sinn−1 ax
n−1
sinn−2 ax dx
cos ax dx
x
1
=
−
(for
= +
ln |sin ax + cos ax| + C
cosm ax
a(m − 1) cosm−1 ax m − 1
cosm−2 ax
cos ax + sin ax
2 2a
∫
1
cos ax dx

cos ax dx
x
1
=−
+C
(for n ̸= 1)
n
= −
ln |sin ax − cos ax| + C
sin
ax
a(n
−
1)
sinn−1 ax
cos ax − sin ax
2 2a
∫
cos2 ax dx
1(
ax )
sin ax dx
x
1
=
cos ax + ln tan
+C
= −
ln |sin ax + cos ax| + C
sin ax

a
2
cos ax + sin ax
2 2a
(
)
∫
∫
cos2 ax dx
1
cos ax
dx
sin ax dx
x 1
=
−
+
(for n ̸=
= − − ln |sin ax − cos ax|+C
sinn ax
n − 1 a sinn−1 ax)
sinn−2 ax
cos ax − sin ax
2 2a
∫
∫
cos ax dx
1
ax 1
ax

cosn ax dx
cosn+1 ax
n−m−2
cosn ax dx
= − tan2
+ ln tan
+C
=
−
−
sin ax(1 + cos ax)
4a
2 2a
2
sinm ax
m−1
a(m − 1) sinm−1 ax
sinm−2 ax
∫
∫
1
ax 1
ax
cos ax dx
cosn−1 ax
n−1
cosn ax dx
cosn−2 ax dx
= − cot2
− ln tan

+C
=
+
(fo
sin ax(1 + − cos ax)
4a
2 2a
2
sinm ax
sinm ax
a(n − m) sinm−1 ax n − m
( ax π ) 1
(∫ax nπ )
∫
1
sin ax dx
cos
cosn−1 ax
n−1
cosn−2 ax dx
=
cot2
+
+ ln tan
+ ax dx
+C= −
−
(
cos ax(1 + sin ax)
4a

2
4
2a
2 sinm
4 ax
a(m − 1) sinm−1 ax m − 1
sinm−2 ax
( ax π ) 1
(∫ax π )
1
sin ax dx
1
=
tan2
+
− ln tan
+
+C
cos ax(1 − sin ax)
4a
2
4
2a
2sin ax4 tan ax dx = a (ln | sec ax+tan ax|−sin ax)+C
∫
1
tann ax dx
1
sin2 ax + C
sin ax cos ax dx =

=
tann−1 (ax)+C
(for n ̸= 1)
2
2a
a(n − 1)
sin ax
∫
cos(a1 + a2 )x cos(a1 − a2 )x tann ax dx
1
sin a1 x cos a2 x dx = −
−
+C 2 (for |a=1 | ̸= |a2 |) tann+1 ax+C
(for n ̸= −1)
2(a1 + a2 )
2(a1 − a2 )
cos ax
a(n + 1)
∫
1
cotn ax dx
1
n
n+1
sin ax cos ax dx =
sin
ax+C
(for n ̸= −1)2
cotn+1 ax+C
(for n ̸= −1)

=
a(n + 1)
a(n + 1)
sin ax
n

m


14

5

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

∫
x
x c
(for n ̸= 1) arccot dx = x arccot + ln(c2 + x2 )
c
c
2
∫
∫ c
2
2
x
c +x
x cx
x arccot dx =

arccot +
sin x dx = 0
c
2
c
2
−c
∫
∫ c
∫ c
∫ 0
x
x3
x cx2 c3
2
2
2
cos x dx = 2
cos x dx = 2
cos x dx = 2 sin c x arccot c dx = 3 arccot c + 6 − 6 ln(c +x )
−c
0
−c
∫
∫ n+1
∫ c
x
xn+1
x
c

x
dx
n
x
arccot
dx
=
arccot
+
( n ̸= 1)
tan x dx = 0
2
c
n+1
c n+1
c + x2
−c
∫
∫ a2
(ax + b)n+1
3 2 2
a
(n
π
−
6)
nπx
(ax + b)n dx =
( n ̸= −1)
2

2
dx =
x cos
(for n = 1, 3, 5...)
a(n + 1)
2 π2
−a
a
24n
∫
2
1
dx
∫
√
= ln |ax + b|
x
x
ax + b
a
arcsin dx = x arcsin + c2 − x2
c
c
∫
a(n + 1)x − b
( 2
)
∫
2
x(ax+b)n dx = 2

(ax+b)n+1
( n ̸∈ {1, 2})
x
x
c
x x√ 2
2
a
(n + 1)(n + 2)
x arcsin dx =
−
arcsin +
c −x
c
2
4
c 4
∫
x
x
b
∫
dx = − 2 ln |ax + b|
3
2
2√
x
x x + 2c
x
2

ax
+
b
a
a
2
2
arcsin +
c −x
x arcsin dx =
∫
c
3
c
9
x
b
1
dx = 2
+ 2 ln |ax + b|
2
(
∫ n −1
(ax
+
b)
a
(ax
+
b)

a
1
x sin x dx = n+1
xn+1 sin−1 x
∫
a(1 − n)x − b
x
dx = 2
( n ̸∈ {1, 2})
(ax + b)n
a (n − 1)(n − 2)(ax + b)n−1
)∫
√
∫
(
)
xn 1 − x2 − nxn−1 sin−1 x
1 (ax + b)2
x2
−1
n−2
+
+n x
sin x dx
dx = 3
− 2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|
n−1
ax + b
a
2

(
)
∫
x2
1
b2
∫
dx
=
ax
+
b
−
2b
ln
|ax
+
b|
−
x
x √ 2
(ax + b)2
a3
ax + b
arccos dx = x arccos − c − x2
c
c
(
)
∫

( 2
)
x2
1
2b
b2
∫
dx
=
ln
|ax
+
b|
+
−
x
x
c2
x x√ 2
(ax + b)3
a3
ax + b 2(ax + b)2
x arccos dx =
c − x2
−
arccos −
c
2
4
c 4

(
∫
x2
1
1
2b
∫
3
2
2√
dx
=
−
+
−
x
x
x
x
+
2c
2
n
3
n−3
2
2
(ax + b)
a
(n − 3)(ax + b)

(n − 2)(a + b)n−2
x arccos dx =
c −x
arccos −
c
3
c
9
∫
∫
dx
1
ax + b
x
x c
= − ln
arctan dx = x arctan − ln(c2 + x2 )
x(ax + b)
b
x
c
c
2
∫
∫
1
a
dx
ax + b
x

c2 + x2
x cx
= − + 2 ln
x arctan dx =
arctan −
x2 (ax + b)
bx b
x
c
2
c
2
(
)
∫
∫
1
1
2
dx
ax + b
3
2
3
x
x
cx
c
x
=

−a
+
−
ln
arctan −
+ ln c2 + x2
x2 arctan dx =
x2 (ax + b)2
b2 (ax + b) ab2 x b3
x
c
3
c
6
6
∫
∫
∫ n+1
1
x
dx
x
xn+1
x
c
x
dx
= arctan
2
2

xn arctan dx =
arctan −
(
n
=
̸
1)
x +a
a
a
c
n+1
c n+1
c2 + x2 ∫
∫
dx
1
x
1
a−x
√
x
x
x
= − arctanh =
ln
( |x| < |a|)
arcsec dx = x arcsec +
ln |x ± x2 − 1|
x2 − a2

a
a
2a a + x
c
c
c|x|
∫
∫
1
x
1
x−a
dx
(
)
√
1 2
= − arccoth =
ln
( |x| > |a|)
2
2
x arcsec x dx =
x arcsec x − x2 − 1
x −a
a
a
2a x + a
2
∫

2ax + b
dx
2
∫ n
arctan √
( 4ac−b2 > 0)
=√
2
2
ax2 + bx + c
x arcsec x dx
=
4ac
−
b
4ac
−
b
√
( n+1
(
1
∫
arcsec x − n1 xn−1 x2 − 1
n+1 x
dx
2
2ax + b
1
2ax

=√
artanh √
=√
ln
2
2
2
ax2 + bx + c
b − 4ac
b − 4ac
b − 4ac
2ax
(
)))
∫
∫
2
dx
+(1 − n) xn−1 arcsec x + (1 − n) xn−2 arcsec x dx
=−
( 4ac − b2 = 0)
2
ax + bx + c
2ax + b
∫

cotn ax dx
1
=
tan1−n ax+C

2
cos ax
a(1 − n)


15
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

x3 r2n+1 dx =
∫
x4 r dx =
∫


∫

∫
dxr dx
a
a+r
= r − a ln
= r − a arsinh
2
ax + bx x+ c
x
x
∫ 3
3
mx + n
m
2an − bm r dx 2axr + b 2
a2+ r
3
dx =
ln ax2 + bx + c + √
arctan √=
> 0)
+ 2a r −(a4ac−b
ln
ax2 + bx + c
2a
a 4ac − b2
4ac
−

b
x
3
x
mx + n
m
2an − bm∫ r5 dx 2axr5+ b a2 r3
2
2
√
dx
=
ln
ax
+
bx
+
c
+
artanh √=
(+4ac−b
0) a + r
+
a4 r − a<5 ln
ax2 + bx + c
2a
a b2 − 4ac
x b2 −
5 4ac 3
x

∫
mx + n
m
2an − bm r7 dx
r27
a2 r5
a4 r 3
a+r
dx =
ln ax2 + bx + c −
( 4ac−b
= =+0)
+
+ a6 r − a7 ln
ax2 + bx + c
2a
a(2ax + b)
x
7
5
3
x
(∫
)
∫
dx
2ax + b
(2n −x3)2a
dx
x+r

dx
=
+ = arsinh = ln2
2 + bx + c)n−1
(ax2 + bx + c)n
(n − 1)(4ac − b2 )(ax2 + bx + c)n−1r (n − 1)(4ac
−
b
)
(ax
a
a
∫
∫
bx + 2c
dx
x
dx
x b(2n − 3)
dx
=
−
=
(ax2 + bx + c)n
(n − 1)(4ac − b2 )(ax2 + bx + c)n−1
(n
(ax2 + bx + c)n−1
r3
a2 r− 1)(4ac − b2 )
∫

∫
1
x2
b
dxx dx = r
dx
=
ln
−
2
2
2
x(ax + bx + c)
2c
ax + bx + c 2c
ax + bxr+ c
∫
x dx
1
)
1(
=−
3
xr + a2 ln (x + r)
r dx =
r
r
2
(
)

∫ 2
x dx
x
a2
x
x
a2
x+r
1 3 3 2
3 4
=
r
−
arsinh
=
r
−
ln
3
r dx = xr + a xr + a ln (x + r)
r
2
2
a
2
2
a
4
8
8

∫
dx
1
a
1
a+r
1
5
5
5
= − arsinh = − ln
r5 dx = xr5 + a2 xr3 + a4 xr+ a6 ln (x + r)
xr
a
x
a
x
6
24
16
16
∫
√
x
x
r3
arsinh dx = x arsinh − x2 + c2
xr dx =
c
c

3
∫
x
x √
arcosh dx = x arcosh − x2 − c2
r5
3
c
c
xr dx =
5
∫
x
x c
artanh dx = x artanh + ln |c2 −x2 |
( |x| < |c|)
r2n+3
2n+1
c
c 2
xr
dx =
∫
2n + 3
x
x c
arcoth dx = x arcoth + ln |x2 −c2 |
( |x| > |c|)
3
2

4
xr
a
xr
a
c
c 2
x2 r dx =
−
−
ln (x + r)
√
4
8
8
∫
x c−x
c+x
x
x
xr5
a2 xr3
a4 xr
a6
( x ∈ (0, c))
arsech dx = x arsech −c arctan
2 3
x r dx =
−
−

−
ln (x + r)
c
c
x−c
6
24
16
16
√
∫
x
x
x + x2 + c2
5
2 3
r
a r
arcsch dx = x arcsch +c ln
( x ∈ (0, c))
x3 r dx =
−
c
c
c
5
3
Chú ý: bài này quy ước x>0.
r7
a2 r 5

3 3
x r dx =
−
7
5
∫
x
1
b
dx =
ln ax2 + bx + c −
2
ax + bx + c
2a
2a

ln cx dx = x ln cx − x

r2n+5
a3 r2n+3
−
2n + 5
2n + 3

x3 r 3
a2 xr3
a4 xr
a6
−
+

+
ln (x + r)
6
8
16
16
3 5

2

5

4

3

6

8

•

∫
(ln x)2 dx = x(ln x)2 − 2x ln x + 2x

x r a xr a xr 3a xr 3a
−
+
+
+

ln (x + r)
8
16
64
128
128
•
∫
∫
∫
7
2 5
4 3
r
2a r
a r
n
n
x5 r dx =
−
+
(ln
cx)
dx
=
x(ln
cx)
−
n
(ln cx)n−1 dx

7
5
3
∫
r9
2a2 r7
a4 r5
x5 r3 dx =
−
+
•
9
7
5
∫
∞
∑
∫
(ln x)i
dx
r2n+7
2a2 r2n+5
a4 r2n+3
=
ln
|
ln
x|
+
ln

x
+
5 2n+1
x r
dx =
−
+
ln x
i · i!
2n + 7
2n + 5
2n + 3
i=2
x4 r3 dx =


16

∫

∫

∫

∫

∫

∫


∫
∫

5
∫

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

ecx
(cx − 1)
c2
∫
dx
x
1
dx
)
( 2
∫ ( n ̸= 1)
=−
+
x
2x
2
(ln x)n
(n − 1)(ln x)n−1 n − 1
(ln x)n−1
− 2 + 3
x2 ecx dx = ecx
c

c
c
∫
∫
•
1
n
xn ecx dx = xn ecx −
xn−1 ecx dx
(
)
c
c
ln x
1
m
m+1
−
( m ̸=∫ −1)
x ln x dx = x
∞
m + 1 (m + 1)2
∑
ecx dx
(cx)i
= ln |x| +
x
i · i!
i=1
•

(
)
∫ cx
∫
∫
e dx
1
ecx
ecx
xm+1 (ln x)n
n
=
−
+
c
dx
( n ̸= 1)
m
n
m
n−1
x (ln x) dx =
−
x (ln x)
dx xn ( m ̸=n −1)
−1
xn−1
xn−1
m+1
m+1

∫
1
ecx ln x dx = ecx ln |x| − Ei (cx)
•
c
∫
∫
n
n+1
(ln x) dx
(ln x)
ecx
=
( n ̸= −1)
ecx sin bx dx = 2
(c sin bx − b cos bx)
x
n+1
c + b2
∫
ecx
•
ecx cos bx dx = 2
(c cos bx + b sin bx)
c + b2
ln x dx
ln x
1
∫
∫

=−
−
( m ̸= 1)cx n
ecx sinn−1 x
n(n − 1)
xm
(m − 1)xm−1 (m − 1)2 xm−1
e sin x dx =
(c
sin
x−n
cos
x)+
ecx sinn−
c2 + n2
c 2 + n2
∫
∫
•
ecx cosn−1 x
n(n − 1)
cx
n
e cos x dx =
(c cos x+n sin x)+ 2
ecx cosn
2 + n2
2
∫
c

c
+
n
n
n
n−1
(ln x) dx
(ln x)
n
(ln x)
dx
∫
=−
+
( 2m ̸= 1) 1
2
xm
(m − 1)xm−1 m − 1
xm
xecx dx =
ecx
2c
∫
•
2
2
1
x−µ
1
√ e−(x−µ) /2σ dx =

(1 + erf √ )
∫
m
m+1
m
2σ
σ 2π
σ 2
x dx
x
m+1
x dx
=−
+
( n ̸= 1)
n
n−1
n−1
(ln x)
(n − 1)(ln x)
n−1
(ln x)
(∑
)
∫ x2
2
n−1
1
e dx = ex
j=0 c2j x2j+1 + (2n −

•
∫ x2
1)c2n−2 xe 2n dx (n > 0),
∫
dx
= ln | ln x|
1 · 3 · 5 · · · (2j − 1)
2j !
x ln x
c2j =
=
.
2j+1
j! 22j+1
•
√
∫ ∞
∫
∞
π
i
i
∑
−ax2
dx
(n
−
1)
(ln
x)

i
e
dx =
=
ln
|
ln
x|
+
(−1)
a
−∞
xn ln x
i · i!
i=1
∫ ∞
√ (2n)! ( a )2n+1
2
2
x2n e−x /a dx = π
•
n! 2
0
∫
∫
1
1
dx
sinh cx dx = cosh cx
=−

( n ̸= 1)
n
n−1
c
x(ln x)
(n − 1)(ln x)
∫
1
cosh cx dx = sinh cx
•
c
∫
∫
x
1
x
sin(ln x) dx = (sin(ln x) − cos(ln x))
sinh2 cx dx =
sinh 2cx −
2
4c
2
∫
1
x
•
cosh2 cx dx =
sinh 2cx +
∫
4c

2
x
∫
∫
cos(ln x) dx = (sin(ln x) + cos(ln x))
1
n−1
n
n−1
2
sinh cx dx =
sinh
cx cosh cx−
sinhn−2 cx dx
(n
cn
n
∫
∫
1
n+2
1
sinhn cx dx =
sinhn+1 cx cosh cx−
sinhn+2 cx dx
ecx dx = ecx
c(n
+
1)
n+1

c
∫
∫
1 cx
1
n−1
acx dx =
a
( a > 0, a ̸= 1)
coshn cx dx =
sinh cx coshn−1 cx+
coshn−2 cx dx
(n
c ln a
cn
n
•

xecx dx =


17
∫
coshn cx dx = −
∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

1
n+2
sinh cx coshn+1 cx−
c(n + 1)
n+1

dx
1
cx
= ln tanh
sinh cx
c
2


sinh(ax+b) cos(cx+d) dx =

a
c
cosh(ax+b) cos(cx+d)+ 2
a2 + c2
a +c

cosh(ax+b) sin(cx+d) dx =

a
c
sinh(ax+b) sin(cx+d)− 2
a2 + c2
a + c2

∫

dx
1
sinh cx
= ln
sinh cx
c
cosh cx + 1

cosh(ax+b) cos(cx+d) dx =

a2


a
c
sinh(ax+b) cos(cx+d)+ 2
2
+c
a +c

Assume (x2 > a2 ) , for (x2 < a2 ) , see next section:

dx
1
cosh cx − 1
= ln
sinh cx
c
cosh cx + 1

dx
cosh cx
n−2
=
−
n−1
sinhn cx
c(n − 1) sinh
cx n − 1

∫


a
c
n+2
cosh
sinh(ax+b)
cx dx
sin(cx+d)
(n<
dx0,=n ̸=2 −1)2 cosh(ax+b) sin(cx+d)− 2
a +c
a + c2

∫

dx
1
cosh cx − 1
= ln
sinh cx
c
sinh cx

dx
2
= arctan ecx
cosh cx
c

∫∫


∫
xs dx =
∫

dx

∫

1 3
s
3

s dx
a
( n≠=s1)
− a arccos
x
x
∫
∫
dx
sinh cx
n−2
dx ( n ̸= 1) dx
x+s
=
+
n
√
=

= ln
n−1
n−2
cosh cx
c(n − 1) cosh
cx n − 1
cosh
cx s
2
2
a
x −a
∫
(
)
n
n−1
n−2
cosh cx
n−1
cosh
cx
coshNotecx
x+s
x
1
x+s
that
ln
=

sgn(x)
arcosh
=
ln
+
dx =
dx
a( m ̸= n)
a
2
x−s ,
sinhm cx
sinhm cx
c(n − m) sinhm−1 cx n − m
x
where the positive value of arcosh a is to be taken.
∫
coshn+1 cx
n−m+2
coshn cx
coshn cx
dx
=
−
+
dx
( m ̸= 1)
m−2
sinhm cx
m−1

c(m − 1) sinhm−1 cx
cx
∫ sinh
x dx
∫
coshn cx
n−1
coshn−1 cx
coshn−2scx = s
+
dx
( m ̸= 1)
dx = −
m−2
sinhm cx
c(m − 1) sinhm−1 cx m − 1
sinh
cx
∫
x dx
1
∫
=−
sinhm cx
sinhm−1 cx
m−1
sinhm−2 scx
3
s( m ̸= n)
dx =

+
dx
∫ n cx
coshn cx
cosh
c(m − n) coshn−1 cx m − n
x dx
1
=− 3
∫
s5cx
3s
m−n+2
sinhm cx
sinhm+1 cx
sinhm
+
dx
( n ̸= 1)
dx =
∫
coshn cx
n−1
c(n − 1) coshn−1 cx
coshxn−2
1
dxcx
=− 5
7
∫

5s
sinhm cx
m−1
sinhm−1 cx
sinh∫m−2scx
+
dx
( n ̸= 11)
dx
=
−
dx
coshn cx
c(n − 1) coshn−1 cx n − 1
coshn−2x cx
=
−
s2n+1
(2n − 1)s2n−1
1
1
∫
∫ 2m−2
x sinh cx dx = x cosh cx − 2 sinh cx
x2m dx
1 x2m−1 2m − 1
x
dx
c
c

=−
+
2n+1
2n−1
2n−1
s
2n − 1 s
2n − 1
s
1
1
∫ 2
x cosh cx dx = x sinh cx − 2 cosh cx
2
x dx
xs a
x+s
c
c
=
+
ln
s
2
2
a
1
tanh cx dx = ln | cosh cx|
∫ 2
c

x
x+s
x dx
= − + ln
s3
s
a
1
coth cx dx = ln | sinh cx|
∫
c
x3 s 3 2
3
x+s
x4 dx
∫
=
+ a xs + a4 ln
1
s
4
8
8
a
n
n−1
n−2
tanh cx dx = −
tanh
cx+ tanh

cx dx
( n ̸= 1)
∫ 4
c(n − 1)
xs a2 x 3 2
x+s
x dx
∫
=
−
+ a ln
3
1
2
s
2
a
cothn cx dx = −
cothn−1 cx+ cothn−2 cx dx s ( n ̸= 1)
c(n − 1)
∫ 4
3
x 1x
x+s
x dx
=− −
+ ln
1
5
3

2
2
s bx)
s( b ̸=
3 sc )
a
sinh bx sinh cx dx = 2
(b sinh cx cosh bx−c cosh cx sinh
b − c2
(
)
∫ 2m
n−m−1
∑
1
n − m − 1 x2(
1
x dx
n−m
1
cosh bx cosh cx dx = 2
(b sinh bx cosh cx−c sinh cx cosh
bx) = (−1)
( b2 ̸= c2a)2(n−m)
s2n+1
2(m + i) + 1
i
s2(
b − c2
i=0

∫
1
1 x
dx
cosh bx sinh cx dx = 2
(b
sinh
bx
sinh
cx−c
cosh
bx
cosh
=
cx)
− 2 ( b2 ̸= c2 )
2
3
b −c
s
a s
sinh

n−2

cx
dx ∫


18


5

∫
[
]
dx
1 x 1 x3
=
−
s5
a4 s
3 s3
∫
[
]
∫
dx
1 x 2 x3
1 x5
=− 6
+
−
s7
a s
3 s3
5 s5
∫
[
]

∫
dx
1 x 3 x3
3 x5
1 x7
= 8
−
+
−
s9
a s
3 s3
5 s5
7 s7
∫
∫ 2
x dx
1 x3
=
−
s5
a2 3s3
∫
[
]
∫ 2
x dx
1 1 x3
1 x5
= 4

−
s7
a 3 s3
5 s5
[ 3
]
∫ 2
∫
x dx
1 1x
2 x5
1 x7
=
−
−
+
s9
a6 3 s3
5 s5
7 s7
∫
∫
(
)
x
1
xu + a2 arcsin
(|x| ≤ |a|)
u dx =
2

a
∫
1
xu dx = − u3
(|x| ≤ |a|)
∫
3
∫
2
x
a
x
x2 u dx = − u3 + (xu+a2 arcsin )
(|x| ≤ |a|)
4
8
a
∫
u dx
a+u
= u − a ln
(|x| ≤ |a|)
∫
x
x
∫
x
dx
= arcsin
(|x| ≤ |a|)

u
a
∫ 2
∫
x dx
1(
x)
=
−xu + a2 arcsin
(|x| ≤ |a|)
u
2
a
∫
1(
x )
u dx =
xu − sgn x arcosh
(for |x| ≥ |a|)∫
2
a
∫
x
∫
dx = −u
(|x| ≤ |a|)
u
∫

Tí

phân hàm hợp (Integrals involving)
√
ax2 + bx + c

R =

∫

Assume (ax + bx + c) cannot be reduced to the
following expression (px + q)2 for some p and q.

∫

∫

∫

2

∫
∫
∫
∫
∫
∫

√
dx
1
= √ ln 2 aR + 2ax + b

R
a

(for a > 0)
∫

x
R
b
dx =
−
R
a
2a

∫

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

dx
R

x
2bx + 4c
dx = −
R3
(4ac − b2 )R
x

1

b
−
2n+1
2n−1
R
(2n − 1)aR
2a
( √
)
dx
1
2 cR + bx + 2c
= − √ ln
xR
x
c
(
)
dx
1
bx + 2c
√
= − √ arsinh
xR
c
|x| 4ac − b2
Sdx =

dx = −


∫

dx
R2n+1

2S 3
3a

dx
2S
=
S
a

( )

− √2b arcoth √Sb
(for b > 0, ax > 0)



( )
dx
= − √2b artanh √Sb
(for b > 0, ax < 0)

xS
(
)



S
2
 √ arctan √
(for b < 0)
−b
−b
 (
( ))
√
S

√
b
arcoth
(for b > 0, ax > 0)
2
S
−

 (
b ))

(
√
S
S
(for b > 0, ax < 0)
dx = 2 S − b artanh √b


x
(
(
))

√

2 S − −b arctan √S
(for b < 0)
−b
(
∫ n−1 )
xn
2
x
n
dx =
x S − bn
dx
S
a(2n + 1)
S
(
)
∫
2
n
n 3
n−1
x Sdx =

x S − nb x
Sdx
a(2n + 3)
(
(
) ∫
)
1
1
S
3
dx
dx = −
+ n−
a
xn S
b(n − 1) xn−1
2
xn−1 S
1
sin ax dx = − cos ax + C
a
sin2 ax dx =

x 1
x 1
− sin 2ax+C = − sin ax cos ax+C
2 4a
2 2a


sin3 ax dx =

cos 3ax 3 cos ax
−
+C
12a
4a

x2
x
1
x sin2 ax dx =
−
sin 2ax − 2 cos 2ax + C
(for a > 0, 4ac−b > 0)
4
4a
8a
( 2
)
∫
3
x
x
1
x
1
dx
x2 sin2 ax dx =
−

− 3 sin 2ax− 2 cos 2ax+C
= √ ln |2ax + b| (for a > 0, 4ac − b2 = 0)
6
4a
8a
4a
R
a
∫
√ sin((b1 − b2 )x) sin((b1 + b2 )x)
1
2ax + b
dx
sin0,b1|2ax
x sin b+2 xb|dx
−
+C
(for |b1
= −√
arcsin √
(for a < 0, 4ac−b2 <
< = b2 −
2(b4ac)
2(b1 + b2 )
2
1 − b2 )
R
−a
b − 4ac
∫

∫
4ax + 2b
dx
sinn−1 ax cos ax n − 1
n
=
sin ax dx = −
+
sinn−2 ax dx
(for n >
R3
(4ac − b2 )R
na
n
(
)
∫
4ax + 2b
1
8a
dx
1
ax
dx
=
+
= ln tan
+C
R5
3(4ac − b2 )R R2

4ac − b2
sin ax
a
2
∫∫
∫
(
)
cos ax
n−2
dx
dx
2
2ax + b
dx
dx
=
+
(for n > 1)
=
+ 4a(n − 1)
n
n−1
n−2
2n+1
2
2n−1
2n−1
sin
ax

n
−
1
R
(2n − 1)(4ac − b ) R
R
a(1 − n) sin
ax
sin
ax
1
2ax + b
dx
= √ arsinh √
R
a
4ac − b2

2


19
∫

∫
sin ax x cos ax
cos ax dx
1
ax
−

+
C
= x − tan
+C
2
a
a
1 + cos ax
a
2
∫
∫
∫
2k≤n
2k+1≤n
1
ax
∑cos ax dx xn−2k
∑
xn
n
xn−1−2k
n!
+ax+
C
n
n−1
k+1 = −x − n!cot
(−1)
(−1)k 2+2k

x sin ax dx = −
cos ax+
x
cos ax dx =
cos
1
−
cos
ax
a
2
1+2k
a
a
a
(n − 2k)!
a
(n − 2k −
k=0
∫k=0
sin(a1 − a2 )x sin(a1 + a2 )x
∫ a2
cos a1 x cos a2 x dx =
+
+C
(for |a1 |
nπx
a3 (n2 π 2 − 6)
2(a1 − a2 )
2(a1 + a2 )

x2 sin2
dx =
(for n = 2, 4, 6...)
2
2
−a
∫
a
24n π
2
1
1
tan ax dx = − ln | cos ax|+C = ln | sec ax|+C
∫
∞
2n+1
∑
a
a
sin ax
(ax)
dx =
(−1)n
+C
∫
∫
x
(2n + 1) · (2n + 1)!
1
n

n−1
n=0
tan ax dx =
tan
ax− tann−2 ax dx
(for n ̸= 1)
∫
∫
a(n
−
1)
sin ax
sin ax
a
cos ax
∫
dx = −
+
dx
1
dx
q
xn
(n − 1)xn−1
n−1
xn−1
= 2
(for p2 +
(px+ ln |q sin ax+p cos ax|)+C
∫

2
(
)
q
tan
ax
+
p
p
+
q
a
dx
1
ax π
∫
= tan
∓
+C
dx
x
1
1 ± sin ax
a
2
4
= +
ln | sin ax + cos ax| + C
∫
(

)
(
)
tan
ax
+
1
2
2a
x dx
x
ax π
2
ax π
∫+C
= tan
−
+ 2 ln cos
−
dx
x
1
1 + sin ax
a
2
4
a
2
4
=− +

ln | sin ax − cos ax| + C
∫
(
)
(
)
tan ax − 1
2 2a
x dx
x
π ax
π ax
2
= cot
−
−
+ 2 ln sin
∫+C
1 − sin ax
a
4
2
a
4
2
x
1
tan ax dx
= −
ln | sin ax + cos ax| + C

∫
(
)
tan
ax
+
1
2
2a
sin ax dx
1
π ax
= ±x + tan
∓
+C
∫
1 ± sin ax
a
4
2
tan ax dx
x
1
= +
ln | sin ax − cos ax| + C
∫
tan ax − 1
2 2a
1
cos ax dx = sin ax + C

∫
a
1
sec ax dx = ln |sec ax + tan ax| + C
∫
a
x
1
x
1
cos2 ax dx = + sin 2ax+C = + sin ax cos ax+C
∫
2 4a
2 2a
sec2 x dx = tan x + C
∫
∫
cosn−1 ax sin ax n − 1
n
n−2
cos ax dx =
+
cos
ax dx
(for n > 0)
∫
∫
na
n
secn−2 ax tan ax n − 2

n
∫
sec ax dx =
+
secn−2 ax dx
(for n ̸=
cos ax x sin ax
a(n − 1)
n−1
x cos ax dx =
+
+C
a2
a
∫
( 2
)
∫
secn−2 x tan x
secn x dx
=
+
x3
x
1
x
n−1
2
2
∫

x cos ax dx =
+
− 3 sin 2ax+ 2 cos 2ax+C
n−2
n−2
[3]
sec
x
dx
6
4a 8a
4a
n−1
x sin ax dx =

∫

xn sin ax n
x cos ax dx =
−
a
a
n

∫

∞

∫
xn−1 sin ax dx =


2k+1≤n
∫
∑

2k≤n
n−2k−1
∑
xn−2k
n!
dx x
x n!
(−1)k =2+2k
(−1)k 1+2k
cos ax+
x − tan + C
(n −
a
(n − 2k)!
sec x + 1 a
2 2k − 1)!
k=0
k=0
∫
dx
x
= −x − cot + C
sec x − 1
2
∫

1
csc ax dx = − ln |csc ax + cot ax| + C
a
(for n ̸= 1)
∫
csc2 x dx = − cot x + C

∑
cos ax
(ax)2k
dx = ln |ax| +
(−1)k
+C
x
2k · (2k)!
k=1
∫
∫
cos ax
a
cos ax
sin ax
dx
=
−
−
dx
xn
(n − 1)xn−1 n − 1
xn−1

∫
( ax π )
1
dx
= ln tan
+
+C
cos ax
a
2
4
∫
∫
cscn−1 ax csc ax n − 2
∫
∫
cscn ax dx = −
+
cscn−2 ax dx
(for n
sin ax
n−2
dx
dx
a(n
−
1)
n
−
1

=
+
(for
n
>
1)
n
n−1
n−2
cos ax
a(n − 1) cos
ax n − 1
cos
ax ∫
∫
2 sin x2
dx
dx
1
ax
=x−
+C
= tan
+C
csc x + 1
cos x2 + sin x2
1 + cos ax
a
2
∫

∫
2 sin x2
dx
1
ax
dx
=
−x+C
= − cot
+C
csc x − 1
cos x2 − sin x2
1 − cos ax
a
2
∫
∫
1
x dx
x
ax
2
ax
cot ax dx = ln | sin ax| + C
= tan
+ 2 ln cos
+C
a
1 + cos ax
a

2
a
2
∫
∫
∫
1
x
ax
2
ax
x dx
n
n−1
cot ax dx = −
cot
ax− cotn−2 ax dx
(for n ̸= 1)
= − cot
+ 2 ln sin
+C
a(n − 1)
1 − cos ax
a
2
a
2


20

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

5
∫

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

∫

sin2 ax dx
sin ax
1
dx
=
−
(for n ̸=
cosn ax
a(n − 1) cosn−1 ax n − 1
cosn−2 ax
∫
dx
tan ax dx
∫
∫
=
sinn ax dx
sinn−1 ax
sinn−2 ax dx
1 − cot ax
tan ax − 1
=−
+
(for n ̸= 1)
cos ax
a(n − 1)
cos ax
(
)
dx

1
ax π
∫
∫
= √ ln tan
±
+C
sinn ax dx
sinn ax dx
sinn+1 ax
n−m+2
cos ax ± sin ax
2
8
a 2
=
−
(
m
m−1
(
cos ax
a(m − 1) cos
ax
m−1
cosm−2 ax
dx
1
π)
=

tan ax ∓
+C
∫
∫
(cos ax ± sin ax)2
2a
4
sinn ax dx
sinn−1 ax
n−1
sinn−2 ax dx
)
(
=−
+
(
∫m
cos ax
cosm ax
dx
1
dx a(n − m) cosm−1 ax n − m
sin x − cos x
=
−
2(n
−
2)
∫
∫

(cos x + sin x)n
n − 1 (cos x + sin x)n−1
(cos x + sin x)n−2n−1
sin
ax
n−1
sinn ax dx
sinn−2 ax dx
=
−
(for
cos ax dx
x
1
cosm ax
a(m − 1) cosm−1 ax m − 1
cosm−2 ax
= +
ln |sin ax + cos ax| + C
cos ax + sin ax
2 2a
∫
cos ax dx
1
x
1
cos ax dx
=−
+C
(for n ̸= 1)

= −
ln |sin ax − cos ax| + C
sinn ax
a(n − 1) sinn−1 ax
cos ax − sin ax
2 2a
∫
cos2 ax dx
1(
ax )
sin ax dx
x
1
=
cos ax + ln tan
+C
= −
ln |sin ax + cos ax| + C
sin ax
a
2
cos ax + sin ax
2 2a
(
)
∫
∫
sin ax dx
x 1
cos2 ax dx

1
cos ax
dx
= − − ln |sin ax − cos ax|+C
=−
+
(for n ̸=
cos ax − sin ax
2 2a
sinn ax
n − 1 a sinn−1 ax)
sinn−2 ax
cos ax dx
1
ax 1
ax
∫
∫
= − tan2
+ ln tan
+C cosn ax dx
cosn+1 ax
n−m−2
cosn ax dx
sin ax(1 + cos ax)
4a
2 2a
2
=
−

−
m
m−1
sin ax
m−1
a(m − 1) sin
ax
sinm−2 ax
cos ax dx
1
ax
1
ax
∫
= − cot2
− ln tan
+C∫
cosn ax dx
cosn−1 ax
n−1
cosn−2 ax dx
sin ax(1 − cos ax)
4a
2 2a
2
=
+
(fo
m
(

( ax sinπ )ax
sinm ax
a(n − m) sinm−1 ax n − m
sin ax dx
1
π) 1
2 ax
=
cot
+
+ ln tan ∫ +
+C
∫
cos ax(1 + sin ax)
4a
2
4
2a
2cosn4ax dx
cosn−1 ax
n−1
cosn−2 ax dx
=
−
−
(
(
)
(
m)

m−1
1
π
1
sin ax dx
ax sinπ ax
a(m − 1) sin
ax m − 1
sinm−2 ax
2 ax
=
tan
+
− ln tan
+
+C
∫2
cos ax(1 − sin ax)
4a
2
4
2a
4
1
sin ax tan ax dx = (ln | sec ax+tan ax|−sin ax)+C
1
2
a
sin ax cos ax dx = − cos ax + C
2a

∫
1
tann ax dx
=
tann−1 (ax)+C
(for n ̸= 1)
cos((a1 − a2 )x) cos((a1 + a2 )x) 2
sin ax (for a(n
sin a1 x cos a2 x dx = −
−
+C
|a1 | −
̸= 1)
|a2 |)
2(a1 − a2 )
2(a1 + a2∫)
tann ax dx
1
1
=
tann+1 ax+C
(for n ̸= −1)
n
n+1
sin ax cos ax dx =
sin
ax+C
(for n ̸= −1)
cos2 ax
a(n + 1)

a(n + 1)
∫
cotn ax dx
1
1
n
n+1
=−
cotn+1 ax+C
(for n ̸= −1)
sin ax cos ax dx = −
cos
ax+C
(for n ̸=sin
−1)
2
a(n
+
1)
ax
a(n + 1)
∫∫ n
ax dx
1
sinn−1 ax cosm+1 ax n − 1 cot n−2
n
m
= m ax dx tan1−n
+
sin

ax cos
(for ax+C
m, n > 0) (for n ̸= 1)
sin ax cos ax dx = −
2 ax
cos
a(1
− n)
a(n + m)
n+m
∫∫
x m−2
x √ 2
sinn+1 ax cosm−1 ax m − 1
n
n
m
arcsin
dx = xax
arcsin
−n x>2 0)
sin ax cos ax dx =
+
sin
axccos
dx c +(for cm,
a(n + m)
n+m
( 2
)

∫
1
dx
x
x
c2
x x√ 2
= ln |tan ax| + C
x arcsin dx =
−
arcsin +
c − x2
sin ax cos ax
a
c
2
4
c 4
∫
1
dx
dx ∫
x n ̸= 1)x3
x x2 + 2c2 √ 2
=
+
(for
n
n−1
x2 arcsin dx =

arcsin +
c − x2
sin ax cos ax
a(n − 1) cos
ax
sin ax cosn−2 ax
c
3
c
9
∫
dx
1
dx
∫
=−
+
(for n ̸= 1) 1 ( n+1 −1
n−1
n−2
sinn ax cos ax
x
sin x
a(n − 1) sin
ax
sin
ax cos axxn sin−1 x dx = n+1
dx
=
1 + cot ax


tan ax dx
tan ax + 1

∫

1
sin ax dx
=
+C
(for n ̸= 1)
cosn ax
a(n − 1) cosn−1 ax
)
√
∫
∫
( π ax )
xn 1 − x2 − nxn−1 sin−1 x
−1
n−2
1
1
sin2 ax dx
+n x
sin x dx
= − sin ax+ ln tan
+
+C +
n−1

cos ax
a
a
4
2


21
∫

∫
x
x √
dx
1
cx
dx = x arccos − c2 − x2
= ln tanh
c
c
sinh cx
c
2
( 2
)
∫
∫
2
√
x

x
c
x x
dx
1
cosh cx − 1
x arccos dx =
−
arccos −
c2 − x2
= ln
c
2
4
c 4
sinh cx
c
sinh cx
∫
∫
3
2
2√
x
x x + 2c
x
dx
1
sinh cx
x2 arccos dx =

arccos −
c2 − x2
= ln
c
3
c
9
sinh cx
c
cosh cx + 1
∫
∫
x
x c
dx
1
cosh cx − 1
arctan dx = x arctan − ln(c2 + x2 )
= ln
c
c
2
sinh cx
c
cosh cx + 1
∫
∫
x
c2 + x2
x cx

2
dx
x arctan dx =
arctan −
= arctan ecx
c
2
c
2
cosh cx
c
∫
3
2
3
∫
∫
x
x
x
cx
c
n−2
dx
cosh cx
dx
x2 arctan dx =
arctan −
+ ln c2 + x2
−

(n ̸= 1)
=
n
c
3
c
6
6
n−1
n−2
sinh cx
c(n − 1) sinh
cx n − 1
sinh
cx
∫
∫
∫
x
xn+1
x
c
xn+1 dx ∫
sinh cx
dx
n−2
xn arctan dx =
arctan −
(ndx
̸= 1)

=
+
(n ̸= 1)
c
n+1
c n+1
c2 + x2
n
n−1
cosh cx
c(n − 1) cosh
cx n − 1
coshn−2 cx
∫
√
x
x
x
∫
∫
arcsec dx = x arcsec +
ln |x ± x2 − 1|
coshn−1 cx
coshn−2 cx
coshn cx
n−1
c
c
c|x|
dx

=
dx
(
+
∫
sinhm cx
sinhm cx
c(n − m) sinhm−1 cx n − m
)
√
1( 2
∫
∫
x arcsec x − x2 − 1
x arcsec x dx =
coshn cx
n−m+2
coshn+1 cx
coshn cx
2
+
dx
dx
=
−
m
m−1
sinh cx
m−1
c(m − 1) sinh

cx
sinhm−2 cx
∫ n
x arcsec x dx
=
∫
∫
( n+1
( n−1 √
1
1
coshn cx
coshn−1 cx
n−1
coshn−2 cx
2−1
x
arcsec
x
−
x
x
n+1
n
dx = −
+
dx
m
sinh cx
c(m − 1) sinhm−1 cx m − 1

sinhm−2 cx
∫
∫
sinhm cx
sinhm−1 cx
sinhm−2 cx
m−1
(
)))
∫
+
dx
=
dx
(
n
coshn cx
+(1 − n) xn−1 arcsec x + (1 − n) xn−2 arcsec x dx cosh cx
c(m − n) coshn−1 cx m − n
∫
∫
sinhm cx
sinhm+1 cx
m−n+2
sinhm cx
∫
dx
=
+
dx

n
n−1
x
x c
cosh cx
n−1
c(n − 1) cosh
cx
coshn−2 cx
arccot dx = x arccot + ln(c2 + x2 )
c
c
2
∫
∫
sinhm cx
sinhm−1 cx
m−1
sinhm−2 cx
∫
2
2
dx = −
+
dx
x
c +x
x cx
n
n−1

cosh cx
x arccot dx =
arccot +
c(n − 1) cosh
cx n − 1
coshn−2 cx
c
2
c
2
∫
∫
1
1
3
2
3
x
x
x
cx
c
x sinh cx dx = x cosh cx − 2 sinh cx
x2 arccot dx =
arccot +
− ln(c2 +x2 )
c
c
c
3

c
6
6
∫
∫
∫ n+1
1
1
n+1
x cosh cx dx = x sinh cx − 2 cosh cx
x
x
x
c
x
dx
xn arccot dx =
arccot +
(n
=
̸
1)
c
c
c
n+1
c n+1
c2 + x2 ∫
∫
1

1
tanh cx dx = ln | cosh cx|
sinh cx dx = cosh cx
c
c
∫
∫
1
1
coth cx dx = ln | sinh cx|
cosh cx dx = sinh cx
c
c
∫
∫
∫
1
n
n−1
1
x
tanh cx dx = −
tanh
cx+ tanhn−2 cx dx
(n ̸= 1)
sinh2 cx dx =
sinh 2cx −
c(n
−
1)

4c
2
∫
∫
∫
1
n
n−1
1
x
2
coth
cx
dx
=
−
coth
cx+
cothn−2 cx dx
(n ̸= 1)
cosh cx dx =
sinh 2cx +
c(n
−
1)
4c
2
∫
∫
∫

1
1
n−1
sinh
(b sinh cx cosh bx−c cosh cx sinh bx)
(
sinhn cx dx =
sinhn−1 cx cosh cx−
sinhn−2 cx
dxbx sinh
(ncx
>dx
0) = 2
b − c2
cn
n
∫
∫ ∫
1
1
n+2
n+2
cosh
bx
(b sinh bx cosh cx−c sinh cx cosh bx)
sinhn cx dx =
sinhn+1 cx cosh cx−
sinh
cxcosh
dx cx dx

(n =
< 0,2 n ̸=2−1)
b −c
c(n + 1)
n+1
∫
∫
∫
1
1
n−1
n
n−1
n−2
cosh
(b sinh bx sinh cx−c cosh bx cosh cx)
cosh cx dx =
sinh cx cosh
cx+
cosh
cx dxbx sinh(ncx>dx
0) = 2
b − c2
cn
n
∫
∫∫
1
n+2
a

c
n+2
coshn cx dx = −
sinh cx coshn+1 cx−
cosh
cx dx
(n n ̸=2 −1) 2 cosh(ax+b) sin(cx+d)− 2
sinh(ax+b)
sin(cx+d)
c(n + 1)
n+1
a +c
a + c2
arccos


22
∫

5

(∑
)
∫ x2 c
2
n−1
a
1
e dx = sinh(ax+b)

ex
c2j x2j+1
+ (2n −
cosh(ax+b)
cos(cx+d)+
sin(cx+d)
j=0
a2 + c2
a2 +∫c2 x2
1)c2n−2 xe 2n dx (n > 0),
a
c
cosh(ax+b) sin(cx+d) dx = 2
sinh(ax+b) sin(cx+d)− 2
cosh(ax+b) cos(cx+d)
2
a + c2
a +
1 ·c3 · 5 · · · (2j − 1)
(2j) !
c2j =
=
.
a
c
2j+1
j! 22j+1
cosh(ax+b) cos(cx+d) dx = 2
sinh(ax+b) cos(cx+d)+ 2
cosh(ax+b) sin(cx+d)

a + c2
a + c2
√
∫ ∞
π
−ax2
x
x √ 2
e
dx
=
2
arsinh dx = x arsinh − x + c
a
−∞
c
c
∫
∞
√ (2n)! ( a )2n+1
2
2
x
x √
x2n e−x /a dx = π
arcosh dx = x arcosh − x2 − c2
n! 2
c
c
0

∫
x c
x
(|x| < |c|) ln cx dx = x ln cx − x
artanh dx = x artanh + ln |c2 −x2 |
c
c 2
∫
x
x c
2
2
arcoth dx = x arcoth + ln |x −c |
(|x| > |c|) (ln x)2 dx = x(ln x)2 − 2x ln x + 2x
c
c 2
∫
∫
√
c−x
n
n
x c+x
(ln cx) dx = x(ln cx) − n (ln cx)n−1 dx
x
x
(x ∈ (0, c))
arsech dx = x arsech −c arctan
c
c

x−c
∫
∞
∑
dx
(ln x)i
√
= ln | ln x| + ln x +
x
x
x + x2 + c 2
ln xc))
i · i!
arcsch dx = x arcsch +c ln
(x ∈ (0,
i=2
c
c
c
∫
∫
dx
x
1
dx
1
=
−
+
(n ̸= 1)

n
n−1
n−1
ecx dx = ecx
(ln
x)
(n
−
1)(ln
x)
n
−
1
(ln
x)
c
)
(
∫
1
ln x
m
m+1
1 cx
cx
−
(m ̸= −1)
x
ln
x

dx
=
x
a dx =
a
(a > 0, a ̸= 1)
m + 1 (m + 1)2
c ln a
∫
∫
xm+1 (ln x)n
n
ecx
xm (ln x)n dx =
−
xm (ln x)n−1 dx
(m ̸= −
xecx dx = 2 (cx − 1)
m+1
m+1
c
∫
( 2
)
(ln x)n dx
(ln x)n+1
x
2x
2
=

(n ̸= −1)
x2 ecx dx = ecx
− 2 + 3
x
n+1
c
c
c
∫
∫
ln x dx
ln x
1
1 n cx n
n cx
n−1 cx
=−
−
(m ̸= 1)
x e dx = x e −
x
e dx
m
m−1
2 xm−1
x
(m
−
1)x
(m

−
1)
c
c
∫
∫
∞
∑
(ln x)n
n
(ln x)n−1 dx
(ln x)n dx
ecx dx
(cx)i
=
−
+
( m ̸= 1)
= ln |x| +
m
m−1
x
(m − 1)x
m−1
xm
x
i
·
i!
i=1

∫ m
∫
(
)
∫
x dx
xm+1
m+1
xm dx
cx
e dx
1
ecx
ecx
=
−
+
( n ̸= 1)
n
n−1
=
− n−1 + c
dx
(n ̸= 1)(ln x)
(n − 1)(ln x)
n−1
(ln x)n−1
xn
n−1
x

xn−1
∫
dx
1 cx
= ln | ln x|
cx
e ln x dx = e ln |x| − Ei (cx)
x ln x
c
∫
∞
∑
(n − 1)i (ln x)i
dx
ecx
cx
=
ln
|
ln
x|
+
(−1)i
e sin bx dx = 2
(c
sin
bx
−
b
cos

bx)
n
x ln x
i · i!
c + b2
i=1
∫
ecx
1
dx
ecx cos bx dx = 2
(c cos bx + b sin bx)
=−
(n ̸= 1)
c + b2
x(ln x)n
(n − 1)(ln x)n−1
∫ ∫
n(n − 1)
ecx sinn−1 x
n−2 x
sin(ln
= x dx
(sin(ln x) − cos(ln x))
(c
sin
x−n
cos
x)+
ecxx)sindx

ecx sinn x dx =
2
c2 + n2
c 2 + n2
∫ ∫
x
ecx cosn−1 x
n(n − 1)
cx
n
cos(ln
x)cos
dxn−2
= x (sin(ln
x) + cos(ln x))
e cos x dx =
(c cos x+n sin x)+ 2
ecx
dx
2
2
2
2
c +n
c +n
∫
2
(ax + b)n+1
1 cx2
(ax + b)n dx =

(n ̸= −1)
xecx dx =
e
a(n + 1)
2c
∫
2
2
1
x−µ
1
dx
1
√ e−(x−µ) /2σ dx =
(1 + erf √ )
= ln |ax + b|
2σ
ax + b
a
σ 2π
σ 2
sinh(ax+b) cos(cx+d) dx =

∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN


23
∫
x(ax+b)n dx =
∫

a(n + 1)x − b
(ax+b)n+1
+ 1)(n + 2)

a2 (n

(n ̸∈[1]
{1, />2})
access=standard&Itemid=129&url=/articles/aas/pdf/
1998/10/h0596.pdf

x
x
b
dx = − 2 ln |ax + b|
ax + b
a a
[2] Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th
∫
Edition. omson: 2008
x
b
1
dx = 2
+ 2 ln |ax + b|
2
(ax + b)
a (ax + b) a
[3] Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th
∫
Edition. omson: 2008
x
a(1 − n)x − b
dx
=

(n
∈
̸
{1,
2})
(ax + b)n
a2 (n − 1)(n − 2)(ax + b)n−1
(
)
∫
x2
1 (ax + b)2
dx = 3
− 2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|
ax + b
a
2
(
)
∫
2
1
x
b2
dx = 3 ax + b − 2b ln |ax + b| −
(ax + b)2
a
ax + b
(
)

∫
2
x
1
2b
b2
dx
=
ln
|ax
+
b|
+
−
(ax + b)3
a3
ax + b 2(ax + b)2
(
)
∫
x2
1
1
2b
b2
dx = 3 −
+
−
(n ̸∈ {1, 2, 3})
(ax + b)n

a
(n − 3)(ax + b)n−3
(n − 2)(a + b)n−2
(n − 1)(ax + b)n−1
∫
dx
1
ax + b
= − ln
x(ax + b)
b
x
∫
dx
1
a
ax + b
= − + 2 ln
2
x (ax + b)
bx b
x
(
)
∫
1
1
2
dx
ax + b

=
−a
+
−
ln
x2 (ax + b)2
b2 (ax + b) ab2 x b3
x
∫
1
x
dx
= arctan
x2 + a2
a
a
∫
dx
1
x
1
a−x
= − arctanh =
ln
(|x| < |a|)
x2 − a2
a
a
2a a + x
∫

dx
1
x
1
x−a
= − arccoth =
ln
(|x| > |a|)
x2 − a2
a
a
2a x + a
∫
dx
2ax + b
2
arctan √
(4ac−b2 > 0)
=√
2
2
ax + bx + c
4ac − b
4ac − b2
√
∫
dx
2
2ax + b
1

2ax + b − b2 − 4ac
√
=√
artanh √
=√
ln
(4ac−b2 < 0)
ax2 + bx + c
b2 − 4ac
b2 − 4ac
b2 − 4ac
2ax + b + b2 − 4ac
∫
dx
2
=−
(4ac − b2 = 0)
2
ax + bx + c
2ax + b
∫
∫
x
1
b
dx
2
dx
=
ln

ax
+
bx
+
c
−
2
2
ax + bx + c
2a
2a
ax + bx + c
∫
2ax + b
m
2an
−
bm
mx + n
arctan √
(4ac−b2 > 0)
dx =
ln ax2 + bx + c + √
2
2
ax + bx + c
2a
a 4ac − b
4ac − b2
∫

2ax + b
mx + n
m
2an − bm
artanh √
(4ac−b2 < 0)
dx =
ln ax2 + bx + c + √
ax2 + bx + c
2a
a b2 − 4ac
b2 − 4ac
∫
mx + n
m
2an − bm
dx =
ln ax2 + bx + c −
(4ac−b2 = 0)
ax2 + bx + c
2a
a(2ax + b)
∫
∫
2ax + b
(2n − 3)2a
dx
dx
=
+

2
n
2
2
n−1
2
2
(ax + bx + c)
(n − 1)(4ac − b )(ax + bx + c)
(n − 1)(4ac − b )
(ax + bx + c)n−1
∫
∫
bx + 2c
b(2n − 3)
x
dx
dx =
−
(ax2 + bx + c)n
(n − 1)(4ac − b2 )(ax2 + bx + c)n−1 (n − 1)(4ac − b2 )
(ax2 + bx + c)n−1
∫
∫
1
x2
dx
b
dx
=

ln
−
2
2
2
x(ax + bx + c)
2c
ax + bx + c 2c
ax + bx + c