Kiến thức cần nhớ khi giải toán hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (422.9 KB, 3 trang )
LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (HỌC SINH TỰ VẼ HÌNH)
I. Cách tìm hình chiếu của điểm A lên mp(Q)
+) Tìm mặt phẳng (P) chứa A và (P) vuông góc với (Q).
+) Tìm giao tuyến d của (P) và (Q);
+) Gọi H là hình chiếu của A lên d. Suy ra H là hình chiếu của A lên (Q).
Đặc biệt: Nếu SA ( ABC ) thì hình chiếu của B lên (SAC) là hình chiếu của B lên
AC.
Nếu SA ( ABC ) thì tìm hình chiếu của A lên (SBC) như sau: Gọi K là hình chiếu
của A lên BC; gọi H là hình chiếu của A lên SK. Ta chứng minh được H hình chiếu
của A lên (SBC).
Chú ý: Trong hình chóp đều hoặc hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình
chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy
II. Góc
1. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
TH1. Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: Góc giữa chúng bằng 00.
TH2. Hai dường thẳng cắt nhau (Khi đó góc giữa 2 đt là góc nhỏ nhất trong 4 góc)
AB 2 AC 2 BC 2
cos( AB , AC ) cos BAC
. Từ đó suy ra góc giữa AB và AC.
2. AB . AC
TH3. Hai đường thẳng a và b chéo nhau
Cách 1. Tìm c song song với a, c cắt b. Suy ra góc giữa a và b bằng góc giữa b và c
(tính theo TH2)
Cách 2. Để tính góc giữa hai đường chéo nhau AB và CD ta có thể làm như sau
AB .CD
+) cos( AB , CD) cos AB , CD
.
AB CD
2
2
+) Biểu thị AB, CD theo 3 vec tơ có cùng điểm đầu, từ đó tính AB .CD , AB , CD và
suy ra cos(AB,CD)
2. Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
TH1: Đường thẳng nằm trên hoặc song song với mp: Góc giữa chúng bằng 00.
TH2: Đường thẳng vuông góc với mp: Góc giữa chúng bằng 900.
TH3: Không xảy ra TH1 và TH2. Khi đó để tìm góc giữa a và (P) ta làm như sau
Cách 1:
+) Tìm giao điểm M của a và (P).
+) Trên a lấy A khác M, tìm hình chiếu H của A lên (P).
+) Ta có MH là hình chiếu của a lên (P), do đó góc giữa a và (P) bằng góc giữa AM
và MH bằng góc AMH. Tính cosAMH, suy ra góc AMH.
Cách 2:
+) Tìm giao điểm M của a và (P).
+) Trên a lấy A khác M, gọi H là hình chiếu của A lên (P).
+) Ta có MH là hình chiếu của a lên (P), do đó góc giữa a và (P) bằng góc giữa AM
và MH bằng góc AMH.
MH
AM 2 AH 2
+) cos AMH
. Tính AM, AH = d(A,(P)).
AM
AM
1
3. Cách tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Cách 1: Tìm a và b lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Khi đó góc giữa (P) và (Q)
chính là góc giữa a và b. Tìm góc giữa a và b suy ra góc giữa (P) và (Q).
Cách 2: Tìm giao tuyến d của (P) và (Q). Tìm (R) vuông góc với d; a và b lần lượt là
giao tuyến của (R) với (P) và (Q). Khi đó góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa a và
b. Tìm góc giữa a và b suy ra góc giữa (P) và (Q).
Cách 3: (ít dùng) +) Tìm một đa giác trên (P) có diện tích S.
+) Tìm hình chiếu của đa giác đó trên (Q), tính diện tích S’ của đa giác này.
S'
+) Gọi là góc giữa (P) và (Q), ta có S ' S .cos cos . Từ đó suy ra .
S
Chú ý:
1. Nếu hai tam giác AMN và BMN cân tại A và B thì để xác định góc giữa (AMN) và
(BMN) ta gọi I là trung điểm của MN. Suy ra AI, BI cùng vuông góc với MN. Vậy
góc giữa (AMN) và (BMN) là góc giữa AI và BI.
2. Nếu hai tam giác AMN và BMN bằng nhau thì để xác định góc giữa (AMN) và
(BMN) ta gọi H là hình chiếu của A lên MN. Suy ra AH, BH cùng vuông góc với
MN. Vậy góc giữa (AMN) và (BMN) là góc giữa AH và BH.
(hay dùng) 3. Nếu có đường thẳng a vuông góc với (P) thì:
+) Tìm A, B lần lượt là giao điểm của a với (P), (Q) ((Q) là mặt đáy)
+) Tìm giao tuyến của (P) và (Q). Gọi H là hình chiếu của A (hoặc B) lên giao tuyến
đó.
+) Ta chứng minh AH và BH cùng vuông góc với giao tuyến.
+) Vậy góc giữa (AMN) và (BMN) là góc giữa AH và BH.
III. KHOẢNG CÁCH
1. Cách tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta có d(A,BC)=AH
TH1: Tam giác ABC vuông tại A
1
1
1
Tính AB, AC rồi dùng hệ thức
, từ đó tính AH.
2
2
AH
AB
AC 2
TH2: Tam giác ABC cân tại A: Tính AB, BC rồi áp dụng định lí Pitago cho
tam giác AHB vuông tại H
TH3: Tam giác ABC không vuông, không cân tại A
2S
1
Ta có S ABC AH .BC AH ABC . Tính SABC và BC, Từ đó tính AH.
2
BC
Cách 2: Tính gián tiếp (xem cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.)
2. Cách tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
Cách 1: (Tính trực tiếp)
TH1: AB, AC, AD đôi một vuông góc: Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD). Tính
1
1
1
1
AB, AC, AD rồi dùng hệ thức
, từ đó tính AH.
2
2
2
AH
AB
AC
AD 2
TH2. A.BCD là hình chóp đều đỉnh A: Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD); Gọi M
là trung điểm của CD. Tính cạnh của hình chóp.
2
2
3
2 BM
Ta có AH AB BH AB
BC )
(với BM
2
3
TH3. Không xảy ra TH1 và TH2: Tìm hình chiếu H của A lên (BCD).
Khi đó d(A,(BCD))=AH (tính AH giống cách tính khoảng cách từ điểm đến đường
thẳng)
Cách 2: (Tính gián tiếp) Dựa vào các tính chất
d A, MA
TC1: Nếu AB M thì
.
d B, MB
TC2: Nếu AB // thì d A, d B, .
3V
Cách 3: Dựa vào công thức thể tích. d(A,(BCD)) ABCD .
SBCD
3. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
TH1: a b
+) Tìm mp (P) chứa a và vuông góc với b; +) Tìm giao điểm H của b và (P).
+) Gọi K là hình chiếu của H lên a. Chứng minh HK a .
+) Vậy HK là đoạn vuông góc chung của a và b hay d(a,b) = HK.
(tính HK giống cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng)
TH2. a và b không vuông góc, a thuộc đáyhoặc a thuộc mặt bên là tứ giác
+) Tìm mp(P) chứa b và song song với a (tìm c cắt b và c song song với a.
Khi đó (P) là mp chứa b và c)
+) Ta có d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) với A là điểm bất kì thuộc a.
2
2
2
3
