BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Nhung

LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Thạc sĩ Nguyễn Quốc Tuấn

Hà Nội – Năm 2017

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận "Lớp Bài toán
Neumann có ba nghiệm", tôi đã nhận được sự quan tâm, động viên,
khích lệ của các thây cô trong tổ Giải tích nói riêng và khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng với sự hỗ trợ, giúp
đỡ của các bạn sinh viên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Th.S Nguyễn Quốc Tuấn.
Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua để tôi hoàn
thành được khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn
đề mà tôi trình bày còn hạn chế nên sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi kính mong sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo,
cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trần Thị Nhung

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG


Lời cam đoan
Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo, Th.S Nguyễn Quốc Tuấn cùng với sự cố gắng của bản thân tôi.
Trong quá trình thực hiện tôi có tham khảo một số tài liệu (như đã
nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan những nội dung trình bày trong khóa luận là
kết quả của quá trình tìm hiểu, tham khảo và học tập của bản thân,
không trùng lặp với kết quả của tác giả khác.

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trần Thị Nhung

ii


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Lời nói đầu


1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Không gian Banach, không gian Hilbert . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1


Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Hàm khả vi Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Tôpô yếu, hàm Carathéodory . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1


Tôpô yếu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.2

Hàm Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

2 LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM
2.1

Không gian Sobolev W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . .
iii

12
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

2.2


Một số định lý tồn tại nghiệm

. . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Tài liệu tham khảo

28

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Lời nói đầu
John Von Neumann là một nhà toán học người Mỹ gốc Hungary.
Ông đã có những đóng góp vào vật lý lượng tử, giải tích, thống kê và

nhiều lĩnh vực toán khác.
Cả cuộc đời sự nghiệp, Neumann đã công bố nhiều công trình.
Trong đó có các công trình nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm: On
compact solutions of operational - differential equations (1935), The
point source solution (1941), . . . Sau đó, đã có nhiều nhà toán học
nghiên cứu theo hướng của ông như: Biagio Ricceri, P. Binding, G.
Bonanno, . . . Ngày nay, thế giới đã lấy tên ông để đặt cho một lớp bài
toán quan trọng trong toán học: "Bài toán Neumann".
Năm 1985, nhà toán học E. Zeidler đã nghiên cứu về phiếm hàm
phi tuyến và các ứng dụng. Đến năm 1993, nhà toán học G. Tarantello
đã nghiên cứu các kết quả về tính bội của bài toán Neumann với số
mũ tới hạn. Trên cơ sở một số kết quả đã được nghiên cứu về bài
toán Neumann, nhà Toán học Biagio Ricceri nghiên cứu sự đa nghiệm
của bài toán Neumann. Điển hình là "Ba nghiệm của một bài toán
Neumann"(xem [5]) vào năm 2002. Dưới góc độ một sinh viên sư
phạm Toán và đặc biệt cùng sự giúp đỡ của Th.S Nguyễn Quốc Tuấn,
tôi xin mạnh dạn nghiên cứu bài báo [5] của Ricceri để hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp của mình.
Chương một "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức
về không gian Banach, hàm khả vi Gâteaux,. . . . Ở chương hai "Lớp
Bài toán Neumann có ba nghiệm", chúng tôi trình bày về định nghĩa
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

không gian Sobolev W 1,p (Ω). Tiếp đến, chúng tôi nói về một số định
lý tồn tại nghiệm. Trong đó, Định lý 2.2: "Cho X là một không gian

Hilbert thực hữu hạn chiều và cho J : X → R là hàm C 1 sao cho
J(x)
2
x →+∞ x

lim inf

≥ 0. Giả sử, điểm x0 ∈ X và r, s ∈ R, với 0 < r < s, sao

cho
inf J(x) <

x∈X

inf

x−x0 ≤s

J(x) ≤ J(x0 ) ≤

inf

r≤ x−x0 ≤s

J(x).

ˆ > 0 sao cho phương trình x + λJ
ˆ (x) = x0 có ít nhất
Khi đó, tồn tại λ
ba nghiệm" cung cấp cho chúng ta một công cụ rất mạnh trong việc

nghiên cứu sự đa nghiệm của Bài toán Neumann. Cuối cùng, chúng
tôi trình bày một số định lý về lớp các Bài toán Neumann đa nghiệm.
Trong đó, Định lý 2.5 chỉ ra bài toán


 −∆u = α(x) |u|q−2 u − u + λf (x, u)

 ∂u = 0
∂v

trong Ω;
trên ∂Ω.

có ít nhất ba nghiệm trong không gian W 1,2 (Ω).
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, do trình độ và thời gian
còn hạn chế nên tôi không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong
quý thầy cô sẽ đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn chỉnh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trần Thị Nhung
2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.1.1


Không gian Banach, không gian Hilbert
Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn là một không gian
tuyến tính X trên trường R cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực
R, ký hiệu là · và đọc là chuẩn và thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i. Với mọi x ∈ X thì x ≥ 0, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
ii. Với mọi x ∈ X, mọi α ∈ R thì αx = |α|. x ;
iii. Với mọi x, y ∈ X thì x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gian
định chuẩn là X. Các tiên đề i, ii, iii được gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {x}n∈N của không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.1.3. Dãy {x}n∈N của không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu mọi ε > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

N (ε) > 0 sao cho
xm − xn < ε với mọi m, n > N (ε).
Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5. Một tập A trong không gian X được gọi là compact

nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc A đều chứa dãy con hội tụ tới
phần tử thuộc A. Tập A được gọi là compact địa phương nếu với mọi
điểm a ∈ A tồn tại lân cận U của a sao cho U ∩ A là tập compact.
Định nghĩa 1.1.6. Cho A và B là hai tập con của X. Tập A được
gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A. Nếu A = X thì A được gọi là trù
mật khắp nơi trong X.
Định nghĩa 1.1.7. Không gian X gọi là không gian tách được nếu
tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian X.
1.1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian tuyến tính X trên trường R. Ta
gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes
X × X vào trường R, ký hiệu ·, · , thỏa mãn các tiên đề:
i. Với mọi x, y ∈ X thì y, x = x, y ;
ii. Với mọi x, y, z ∈ X thì x + y, z = z, x + y, z ;
iii. Với mọi x, y ∈ X, mọi α ∈ R thì αx, y = α x, y ;
iv. Với mọi x ∈ X thì x, x > 0 nếu x = 0, x, x = 0 nếu x = 0.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Định nghĩa 1.1.9. Tập X = ∅ gồm những phần tử x, y, z, . . . nào
đấy là không gian Hilbert nếu X thỏa mãn các điều kiện:
i. X là không gian tuyến tính trên trường R;
ii. X được trang bị một tích vô hướng ·, · ;

iii. X là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.10. Một phiếm hàm f : X −→ R xác định trên
không gian Hilbert X được gọi là bức (coercive) nếu thỏa mãn
lim f (x) = +∞.

x →+∞

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức H¨older). Cho Ω ⊂ X. Hàm f ∈ Lp (Ω),
g ∈ Lq (Ω),

1
p

+

1
q

= 1 thì f g ∈ L1 (Ω). Khi đó
|f g|dµ ≤ f p . g

q

với 1 ≤ p < ∞.

Ω


1.2

Hàm lồi

1.2.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian Banach, tập C ⊆ X được
gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C.
Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi. Trong khi
mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi.
Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A ⊂ X. Giao của tất cả các tập lồi chứa
A được gọi là bao lồi của tập A và ký hiệu là co A.
Nhận xét 1.1. Tập bao lồi co A của A là một tập lồi và là tập lồi
nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.2.3. Vectơ x được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
x1 , x2 , ..., xm thuộc X nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, ..., m) thỏa mãn
m


m

λi = 1, sao cho x =
i=1

λi xi .
i=1

Mệnh đề 1.2.
i. Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R. Khi đó, các tập A + B và
αA đều là các tập lồi.
ii. Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là
tập lồi.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh i. Thật vậy, lấy các phần tử
a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B và λ ∈ (0, 1). Do A và B là các tập lồi nên
λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A và λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B. Ta có
λ(a1 +b1 )+(1−λ)(a2 +b2 ) = [λa1 +(1−λ)a2 ]+[λb1 +(1−λ)b2 ] ∈ A+B,
λ(αa1 ) + (1 − λ)(αa2 ) = α(λa1 + (1 − λ)a2 ) ∈ αA.
Vậy A + B và αA là các tập lồi.
Tiếp theo ta chứng minh ii. Giả sử F ∈ L(X, Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y
là các tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ A và λ ∈ (0, 1) ta có
λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) = F (λx1 + (1 − λ)x2 ) ∈ F (A),
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

suy ra F (A) là tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ F −1 (B) (tức F (x1 ), F (x2 ) ∈ B)

và λ ∈ (0, 1) thì
F (λx1 + (1 − λ)x2 ) = λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) ∈ B
suy ra λx1 + (1 − λ)x2 ∈ F −1 (B). Vậy F −1 (B) cũng lồi.
1.2.2

Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.4. Cho X là một không gian Banach, A là một tập
con khác rỗng của X và phiếm hàm nhận giá trị thực mở rộng trên A
f : A → R := [−∞, ∞].
Các tập hợp dưới đây:
dom f := {x ∈ A | f (x) < ∞}
epi f := {(x, γ) ∈ A × R | f (x) ≤ γ}
lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của f . Ngoài ra,
với mỗi α ∈ R, ta gọi tập mức của hàm f (với mức α) là
C(f ; α) := {x ∈ A | f (x) ≤ α}.
Ta dễ thấy tập C(f ; α) cũng bằng {x ∈ A | (x, α) ∈ epi f }.
Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞ với
mọi x ∈ A, được gọi là hàm lồi trên A nếu epi f là tập lồi và được
gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi. Hàm f được gọi là tựa lồi nếu tập
C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

TRẦN THỊ NHUNG


Hàm nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.2.5. Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục
dưới tại x0 nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Nói cách khác, với mọi γ < f (x0 ) tồn tại lân cận gốc V sao cho
f (x) > γ, ∀x ∈ x0 + V.
thì hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại
mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.6. Phiếm hàm f : X → R được gọi là hàm nửa liên
tục dưới yếu theo dãy nếu f (x) ≤ lim inf f (xn ) với mọi dãy {xn } trong
n→∞

X hội tụ yếu đến x ∈ X.
Mệnh đề 1.3. Cho f : X −→ R, ba mệnh đề sau là tương đương
i. Hàm f nửa liên tục dưới;
ii. Tập C(f ; α) đóng với mọi α ∈ R;
iii. Tập epi f là tập đóng trong X × R.
Định nghĩa 1.2.7. Cho phiếm hàm f trên không gian Hilbert X. Ta
nói x0 ∈ X là điểm cực tiểu địa phương của f trên X nếu tồn tại lân
cận gốc V sao cho
f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ x0 + V,

(1.1)

f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ X,

(1.2)


còn nếu ta có

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

thì ta nói x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f .
Rõ ràng, một điểm cực tiểu toàn cục cũng là cực tiểu địa phương.
Trong trường hợp hàm f lồi thì hai khái niệm này trùng nhau. Thật
vậy, giả sử (1.1) thỏa mãn. Với mọi x ∈ X ta chọn λ > 0 đủ nhỏ sao
cho λ(x − x0 ) ∈ V . Khi đó
f (x0 ) ≤ f (x0 + λ(x − x0 )) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ),
ta suy ra f (x0 ) ≤ f (x). Vậy (1.2) cũng thỏa mãn.

1.3

Hàm khả vi Gâteaux

Định nghĩa 1.3.1. Cho X là không gian Banach, hàm f xác định
trên X và nhận giá trị trên tập (−∞, +∞] và x0 ∈ dom f . Với mỗi
d ∈ X ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d, kí hiệu f (x0 ; d) là
giới hạn sau (nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn)
f (x0 + λd) − f (x0 )
.
λ→0+
λ


f (x0 ; d) := lim

Hàm f gọi là khả vi Gâteaux tại x0 nếu tồn tại x∗ thuộc không gian
phiếm hàm tuyến tính liên tục X ∗ của X sao cho
f (x0 + λd) − f (x0 )
= d, x∗ , ∀d ∈ X.
λ→0
λ
lim

phiếm hàm fG (x0 ) = x∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là
đạo hàm Gâteaux của f tại x0 .
Định nghĩa 1.3.2. Hàm f khả vi Gâteaux trên không gian Banach
X được gọi là thỏa mãn điều kiện Palais-Smale nếu tồn tại dãy {xn }
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

trong X sao cho sup |f (xn )| < ∞ và lim f (xn )
n→∞

n∈N

X∗

= 0 chứa một


dãy con hội tụ mạnh.

1.4
1.4.1

Tôpô yếu, hàm Carathéodory
Tôpô yếu

Định nghĩa 1.4.1. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Nếu với hai
điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại khoảng lân cận của x, y lần
lượt là Vx , Vy sao cho Vx ∩ Vy = ∅ thì (X, τ ) được gọi là không gian
Hausdorff.
Định nghĩa 1.4.2. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Tôpô yếu
nhất trên X để tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X đều liên tục
được gọi là tôpô yếu trên X.
Định nghĩa 1.4.3. Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Tập G ⊂ X được
gọi là tập hợp mở trong (X, τ ) nếu G ∈ τ (với X là một tập hợp, τ là
một họ các tập con của X).
Định nghĩa 1.4.4. Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong không
gian tôpô (X, τ ) nếu X \ F là tập mở trong (X, τ ).
Định nghĩa 1.4.5. Tập con M của không gian tôpô X được gọi là
tập liên thông nếu M cùng với tôpô cảm sinh là không gian liên thông.
1.4.2

Hàm Carathéodory

Định nghĩa 1.4.6. Cho M là một σ-đại số những tập con của một
tập hợp X. Hàm µ : M → [0, ∞] là một độ đo. Khi đó bộ ba (X, M, µ)
10



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

là một không gian đo được và A, B là hai không gian tôpô. Ta nói hàm
f : X × A → B là một hàm Carathéodory nếu
i. Với mỗi x ∈ A, hàm f (·, x) : X → B là đo được;
ii. Với mỗi t ∈ X, hàm f (t, ·) : A → B là liên tục.

11


Chương 2
LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ
BA NGHIỆM
2.1

Không gian Sobolev W 1,p(Ω)

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử Ω = (a, b) là một khoảng mở hữu hạn hoặc
vô hạn trong Rn , p là số thực dương thỏa mãn 1 ≤ p ≤ ∞. Ký hiệu
W 1,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}.
Thấy W 1,p (Ω) cùng với phép toán cộng hai hàm số, phép nhân một số
với một hàm thông thường làm thành một không gian vectơ trên Rn .
Trên W 1,p (Ω), chúng ta trang bị chuẩn
u

W 1,p (Ω)


= u

Lp (Ω)

+ Du

Lp (Ω) .

Khi đó W 1,p (Ω) với chuẩn trên lập thành không gian định chuẩn và
được gọi là không gian Sobolev W 1,p (Ω). Với p = 2 thì W 1,2 (Ω) lập
thành không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v

W 1,p (Ω)

= u, v
12

L2

+ Du , Dv

L2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG


và chuẩn tương ứng
u

W 1,p (Ω)

=

u

2
L2

+ Du

2
L2

1
2

.

Chúng ta đặt H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω).
Định lý 2.1. (Định lý nhúng Sobolev) Các phép nhúng sau là liên
tục
W 1,p (Ω) ⊂


np


L n−p (Ω) khi p < n;

C 0 (Ω)

khi p > n.

Tồn tại c > 0 sao cho với mọi u ∈ W 1,p (Ω), ta có
u

np
n−p

≤c Du

p

1

1

khi p < n

sup |u|≤c|Ω| n − p Du

p

khi p > n,

Ω


ở đây hằng số c chỉ phụ thuộc vào p và n.

2.2

Một số định lý tồn tại nghiệm

Mệnh đề 2.1. Cho X là một không gian tôpô Hausdorff địa phương
và hàm J, Φ : X → R sao cho với mỗi λ > 0 hàm số J + λΦ có các
tập mức dưới compact theo dãy. M là tập (có thể rỗng) gồm tất cả
cực tiểu toàn cục của J. Giả sử
inf Φ < β := min inf Φ, sup Φ ,
X

M

X

quy ước inf Φ = +∞. Khi đó, ít nhất một trong những khẳng định
∅

sau đúng:
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

i. Với mỗi t ∈ inf Φ, β , hạn chế của J trên Φ−1 (t) có duy nhất
X


một cực tiểu toàn cục, kí hiệu là xˆt . Hàm t → xˆt liên tục trong
khoảng inf Φ, β .
X

ii. Tồn tại λ∗ > 0 sao cho hàm số J + λ∗ Φ có ít nhất hai cực tiểu
toàn cục trong X.
Định lý 2.2. Cho X là một không gian Hilbert thực hữu hạn chiều,
J : X → R là hàm C 1 thỏa mãn
J(x)
≥0
→+∞ x 2

lim inf
x

(2.1)

Giả sử, điểm x0 ∈ X và r, s ∈ R, 0 < r < s, sao cho
inf J(x) <

x∈X

inf

x−x0 ≤s

J(x) ≤ J(x0 ) ≤

inf


r≤ x−x0 ≤s

J(x)

(2.2)

ˆ > 0 sao cho phương trình
Khi đó, tồn tại λ
ˆ (x) = x0
x + λJ
có ít nhất ba nghiệm.
Chứng minh. Xét hàm số Φ : X → R




x − x0 2



Φ(x) =
r2





 x − x0 2 + r2 − s2


xác định bởi
nếu x − x0 < r;
nếu r ≤ x − x0 ≤ s;
nếu x − x0 > s.

Ta thấy, Φ liên tục. Từ (2.1) suy ra
lim (J(x) + λ x − x0 2 ) = +∞, mọi λ > 0.

x →+∞

14

(2.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Thật vậy, vì J liên tục cho nên hàm số J +λΦ có tập mức dưới compact
theo dãy với mọi λ > 0. Gọi M là tập (có thể rỗng) gồm tất cả cực
tiểu toàn cục của J. Chúng ta đặt β :=

inf Φ, sup Φ . Ta dễ thấy
M

X

β > inf Φ. Quy ước inf Φ = +∞. Vì M đóng và X hữu hạn chiều nên
X


∅

theo bất đẳng thức đầu trong (2.2), chúng ta suy ra β > r2 và
inf x − x0 > s.

x∈M

Giả sử, g : (0, β) → X là hàm sao cho Φ(g(t)) = t, với mọi t ∈ (0, β).
Đặc biệt, chúng ta có
r ≤ g(r2 ) − x0 ≤ s,
g(t) − x0 < r,
mọi t ∈ (0, r2 ) và
g(t) − x0 > s với t ∈ (r2 , β).
Từ đó, chúng ta suy ra g không liên tục tại r2 . Dễ thấy, khẳng định
i của Mệnh đề 2.1 không đúng ( t → xˆt là hàm số liên tục thỏa mãn
Φ(ˆ
xt ) = t với mọi t ∈ (0, β)). Do đó, tồn tại λ∗ > 0 sao cho hàm số
J + λ∗ Φ có ít nhất hai cực tiểu toàn cục trong X, kí hiệu là x1 và x2 .
Từ bất đẳng thức cuối trong (2.2), ta suy ra
J(x0 ) + λ∗ Φ(x0 ) = J(x0 ) < J(x) + λ∗ r2 = J(x) + λ∗ Φ(x)
với mọi x ∈ X thỏa mãn r ≤ x − x0 ≤ s. Do đó, x1 và x2 thuộc một
trong các tập mở {x ∈ X : x − x0 < r} và {x ∈ X : x − x0 > s}.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG


Từ định nghĩa Φ, ta suy ra x1 và x2 là hai cực tiểu địa phương của
hàm số x → J(x) + λ∗ x − x0 2 . Do hàm J(·) + λ∗ · −x0

2

thỏa mãn

điều kiện Palais-Smale và áp dụng Hệ quả 1 của [14], ta suy ra hàm J
này có ít nhất ba điểm tới hạn mà ba điểm đó là nghiệm của phương
ˆ=
trình (2.3), với λ

1
2λ∗ .

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.1. Xét L2 ([0, 1]) với tích vô hướng thông thường của nó. Cho
ϕ : R → R là hàm C 1 bị chặn thỏa mãn ϕ(t) = 0 với mọi t ∈ (−∞, δ]
(δ > 0) và ϕ(1) < − 21 . Với mỗi u ∈ L2 ([0, 1]), đặt
1

1
2

J(u) =

u2 (t)dt .


tu (t)dt + ϕ
0

0

Ta thấy J là một phiếm hàm C 1 trên L2 ([0, 1]) thỏa mãn (2.1). Ngoài
1

u2 (t)dt < δ thì

ra, ta chú ý thêm J(1) < 0. Hơn nữa, nếu ta có
0

J(u) ≥ J(0) = 0. Vì vậy, bất đẳng thức (2.2) đúng với điều kiện x0 = 0
√
và 0 < r < s < δ.
Giả sử λ ∈ R, u ∈ L2 ([0, 1]) thỏa mãn phương trình u + λJ (u) = 0.
Điều này nghĩa là với mọi v ∈ L2 ([0, 1]), ta có
1

1

u2 (τ )dτ

1 + 2λ t + ϕ

u(t)v(t)dt = 0.

0


0
1

Do đó

u2 (τ )dτ

1 + 2λ t + ϕ

u(t) = 0 trong đoạn [0, 1].

0

Từ đó, ta suy ra u = 0.
Nhận xét 2.1. Ở nhận xét này, ta sẽ nói đến việc chứng minh trên
của Định lí 2.2 trong trường hợp vô hạn chiều khi thêm một số giả
thiết thích hợp. Ngoài giả thiết của Định lí 2.2, giả sử X là vô hạn
chiều và x0 là cực tiểu địa phương của J. Khi đó, bất đẳng thức cuối
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

trong (2.2) đúng. Chúng ta gọi đây là trường hợp tầm thường. Giả
sử, hàm J nửa liên tục dưới yếu theo dãy và với λ > 0 thì phiếm
hàm x → J(x) + λ x − x0

2


thỏa mãn điều kiện Palais-Smale. Từ

bất đẳng thức đầu trong (2.1), tồn tại x˜ ∈ X với x˜ − x0 < s thỏa
)−J(˜
x)
mãn J(˜
x) < J(x0 ). Khi đó, với mỗi λ ∈ 0, J(xx˜0−x
thì phiếm hàm
2
0

x → J(x) + λ x − x0

2

bức, nửa liên tục dưới yếu theo dãy, có một cực

tiểu toàn cục khác x0 (tùy theo giá trị λ). Từ Hệ quả 1 của [14], x0
gần với cực tiểu địa phương của phiếm hàm này. Do đó, trong trường
hợp tầm thường thì ta có thể chứng minh trực tiếp mà không cần sử
dụng đến Mệnh đề 2.1. Theo điều kiện compact theo dãy trong Mệnh
đề 2.1, chúng ta không thể xét trên tôpô mạnh mà xét trên tôpô yếu
của X.
Giả sử, ta xét một hàm số g : (0, β) → X thỏa mãn Φ(g(t)) = t với
mọi t ∈ (0, β). Khi đó, g liên tục tại r2 trên tôpô yếu. Vì dim(X) = ∞,
chuẩn không liên tục yếu theo dãy nên kết luận trên là đúng . Ánh
xạ t → xˆk liên tục yếu (đưa ra trong i của Mệnh đề 2.1) là không đủ
để kết luận rằng ii đúng. Vì vậy, ánh xạ t → xˆk liên tục mạnh (nếu ii
không đúng). Theo Hệ quả 2.13 của [13], ta thấy ánh xạ này liên tục

mạnh trong khoảng (t∗ , +∞), trong đó
t∗ = inf t > 0 :

inf
x−x0 =t

J(x) < J(x0 ) .

Thấy J liên tục yếu theo dãy. Do x0 không là cực tiểu địa phương của
J và hàm t →

inf

J(x) là không tăng (xem [13], Bổ đề 2.1), ta

x−x0 =t

suy ra t∗ = 0. Tuy nhiên, vì tính đơn điệu của t →

inf
x−x0 =t

bất đẳng thức cuối trong (2.2) không đúng.
17

J(x) nên


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


TRẦN THỊ NHUNG

Nhận xét 2.2. Định lý 2.2 không đúng nếu thiếu điều kiện (2.1).Thật
vậy, chúng ta xét hàm J : R → R sao cho

J(x) =



0

nếu x ≤ 1;


 −(x − 1)2 nếu x > 1.
Rõ ràng, J là hàm số C 1 thỏa mãn (2.2) với x = 0 và phương trình
x + λJ (x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm với mọi λ ∈ R. Các hàm
(trong R) J(x) = x2 và J(x) = x cho chúng ta phản ví dụ cho Định lí
2.2. Khi đó, bất đẳng thức đầu tiên hoặc cuối cùng trong (2.2) không
đúng. Để kết luận, chúng ta áp dụng Định lí 2.2 với bài toán biên rời
rạc.
Xét n ∈ N, (n ≥ 2) và fk : R → R (k = 1, . . . , n) là n hàm số. Cho
λ > 0, chúng ta xét bài toán cổ điển


−(xk+1 − 2xk + xk+1 ) = λfk (xk ) k = 1, . . . , n

(Pλ )



x0 = xn+1 = 0
Tập X = (x0 , x1 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ Rn+2 : x0 = xn+1 = 0 . Cho X với
tích vô hướng
n+1

x, y = −

(xk − xk−1 )(yk − yk−1 ).
k=1

Dễ thấy

∞

x, y = −

(xk+1 − 2xk + xk−1 )yk .

(2.4)

k=1

Chúng ta đặt γ =

inf

max |xk | và δ =

x∈X, x =1 1≤k≤n


18

sup

max |xk |.

x∈X, x =1 1≤k≤n


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Định lý 2.3. Cho fk : R → R (k = 1, . . . , n) là n hàm số liên tục
thỏa mãn

t

fk (τ )dτ
lim sup

0

≤0

t2

|t|→∞

(2.5)


với mọi k = 1, . . . , n. Giả sử, tồn tại hai số r, s với 0 < r < s, sao cho
n

sup
k=1

n

t
t∈R

t

sup

fk (τ )dτ >

k=1 |t|<δs

0

fk (τ )dτ

(2.6)

0

và
n


t

fk (τ )dτ ≤ −

sup
γr≤|t|≤δs

t

fh (τ )dτ, ∀k = 1, . . . , n (2.7)

sup
h=1,h=k |t|≤δs

0

0

ˆ > 0 sao cho bài toán (Pˆ ) có ít nhất ba nghiệm.
Khi đó, tồn tại λ
λ
Chứng minh. Với x ∈ X, đặt
n

xk

J(x) = −

fk (t)dt.

k=1

0

Chúng ta thấy J là một hàm C 1 trên X và theo (2.4), nghiệm của bài
toán (Pλ ) là nghiệm đúng của phương trình
x + λJ (x) = 0.
Chúng ta áp dụng Định lí 2.2 (với x0 = 0). Chú ý, từ điều kiện (2.1)
kéo theo (2.5) (Định lí 3, [10]). Khi đó
n

inf J(x) = −

x∈X

t

sup
k=1

19

t∈R

fk (τ )dτ
0