BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

THẠCH THỊ HUỆ

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

THẠCH THỊ HUỆ

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội – Năm 2017

Mục lục

Lời cảm ơn

3

Lời cam đoan

4

Mở đầu

5

1 KHÔNG GIAN HÀM THỬ

8

1.1

Không gian hàm thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không gian hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . .


10

1.3

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH

24

2.1

Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2

Nghiệm cơ bản của một số phương trình đạo hàm riêng

31

2.2.1

Nghiệm cơ bản của phương trình Poisson . . . .

31


2.2.2

Nghiệm cơ bản của phương trình Helmholtz . .

33

2.2.3

Nghiệm cơ bản của phương trình sóng . . . . .

37

2.2.4

Nghiệm cơ bản của phương trình khuếch tán
một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

39


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.5

Thạch Thị Huệ

Nghiệm cơ bản của phương trình Klein-Gordon

một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

41
46

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Lời cảm ơn
Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ
của Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, khóa luận của em đã hoàn
thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Kiên Cường,
người đã giúp đỡ hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và làm khóa luận này.
Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân bài khóa luận này đã được
hoàn thành. Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản
thân còn nhiều hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để bản
thân có thể tiếp tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên


Thạch Thị Huệ

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Lời cam đoan
Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài “Nghiệm cơ bản của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” giúp em hiểu sâu sắc
hơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt là phương trình đạo hàm
riêng. Qua đó cũng bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên
cứu khoa học.
Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều
kiện, đặc biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của Thầy Bùi
Kiên Cường.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Nghiệm cơ bản của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” không có sự trùng lặp
với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Thạch Thị Huệ

4



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển
của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào
việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng
dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trình
đạo hàm riêng. Tuy ra đời khá muộn so với các ngành toán học khác
nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được
vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toán
học nói riêng.
Để bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa
luận tốt nghiệp, đồng thời yêu thích môn phương trình đạo hàm riêng,
em đã chọn đề tài “Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính” để tìm hiểu về không gian hàm thử - đây là một
công cụ đắc lực trong việc giải phương trình đạo hàm riêng và bước
đầu tìm hiểu về phương pháp giải nghiệm cơ bản của phương trình
đạo hàm riêng thông qua hàm Green.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm giới thiệu sơ lược về không gian hàm
thử, đặc biệt quan trọng và mục tiêu chính đó là tìm hiểu phương
pháp giải nghiệm cơ bản của một phương trình đạo hàm riêng quan
trọng.
3. Đối tượng nghiên cứu

5



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận liên quan và phương pháp tìm nghiệm cơ
bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
• Nghiên cứu các định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan đến không
gian hàm thử, không gian hàm suy rộng, không gian Sobolev.
• Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm cơ bản của một số phương
trình đạo hàm riêng tuyến tính.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
• Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, tôi đã thu
thập, sưu tầm một số tài liệu, sách, báo, tạp chí, các công trình
nghiên cứu khoa học, thông tin trên mạng Internet để phục vụ
cho việc nghiên cứu.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có:
• Phần 1: Mở đầu.
• Phần 2: Nội dung.
+ Chương 1: Không gian hàm thử.
+ Chương 2: Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính.
6



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

• Phần 3: Kết luận.
• Phần 4: Tài liệu tham khảo.

7


Chương 1
KHÔNG GIAN HÀM THỬ
1.1

Không gian hàm thử

Định nghĩa 1.1. Hàm thử là hàm khả vi vô hạn trên RN bị triệt tiêu
bên ngoài tập bị chặn. Không gian chứa tất cả các hàm thử được kí
hiệu là D(RN ) hay đơn giản là D.
*Ta thường gọi hàm khả vi vô hạn là hàm trơn.
Ví dụ 1.1.1. Hàm thử không tầm thường tồn tại là không hiển nhiên.
Trong trường hợp số biến N = 1, ta có hàm thử

ϕ(x) =



e(x2 −1)−1


nếu |x| < 1,


0

nếu ngược lại

Sử dụng hàm thử này, ta dễ dàng suy ra được một số ví dụ tổng
quát sau:
ϕ(ax + b), trong đó a, b là hằng số, a = 0,
f (x)ϕ(x), trong đó f là hàm trơn tùy ý
ϕ(k) (x), trong đó k là số nguyên dương.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Hàm

ϕ(x) =



e(x21 +...+x2N )−1

nếu x21 + ... + x2N < 1,



0

nếu ngược lại

là hàm thử trên RN . Một cách khác để tạo ra hàm thử trên RN là
lấy tùy ý các hàm thử ϕ1 ,...,ϕN xác định trên R và ta có hàm thử
ϕ(x) = ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 )....ϕN (xN ).
Định lý 1.1. Không gian tất cả các hàm thử D là một không gian
vector. Hơn nữa, nếu ϕ, ψ ∈ D thì
(a) f ϕ ∈ D với mọi hàm trơn f,
(b) ϕ ◦ A ∈ D với mọi biến đổi affine A đi từ RN tới RN ,
(c) ϕ ∗ ψ ∈ D.
Định nghĩa 1.2. (Sự hội tụ của hàm thử) Cho ϕ1 , ϕ2 , ... và ϕ là
các hàm thử. Ta nói rằng dãy (ϕn ) hội tụ về ϕ trong D, kí hiệu là
D

→ ϕ, nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
ϕn −
(a) ϕ1 , ϕ2 , ... và ϕ bị triệt tiêu bên ngoài tập bị chặn S ⊂ RN ,
(b) Dα ϕn → Dα ϕ trên RN với mọi đa chỉ số α.
Ví dụ 1.1.2. Cho ϕ ∈ D và {vn } là dãy vector trong RN hội tụ về 0.
D

Hàm ϕn (x) = ϕ(x − vn ) thì ϕn −
→ ϕ. Hay nói cách khác, phép biến
đổi này là một toán tử liên tục trên D.
Cho ϕ ∈ D, và (an ) là dãy vô hướng hội tụ về vô hướng a. Thế thì
D

an ϕ −

→ aϕ. Nói cách khác, phép nhân vô hướng là một toán tử liên
tục trên D.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Cho ϕ là hàm thử khác không, (an ) và (bn ) là các dãy vô hướng
dương hội tụ về 0. Hàm ϕn = bn ϕ(an x). Thế thì Dα ϕn → 0 trên RN
với mọi đa chỉ số α.
Tuy nhiên, trong trường hợp này, dãy {ϕn } không hội tụ trong D vì
điều kiện (a) không được thỏa mãn.
Các tính chất của sự hội tụ trong D được liệt kê trong định lí sau
đều là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
D

D

Định lý 1.2. Cho ϕn −
→ ϕ và ψn −
→ ψ. Thế thì, ta có:
D

(a) aϕn + bψn −
→ aϕ + bψ, với vô hướng a, b nào đó,
D


→ f ϕ, với hàm trơn f nào đó xác định trên RN ,
(b) f ϕn −
D

(c) ϕn ◦ A −
→ ϕ ◦ A, với A là biến đổi affine nào đó đi từ RN vào RN ,
D

(d) Dα ϕn −
→ Dα ϕ, với đa chỉ số α nào đó.

1.2

Không gian hàm suy rộng

Định nghĩa 1.3. (Hàm suy rộng) Hàm suy rộng F trên RN là
hàm tuyến tính liên tục trên D(RN ). Hay nói cách khác, ánh xạ F:
D

D(RN ) −
→ C được gọi là hàm suy rộng nếu
(a) F (aϕ + bψ) = aF (ϕ) + bF (ψ) với mọi a, b ∈ C và ϕ, ψ ∈ D(RN ),
D

(b) F (ϕn ) → F (ϕ) (trong C) khi ϕn −
→ ϕ.
Không gian chứa tất cả các hàm suy rộng được kí hiệu là D (RN )
hay đơn giản là D . Để thuận tiện ta viết F, ϕ thay vì F (ϕ). Chú ý
rằng F, ϕ không phải là tích vô hướng.
Hàm suy rộng là khái niệm tổng quát của hàm số. Về mặt hình

thức, một hàm số trong RN không phải là một hàm suy rộng vì miền
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

xác định của nó không phải là D. Tuy nhiên, mọi hàm f khả tích địa
phương trên RN được xác định ứng với một hàm suy rộng F theo cách
sau:
f ϕ.

F, ϕ =
RN

Định nghĩa 1.4. (Hàm suy rộng chính quy và hàm suy rộng
kì dị) Một hàm suy rộng F ∈ D được gọi là hàm suy rộng chính quy
nếu tồn tại hàm f khả tích địa phương thỏa mãn:
F, ϕ =

f ϕ,

(1.1)

RN

với mọi ϕ ∈ D. Một hàm suy rộng không chính quy được gọi là hàm
suy rộng kì dị.
Ví dụ 1.2.1. Cho Ω là một tập mở (hoặc tập đo được) trong RN . Hàm

F xác định bởi
F, ϕ =

ϕ,
Ω

là một hàm suy rộng. Nó là một hàm suy rộng chính quy vì
F, ϕ =

χΩ ϕ,
RN

trong đó χΩ là hàm đặc trưng của Ω.
Đặc biệt, nếu Ω = (0, ∞) × ... × (0, ∞), ta được hàm suy rộng
∞

H, ϕ =

∞

...
0

ϕ(x)dx1 ...dxN ,
0

hàm này được gọi là hàm Heaviside (Oliver Heaviside (1850-1925)).
Ta kí hiệu hàm suy rộng này là H, đồng thời đây cũng là hàm đặc
11



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

trưng của Ω = (0, ∞) × ... × (0, ∞).
Ví dụ 1.2.2. (Hàm suy rộng Dirac delta) Một trong những ví dụ
quan trọng nhất của hàm suy rộng Dirac delta (Paul Adrien Maurice
Dirac (1902-1984)) và được kí hiệu là δ và được xác định bởi công thức
δ, ϕ = ϕ(0),
Rõ ràng δ tuyến tính. Để chứng minh tính liên tục cần chú ý rằng
D

ϕn −
→ ϕ hay ϕn → ϕ trên RN , và do đó ϕn (x) → ϕ(x) với mọi x ∈ RN .
Hàm Dirac delta là hàm kì dị.
Ví dụ 1.2.3. Cho α là đa chỉ số. Hàm F trên D được xác định bởi
F, ϕ = Dα ϕ(0),
là hàm suy rộng.
Sự thành công của lý thuyết hàm suy rộng phần lớn là nhờ vào
khái niệm của phép tính vi - tích phân được xác định cho hàm suy
rộng. Khi áp dụng định nghĩa của hàm suy rộng, ta luôn mong đợi
định nghĩa mới đồng nhất với với một định nghĩa cổ điển nào đó khi
áp dụng cho hàm chính quy. Phương pháp sau sẽ đảm bảo điều đó.
Khi tìm kiếm một mở rộng của toán tử A nào đó, tức là ta đi xác định
một hàm, đầu tiên, ta đi xét hàm chính quy
F, ϕ =

12


f ϕ.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Từ đây, ta mong đợi rằng AF cũng giống như Af , ta có
AF, ϕ =

Af ϕ.

Nếu ta tìm được toán tử liên tục A∗ ánh xạ từ D vào D như sau
Af ϕ =

f A∗ ϕ,

thì nó hoàn toàn xác định, với hàm suy rộng F tùy ý,
AF, ϕ = F, A∗ ϕ .
Ví dụ, nếu phương pháp mô tả trên được sử dụng để tìm ra định nghĩa
đạo hàm của một hàm suy rộng thì ta cần chú rằng

RN

∂
f (x)ϕ(x)dx = −
∂xk

f (x)
RN


∂
ϕ(x)dx.
∂xk

Định nghĩa 1.5. (Đạo hàm hàm suy rộng) Cho hàm suy rộng F.
∂F
được xác định bởi
Đạo hàm
∂xk
∂F
,ϕ
∂xk

= − F,

∂ϕ
∂xk

.

Tổng quát hơn, nếu α là đa chỉ số, thì ta kí hiệu Dα F là hàm xác định
bởi
Dα F, ϕ = (−1)|α| F, Dα ϕ .
* Thực chất Dα F, ϕ luôn xác định với mọi ϕ ∈ D không đồng
nghĩa rằng Dα F là một hàm suy rộng. Điều đó đã được chứng minh
trong định lý sau.
13



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Định lý 1.3. Nếu F là hàm suy rộng thì Dα F cũng là hàm suy rộng
với đa chỉ số α nào đó.
Chứng minh: Ta cần chỉ ra rằng Dα F tuyến tính và liên tục. Nếu
F là một hàm suy rộng thì
Dα F, aϕ + bψ = F, a(−1)|α| Dα ϕ + b(−1)|α| Dα ψ
= a F, (−1)|α| Dα ϕ + b F, (−1)|α| Dα ψ
= a Dα F, ϕ + b Dα F, ψ
D

D

do đó, Dα F tuyến tính. Hơn nữa, từ ϕn −
→ ϕ nghĩa là Dα ϕn −
→ Dα ϕ,
hàm Dα F liên tục. Do đó, Dα F là hàm suy rộng.
Ví dụ 1.2.4. Cho hàm Heaviside H của biến đơn x. Thế thì
d
H, ϕ
dx

d
= − H, ϕ
dx

∞


=−

ϕ(x)dx = ϕ(0) = δ, ϕ .
0

Do đó,
d
H = δ.
dx
Hơn nữa,
d
δ, ϕ
dx

= δ , ϕ = −ϕ (0)

và tương tự,
dn
,ϕ
dxn

= δ (n) , ϕ = (−1)n ϕ(n) (0).

Tổng quát lại,
Dα δ, ϕ = (−1)|α| Dα ϕ(0).
Định nghĩa 1.6. (Sự hội tụ yếu của hàm suy rộng) Một dãy
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Thạch Thị Huệ

hàm suy rộng (Fn ) hội tụ về hàm suy rộng F nếu
Fn , ϕ → F, ϕ với mọi ϕ ∈ D.
Dạng hội tụ này được gọi là hội tụ yếu và được kí hiệu là Fn → F
hoặc lim Fn = F .
n→∞

Ví dụ 1.2.5. Cho dãy hàm liên tục f1 , f2 , ... trên RN . Giả sử fn → f
trên mọi tập con compact của RN với f là hàm liên tục. Ta luôn xác
định được hàm mở rộng chính quy
Fn , ϕ =

fn ϕ,

n = 1, 2, ...

RN

và
F, ϕ =

f ϕ.
RN

thì Fn → F . Thật vậy, nếu Ω là miền xác định của hàm thử ϕ thì
Fn , ϕ =

fn ϕ →


fn ϕ =
RN

Ω

f ϕ = F, ϕ .
Ω

Ví dụ 1.2.6. Cho f1 , f2 , ... ∈ L1 (RN ). Giả sử f ∈ L1 (RN ) và fn → f
trong L1 (R)N , tức là

N
R

|fn − f | → 0. Xác định hàm mở rộng chính

quy Fn và F như trong ví dụ trước thì Fn → F . Thật vậy, ta có
| Fn , ϕ − F, ϕ | =

(fn − f )ϕ ≤
RN

|fn − f ||ϕ|
RN

≤ sup|ϕ|
RN

|fn − f | → 0,

RN

với mọi ϕ ∈ D.
Thay vì nói “dãy hàm suy rộng chính quy sinh bởi dãy hàm (fn )
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

hội tụ về hàm suy rộng F ”, ta thường nói đơn giản là “dãy hàm (fn )
hội tụ về hàm suy rộng F theo nghĩa hàm suy rộng” hay “dãy (fn ) hội
tụ suy rộng về F ”.
Ví dụ 1.2.7. Xét dãy hàm trên R xác định bởi công thức:
fn (x) =

n
,
π(1 + n2 x2 )

n = 1, 2, ....

Ta sẽ chỉ ra rằng dãy (fn ) hội tụ suy rộng về hàm suy rộng Dirac delta
δ.
Cho hàm thử ϕ có giá trong đoạn [−a, a]. Ta cần chỉ ra
∞

fn (x)ϕ(x)dx → ϕ(0) khi n → ∞,
−∞


hoặc tương đương,
∞

fn (x)ϕ(x)dx − ϕ(0) → 0 khi n → ∞.
−∞

Từ
∞

∞

fn (x)dx =
−∞

ndx
= 1 với mọi n ∈ N
2 2
−∞ π(1 + n x )

ta có
∞

∞

fn (x)ϕ(x)dx − ϕ(0) =
−∞

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx
−∞

−a

≤ ϕ(0)

fn (x)dx
−∞

a

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx

+
−a

−∞

+ ϕ(0)

fn (x)dx .
a

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Lấy tích phân trực tiếp, ta được
∞


−a

fn (x)dx = 0.

fn (x)dx = lim ϕ(0)

lim ϕ(0)

n→∞

n→∞

−∞

a

Do đó ta chỉ cần chứng minh
a

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0)) = 0.

lim

n→∞

−a

Chú ý rằng
a


a

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx ≤
−a

|fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))|dx
−a
a

≤ max|ϕ”(x)|

|xfn (x)|dx,
−a

từ |ϕ(x) − ϕ(0)| ≤ max|ϕ”(x)||x|, ( theo định lí giá trị) và
a
n→∞

ln(1 + n2 a2 )
= 0.
n→∞
πn

|xfn (x)|dx = lim

lim

−a


Định lý 1.4. Nếu Fn → F trong D (RN ) thì Dα Fn → Dα F với mọi
đa chỉ số α.
Chứng minh: Ta có
Dα Fn , ϕ = (−1)|α| Fn , Dα ϕ → (−1)|α| F, Dα ϕ = Dα F, ϕ
với mọi hàm thử ϕ.
Định nghĩa 1.7. (Nguyên hàm hàm suy rộng) Cho F ∈ D (RN ).
Một hàm suy rộng G trên R được gọi là nguyên hàm của F nếu G = F .
Định lý 1.5. Mọi hàm suy rộng đều có nguyên hàm.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Chứng minh: Cho hàm thử cố định ϕ0 ∈ D sao cho
∞

ϕ0 (x)dx = 1.
−∞

Khi đó với mọi hàm thử ϕ ∈ D(R) luôn tồn tại một hàm thử ϕ1 ∈
D(R) sao cho
ϕ = Kϕ0 + ϕ1 ,
trong đó
∞

K=

∞


ϕ(x)dx và

ϕ1 (x)dx = 0.

−∞

−∞

Cho F ∈ D (R). Ta xác định được hàm G trên D thỏa mãn công thức
G, ϕ = G, Kϕ0 + ϕ1 = KC0 − F, ψ ,
ở đó C0 là hằng số và ψ là hàm thử xác định bởi
x

ψ(x) =

ϕ1 (t)dt.
−∞

thì G là hàm suy rộng và G = F .
Ta hoàn toàn có thể chứng minh được rằng nếu G1 và G2 là nguyên
hàm của hàm suy rộng F thì G1 − G2 là hàm hằng và đặc biệt luôn
tồn tại hằng số C sao cho
∞

G1 − G2 , ϕ = C

ϕ(x)dx
−∞


với mọi hàm thử ϕ. Điều này được dễ dàng suy ra từ định lí sau.
Định lý 1.6. Nếu F ∈ D (R) và F = 0 thì F là hàm hằng.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Chứng minh: Xét ϕ ∈ D(R), ta có
F, ϕ = F, Kϕ0 + ϕ1
= F, Kϕ0 + F, ϕ1
∞

= F, ϕ0

ϕ(x)dx,
−∞

vì
F, ϕ1 = − F , ψ = 0.
Do đó, F là hàm suy rộng chính quy sinh bởi hàm hằng C = F, ϕ0 .
Định lý 1.7. (Không gian hàm thử trên tập con mở của RN )
Cho Ω là tập con mở của RN . Không gian hàm thử là không gian chứa
tất cả các hàm trơn xác định trên Ω và bao hàm tập con compact của
Ω. Phần tử của D(Ω) được gọi là hàm thử trên Ω.
Chú ý rằng hàm

ϕ(x) =




e(x2 −1)−1

nếu |x| < 1,


0

nếu ngược lại.

không phải là phần tử của D((−1, 1)). Mặt khác, hàm ψ(x) = ϕ(αx)
là một phần tử của D((−1, 1)) với mọi α > 1.
Định nghĩa 1.8. (Hội tụ trong D(Ω)) Cho các hàm thử ϕ1 , ϕ2 , ...
và ϕ trên Ω. Ta nói rằng dãy {ϕn } hội tụ về ϕ trong D(R), kí hiệu
bởi ϕn → ϕ trong D(R), nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a)

ϕ1 , ϕ2 , ... và ϕ bị triệt tiêu bên ngoài tập compact S ∈ Ω,

(b) Dα ϕn → Dα ϕ trên Ω với mọi đa chỉ số α.
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Định nghĩa 1.9. (Không gian hàm suy rộng trên tập con mở

của RN ) Ta kí hiệu D (Ω) là không gian tất cả các hàm tuyến tính
liên tục trên Ω. Phần tử của D (Ω) được gọi là hàm suy rộng trên Ω.
Định nghĩa 1.10. (Tích của hàm suy rộng và hàm trơn) Cho
F ∈ D (Ω) và g là hàm trơn trên Ω. Tích của g và F là một hàm suy
rộng xác định theo công thức gF, ϕ = F, gϕ .
* Dễ thấy rằng tích của hàm suy rộng và hàm trơn luôn xác định.
Định lý 1.8. (Công thức Leibniz) Cho F ∈ D (Ω) và hàm trơn
trên Ω. Thế thì

Dα (gF ) =


β≤α

α1
β1





 ... 

αN
βN


 Dα gDα−β F,

trong đó β ≤ α tức là βj ≤ αj với mọi j = 1, 2, ..., N .


1.3

Không gian Sobolev

Việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng một cách tự nhiên bao
hàm cả việc nghiên cứu các không gian hàm được xác định không chỉ
bởi các hàm thành phần mà còn bởi đạo hàm của chúng. Không gian
Banach của tất cả các hàm liên tục bị chặn trên clΩ, trong đó Ω là
tập mở trong RN , với chuẩn hội tụ đều, có phần không phù hợp trong
việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Thật vậy, ví dụ nếu
∂ 2u
∂ 2u
+ ... + 2 = f,
∂x21
∂xN
và f liên tục, điều nói nói chung không đúng với u ∈ C 2 (Ω). Việc tìm
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

ra không gian Sobolev đã tạo ra nhiều hữu ích trong việc nghiên cứu
về phương trình đạo hàm riêng. Trong phần này, ta cùng đi nghiên
cứu về một số định nghĩa cơ bản và thảo luận về một số tính chất
của không gian Sobolev. Xuyên suốt phần này, ta kí hiệu Ω là tập mở
trong RN .
Định nghĩa 1.11. (Không gian Sobolev) Cho số nguyên m ≥

0 và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian Sobolev W m,p (Ω) là tập tất cả các hàm
u ∈ Lp (Ω) sao cho Dα u ∈ Lp (Ω) với mọi |α| ≤ m.
Vì các hàm u ∈ Lp (Ω) không khả vi, nên điều kiện đạo hàm bên
trên cần được giải thích. Nếu u ∈ Lp (Ω) thì u được đồng nhất với hàm
suy rộng chính quy Gu ∈ D (Ω). Hàm suy rộng Gu có đạo hàm mọi
bậc và Dα Gu ∈ D (Ω). Nếu Dα Gu là hàm suy rộng chính quy tương
ứng với một hàm trong Lp (Ω) thì ta viết đơn giản là Dα u ∈ Lp (Ω).
Dễ thấy W m,p (Ω) là không gian vector. Phiếm hàm
 p1



|Dα u|p 

||u||m,p,Ω = 
|α|≤m

(1.2)

Ω

là chuẩn trong W m,p (Ω) nếu 1 ≤ p < ∞. Tại p = ∞ chuẩn được xác
định theo công thức
||u||m,∞,Ω = max ||Dα u||.
0≤|α|≤m

Ví dụ 1.3.1. Với 1 ≤ p < ∞, ta có
N

|u|p +


||u||1,p,Ω =
Ω

k=1

21

Ω

∂u
∂xk

p

1
p

,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


||u||2,p,Ω

Thạch Thị Huệ

N
p


|u| +

=
Ω

k=1

Ω

∂u
∂xk

N

p

p

+
k,l=1

Ω

 p1

∂ 2u
 .
∂xk ∂xl


Chú ý rằng, nếu m1 > m2 thì
W m1 ,p (Ω) ⊂ W m2 ,p (Ω) ⊂ Lp (Ω)
và
||u||m1 ,p,Ω ≥ ||u||m2 ,p,Ω ≥ ||u||Lp (Ω) ,
với u ∈ W m1 ,p (Ω).
Định lý 1.9. Không gian Sobolev W m,p (Ω) là không gian Banach.
Nếu p < ∞ thì tách được.
Định lý 1.10. Toán tử vi phân Dα là ánh xạ liên tục đi từ W m,p (Ω)
vào W m−|α|,p (Ω) với |α| ≤ m.
Chứng minh Kí hiệu Dj là đạo hàm đối với biến thứ j. Xét
u ∈ W m,p (Ω), ta có
||Dα Dj u||pLp (Ω) ≤

||Dj u||pm−1,p,Ω =

|α|≤m−1

p

||Dβ u||Lp (Ω) = ||u||pm,p,Ω .
|β|≤m

Đây là phần chứng minh trong trường hợp toán tử vi phân bậc 1,
trường hợp tổng quát tương tự.
Định lý 1.11. Cho f là hàm trên Ω sao cho Dα f bị chặn trên Ω với
mọi |α| ≤ m. Phép nhân bởi f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ
W m,p (Ω) vào W m,p (Ω).
Ánh xạ ϕ : Ω → RN được gọi là C r -vi phôi (r ∈ N) nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
22



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

(a) Dα ϕ liên tục trong Ω với mọi |α| ≤ r;
(b) ϕ là tương ứng 1-1 trong Ω;
(c) Định thức Jacobian của ϕ không triệt tiêu trong Ω.
Nếu ϕ là C r -vi phôi trong Ω thì khả nghịch và ϕ−1 là C r -vi phôi trong
ϕ(Ω).
Định lý 1.12. Cho Ω bị chặn, m ∈ N, ϕ là C m -vi phôi trong Ω được
xác định trong một lân cận của clΩ. Ánh xạ u → u ◦ ϕ−1 là toán tử
tuyến tính liên tục từ W m,p (Ω) vào W m,p (ϕ(Ω)).
Trường hợp p = 2 có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì W m,2 (Ω) là
không gian tích vô hướng. Không gian W m,2 (Ω) là không gian con của
L2 (Ω). Tuy nhiên, nó không phải là không gian con đóng của L2 (Ω)
và do đó, nó không phải là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
của L2 (Ω). Và W m,2 (Ω) là không gian Hilbert nếu tích hướng được
xác định bởi công thức
u, v

m,Ω

Dα u(x)Dα v(x)dx.

=
|α|≤m

(1.3)


Ω

Không gian W m,2 (Ω) đẳng cấu với không gian Hm (Ω) và tích vô hướng
(1.3) tạo ra chuẩn (1.2) với p = 2. Không gian Lp (Ω) là trường hợp
đặc biệt của không gian Sobolev với m = 0. Ta kí hiệu ||.||0,p,Ω là
chuẩn của hàm trong Lp (Ω). Khi Ω = RN , không gian Hm (RN ) được
xác định theo biến đổi Fourier.

23