TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————oOo————

Nguyễn Thị Thanh Mai

BÀI TOÁN PHÂN LOẠI
CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————oOo————

Nguyễn Thị Thanh Mai

BÀI TOÁN PHÂN LOẠI
CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Chu Gia Vượng

Hà Nội - Năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, các
thầy cô trong tổ bộ môn Đại số cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy
đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS.
Nguyễn Chu Gia Vượng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản Khóa
luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được
những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Mai


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán phân loại các nhóm phản xạ hữu
hạn" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu của bản thân cùng
với sự giúp đỡ tận tình của TS. Nguyễn Chu Gia Vượng.
Tôi xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết
quả của các tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên


Nguyễn Thị Thanh Mai


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

2

1.1

Giới thiệu chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Phép phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Nhóm phản xạ hữu hạn và một số ví dụ . . . . . . . . .


3

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.2. Nhóm nhị diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.3. Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.4. Một số nhóm phản xạ hữu hạn khác . . . . . . .

6

1.4

Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Các hệ nghiệm dương và hệ nghiệm đơn của một hệ nghiệm 11

1.6


Tính liên hợp của các hệ nghiệm dương và hệ nghiệm đơn

16

1.7

Sự sinh bởi các phép phản xạ đơn . . . . . . . . . . . . .

18

1.8

Hàm độ dài và biểu diễn thu gọn . . . . . . . . . . . . .

20

1.9

Các điều kiện xóa và tráo . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.10 Tính truyền dẫn đơn và phần tử dài nhất . . . . . . . . .

26

1.11 Các phần tử sinh và các quan hệ . . . . . . . . . . . . .

27


1.12 Nhóm con parabolic và các phần tử đại diện nhỏ nhất của
các lớp kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.13 Lưới các nhóm con parabolic . . . . . . . . . . . . . . . .

32

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

1.14 Miền cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.15 Mỗi phép phản xạ trong W đều có dạng sα với α ∈ Φ . .

36

2 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN

37

2.1


Giới thiệu chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2

Các phép đẳng cấu của các nhóm phản xạ hữu hạn . . .

37

2.3

Các thành phần bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4

Dạng song tuyến tính liên kết với đồ thị Coxeter . . . . .

39

2.5

Một số đồ thị xác định dương . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.6


Một số đồ thị nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . .

45

2.7

Đồ thị con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.8

Phân loại các đồ thị loại dương . . . . . . . . . . . . . .

50

2.9

Các nhóm tinh thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.10 Các hệ nghiệm tinh thể và các nhóm Weyl . . . . . . . .

53

2.11 Xây dựng hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56


2.12 Cấp của W

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.13 Các nhóm Weyl đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.14 Nhóm loại H3 và H4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

KẾT LUẬN

65

TÀI LIỆU THAM KHẢO

66

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số nghiên cứu các tính
chất của nhóm - một cấu trúc đại số cơ bản. Đây là một lý thuyết được
hình thành từ cuối thế kỷ 19 và hiện nay vẫn là chủ đề nghiên cứu của
Toán học.
Trong Khóa luận này chúng ta tìm hiểu về các nhóm phản xạ hữu
hạn - một lớp nhóm có nhiều ứng dụng trong các hướng nghiên cứu
khác nhau của Toán học. Cụ thể hơn, chúng ta quan tâm đến "Bài
toán phân loại các nhóm phản xạ hữu hạn". Khóa luận được hình
thành dựa vào việc tìm hiểu tài liệu "James E. Humphreys, Reflection
groups and Coxeter groups, Cambridge University Press 1990". Ngoài
ra, tôi cũng tham khảo một số tài liệu khác (xem mục tài liệu tham
khảo). Công cụ chính để phân loại các nhóm xạ hữu hạn là phân loại
các hệ nghiệm và các dạng đồ thị Coxeter tương ứng.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày khái niệm nhóm phản xạ hữu hạn và đưa ra một
số ví dụ cụ thể để minh họa. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra các kiến
thức quan trọng về nhóm phản xạ hữu hạn như: các hệ nghiệm, tính liên
hợp của các hệ nghiệm, sự sinh bởi các phép phản xạ, miền cơ bản...
Chương 2 đi vào nội dung chính của Khóa luận là phân loại các nhóm
phản xạ hữu hạn. Phân loại các nhóm phản xạ hữu hạn được thực hiện
dựa vào việc phân loại các đồ thị Coxeter. Kết quả quan trọng nhất
trong phần này là phân loại các đồ thị Coxeter liên thông loại dương.
Trong chương này, chúng tôi cũng xây dựng được các hệ nghiệm tinh
thể, không tinh thể tương ứng với các nhóm phản xạ và tính toán cấp
của chúng.

1


Chương 1

NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN
1.1

Giới thiệu chương

Trong Chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các nhóm hữu hạn được
sinh bởi các phép phản xạ trong không gian Ơclít. Công cụ chính để
nghiên cứu các nhóm này là các vectơ trực giao với siêu phẳng phản xạ.
Từ bây giờ ta kí hiệu V là một không gian vectơ Ơclít V.

1.2

Phép phản xạ

Định nghĩa 1.2.1. Cho (V, , ) là một không gian vectơ Ơclít. Với
0 = α ∈ V, kí hiệu Lα là đường thẳng Rα và Hα là siêu phẳng trực giao
với α. Khi đó V = Lα ⊕ Hα . Định nghĩa sα là phép phản xạ qua siêu
phẳng Hα và song song với đường thẳng Lα .
Như vậy,
• Với mọi λ ∈ Hα thì sα (λ) = λ.
• Với mọi λ ∈ Lα thì sα (λ) = −λ.
• Cấp của phép phản xạ bằng 2, tức là s2α = 1 và sα = Id.
Chú ý 1.2.1. Với mọi 0 = k ∈ R thì Hkα = Hα và skα = sα .
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai


Một số tính chất cơ bản sau được trực tiếp suy ra từ định nghĩa.
Tính chất 1.2.1.
(i) Với mọi λ ∈ V ta có sα λ = λ −

2 λ, α
α.
α, α

(ii) Toán tử tuyến tính sα là trực giao, tức là với mọi λ, µ ∈ V thì
sα λ, sα µ = λ, µ .
(iii) det sα = −1.

1.3

Nhóm phản xạ hữu hạn và một số ví dụ

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa về nhóm phản xạ hữu
hạn. Đây là định nghĩa quan trọng xuyên suốt nội dung của chương này.
Lưu ý rằng, các kí hiệu dùng trong mục này sẽ tương ứng với sự phân
loại các nhóm phản xạ theo dạng được tìm hiểu ở Chương 2.
1.3.1.

Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1. Gọi O(V) là nhóm các phép biến đổi trực giao của
V. Một nhóm con của O(V) được gọi là một nhóm phản xạ nếu nó có
một tập sinh gồm các phép phản xạ. Hơn nữa, nếu nhóm này hữu hạn
thì nó được gọi là nhóm phản xạ hữu hạn.
1.3.2.


Nhóm nhị diện

Định nghĩa 1.3.2. [1] Cho Pm , m ≥ 3 là đa giác đều m cạnh, tâm tại
gốc tọa độ. Tập các phép biến đổi trực giao của mặt phẳng bảo toàn Pm
lập thành một nhóm, gọi là nhóm nhị diện. Kí hiệu là Dm .
Về sau nhóm nhị diện Dm tương ứng với một nhóm phản xạ loại
I2 (m).
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Tính chất 1.3.1. Nhóm Dm có cấp bằng 2m, gồm m phép quay (quay
quanh tâm của Pm một góc có hướng bằng

2π
mk

với k = 0, m − 1) và m

phép phản xạ qua các "đường chéo". Ở đây, đường chéo là đường thẳng
đi qua hai đỉnh hoặc trung điểm hai cạnh đối diện nếu m chẵn và là
đường thẳng đi qua một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện nếu m lẻ.
Mệnh đề 1.3.1. Nhóm Dm là một nhóm phản xạ hữu hạn.
Chứng minh. Phép quay góc

2π
m


có thể thu được từ tích của hai phép

phản xạ qua hai đường chéo liền kề tạo một góc θ =

π
m.

Mà

2π
m

là phần

tử sinh của các phép quay nên mọi phép quay khác đều phân tích được
thành tích của hai phép phản xạ. Hơn nữa, nhóm Dm được sinh bởi các
phần tử phản xạ. Do đó Dm là một nhóm phản xạ hữu hạn.
Ví dụ 1.3.1. Ta tìm hiểu nhóm D4 trong không gian R2 . Chọn các siêu
phẳng phản xạ là các đường thẳng Hα , Hβ sao cho (Hα , Hβ ) = θ =

π
4

(như hình vẽ). Lấy hai vectơ đơn vị trực giao với Hα , Hβ lần lượt là α =
(sin θ, − cos θ), β = (0, 1) sao cho (α, β) = π − θ. Do vậy α, β = − cos θ.
Đồng nhất đường thẳng Hβ với trục hoành. Khi đó ta có ma trận biểu
diễn của sα sβ trong hệ cơ sở chính tắc của R2 là:
cos 2θ


sin 2θ

sin 2θ − cos 2θ

1

0

0 −1

Do đó sα sβ là một phép quay góc 2θ =

4

=
π
2

cos 2θ − sin 2θ
sin 2θ

cos 2θ

.

ngược chiều kim đồng hồ.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Thanh Mai

Hα

θ

β

α

1.3.3.

Hβ

Nhóm đối xứng

Định nghĩa 1.3.3. [1] Giả sử T là một tập hợp khác rỗng, S(T ) là tập
tất cả các song ánh trên T . Khi đó S(T ) cùng với phép hợp thành các
ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp T . Mỗi
nhóm con của S(T ) được gọi là một nhóm các phép chuyển vị trên T .
Đặc biệt, nếu T = {1, 2, . . . , n} thì nhóm S(T ) được kí hiệu đơn giản là
nhóm Sn và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử.
Mệnh đề 1.3.2. Nhóm Sn đẳng cấu với với một nhóm con phản xạ hữu
hạn của nhóm O(n, R) - nhóm các ma trận trực giao cấp n.
Chứng minh. Xét không gian Ơclít V = Rn với cơ sở trực chuẩn là
ε1 , ε2 , . . . , εn . Ta nhúng Sn vào O(n, R) = O(V) bằng cách đồng nhất
mỗi σ ∈ Sn với toán tử trực giao duy nhất của V, gửi cơ sở trực

5



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

chuẩn ε1 , ε2 , . . . , εn lên cơ sở trực chuẩn εσ(1) , εσ(2) , . . . , εσ(n) . Ta thấy,
phép chuyển vị (i, j) đồng nhất mỗi phần tử σ với một phép phản xạ
của Rn . Cụ thể:
• Vectơ εi − εj được gửi lên vectơ −(εi − εj ).
• Cố định các vectơ thuộc không gian trực giao với vectơ εi − εj . Đây
là một không gian gồm tất cả các vectơ trong Rn có thành phần
thứ i và thứ j giống nhau.
Mặt khác, ta biết rằng Sn được sinh bởi các phép chuyển vị dạng (i, i+1)
với 1 ≤ i ≤ n − 1. Do đó Sn là một nhóm phản xạ hữu hạn.
Nhận xét 1.3.1.
Khi Sn tác động lên Rn trong cách vừa mô tả, nó cố định mọi vectơ
của đường thẳng sinh bởi ε1 + · · · + εn và làm ổn định siêu phẳng trực
giao với ε1 + · · · + εn , siêu phẳng gồm các vectơ mà tổng tọa độ trong cơ
sở trực chuẩn bằng 0. Như vậy, Sn có thể được nhúng vào O(n − 1, R)
như một nhóm phản xạ. Vì thế, về sau nhóm đối xứng Sn tương ứng với
một nhóm phản xạ dạng An−1 , n ≥ 2 thay vì dạng An .
1.3.4.

Một số nhóm phản xạ hữu hạn khác

Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm tích nửa trực tiếp. Cho A, B là hai
nhóm và ánh xạ ϕ : B −→ AutA là một đồng cấu nhóm (AutA là nhóm
các tự đẳng cấu nhóm của A). Tích nửa trực tiếp A

B (hoặc A


B)

ϕ

là tập hợp A × B cùng với phép nhân cho bởi:
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 ϕ(b1 )(a2 ), b1 b2 ).
Đây là một nhóm. Hơn nữa A, B đồng nhất một cách tự nhiên với các
nhóm con {(a, 1B ), a ∈ A} và {(1A , b), b ∈ B} của A
6

B. Đồng thời, ta


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

có A

A

B, AB = A

Nguyễn Thị Thanh Mai

B và A ∩ B = 1.

Đảo lại, nếu A, B là hai nhóm con của một nhóm G thỏa mãn:




A G



AB = G




A ∩ B = 1,
thì G

A

B. Trong đó ánh xạ
ϕ :B −→ AutA
b −→ (a −→ bab−1 ),

xác định mối quan hệ giữa B và A.
a. Nhóm phản xạ dạng Bn , n ≥ 2
Nhóm phản xạ dạng Bn được xây dựng theo cách sau. Xét không
gian Ơclít V = Rn . Ta vẫn đồng nhất Sn với một nhóm con của O(V)
bằng cách hoán vị các vectơ của cơ sở trực chuẩn ε1 , ε2 , . . . , εn của V
như trong Mệnh đề 1.3.2. Với mỗi 1 ≤ i ≤ n ta xây dựng phép phản xạ
của V xác định bởi:

εi → −εi ,
ε → ε với mọi j = i.
j
j

Chúng sinh ra một nhóm con cấp 2n của O(n, R) đẳng cấu với nhóm
(Z/2Z)n . Hơn nữa nhóm con này được chuẩn tắc hóa bởi Sn . Kí hiệu
W (Bn ) là nhóm con của nhóm O(n, R) sinh bởi Sn và (Z/2Z)n . Khi đó,
ta có W ∼
= (Z/2Z)n Sn . Nói riêng, cấp của W bằng 2n n!.
b. Nhóm phản xạ dạng Dn , n ≥ 4
Xét không gian Ơclít V = Rn . Ta vẫn đồng nhất Sn với một nhóm con
của O(V) bằng cách hoán vị các vectơ của cơ sở trực chuẩn ε1 , ε2 , . . . , εn
của V như trong Mệnh đề 1.3.2. Xét nhóm (Z/2Z)n−1 đẳng cấu với nhóm
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

con A của nhóm (Z/2Z)n . Khi đó
A = {(σ1 , . . . , σn )|

σi = 0 (mod 2)}.
i

Với mỗi i = j, xét phép phản xạ xác định bởi εi + εj
εi + εj −→ −(εi + εj ),
εk −→ εk , với mọi k = i, j
εi − εj −→ εi − εj .
Nghĩa là:
εi −→ −εj ,
εj −→ −εi ,
εk −→ εk với mọi k = i, j.


Kí hiệu W (Dn ) là nhóm con của nhóm O(n, R) sinh bởi Sn và (Z/2Z)n−1 .
n−1
Khi đó, ta có W (Dn ) ∼
Sn .
= (Z/2Z)

1.4

Nghiệm

Từ bây giờ ta kí hiệu W là một nhóm phản xạ hữu hạn của một
không gian vectơ Ơclít V. Chúng ta đi tìm hiểu cách W tác động lên V.
Ta thấy mỗi phép phản xạ sα trong W xác định một siêu phẳng phản
xạ Hα và một đường thẳng Lα trực giao với nó. Kết quả sau chỉ ra rằng
W được xác định bởi tập hợp {Lα , sα ∈ W }.
Mệnh đề 1.4.1. Với ϕ ∈ O(V) và α là một vectơ khác 0 của V, ta có
ϕsα ϕ−1 = sϕα . Đặc biệt với mọi w ∈ W và sα ∈ W thì swα ∈ W .

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Chứng minh. Trước hết
(ϕsα ϕ−1 )(ϕα) = ϕsα (ϕ−1 ϕ)α = ϕ(sα α) = −ϕα.
Ngoài ra với mọi vectơ β ∈ ϕα


⊥

ta có

ϕsα ϕ−1 (β) = ϕsα (ϕ−1 β)
α, ϕ−1 β
α
=ϕ ϕ β−2
α, α
ϕα, β
= ϕ ϕ−1 β − 2
α
α, α
−1

= ϕ ϕ−1 β = β.
Suy ra ϕsα ϕ−1 cố định mỗi vectơ của không gian ϕα

⊥

= Hϕα . Do vậy

ta có ϕsα ϕ−1 = sϕα .
Hiển nhiên, nếu w ∈ W và sα ∈ W thì swα ∈ W .
Vậy W hoán vị các đường thẳng Lα , trong đó sα chạy trên tập các
phép phản xạ chứa trong W thông qua ω(Lα ) = Lωα . Nhóm W chỉ xác
định đường thẳng Lα , không xác định vectơ α. Tuy nhiên, nếu chúng ta
chọn các cặp vectơ đơn vị nằm trong tất cả các đường đó thì tập các
vectơ thu được sẽ ổn định dưới tác động của W . Ví dụ, nhóm nhị diện
D4 bảo toàn tập 8 vectơ trong R2 là:

±(1, 0), ±(1, 1), ±(0, 1), ±(−1, 1).
Định nghĩa 1.4.1. Một hệ nghiệm trong không gian Ơclít V là một tập
hợp Φ khác rỗng gồm một số hữu hạn các vectơ khác 0 thỏa mãn hai
điều kiện:
R1 ) Φ ∩ Lα ={α, −α} với mỗi α ∈ Φ,
R2 ) sα Φ = Φ với mỗi α ∈ Φ.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Với một hệ nghiệm Φ, chúng ta định nghĩa nhóm phản xạ W liên kết
với nó là nhóm con của O(V) sinh bởi tất cả các phép phản xạ sα , α ∈ Φ.
Khi Φ hữu hạn thì W cũng hữu hạn. Chúng ta sẽ chứng minh khẳng
định này ở Mệnh đề 1.4.2 sau đây.
Nhận xét 1.4.1.
• Lưu ý rằng nhóm W có thể chứa các phép phản xạ không có dạng
sα , α ∈ Φ.
• Hai hệ nghiệm khác nhau của V có thể cùng xác định một nhóm
phản xạ W . Chẳng hạn, cho hệ nghiệm Φ với nhóm phản xạ W
tương ứng. Định nghĩa Φ là tập các vectơ đơn vị tỉ lệ với các vectơ
trong Φ. Khi đó Φ cũng là một hệ nghiệm với nhóm phản xạ tương
ứng là W .
Mệnh đề 1.4.2. Cho Φ là một hệ nghiệm và W là nhóm phản xạ liên
kết với nó. Khi đó W là một nhóm phản xạ hữu hạn.
Chứng minh. Do W = sα , α ∈ Φ và sα Φ = Φ nên mỗi w ∈ W làm
ổn định Φ. Mà Φ hữu hạn nên mỗi w ∈ W định nghĩa một hoán vị

fw ∈ SΦ -nhóm đối xứng trên Φ. Khi đó, ta có một đồng cấu nhóm
F : W −→ SΦ
w −→ fw ,
trong đó
fw : Φ −→ Φ
α −→ wα.
Giả sử w ∈ ker F . Suy ra ta có wβ = β với mọi β ∈ Φ. Mặt khác với
mọi α ∈ Φ thì sα cố định mọi vectơ của không gian Φ ⊥ . Mà sα là một
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

tập sinh của nhóm W nên với mỗi w ∈ W cũng cố định mọi vectơ của
không gian Φ ⊥ . Như vậy w cố định mọi vectơ của không gian V. Do
đó ta có w = 1, hay ker F = {1}. Từ đó suy ra F là đơn cấu. Hơn nữa,
SΦ là nhóm hữu hạn nên W cũng hữu hạn. Vậy W là một nhóm phản
xạ hữu hạn.

1.5

Các hệ nghiệm dương và hệ nghiệm đơn của
một hệ nghiệm

a. Thứ tự toàn phần trên một không gian vectơ
Định nghĩa 1.5.1. Một thứ tự toàn phần trên không gian vectơ V là
một quan hệ hai ngôi (kí hiệu <) thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với λ, µ ∈ V bất kỳ ta có hoặc λ < µ hoặc λ = µ hoặc µ < λ.

(ii) Nếu λ < µ, µ < ν thì λ < ν.
(iii) Với mọi λ, µ, ν ∈ V mà µ < ν thì λ + µ < λ + ν.
(iv) Nếu µ < ν, 0 = c ∈ R thì cµ < cν nếu c > 0 và cν < cµ nếu c < 0.
Một vectơ λ ∈ V gọi là dương nếu 0 < λ và âm nếu λ < 0.
Tính chất 1.5.1.
• Nếu 0 < λ, 0 < µ thì 0 < λ + µ.
• Nếu 0 < λ, α ∈ R+ thì 0 < αλ.
Để xây dựng một thứ tự toàn phần trên V ta có thể tiến hành như sau.
Chọn một cơ sở tùy ý λ1 , ..., λn của V và áp dụng thứ tự từ điển tương
ứng. Ta định nghĩa một thứ tự trên V như sau:

n
i=1 ai λi

nếu ak < bk với k là chỉ số nhỏ nhất của i để ai = bi .
11

<

n
i=1 bi λi


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Ví dụ 1.5.1. Xét V = R4 với cơ sở chính tắc ε1 , . . . , εn và biểu diễn
u = ε1 + 2ε2 − ε3 + 3ε4 ,
v = ε1 + 3ε2 + ε3 + 3ε4 .

Khi đó với k = 2 thì ak = 2 < 3 = bk . Do đó ta có u < v.
b. Hệ các nghiệm dương và hệ các nghiệm đơn
Định nghĩa 1.5.2. (Hệ các nghiệm dương) Một tập con Π của hệ nghiệm
Φ được gọi là hệ các nghiệm dương nếu nó có dạng:
Π = {α ∈ Φ|0 < α}.
Trong đó < là một thứ tự toàn phần nào đó trên V.
Nhận xét 1.5.1.
• Ta thấy hệ các nghiệm dương Π như vậy luôn tồn tại.
• Kí hiệu −Π là tập các vectơ đối của các vectơ trong Π. Dễ thấy
Φ=Π

(−Π). Ta gọi −Π là hệ các nghiệm âm.

Định nghĩa 1.5.3. (Hệ các nghiệm đơn) Cho Φ là một hệ nghiệm trong
V. Ta gọi ∆ là hệ các nghiệm đơn và mỗi phần tử của ∆ là một nghiệm
đơn nếu ∆ thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) ∆ là một cơ sở của không gian vectơ RΦ-không gian vectơ con của
V sinh bởi Φ.
(ii) Mỗi phần tử của Φ là một tổ hợp tuyến tính của ∆ với các hệ số
cùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương).
Về sau ta sẽ chỉ ra rằng hệ các nghiệm đơn ∆ luôn tồn tại.
Mệnh đề 1.5.1. Cho α, β là hai nghiệm không tỷ lệ của một hệ nghiệm
nào đó. Ta có
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai


(i) Nếu α, β > 0 thì α − β là một nghiệm.
(ii) Nếu α, β < 0 thì α + β là một nghiệm.
Chứng minh mệnh đề này không khó nhưng khá dài nên chúng tôi
không đưa vào đây. Bạn đọc quan tâm có thể tìm thấy chứng minh trong
[9, chương VI,§1].
Ví dụ 1.5.2 (Nhóm A1 ). Xét V = R và Φ = {α, −α} trong đó α ∈ R+
nào đó. Với quan hệ thứ tự toàn phần quen thuộc trên R thì ta có hệ
nghiệm dương Π = {α} và tập ∆ = {α} là một hệ nghiệm đơn.

α

−α

Nhóm A1
Ví dụ 1.5.3. (Nhóm A2 ) Xét V = R2 và Φ = {α, β, α+β, −α, −β, −(α+
β)} trong đó {α, β} là một cơ sở của R2 thỏa mãn (α, β) =

2π
3

và α =

β . Với quan hệ thứ tự toàn phần trên R2 cho bởi cơ sở trên thì ta có
hệ nghiệm dương Π = {α, β, α + β} và tập ∆ = {α, β} là hệ nghiệm đơn.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Thanh Mai

β

α+β

α

−α

−β
−(α + β)
Nhóm A2
Kết quả sau đây sẽ chỉ ra mối quan hệ giữa các hệ nghiệm dương và
hệ nghiệm đơn.
Định lí 1.5.1. Cho Φ là một hệ nghiệm.
(i) Nếu ∆ là một hệ nghiệm đơn trong Φ thì có một hệ nghiệm dương
duy nhất Π chứa ∆.
(ii) Đảo lại, một hệ nghiệm dương Π chứa duy nhất một hệ nghiệm đơn
∆. Nói riêng, tồn tại các hệ nghiệm đơn.
Chứng minh. (i) Tính duy nhất. Giả sử hệ nghiệm dương Π chứa hệ
nghiệm đơn ∆. Khi đó các nghiệm là tổ hợp tuyến tính không âm của ∆
phải nằm trong Π (các nghiệm là tổ hợp tuyến tính không dương của ∆
không nằm trong Π). Do đó Π chính là tập hợp duy nhất có các nghiệm
có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính với các hệ số không âm của
∆.
Sự tồn tại. Một hệ nghiệm dương như vậy tồn tại. Vì ∆ là một cơ sở
của RΦ, nói riêng nó là hệ độc lập tuyến tính. Bổ sung ∆ thành một cơ
14



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

sở sắp thứ tự của V và xét thứ tự từ điển tương ứng với cơ sở này. Gọi
Π là tập các phần tử dương của Φ đối với thứ tự này. Hiển nhiên ta có
∆ ⊂ Π.
(ii) Tính duy nhất. Giả sử Π hệ nghiệm dương (cho bởi một thứ tự toàn
phần nào đó trên V) chứa ∆. Khi đó ∆ có thể được mô tả như tập tất
cả các nghiệm α ∈ Π sao cho α không biểu diễn được thành một tổ hợp
tuyến tính với hệ số dương của ≥ 2 phần tử của Π (điều này dễ dàng
được suy ra từ định nghĩa). Vì vậy ∆ là hệ nghiệm đơn duy nhất trong
Π.
Sự tồn tại. Ta chọn một tập con nhỏ nhất ∆ ⊂ Π với tính chất: mỗi
nghiệm trong Π là một tổ hợp tuyến tính không âm của ∆. Do Π hữu
hạn nên một tập con như vậy tồn tại. Theo Bổ đề 1.5.1 sau đây thì ∆
là một hệ độc lập tuyến tính. Do đó ∆ là một hệ nghiệm đơn.
Bổ đề 1.5.1. Hệ ∆ là một hệ độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử hệ ∆ là hệ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta có
α∈∆ aα α

dạng

= 0 với aα không đồng thời bằng 0. Ta viết lại tổng trên dưới

β bβ β

=


γ cγ γ

trong đó bβ , cγ > 0 và β, γ chạy trên hai tập con

rời nhau của ∆. Đặt σ =

β bβ β

=

γ cγ γ.

Ta có σ > 0.

Theo Bổ đề 1.5.2 sau đây ta có β, γ ≤ 0. Như vậy
0 ≤ σ, σ =

bβ β,
β

cγ γ
γ

bβ cγ β, γ ≤ 0.

=
β

γ


Suy ra σ, σ = 0, vì thế σ = 0. Từ đó bβ = cγ = 0 (mâu thuẫn). Do đó
điều giả sử sai. Vậy hệ ∆ là hệ độc lập tuyến tính.
Bổ đề 1.5.2. Với mọi α, β ∈ ∆ và α = β ta có α, β ≤ 0.
Chứng minh. Giả sử α, β > 0 với α, β ∈ ∆. Ta có sα β = β − cα với
2 β, α
c=
> 0. Vì sα β ∈ Φ nên sα β ∈ Π hoặc −sα β ∈ Π.
α, α
Giả sử sα β ∈ Π. Ta có sα β = cγ γ (γ ∈ ∆, cγ ≥ 0).
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

• Nếu cβ < 1 ta có β − cα = sα β = cβ β +
(1 − cβ )β = cα +

γ=β cγ γ

γ=β cγ γ.

Từ đó suy ra

hay (1 − cβ )β là một tổ hợp tuyến tính

không âm của ∆ trên β. Do 1 − cβ > 0 nên ta có β =
γ=β cγ γ).


1
1−cβ (cα

+

Do vậy, tập ∆\{β} là tập con của Π có tính chất tương

tự như ∆. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của ∆.
• Nếu cβ ≥ 1 ta có β − cα = sα β = cβ β +
(cβ − 1)β + cα +

γ=β cγ γ

γ=β cγ γ.

Từ đó suy ra

= 0. Vế trái là tổ hợp tuyến tính không

âm của ∆ với ít nhất một hệ số dương (c > 0) nên theo định nghĩa
của thứ tự toàn phần tổ hợp này không thể bằng 0. Do đó mâu
thuẫn.
Giả sử −sα β ∈ Π. Chứng minh tương tự như trên ta cũng chỉ ra được
mâu thuẫn. Do đó điều giả sử sai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.5.2. Chứng minh trên đây đã chỉ ra rằng bất đẳng thức
trong Bổ đề 1.5.2 là đúng cho một hệ nghiệm đơn bất kỳ. Đây là một
tính chất hình học. Tính chất hình học này đóng một vai trò quan trọng
trong việc phân loại nhóm phản xạ loại dương mà chúng ta sẽ tìm hiểu
ở chương 2.


1.6

Tính liên hợp của các hệ nghiệm dương và hệ
nghiệm đơn

Chúng ta đã chỉ ra rằng các hệ nghiệm dương và hệ các nghiệm đơn
trong Φ xác định lẫn nhau. Sau đây, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa
các hệ nghiệm dương (hệ nghiệm đơn) khác nhau. Khẳng định sau được
trực tiếp suy ra từ định nghĩa.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Tính chất 1.6.1. Cho ∆ là một hệ nghiệm đơn bất kỳ và Π là hệ nghiệm
dương xác định bởi ∆. Khi đó với mọi w ∈ W thì w∆ là hệ nghiệm đơn
với hệ nghiệm dương tương ứng là wΠ.
Để hiểu rõ quan hệ giữa Π và wΠ, ta xét trường hợp đặc biệt w =
sα (α ∈ ∆). Kết quả sau sẽ chỉ ra rằng Π và sα Π chỉ khác nhau bởi một
nghiệm.
Mệnh đề 1.6.1. Cho ∆ là một hệ nghiệm đơn chứa trong hệ nghiệm
dương Π. Nếu α ∈ ∆ thì sα (Π\{α}) = Π\{α}.
Chứng minh. Xét một nghiệm β ∈ Π, β = α. Vì ∆ là cơ sở của không
gian vectơ RΦ và RΠ ⊂ RΦ nên ta có thể biểu diễn
β=


cγ γ,

(1.1)

γ∈∆

trong đó cγ ≥ 0 với mọi γ. Ta có
sα β = β − cα,
với c =

(1.2)

2 β, α
. Từ 1.1 và 1.2 ta có
α, α
cγ γ − cα.

sα β =

(1.3)

γ∈∆

Ta biết rằng các bội của α trong Φ là ±α và cγ > 0 với mọi γ = α. Mặt
khác, do β, α ∈ ∆ nên theo Bổ đề 1.5.2 ta có c ≤ 0. Như vậy tất cả hệ số
trong vế phải của 1.3 là không âm nên sα β phải dương. Do đó sα β ∈ Π.
Giả sử sα β = α. Khi đó ta có
β = s2α β = sα (sα β) = sα α = −α ∈
/ Π (mâu thuẫn).
Vậy sα β = α. Suy ra sα (Π\{α}) ⊂ Π\{α}. Rõ ràng ánh xạ sα :

Π\{α} −→ Π\{α} là một đơn ánh. Mà Π\{α} là tập hữu hạn nên
sα là một song ánh. Do đó sα (Π\{α}) = Π\{α}.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Định lí 1.6.1. Hai hệ nghiệm dương (tương ứng hệ nghiệm đơn) bất kỳ
trong Φ là liên hợp dưới tác động của W .
Chứng minh. Giả sử Π và Π là hai hệ nghiệm dương. Như vậy, mỗi
hệ chứa đúng một nửa các nghiệm. Chứng minh bằng quy nạp theo
r = Card(Π ∩ −Π ).
Nếu r = 0 thì Π = Π . Khi đó khẳng định là tầm thường.
Nếu r > 0 thì rõ ràng hệ nghiệm đơn ∆ trong Π không thể hoàn
toàn nằm trong Π . Chọn α ∈ ∆ với α ∈ −Π . Từ mệnh đề 1.6.1 ta có
Card(sα Π ∩ −Π ) = r − 1. Sử dụng giả thiết quy nạp cho hai hệ nghiệm
dương sα Π và Π , tồn tại phần tử w ∈ W sao cho w (sα Π) = Π . Nghĩa
là, wΠ = Π với w = w sα .

1.7

Sự sinh bởi các phép phản xạ đơn

Trong mục này, ta cố định một hệ nghiệm đơn ∆ và hệ nghiệm dương
tương ứng Π trong hệ nghiệm Φ (Định lí 1.6.1 chỉ ra rằng không có sự
khác biệt lớn khi chúng ta chọn ∆). Mục tiêu tiếp theo của chúng ta
là chứng minh W được sinh bởi các phép phản xạ đơn, nói cách khác
W = sα , α ∈ ∆ .

Định nghĩa 1.7.1 (Độ cao của nghiệm). Giả sử β ∈ Φ, ta viết β =
α∈∆ cα α.

Khi đó ta gọi đại lượng

α∈∆ cα

là ht(β).
Từ định nghĩa ta có các tính chất sau
• ht(β) > 0 nếu β > 0.
• ht(β) < 0 nếu β < 0.
• ht(β) = 1 nếu β ∈ ∆.
18

là độ cao của β và kí hiệu


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Mai

Định lí 1.7.1. Tập các phép phản xạ đơn sα (α ∈ ∆) là một tập sinh
của W .
Chứng minh. Đặt W = sα , α ∈ ∆ . Ta cần chứng minh W = W . Ta
thực hiện chứng minh theo các bước sau:
Bước 1. Lấy β ∈ Π. Ta có W β ∩ Π = ∅ (vì nó chứa ít nhất một
phần tử β). Ta chọn từ tập này một phần tử γ với độ cao nhỏ nhất có
thể. Ta sẽ chứng minh γ ∈ ∆. Đặt γ =
α∈∆ cα


α∈∆ cα α.

Ta có 0 ≤ γ, γ =

γ, α . Do đó γ, α > 0 với ít nhất một α ∈ ∆ nào đó. Ta đi

chứng minh γ = α. Giả sử γ = α. Theo Mệnh đề 1.6.1 ta có sα γ ∈ Π.
Vì sα γ thu được từ γ bằng cách trừ đi một bội dương của α nên ta có
ht(sα γ) < ht(γ). Vì sα ∈ W nên sα γ ∈ W β và do đó sα γ ∈ W β ∩ Π.
Điều này trái với cách chọn của γ. Do đó điều giả sử sai. Vậy γ = α và
γ ∈ ∆.
Bước 2. Ta đi chứng minh W ∆ = Φ.
Theo bước 1 quỹ đạo dưới W của bất kì một nghiệm dương β đều cắt
∆. Do đó Π ⊂ W ∆. Mặt khác, nếu β là nghiệm âm thì −β ∈ Π. Do đó
−β = wα với w ∈ W và α ∈ ∆ nào đó. Suy ra β = wsα α (wsα ∈ W ).
Do đó −Π ⊂ W ∆. Vậy W ∆ = Φ.
Bước 3. Nhắc lại rằng W sinh bởi các phép phản xạ sβ với β ∈ Φ. Theo
bước (2) với β bất kỳ ta có β = wα với w ∈ W và α ∈ ∆ nào đó. Do
đó theo Mệnh đề 1.4.1 thì sβ = swα = wsα w−1 ∈ W . Suy ra W ⊂ W .
Hơn nữa, hiển nhiên có W ⊂ W . Do vậy W = W .
Lưu ý rằng chứng minh trên thiết lập kết quả sau đây.
Hệ quả 1.7.1. Với mọi β ∈ Φ tồn tại w ∈ W sao cho wβ ∈ ∆.
Một hệ quả phụ hữu ích của chứng minh trên là đã chỉ ra rằng thực
tế một nghiệm bất kỳ đều nằm trong một hệ nghiệm đơn nào đó.

19