BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYẾN THỊ HỒNG HẠNH

ĐA THỨC TỔNG BÌNH PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYẾN THỊ HỒNG HẠNH

ĐA THỨC TỔNG BÌNH PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Th.S TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến ThS. Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình tôi làm bài khóa
luận của mình. Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô
trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những
thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các
bạn sinh viên và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hồng Hạnh


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của thầy ThS. Trần Văn Tuấn. Trong khi
nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Đa thức tổng bình
phương và ứng dụng” là kết quả của việc nghiên cứu và nỗ lực
học tập của bản thân, không trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hồng Hạnh


Mục lục
Mở đầu

2

Bảng kí hiệu

5

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ co . .
1.1.1 Không gian metric đầy . . . . . . . . . . .
1.1.2 Nguyên lý Banach về ánh xạ co . . . . . .
1.2 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . .
1.2.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân
1.2.3 Bổ trợ một số kiên thức về ma trận . . . .

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
10
10
13
18

2 Đa thức tổng bình phương và ứng dụng
21
2.1 Đa thức tổng bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Đa thức và một số khái niệm liên quan . . . . . 21
2.1.2 Đặc trưng của đa thức SOS . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Điều kiện để một đa thức có biểu diễn SOS . . 30
2.2 Ứng dựng của đa thức SOS vào việc kiểm tra tính ổn
định của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận

43

TÀI LIỆU THAM KHẢO

44

1


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học
và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học - kĩ thuật và công
nghệ, nó được coi như cầu nối giữa lý thuyết và ứng dụng [4, 5]. Các
nghiên cứu về phương trình vi phân được bắt đầu từ rất sớm bởi
nhiều nhà toán học [5]. Các câu hỏi cơ bản quan trọng được quan tâm
nghiên cứu liên quan tới phương trình vi phân đó là sự tồn tại nghiệm,
sự duy nhất và tính ổn định của nghiệm của bài toán Cauchy, xem
bài toán 1.1. Câu hỏi về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy được chứng minh bởi nhiều nhà toán học dưới các điều kiện
khác nhau liên quan tới vế phải, xem [5].
Vào 1882, trong luận án tiến sĩ của mình, xem [5] Lyapunov đã
thiết lập các điều kiện cần và đủ về sự tồn tại của hàm Lyapunov để

kiểm tra trạng thái cân bằng của bài toán Cauchy là ổn định. Ý tưởng
cơ bản của Lyapunov là tìm hàm khả vi liên tục V mà −V˙ ≥ 0 trong
lân cận của trạng thái cân bằng. Tuy nhiên, Lyapunov không đưa ra
một phương pháp cụ thể nào để xây dựng các hàm Lyapunov như vậy.
Gần đây, xem [7], trong luận án tiến sĩ của mình Parrilo đã đề xuất
ý tưởng mới: “Thay vì tìm hàm V mà −V˙ ≥ 0 ta tìm hàm V mà −V˙
biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương (SOS) của các đa thức”.
Một trong những công cụ hữu hiệu để kiểm tra một đa thức có biểu
diễn SOS đó là bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Do đó, bài toán
nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân qui về bài
2


toán tối ưu.
Xuất phát từ quan sát trên cùng với sự hướng dẫn tận tình của
Th.S Trần Văn Tuấn, tôi xin chọn đề tài: “Đa thức tổng bình
phương và ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
1. Giới thiệu về các đa thức tổng bình phương (SOS) và sự phân
tích một đa thức không âm thành tổng của hữu hạn các đa thức
SOS.
2. Ứng dụng đa thức SOS vào bài toán nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của hệ phương trình vi phân.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Tìm hiểu về cách biểu diễn của đa thức tổng bình phương, kiểm
tra khi nào một đa thức không âm có thể biểu diễn dạng đa thức
tổng bình phương và ngược lại.
• Nghiên cứu về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân,
tìm ra mối liên hệ giữa việc xây dựng đa thức SOS và hàm vô

hướng Lyapunov từ đó vận dụng cho việc kiểm tra tính ổn định
của hệ phương trình vi phân.
4. Phạm vi nghiên cứu
• Đa thức, đa thức biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương
và các đặc trưng của nó.
3


• Hệ phương trình vi phân và tính ổn định nghiệm của hệ phương
trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tích
cực nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn.
6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận được trình bày trong hai chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Đa thức tổng bình phương và ứng dụng vào kiểm tra
tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân.
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Hồng Hạnh

4


Bảng kí hiệu
N

Tập số tự nhiên


Z

Tập số nguyên

R

Tập số thực

C

Tập số phức.

R+

Tập số thực không âm

C[a, b]

Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Rn

Không gian Euclide n chiều,
với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) là các phần tử trong Rn ,
1/2

n

|xi |2


chuẩn Euclide x =

,

i=1

Rn×m

Tập tất cả các ma trận cấp n × m

AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A

zn,d

Vectơ của đơn thức n biến, bậc nhỏ hơn hoặc bằng d

M

0 Ma trận xác định không âm

n

aj

Tích a1 a2 . . . an

j=1


λ(A)

Tập các giá trị riêng của ma trận A
Kết thúc chứng minh

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ
co

1.1.1

Không gian metric đầy

Định nghĩa 1.1. Cho không gian metric M = (X, d). Dãy điểm
(xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong M , nếu
(∀ ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗ ) (∀ m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε
hay
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ dàng thấy mọi dãy điểm (xn ) ⊂ X hội tụ trong M đều là dãy cơ
bản.
Định nghĩa 1.2. Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian

đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này là hội tụ.
Ví dụ 1.1. Không gian Rk là không gian metric đầy.
6


(n)

(n)

(n)

Thật vậy, giả sử x(n) = x1 , x2 , . . . , xk

, (n = 1, 2, . . .) là dãy

cơ bản tùy ý trong không gian Eukleides Rk . Theo định nghĩa dãy cơ
bản, (∀ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) d(x(n) , x(m) ) < ε, hay
k
(n)
xj

−

(m)
xj

2

(n)


(m)

< ε ⇒ xj − xj

< ε, ∀m, n ≥ n0 ,

j=1

∀j = 1, 2, . . . , k.Các bất đẳng thức trên chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, . . . , k
(n)

dãy xj

là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn
(n)

lim xj = xj (j = 1, 2, . . . , k).

n→∞

Đặt x = (x1 , x2 , . . . , xk ), ta nhận được dãy (x(n) ) ⊂ Rk đã cho hội tụ
theo tọa độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Eukleides Rk tương
đương với sự hội tụ tọa độ, nên dãy cơ bản x(n) đã cho hội tụ tới x
trong không gian Rk . Vậy không gian Eukleides Rk là không gian đầy.
1.1.2

Nguyên lý Banach về ánh xạ co

Định nghĩa 1.3. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ),
M2 = (Y, d2 ). Ánh xạ A : M1 → M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn

tại số α, α ∈ [0, 1) sao cho
d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀x, x ∈ X.
Định lý 1.1 (Định lý 1.4.2, [3], trang 29)(Nguyên lý
Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric
đầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x¯ duy nhất, nghĩa

7


là x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯
x = x¯.
Chứng minh: Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy xn với
xn = Axn−1 (n = 1, 2, . . .) ta được
d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ),
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ),
........
d(xn+1 , xn ) = d(Axn−2 , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 )
với n = 1, 2, . . . Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, . . . ta có

p

d(xn+p , xn ) ≤

d(xn+k , xn+k−1 )
k=1
p

αn+k−1

≤ d(Ax0 , x0 )

k=1
n

n−p

α −α
d(Ax0 , x0 )
1−α
αn
≤
d(Ax0 , x0 ).
1−α
=

Vì 0 ≤ α < 1, nên lim αn = 0, do đó lim d(xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N∗ ,
n→∞

n→∞

nghĩa là dãy (xn ) là dãy cơ bản trong không gian metric đầy M . Từ
đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X. Ta có
n→∞

d(A¯
x, x¯) ≤ d(A¯
x, xn ) + d(xn , x¯) = d(A¯
x, Axn−1 ) + d(xn , x¯)
≤ αd(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯), ∀ n = 1, 2, . . .

8



Cho n → ∞ ta được d(A¯
x, x¯) = 0 hay A¯
x = x¯, nghĩa là x¯ là điểm bất
động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y¯ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì
d(¯
x, y¯) = d(A¯
x, A¯
y ) ≤ αd(¯
x, y¯) =⇒ (1 − α)d(¯
x, y¯) ≤ 0
=⇒ d(¯
x, y¯) = 0, (0 ≤ α < 1) =⇒ x¯ = y¯.
Vì vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.2. Giải và biện luận phương trình sau
x + asinx = π, a là tham số, |a| < 1.
Phương trình đã cho tương ứng với
x = π − asinx.

(1)

Đặt y = Ax = π − asinx, ta nhận được ánh xạ A ánh xạ không gian
đầy R1 vào chính nó. Hơn nữa
|Ax − Ax | = |asinx − asinx | = 2|a| cos
≤ 2|a|

x+x

2

sin

x−x
2

x−x
= |a||x − x |.
2

Suy ra A là ánh xạ co (do (|a| < 1)). Theo nguyên lý Banach về ánh
xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất x¯, nghĩa là phương trình
(1) có nghiệm duy nhất x¯.
Nhận thấy được x¯ = π là nghiệm duy nhất đó.
9


Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = π, ∀ a ∈ (−1, 1).

1.2

Hệ phương trình vi phân

1.2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét hệ phương trình vi phân



x(t)
˙
= f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b],

(1.1)


x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, x ∈ Rn ,
trong đó f : G −→ Rn trong đó G = I×D, D = x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a.
Định nghĩa 1.4. Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân (1.1) là
một hàm số x(t) xác định trên I, khả vi liên tục và thỏa mãn
i) (t, x(t)) ∈ G,
ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1): x(t0 ) = x0 và x(t)
˙
= f (t, x(t)),
∀ t ∈ I.
Định nghĩa 1.5 (Điều kiện Lipschitz). Ta nói f : G → Rn là hàm
số Lipschitz theo biến thứ hai đều theo biến thứ nhất nếu tồn tại hằng
số L sao cho
||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, ∀(t, x1 ), (t, x2 ) ∈ G, ∀ t ≥ 0.
Định lý 1.2 (Định lý 1.23, [1], trang 27). Xét hệ phương trình vi
phân (1.1), trong đó giả sử hàm f (t, x) : G −→ Rn là liên tục theo t
và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x với hằng số Lipschitz L > 0
∃L > 0 : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, ∀ t ≥ 0.
10


Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ G sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn
có nghiệm duy nhất trên đoạn [t0 − d, t0 + d].

Chứng minh. Giả sử hàm f (t, x) liên tục trên G, khi đó lấy tích phân
hai vế của (1.1) trên đoạn [t0 , t] ta có
t

t

x(s)ds
˙
=
t0

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) − x(t0 ) =

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds, ∀t ∈ I.

(1.2)

t0

Lấy tập đóng H ⊂ G chứa điểm (t0 , x0 ) sao cho hàm f bị chặn trong

H. Khi đó tồn tại số M > 0 sao cho
||f (t, x)|| ≤ M, ∀(t, x) ∈ H.
Chọn số d > 0 thỏa mãn yêu cầu
i)Ld < 1.
ii)|t − t0 | ≤ d, ||x − x0 || ≤ M d.
Gọi J = [t0 − d, t0 + d], C(J) = C[t0 − d, t0 + d] là không gian các hàm
x(t) liên tục trên đoạn J = [t0 − d, t0 + d], thỏa mãn điều kiện
||x(t) − x0 || ≤ M d,
với khoảng cách giữa hai hàm được xác định bởi
d(x1 , x2 ) = max ||x1 (t) − x2 (t)||.
t∈J

11


Ta có C(J) cùng với khoảng cách trên là một không gian metric đầy,
∀x ∈ C(J), xét ánh xạ T cho bởi
t

T x = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Khi đó từ (1.2) ta thấy x là nghiệm của hệ (1.1) khi và chỉ khi x là
điểm bất động của T .
Ta đi chứng minh T là ánh xạ co. Thật vậy, ta có
t

f (s, x(s))ds ≤ M |t − t0 | ≤ M d.


T x − x0 =
t0

Từ đó suy ra T x ∈ C(J).
Hơn nữa
t

||T x1 − T x2 || =

(f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s)))ds
t0
t

≤L

(x1 (s) − x2 (s))ds
t0

≤ L.d. max ||x1 (s) − x2 (s)||
s∈J

= L.d.d(x1 , x2 ).
Do đó
d(T x1 , T x2 ) = max ||T x1 (t) − T x2 (t)||
t∈J

≤ L.d.d(x1 , x2 ), Ld < 1.
Như vậy T là ánh xạ co trên không gian C(J). Áp dụng nguyên lý


12


Banach về ánh xạ co thì ánh xạ co T trong không gian metric đầy
C(J) vào chính nó sẽ có hàm bất động x0 (t) duy nhất sao cho
T x0 (t) = x0 (t),
hay là có duy nhất hàm x0 (t) thỏa mãn
t

x0 (t) = x0 +

f (s, x0 (s))ds
t0

nên hệ (1.2) có duy nhất nghiệm. Do vậy hệ (1.1) cũng có duy nhất
nghiệm.
1.2.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân

A. Khái niệm ổn định
Xét hệ phương trình vi phân cấp một
x˙ = f (t, x), t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn là hàm
vectơ cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao
cho nghiệm của hệ (1.3) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, luôn
tồn tại.

Định nghĩa 1.6. Giả sử x(t) là một nghiệm của hệ (1.3) xác định
trên khoảng [t0 , +∞).
a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [t0 , +∞) nếu với mỗi số
ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với ||y(t0 ) − x(t0 )|| < δ

13


sẽ tồn tại trên cả khoảng [t0 , +∞] và thỏa mãn
||y(t) − x(t)|| < ε, ∀ t ≥ t0 .
b) Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng [t0 , +∞) nếu nó ổn
định và tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với ||y(t0 ) − x(t0 )|| < β
sẽ thỏa mãn
lim ||y(t) − x(t)|| = 0.

t→+∞

Nhận xét rằng bằng phép đổi biến (x − y) −→ z, (t − t0 ) −→ τ .
Khi đó hệ phương trình (1.3) sẽ được đưa về dạng
z˙ = F (τ, z),

(∗)

trong đó F (τ, 0) = 0. Khi đó sự ổn định nghiệm của hệ (1.3) được đưa
về nghiên cứu sự ổn định nghiệm 0 của hệ (∗). Do vậy ta nói hệ (∗)
là ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ ổn định.
Xét hệ (1.3) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f (t, 0) = 0, t ∈ R+ .
Ta nói
• Hệ (1.3) gọi là ổn định nếu với bất kì ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số
δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 của hệ thỏa

mãn ||x0 || < δ thì ta đều có ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 .
• Hệ (1.3) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có một số
δ > 0 sao nếu ||x0 || < δ thì lim ||x(t)|| = 0.
t→∞

Nếu số δ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc thời gian
ban đầu t0 thì ta nói hệ ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều).
c) Hệ (1.3) gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao

14


cho với mọi nghiệm của (1.3) với x(t) = x0 thỏa mãn
||x(t)|| ≤ M e−γ(t−t0 ) ∀ t ≥ t0 ,
là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của
nó tiến tới 0 nhanh với vận tốc theo hàm số mũ.
Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân sau trong R
x(t)
˙
= ax(t), t ≥ 0,
với x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, nghiệm x(t) cho bởi công thức
x(t) = x0 eat , t ≥ 0.
Khi đó, ta thấy nếu a < 0 thì hệ đã cho là ổn định (mũ, tiệm cận) và
nếu a = 0 thì hệ là ổn định.
B. Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm
Lyapunov
Xét hệ vi phân ôtônôm
x˙ = f (x),

(1.4)


ở đó f là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ Rn chứa 0 và f (0) = 0.
Nghiệm 0 của hệ (1.4) gọi là nghiệm dừng hoặc nghiệm cân bằng
của hệ. Chúng ta sẽ xét tính ổn định của nghiệm này.
Trước hết, ta giới thiệu về hàm Lyapunov. Cho hàm giá trị V ∈ C 1 (D),

15


ta định nghĩa
V˙ := (gradV (x), f (x)) = f1 (x)Vx1 (x) + · · · + fn (x)Vxn (x).
Dễ thấy V˙ là đạo hàm của V theo hướng (không chuẩn hóa) f
1
V˙ (x) = lim [V (x + tf (x)) − V (x)].
t→0 t
Có thể kiểm tra được rằng nếu x(t) là một nghiệm của (1.4) thì
d
V (x(t)) = V˙ (x(t)),
dt
và do đó V˙ được gọi là đạo hàm của V dọc theo quỹ đạo.
Công thức này có thể dùng để nhận thông tin về dáng điệu của V
dọc theo quỹ đạo mà không cần biết trước nghiệm.
Một hàm Lyapunov đối với hệ (1.4) là hàm V ∈ C 1 (D) thỏa mãn
V (0) = 0, V (x) > 0 với x = 0, và V˙ (x) ≤ 0 ∀ x ∈ D.
Định lý 1.3 (Định lý 1.9, [4], trang 130)(Ổn định Lyapunov).
. Giả sử f ∈ C(D) với f (0) = 0 và tồn tại một hàm Lyapunov V đối
với hệ (1.4). Khi đó
a) Nếu V˙ ≤ 0 trong D thì nghiệm 0 của hệ (1.4) ổn định;
b) Nếu V˙ < 0 trong D \ {0} thì nghiệm 0 của hệ (1.4) ổn định tiệm
cận;

c) Nếu V˙ ≤ −αV và V (x) ≥ b||x||β trong D với α, β, b > 0 thì
nghiệm 0 của hệ (1.4) ổn định mũ.
¯ ε)
Chứng minh. a) Chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho hình cầu đóng B(0,
16


nằm trong D. Chọn số dương γ sao cho V (x) > γ với ||x|| = ε và sau
đó chọn δ với 0 < δ < ε sao cho V (x) < γ với ||x|| < γ. Nếu x(t)
là một nghiệm của (1.4) với ||x(0)|| < γ thì đạo hàm của hàm của
˙ ≤ 0 và do đó φ(t) ≤ φ(0) < γ. Do V (x)
φ(t) = V (x(t)) thỏa mãn φ(t)
chỉ lấy giá trị lớn hơn γ trên mặt cầu ||x|| = ε nên suy ra ||x|| < ε
với t > 0. Cả sự tồn tại của nghiệm trên khoảng J = [0, +∞) và ước
lượng ||x(t)|| < ε trên J đều suy ra từ đây.

b) Nếu x(t) là một nghiệm được xác định ở phần a) và φ(t) = V (x(t))
thì lim φ(t) = β < γ, do φ(t) giảm và bị chặn dưới bởi 0. Đầu tiên
t→+∞

ta chứng minh β = 0.
¯ ε) :
Giả thiết phản chứng rằng β > 0. Khi đó tập M = {x ∈ B(0,
¯ ε) {0} và
β ≤ V (x) ≤ γ} là một tập conpact của B(0,
max{V˙ (x) : x ∈ M } = −α < 0.
˙ ≤ −α; điều này không thể xảy
Do nghiệm x(t) nằm trong M nên φ(t)
ra vì khi đó có
t


V˙ (x(s))ds ≤ −αt+V (x(0)) → −∞ khi t → +∞.

V (x(t)) = V (x(0))+
t0

Vậy lim φ(t) = 0. Từ đây suy ra lim x(t) = 0. Thật vậy, với số dương
t→+∞

t→+∞

ε < ε, hàm V có giá trị nhỏ nhất dương δ trên tập hợp ε ≤ ||x|| ≤ ε.
Do đó, ||x(t)|| < ε khi φ(t) < δ, tức là với mọi t lớn.
c) Từ giả thiết suy thiết suy ra b||x(t)||β ≤ V (x(t)) = φ(t) và φ˙ ≤ −αφ,
nên φ(t) ≤ φ(0)e−αt và do đó ||x|| ≤ ce−γt với γ =
17

α
β

> 0.


1.2.3

Bổ trợ một số kiên thức về ma trận

Phần này chúng tôi đưa ra một số khái niệm liên quan đến ma trận
để phục vụ cho cho chương tiếp theo.
Trong đại số tuyến tính, một ma trận đối xứng là một ma trận

vuông A chính bằng ma trận chuyển vị của nó
A = AT
Mỗi phần tử của một ma trận đối xứng thì đối xứng qua đường chéo.
Do vậy, nếu các phần tử được viết dưới dạng A = (aij ) thì
aij = aji
Định nghĩa 1.7. Cho A là ma trận m × n khác không. Hạng của ma
trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min {m, n} thỏa mãn các điều kiện
sau
1. Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A = 0.
2. Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng
0. Nói cách khác, hạng của ma trận A = 0 chính là cấp cao nhất của
các định thức con khác không của ma trận A.
Hạng của ma trận A kí hiệu là r(A) hoặc rank A.
Định nghĩa 1.8. Giả sử A = (aij ), aij ∈ C là một ma trận vuông cấp
n. Ta định nghĩa chuẩn của ma trận A như sau
1/2

n

|aij |2

A =
i,j=1

18

.


Nếu x = (x1 , . . . , xn ) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như là

một ma trận n hàng, một cột và do đó
1/2

n

|xi |2

x =

.

i=1

Chuẩn của ma trận có các tính chất sau
1) A + B ≤ A + B .
2) AB ≤ A

B .

3) Ax ≤ A

x .

Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In (hay đơn giản là I nếu không
sợ nhầm lẫn). Đa thức det(λI − A) bậc n của λ gọi là đa thức đặc
trưng của ma trân A, nghiệm của nó gọi là giá trị riêng của ma trận
A và kí hiệu là λ1 , . . . , λn . Ta có
n

det(λI − A) =


(λ − λi ).
i=1

Định nghĩa 1.9. Ma trận A gọi là giới hạn của dãy ma trận {Ak }
nếu với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε) sao cho ∀ k > N (ε) ta có
Ak − A < ε.
Khi đó ta nói dãy ma trận {Ak } hội tụ.
∞

Ma trận
k=0

Ak
gọi là ma trận mũ của ma trận A và kí hiệu là eA .
k!

Ta thấy Ak ≤ A

k

nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi trên hội

tụ tuyệt đối với mọi ma trận A.
Định lý 1.4 (Công thức Sylvester, Định lý 1.3, trong [4]). .
19


Cho A là ma trận (n×n) chiều với các giá trị riêng λ1 , λ2 , . . . , λn khác
n


ck λk là hàm đa thức bậc n. Khi đó

nhau. Cho f (λ) =
k=0

n

Zk f (λk )

f (A) =
k=1

trong đó Zk được xác định bởi
Zk =

(A − λ1 I)(A − λ2 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I)
.
(λk − λ1 )(λk − λ2 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn )

20


Chương 2
Đa thức tổng bình phương và ứng
dụng
Trong chương này chúng tôi giới thiệu về khái niệm đa thức tổng bình
phương SOS với đặc trưng không âm của nó, từ đó tìm ra biểu diễn
cụ thể của một đa thức SOS được kiểm tra bằng quy hoạch nửa xác
định dương (SDP). Tiếp theo là đưa ra ứng dụng trực tiếp của việc

biểu diễn đa thức SOS trong xét tính tính ổn định của một hệ phương
trình vi phân lấy cơ sở từ phương pháp hàm Lyapunov.

2.1
2.1.1

Đa thức tổng bình phương
Đa thức và một số khái niệm liên quan

Định nghĩa 2.1 (Đơn thức). Với mỗi α ∈ Zn+ xác định một hàm
mα : Rn → R, được gọi là đơn thức. Cho α ∈ Zn+ , đơn thức mα ánh xạ
α2
αn
x ∈ Rn vào mα (x) = xα := xα1
1 x2 · · · xn . Bậc của một đơn thức được

kí hiệu là deg mα :=

n
i=1 αi .

Định nghĩa 2.2 (Đa thức). Một đa thức được định nghĩa như là một
21