BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đinh Thị Tuyết Nga

HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đinh Thị Tuyết Nga

HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. HỒ MINH TOÀN

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt thời gian
tôi theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy giáo TS. Hồ Minh Toàn, người thầy đã truyền thụ kiến thức, luôn
tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi để tôi có được kết quả như ngày
hôm nay.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân
còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì
vậy, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn
sinh viên và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Đinh Thị Tuyết Nga

i


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới
sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Hồ Minh Toàn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài này, tôi đã tham khảo và kế
thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên
cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Hàm đơn điệu toán tử" là
kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự
trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Đinh Thị Tuyết Nga

ii


Mục lục
Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Toán tử tuyến tính . . . . . . . .
1.2 Khai triển phổ . . . . . . . . . . .
1.2.1 Giá trị riêng và vectơ riêng
1.2.2 Khai triển phổ . . . . . . .

3
3
8
8

9

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Định nghĩa hàm đơn điệu toán tử
14
2.1 Hàm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Hàm đơn điệu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng
3.1 Đặc trưng Hansen-Pedersen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Đặc trưng Hansen-Pedersen . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử . . . . . . .
3.3 Ứng dụng: một số bất đẳng thức cho chuẩn của hoán tử . .

24
24
24
26
27
36

41

Kết luận chung

45

Tài liệu tham khảo

46

iii


Ký hiệu toán học

H

Không gian Hilbert.

B (X)

Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ không
gian định chuẩn X vào chính nó.

Mn

Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số
phức C.

A∗


Toán tử liên hợp của toán tử A.

A ≥ 0 (> 0)

Toán tử nửa xác định dương (xác định dương).

B(H)sa

Tập tất cả các toán tử Hermite trong B(H).

Msa
n

Tập các ma trận Hermite cấp n.

σ (A)

Phổ của toán tử A.

r (A)

Bán kính phổ của toán tử A.

Diag (α1 , ..., αn ) Ma trận đường chéo với các phần tử α1 , α2 , ..., αn
nằm trên đường chéo.

I

Ma trận đơn vị (cấp n).


C k (J)

Lớp các hàm khả vi liên tục cấp k trên khoảng J .

iv


Lời mở đầu

Lớp các hàm đơn điệu toán tử là một trong những lớp hàm quan
trọng của hàm thực. Nó là sự mở rộng của các hàm thực lên các ma trận
Hermite bảo toàn thứ tự. Các hàm như vậy có một số tính chất đặc biệt,
và các tính chất đó có mối quan hệ chặt chẽ với các tính chất của hàm
lồi toán tử. Hơn nữa, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lí, kĩ
thuật điện. Vì vậy với niềm say mê Toán học và sự hướng dẫn tận tình
của TS. Hồ Minh Toàn, tôi đã mạnh dạn thực hiện khóa luận tốt nghiệp
với đề tài "Hàm đơn điệu toán tử". Đây là một đề tài còn khá mới đối
với nền Toán học Việt Nam. Tài liệu chuyên khảo [7] của tác giả Fumio
Hiai là một trong những cẩm nang khá đầy đủ và chi tiết về hàm đơn
điệu toán tử. Bản khóa luận đã trình bày lại một số kết quả chọn lọc về
hàm đơn điệu toán tử được trích dẫn từ tài liệu này.
Nội dung của đề tài trình bày về định nghĩa hàm đơn điệu toán tử và
một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử: đặc trưng Hansen-Pedersen
thể hiện mối quan hệ giữa hàm đơn điệu toán tử và hàm lồi toán tử, biểu
diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số thực không âm.
Ứng dụng các đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử, Rajendra Bhatia và
Fuad Kittaneh đã thu được một số bất đẳng thức cho chuẩn của hoán
1



tử được trình bày trong [6] và chúng tôi nêu lại các kết quả chính trong
tài liệu này.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa
luận gồm các chương sau
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" hệ thống hóa một số kiến thức cơ
sở về toán tử và ma trận.
Chương 2 "Định nghĩa hàm đơn điệu toán tử" trình bày định nghĩa
hàm đơn điệu toán tử và đưa ra một số ví dụ minh họa cho lớp hàm này.
Chương 3 "Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử và ứng
dụng" là phần chính của khóa luận, tôi trình bày đặc trưng Hansen Pedersen, biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số thực
không âm và ứng dụng của hàm đơn điệu toán tử. Đồng thời, tôi cũng
đưa ra một số ví dụ minh họa cho các đặc trưng này.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không
thể tránh khỏi có những sai sót. Ngoài ra, một số kết quả (mệnh đề,
định lí, hệ quả) được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản khóa luận được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
Đinh Thị Tuyết Nga

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị


1.1

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1. [2] Cho hai không gian vectơ bất kì X và Y trên trường
K (thực hoặc phức). Một ánh xạ A : X → Y gọi là một ánh xạ tuyến tính
hay toán tử tuyến tính nếu
(i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ X,
(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ K.
Ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.
Nếu Y = X thì ta nói A là toán tử tuyến tính trong X.
Ví dụ 1.1.1.

A : Rn → R
x → A(x) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn ,
trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ci ∈ R, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Khi đó A là toán tử tuyến tính.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Ví dụ 1.1.2.

A : Rn → Rm







a11 . . . a1n
x1
 .


..   .. 
...
..
x → A(x) = 
.  . 

,
am1 . . . amn
xn
trong đó aij là các số thực với i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
Khi đó A là toán tử tuyến tính.
Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ X vào Y
gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho

Ax ≤ K x , ∀x ∈ X.
Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị
chặn. Kí hiệu B(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ không
gian định chuẩn X vào chính nó.
Ta gọi A = inf{K > 0 : Ax ≤ K x , ∀x ∈ X} là chuẩn của toán
tử A. Khi đó
Ax

= sup Ax .
A = sup
x
x=0
x =1
Cho H là không gian Hilbert n chiều trên trường K (thực hoặc phức)
với tích vô hướng ·, · trong đó tích vô hướng này thỏa mãn


x, x ≥ 0,
x, x = 0 ⇔ x = 0,




 λx, y = λ
¯ x, y ,

x + y, z = x, z + y, z ,





x, y = y, x ,
với mỗi x, y, z ∈ H và λ ∈ K.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Do đó

x, λ1 y1 + λ2 y2 = λ1 x, y1 + λ2 x, y2
và

λ1 x1 + λ2 x2 , y = λ1 x1 , y + λ2 x2 , y .
Chuẩn của x ∈ H được xác định bởi

x = x, x

1/2

.

Định nghĩa 1.2. [7] Toán tử A∗ : H → H là toán tử liên hợp với toán tử
A ∈ B (H) nếu

x, Ay = A∗ x, y ,

∀x, y ∈ H.

Dễ dàng kiểm tra được A∗ ∈ B (H) và A∗ tồn tại duy nhất.
Mệnh đề 1.1. [7, Proposition 1.5.2, p. 147] Với mọi A ∈ B(H) ta có

A∗ = A , A∗ A = A 2 .

Với một cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , . . . , en } cố định của H, mọi x ∈ H

đều được biểu thị tuyến tính duy nhất qua {e1 , e2 , . . . , en }
n

x=

ei , x ei .

(1.1)

i=1

(1.1) được gọi là khai triển Fourier của x và ei , x , 1 ≤ i ≤ n, được gọi là
tọa độ của x đối với cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , . . . , en }. Cố định cơ sở trực
chuẩn {e1 , e2 , . . . , en } của H, với mỗi A ∈ B (H) ta liên kết với một ma
trận [ aij ]n×n , trong đó

aij = ei , Aej , 1 ≤ i, j ≤ n,
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

tức là
n

aij ei , 1 ≤ j ≤ n.

Aej =

i=1

Với mỗi x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ H và y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ H ta có
n

n

ηi ei .

ξi ei và y = Ax =

x=

i=1

i=1

Khi đó
n

ηi = ei , Ax =

ei ,

n

ξj Aej
j=1

=


n

aij ξj , 1 ≤ i ≤ n.

ξj ei , Aej =
j=1

j=1

Ma trận [ aij ]n×n được gọi là ma trận của toán tử A đối với cơ sở trực
chuẩn {e1 , e2 , . . . , en } của H.
Mệnh đề 1.2. [7, Proposition 1.2.4, p. 142] Kí hiệu Mn là không gian các
ma trận vuông cấp n trên trường số phức C. Gọi {e1 , e2 , . . . , en } là cơ sở
trực chuẩn của H. Xét ánh xạ

Φ : B (H) → Mn
A → [aij ]ni, j=1 , aij = ei , Aej ; i, j = 1, 2, . . . , n.
Ta có Φ là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn
Φ (AB) = Φ (A) Φ (B) , Φ (A∗ ) = Φ (A)∗ = Φ(A)

t

, ∀A, B ∈ B (H) .

Do vậy, ta đồng nhất B (H) với Mn .
Trong khóa luận này, ta xét H là không gian Hilbert n chiều với tích
vô hướng ·, · và cố định cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , . . . , en } của H. Khi đó
mỗi toán tử A ∈ B (H) đều có một ma trận biểu diễn duy nhất đối với cơ
sở trực chuẩn trên và ta có thể đồng nhất toán tử với ma trận vuông cấp

t
n. Do đó, A∗ = A .

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Định nghĩa 1.3. [7] Toán tử A ∈ B (H) được gọi là toán tử Hermite hoặc
toán tử tự liên hợp nếu A = A∗ . Kí hiệu B(H)sa là tập tất cả các toán tử
Hermite trong B (H).
Toán tử U ∈ B (H) được gọi là toán tử unita nếu U ∗ U = U U ∗ = I tức
là U ∗ là nghịch đảo của U.
Toán tử A ∈ B (H) được gọi là toán tử chuẩn tắc nếu A∗ A = AA∗ .
Toán tử Hermite và toán tử unita là các trường hợp đặc biệt của toán tử
chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.4. [7] Toán tử A ∈ B (H) được gọi là nửa xác định dương
nếu x, Ax ≥ 0, với mọi x ∈ H. Kí hiệu: A ≥ 0. Tập tất cả các toán tử
nửa xác định dương trong B (H) được kí hiệu là B(H)+ .
Toán tử A ∈ B (H) được gọi là xác định dương nếu x, Ax > 0, với
mọi x ∈ H, x = 0. Kí hiệu: A > 0.
Nếu A, B ∈ B(H)sa và B − A ≥ 0 tức là x, Ax ≤ x, Bx , ∀x ∈ H
thì A ≤ B . Ta có A ≤ B là quan hệ thứ tự riêng trên B(H)sa .
Mệnh đề 1.3. [7, Proposition 1.3.2, p. 143] Nếu A, B ∈ B(H)sa và A ≤ B
thì

C ∗ AC ≤ C ∗ BC, ∀C ∈ B (H).
Chứng minh. Với mọi x ∈ H ta có


x, C ∗ ACx = Cx, ACx ≤ Cx, BCx = x, C ∗ BCx .
Suy ra C ∗ AC ≤ C ∗ BC.
Định nghĩa 1.5. [7] Cho M là không gian con của H. Với mỗi x ∈ H ta
có phân tích trực giao x = x0 +x1 với x0 ∈ M và x1 ∈ M⊥ . Ta định nghĩa
PM x = x0 . Khi đó PM là toán tử tuyến tính trên H với ranPM = M.
Toán tử PM được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M. Trong khóa
luận này, một phép chiếu được hiểu là phép chiếu trực giao từ H lên không
gian con của H.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Mệnh đề 1.4. [7, Proposition 1.3.4, p. 143] P ∈ B(H) là phép chiếu khi
và chỉ khi P ∗ = P = P 2 .
Chứng minh. Xem [7], Proposition 1.3.4, p. 144.

1.2
1.2.1

Khai triển phổ
Giá trị riêng và vectơ riêng

Định nghĩa 1.6. [7] Cho H là không gian Hilbert n chiều và toán tử
A ∈ B(H). Nếu có vectơ x = 0 của H và λ ∈ C sao cho Ax = λx thì λ
được gọi là một giá trị riêng của A còn x được gọi là một vectơ riêng của
A ứng với giá trị riêng λ.

Không gian vectơ Ker(A − λI) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng
của A ứng với giá trị riêng λ là không gian con riêng của A ứng với giá trị
riêng λ.
Tập các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A, kí hiệu là σ(A).
Bán kính phổ của A ∈ B(H): r (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)} .
Bán kính số của A ∈ B(H): w (A) = max{| x, Ax | : x ∈ H, x = 1}.
Mệnh đề 1.5. [7, Proposition 1.5.7, p. 149] Cho A, B ∈ B (H). Ta có các
khẳng định sau
(i) σ(AB) = σ(BA) và do đó r(AB) = r(BA).
(ii) Bán kính số w(·) là một chuẩn trên B(H).
(iii) r(A) ≤ w(A) ≤ A ≤ 2w(A).
(iv) Nếu A là toán tử chuẩn tắc thì r(A) = w(A) = A .

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Khai triển phổ

Định nghĩa 1.7. [1] Ta nói một toán tử tuyến tính chéo hóa được nếu nó
có một ma trận biểu diễn là ma trận đường chéo.
Ta cũng nói một ma trận vuông A chéo hóa được nếu nó đồng dạng với
ma trận đường chéo, tức là tồn tại ma trận khả nghịch P để P −1 AP là
ma trận đường chéo.
Định lý 1.1. [7, Theorem 1.4.1, p. 144] Giả sử A ∈ B(H) là toán tử chuẩn

tắc, tức là A∗ A = AA∗ . Khi đó tồn tại λ1 , . . . , λn ∈ C và u1 , u2 , . . . , un ∈
H sao cho {u1 , u2 , . . . , un } là 1 cơ sở trực chuẩn của H và Aui = λi ui với
mọi i = 1, 2, . . . , n.
Định lý 1.2. [7, Theorem 1.4.6, p. 146] Với mỗi ma trận chuẩn tắc A ∈ Mn
thì tồn tại λ1 , . . . , λn ∈ C và ma trận unita U ∈ Mn sao cho

A = U Diag (λ1 , . . . , λn ) U ∗ .

(1.2)

Hơn nữa, λ1 , . . . , λn là các giá trị riêng của A tính cả bội.
Chứng minh. Theo Định lí 1.1, tồn tại λ1 , . . . , λn ∈ C và u1 , . . . , un ∈ Cn
sao cho {u1 , . . . , un } là cơ sở trực chuẩn của Cn và Aui = λi ui với 1 ≤
i ≤ n. Khi đó, ma trận U = [u1 u2 · · · un ] là unita với u1 , u2 , . . . , un là n
vectơ cột của U . Ta có

AU = [Au1 Au2 · · · Aun ] = [λ1 u1 λ2 u2 · · · λn un ]
= [u1 u2 · · · un ] Diag (λ1 , . . . , λn ) = U Diag (λ1 , . . . , λn ) .
Suy ra biểu diễn (1.2).
Mệnh đề 1.6. Giả sử P là phép chiếu và U U ∗ = U ∗ U = I . Khi đó
P = U P U ∗ hoặc P = U ∗ P U cũng là phép chiếu.
Chứng minh. Vì P là phép chiếu nên theo Mệnh đề 1.4 ta có P ∗ = P = P 2 .
Xét P = U P U ∗ , ta có
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA


(P )∗ = (U P U ∗ )∗ = (U ∗ )∗ P ∗ U ∗ = U P U ∗ = P ,
(P )2 = (U P U ∗ )(U P U ∗ ) = U P 2 U ∗ = U P U ∗ = P .
Do đó (P )∗ = P = (P )2 . Vậy P là phép chiếu. Chứng minh tương tự
với P = U ∗ P U .
Ví dụ 1.2.1. Cho A : R2 → R2 là toán tử tuyến tính có ma trận A trong
cơ sở chính tắc là


1 −2
.
A=
−2 4
Ta có


det(A − λI) = det

1−λ

−2

−2

4−λ


 = λ2 − 5λ.

Vậy A có các giá trị riêng là λ = 0, λ = 5.
Ứng với λ = 0, x ∈ R2 là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ = 0



⇔

1
−2

−2
4




x1
x2





=

0
0




⇔ x = a (2, 1) ,
trong đó a ∈ R, a = 0. Đặt ε1 = (2, 1).

Ứng với λ = 5, x ∈ R2 là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ = 5


⇔

−4 −2
−2 −1




x1
x2

⇔ x = b (1, −2) ,
trong đó b ∈ R, b = 0. Đặt ε2 = (1, −2).
10





=

0
0






Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Hệ {ε1 , ε2 } là cơ sở mới bao gồm các vectơ riêng. Chuẩn hóa {ε1 , ε2 }
ta được

u1 =

ε1
=
ε1

2 1
√ ,√ ,
5 5

u2 =

ε2
=
ε2

1 −2
√ ,√ .
5 5

Khi đó {u1 , u2 } là cơ sở trực chuẩn của R2 . Do đó



√



√

√ 
2/ 5 1/ 5
U = √
√ 
1/ 5 −2/ 5
là ma trận unita. Suy ra

U∗ = 

√



2/ 5 1/ 5
√ .
√
1/ 5 −2/ 5

Vậy

A = U Diag(0, 5)U ∗
 




1 0
0 0
 + 5
 U ∗
= U 0 
0 0
0 1
= 0U P<e1 > U ∗ + 5U P<e2 > U ∗ ,

trong đó P<e1 > = 

1 0
0 0





 và P<e2 > = 

0 0
0 1


 lần lượt là phép chiếu

trực giao lên < e1 >, < e2 > .
Đặt P1 = U P<e1 > U ∗ , P2 = U P<e2 > U ∗ . Theo Mệnh đề 1.6, ta có P1 , P2

là phép chiếu trực giao lên < ε1 >, < ε2 > . Do đó, ta có khai triển phổ
của A
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

A = 0P1 + 5P2 .
Hệ quả 1.1. [7] Cho ma trận chuẩn tắc A ∈ Mn . Giả sử σ (A) =
{α1 , . . . , αm }, αi = αj với i = j và Pj là phép chiếu trực giao lên không
m

gian con riêng Ker (A − αj I) với 1 ≤ j ≤ m,

Pj = I . Khi đó A có
j=1

khai triển phổ là

m

A=

α j Pj .

(1.3)

j=1


Chứng minh. Theo Định lí 1.2, ta có

A = U Diag (λ1 , . . . , λn ) U ∗ ,
trong đó U = [u1 u2 · · · un ] là unita với {u1 , . . . , un } là cơ sở trực chuẩn
của Cn và λ1 , . . . , λn ∈ σ (A) .
Suy ra


u∗1



n
 . 
∗
..  =
A = [u1 λ1 · · · un λn ] 
 i=1 λi ui ui .

u∗n

Gọi α1 , α2 , . . . , αm là các giá trị riêng đôi một khác nhau của A. Đặt

ui u∗i ,

Pj :=

1 ≤ j ≤m.


i:λi =αj

Ta có Pj là phép chiếu trực giao lên không gian con riêng Ker (A − αj I)
với 1 ≤ j ≤ m và
n

m

ui u∗i = I, Pi Pj = 0 với mọi i = j.

Pj =
j=1

i=1

m

Suy ra A =

α j Pj .
j=1

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Mệnh đề 1.7. [7, Corollary 1.4.3, p. 145] Cho A ∈ B(H)sa và σ(A) là

phổ của toán tử A. Khi đó
(1) σ (A) ⊂ R.
(2) A ≥ 0 ⇔ σ (A) ⊂ [0, ∞) .
(3) A > 0 ⇔ σ (A) ⊂ (0, ∞) .
(4) A là phép chiếu trực giao ⇔ σ(A) ⊂ {0, 1}.

13


Chương 2
Định nghĩa hàm đơn điệu toán tử
Trong chương này, ta xét H là không gian Hilbert hữu hạn chiều và ta
định nghĩa hàm xác định trên tập các toán tử Hermite. Từ đó, ta trình
bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử và một số ví dụ về hàm đơn điệu
toán tử.

2.1

Hàm toán tử

Cho hàm thực f xác định trên khoảng J ⊂ R và A ∈ B(H)sa . Theo
Mệnh đề 1.7, ta có σ (A) ⊂ R nên ta giả sử σ(A) ⊂ J. Theo Hệ quả 1.1,
m

αj Pj , trong đó α1 , α2 , . . . , αm ∈

khai triển phổ của toán tử A là A =
j=1

σ (A) đôi một khác nhau và Pj là phép chiếu trực giao lên không gian con

m

riêng Ker (A − αj I) với 1 ≤ j ≤ m,

Pj = I. Ngoài ra, các giá trị riêng
j=1

và các phép chiếu Pj , 1 ≤ j ≤ m ở trên được xác định duy nhất.
Từ đó, ta định nghĩa
m

f (A) =

f (αj ) Pj .
j=1

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Ví dụ 2.1.1. Theo Ví dụ 1.2.1, ta có khai triển phổ của A là

A = 0P1 + 5P2 .
(a) Xét hàm lũy thừa f (x) = xk . Ta có

f (A) = f (0)P1 + f (5)P2 = 0k P1 + 5k P2 .
Vì Pi Pj = 0, ∀i = j và Pin = Pi nên


f (A) = (0P1 + 5P2 )k = Ak .
k

ai xi . Ta có

(b) Xét hàm đa thức f (x) =
i=0

f (A) = f (0)P1 + f (5)P2
k

k
i

=

ai 5 i P 2

ai 0 P 1 +
i=0
k

i=0

ai (0i P1 + 5i P2 ).

=
i=0


Vì Pi Pj = 0, ∀i = j và Pin = Pi nên
k

ai (0P1 + 5P2 )i

f (A) =
i=0
k

ai Ai .

=
i=0

Hệ quả 2.1. [7] Cho toán tử A ∈ B(H)sa và toán tử unita U ∈ B(H). Với
mỗi hàm f xác định trên σ (A) ta có

f (U ∗ AU ) = U ∗ f (A) U .
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1, A có khai triển phổ (1.3)
m

A=


α j Pj ,
j=1

từ đó suy ra

∗

U AU = U



m

∗

m

αj (U ∗ Pj U ).

α j Pj  U =
j=1

(2.1)

j=1

Theo Mệnh đề 1.6, ta có U ∗ Pj U, 1 ≤ j ≤ m là các phép chiếu. Do đó
(2.1) là khai triển phổ của U ∗ AU . Vậy với hàm f xác định trên σ(A), ta
có


f (U ∗ AU ) = f

m

α j U ∗ Pj U

m

=

j=1

= U∗

f (αj ) U ∗ Pj U

j=1

m

f (αj ) Pj

U = U ∗ f (A) U .

j=1

2.2

Hàm đơn điệu toán tử


Định lý 2.1. [7, Theorem 2.1.1, p. 155] (Bất đẳng thức L¨
owner-Heinz)
Với mỗi A, B ∈ B(H)+ , A ≥ B suy ra Ap ≥ B p ∀p ∈ [0, 1]. Quy ước
A0 = I .
Chứng minh. Xét A ≥ B > 0. Khi đó A, B khả nghịch.
Đặt ∆ = {p ∈ R : Ap ≥ B p }. Xét

f : R → B(H)
p → Ap .

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

Lấy p0 ∈ R tùy ý và (pn ) ⊂ R mà pn → p0 . Khi đó

Apn − Ap0

2

= (U DU ∗ )pn − (U DU ∗ )p0
= U (Dpn − Dp0 )U ∗

2

với D = Diag(λ1 , . . . , λn )


2

= D pn − D p0 2
 p
 2
λ1n − λp10
0


...

= 


0
λpnn − λpn0
 p
λ1n − λp10
0

...

=
sup

x21 +x22 +···+x2n =1
0
λpnn − λpn0
=


sup
x21 +x22 +···+x2n =1





2

x1
 . 
  .. 


xn

(λp1n − λp10 )2 x21 + · · · + (λpnn − λpn0 )2 x2n

= max {|λp1n − λp10 |, . . . , |λpnn − λpn0 |}
≤ |λp1n − λ1p0 | + · · · + |λpnn − λpn0 |.
Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được Apn → Ap0 hay f liên tục
tại p0 . Vì p0 tùy ý nên f liên tục.
Do f liên tục nên ∆ là tập đóng. Thật vậy, với mọi (pn ) ⊂ ∆ mà
pn → p0 (n → ∞). Ta đi chứng minh p0 ∈ ∆ tức là Ap0 ≥ B p0 . Vì
(pn ) ⊂ ∆ nên Apn ≥ B pn . Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên ta thu
được Ap0 ≥ B p0 (do Apn → Ap0 , B pn → B p0 khi n → ∞). Suy ra p0 ∈ ∆.
Dễ thấy 0, 1 ∈ ∆. Ta đi chứng minh [0, 1] ⊂ ∆.
Trước tiên ta đi chứng minh nếu p, q ∈ ∆ thì (p + q)/2 ∈ ∆. Thật vậy,
vì p, q ∈ ∆ nên ta có Ap ≥ B p , Aq ≥ B q . Từ B p ≤ Ap nên theo Mệnh đề


17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

1.3, ta có

A−p/2

∗

B p A−p/2 ≤ A−p/2

∗

Ap A−p/2

⇔ A−p/2 B p A−p/2 ≤ A−p/2 Ap A−p/2 = I.
Mặt khác,

B p/2 A−p/2

2

= (B p/2 A−p/2 )∗ (B p/2 A−p/2 )
= (A−p/2 B p/2 )(B p/2 A−p/2 )
= A−p/2 B p A−p/2
≤ 1.


Suy ra B p/2 A−p/2 ≤ 1. Chứng minh tương tự, ta có B q/2 A−q/2 ≤ 1.
Từ đó, ta có

(B p/2 A−p/2 )∗ (B q/2 A−q/2 ) ≤ (B p/2 A−p/2 )∗
= B p/2 A−p/2

B q/2 A−q/2
B q/2 A−q/2

≤ 1.
Áp dụng Mệnh đề 1.5, ta có

(B p/2 A−p/2 )∗ (B q/2 A−q/2 ) = A−p/2 B (p+q)/2 A−q/2
≥ r(A−p/2 B (p+q)/2 A−q/2 )
= r(A(q−p)/4 A−(p+q)/4 B (p+q)/2 A−q/2 )
= r(A−(p+q)/4 B (p+q)/2 A−q/2 A(q−p)/4 )
= r(A−(p+q)/4 B (p+q)/2 A−(p+q)/4 )
= A−(p+q)/4 B (p+q)/2 A−(p+q)/4 .
Suy ra
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐINH THỊ TUYẾT NGA

A−(p+q)/4 B (p+q)/2 A−(p+q)/4 ≤ 1,
hay


A−(p+q)/4 B (p+q)/2 A−(p+q)/4 ≤ I.
Do đó

B (p+q)/2 ≤ A(p+q)/2 hay

p+q
∈ ∆.
2

∞
2n − 1 2n
0 1 2
,
,
,
.
.
.
,
,
⊂
∆
và
E
=
En . Dễ thấy
Đặt En =
2n 2n 2n
2n 2n
n=1

E ⊂ [0, 1] nên E ⊂ [0, 1]. Ta cần đi chứng minh E ⊃ [0, 1]. Thật vậy,
1
1 2
2n − 1
, 1 , suy ra tồn tại r ∈
với mọi α ∈ 0, n ∪ n , n ∪ . . . ∪
2
2 2
2n
r r+1
r
[0, 2n − 1] sao cho α ∈ n , n . Khi đó, với mọi ε > 0, chọn x = n
2
2
2
1
và n > −log2 ε, ta có |x−α| < n < ε. Suy ra E ⊃ [0, 1]. Do đó E = [0, 1].
2
Mặt khác, E ⊂ ∆ (do En ⊂ ∆) suy ra E ⊂ ∆ = ∆ hay [0, 1] ⊂ ∆. Vậy
A ≥ B > 0 thì Ap ≥ B p , ∀p ∈ [0, 1].

Xét A ≥ B ≥ 0, cho ε > 0 tùy ý, ta có A + εI ≥ B + εI ≥ εI > 0.
Theo chứng minh trên, ta có (A + εI)p ≥ (B + εI)p với mọi p ∈ [0, 1].
Cho ε → 0, ta được Ap ≥ B p với mọi p ∈ [0, 1].
Chú ý 2.1. Bất đẳng thức L¨
owner-Heinz không đúng trong trường hợp
p > 1.

Thật vậy, nếu xét A = 


3/2

0

0

3/4





,B = 

1/2 1/2
1/2 1/2


, thì dễ dàng

kiểm tra được A ≥ B ≥ 0. Vì B là phép chiếu trực giao nên với mỗi p > 0,
ta có B p = B và


p
(3/2) − 1/2
−1/2
.
Ap − B p = 
p

−1/2
(3/4) − 1/2

19