BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN KHẮC TÍN

BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC
NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH, NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN KHẮC TÍN

BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC
NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ:

62.46.01.04

Phản biện 1: ..................................................................................
Phản biện 2: ..................................................................................
Phản biện 3: ..................................................................................

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN SUM

BÌNH ĐỊNH, NĂM 2017


Mục lục
Lời cam đoan

iv

Lời cảm ơn

v

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

10

1.1 Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Cấu trúc A-môđun của đại số đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hàm µ và véctơ trọng của đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Đơn thức chấp nhận được và đơn thức hit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Một số đồng cấu và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. Một số vấn đề về bài toán hit đối với đại số đa thức


21

2.1 Tính đẳng cấu của đồng cấu Kameko lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số dạng bậc . . . 24
2.2.1 Trường hợp d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Trường hợp d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Trường hợp d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chương 3. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại
số thứ năm của Singer

43

3.1 Giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Chứng minh Định lý 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Trường hợp d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Trường hợp d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ii


3.2.3 Trường hợp d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Chứng minh Hệ quả 3.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Kết luận

61

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án

62

Tài liệu tham khảo


63

Phụ lục

69

iii


Lời cam đoan
Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sum. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó.
Tác giả,

Nguyễn Khắc Tín.

iv


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy tôi PGS.TS. Nguyễn Sum. Thầy
đã tận tình hướng dẫn tôi từ những bước đi đầu tiên trong nghiên cứu, khi tôi
làm luận văn thạc sỹ và giờ đây là luận án tiến sĩ, thầy luôn tạo cho tôi một
môi trường làm việc cởi mở, chân tình và đầy ấm cúng. Hơn thế nữa, như một
người cha, thầy luôn động viên, uốn nắn tôi để tôi hoàn thiện hơn trong cuộc
sống cũng như trong nghiên cứu khoa học và đặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ
về mặt vật chất lẫn tinh thần để cho tôi an tâm trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu của mình.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu; Phòng Đào
tạo sau đại học; Khoa Toán-Trường Đại học Quy Nhơn, cùng các Thầy giáo,
Cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian
học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu-Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành
phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi đi học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn
chân thành đến các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Ứng dụng
đã gánh vác công việc của tôi trong suốt thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh
tại trường Đại học Quy Nhơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn NCS. Liên Vương Lâm và các bạn bè gần xa đã
thăm hỏi, giúp đỡ tôi rất nhiều trong ba năm qua. Xin cảm ơn Cô Kim Phụng
đã dành cho tôi những lời khuyên chân tình, những lời động viên, khích lệ tinh
thần trong suốt thời gian tôi thực hiện luận án này.
Cuối cùng, tôi xin dành tình cảm đặc biệt của mình gửi đến tất cả những
người thân thương trong gia đình tôi, những người luôn bên cạnh động viên, an
ủi, chia sẻ mọi khó nhọc cùng tôi; đặc biệt là sự vất vả, hy sinh to lớn của vợ
và con gái tôi đã gánh vác mọi công việc gia đình, tạo mọi điều kiện tốt nhất
có thể để tôi chuyên tâm học tập.
Tác giả
Nguyễn Khắc Tín.
v


Mở đầu
Một trong những công cụ cơ bản được sử dụng để nghiên cứu bài toán phân
loại đồng luân của các không gian tôpô đó là các toán tử đối đồng điều được
Steenrod xây dựng. Các toán tử đối đồng điều được sinh bởi các phép biến đổi
tự nhiên bậc i


Sq i : H n (X, F2 ) −→ H n+i (X, F2 ),
trong đó X là không gian tôpô và H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều kì dị của X với
hệ số trên trường F2 có 2 phần tử và n, i là các số nguyên không âm tùy ý.
Các toán tử Sq i được Steenrod xây dựng trong [38] và được gọi là bình phương
Steenrod bậc i hay toán tử Steenrod bậc i.
Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được Serre [58] làm rõ vào
năm 1952. Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường và phép hợp
thành các ánh xạ, các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều
ổn định. Đại số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trên trường F2 được
gọi là đại số Steenrod modulo 2 và được kí hiệu là A. Khi đó, với mỗi không
gian tôpô X , H ∗ (X, F2 ) là một A-môđun.
Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại số
như là đại số thương của F2 -đại số phân bậc, kết hợp, tự do sinh bởi các ký
hiệu Sq i bậc i với i là số nguyên không âm, theo iđêan hai phía sinh bởi quan
hệ Sq 0 = 1 và các quan hệ Adem
[a/2]
a

b

Sq Sq =
j=0

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , 0 < a < 2b.
a − 2j

Ký hiệu Pk = H ∗ ((RP ∞ )k ) là đại số đối đồng điều modulo 2 của tích trực
tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều RP ∞ . Khi đó, Pk đẳng cấu với một
đại số đa thức phân bậc F2 [x1 , x2 , . . . , xk ] với k biến, trong đó mỗi biến xj có



bậc bằng 1.
Cấu trúc A-môđun của Pk được xác định tường minh bởi công thức



 xj , i = 0,

Sq i (xj ) =

x2 , i = 1,

j


 0,

i > 1,

và công thức Cartan
n

Sq i (x)Sq n−i (y),

n

Sq (xy) =
i=0


với x, y ∈ Pk .
Một trong những bài toán mà chúng tôi quan tâm là bài toán tìm tập sinh
cực tiểu của đại số đa thức Pk được xét như môđun trên đại số Steenrod A.
Bài toán này được gọi là bài toán hit đối với đại số đa thức. Nếu xét F2 như
một A-môđun tầm thường thì bài toán hit tương đương với bài toán tìm một
cơ sở của F2 -không gian véctơ phân bậc
F2 ⊗A Pk ∼
= Pk /A+ Pk
trong đó A+ là iđêan của A sinh bởi tất cả các toán tử Steenrod bậc dương.
Bài toán này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peterson [27, 28], Singer [36],
Wood [54], Priddy [30]. . . những người đã chỉ ra mối liên hệ của bài toán hit
với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết đồng biên
của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, dãy phổ
Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu và bài toán phân tích ổn định
các không gian phân loại của nhóm hữu hạn.
Trong [27], Peterson đã đưa ra giả thuyết rằng, như một môđun trên đại
số Steenrod, đại số đa thức Pk được sinh bởi các đơn thức bậc n thỏa mãn

α(n + k)

k, trong đó α(n) là số hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n và

chứng minh điều này với k

2. Giả thuyết này được Wood [54] chứng minh

một cách tổng quát vào năm 1989. Đây là một công cụ cơ bản đối với bài toán
xác định tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk . Sau đó kết quả này được phát
triển xa hơn bởi Singer [36] và Silverman [33, 34].
Đến nay, tích tenxơ F2 ⊗A Pk đã được xác định tường minh với k = 1, 2 bởi

Peterson, với k = 3 bởi Kameko [22, 23]. Trường hợp k = 4 được xác định
2


hoàn toàn bởi N. Sum [39, 42, 44]. Trong trường hợp tổng quát tại một số dạng
bậc nào đó, bài toán được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và
ngoài nước (chẳng hạn như: Boardman [2], Bruner-Hà-Hưng [3], Carlisle-Wood
[4], Crabb-Hubbuck [5], Giambalvo-Peterson [11], Hưng-Nam [15, 16], HưngPeterson [17], Janfada-Wood [20, 21], Mothebe [25], T. N. Nam [56], Phúc-Sum
[29], Repka-Selick [32], Silverman [33], Silverman-Singer [35], Singer [37], N.
Sum [40, 41, 44], Walker-Wood [51, 52, 53], Wood [54, 55] và một số tác giả
khác). Tuy nhiên, các kết quả đạt được vẫn còn hạn chế, ngay cả trong trường
hợp k = 5 với sự hỗ trợ của máy tính điện tử.
Ký hiệu GLk là nhóm tuyến tính tổng quát cấp k trên trường F2 . Nhóm này
tác động tự nhiên lên đại số đa thức Pk bằng các phép thế biến tuyến tính (xem
Dickson [10]). Vì các tác động của A và GLk trên Pk giao hoán với nhau nên
có một tác động cảm sinh của GLk trên F2 ⊗A Pk .
Một công cụ khác được sử dụng để nghiên cứu bài toán hit là đồng cấu của
0

Kameko Sq ∗ : F2 ⊗A Pk −→ F2 ⊗A Pk . Đồng cấu này là một đồng cấu GLk môđun cảm sinh bởi một ánh xạ F2 -tuyến tính φ : Pk −→ Pk và được xác định
như sau:

φ(x) =


y,

nếu x = x1 x2 . . . xk y 2 ,

0,


các trường hợp khác ,

với mọi đơn thức x ∈ Pk . Tuy φ không phải là một đồng cấu A-môđun nhưng
ta có các hệ thức sau: φSq 2j = Sq j φ, φSq 2j+1 = 0 với mọi số nguyên không
âm j . Với n là một số nguyên dương, ta ký hiệu

µ(n) = min{u ∈ Z : α(n + u) ≤ u}.
Kameko đã chứng minh trong [22] kết quả sau (định lý này cũng được đánh số
là Định lý 2.1.1).
Định lý 1 (Kameko [22]). Cho m là một số nguyên dương. Nếu µ(2m+k) = k
thì
0

(Sq ∗ )(k,m) : (F2 ⊗A Pk )2m+k −→ (F2 ⊗A Pk )m
là một đẳng cấu của các GLk -môđun.
3


Kết hợp kết quả này và kết quả của Wood, bài toán hit được rút gọn về việc
tính toán tại các bậc n thỏa mãn µ(n) = s < k.
Tuy vậy, việc tính toán tường minh không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n là rất khó,
do đó người ta thường quan tâm đến việc đánh giá số chiều của không gian
véctơ này. Trong [4], Carlisle-Wood đã chứng minh rằng số chiều của không
gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n bị chặn đều bởi một chỉ số phụ thuộc vào k.
Vào năm 1990, trong luận án tiến sĩ của mình tại trường Đại học Johns
Hopkins, Kameko [22] đã đưa ra giả thuyết sau về chặn trên của số chiều của

(F2 ⊗A Pk )n , và đã chứng minh giả thuyết này đúng với k


3.

Giả thuyết 2 (Kameko [22]). Với mọi số nguyên không âm n,

(2i − 1).

dim(F2 ⊗A Pk )n
1 i k

Sau khi xác định được tường minh F2 ⊗A P4 bằng phương pháp của Kameko,
N. Sum [41] đã chỉ ra rằng giả thuyết của Kameko cũng đúng với k = 4. Hơn
nữa, N. Sum [44] đã thiết lập một công thức quy nạp theo k về số chiều của
không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n với n là bậc có dạng tổng quát.
Định lý 3 (Sum [44]). Cho n = (k − 1)(2d − 1) + 2d m, trong đó d, m là các
số nguyên dương sao cho 1

k−3

k − 2. Nếu d

µ(m)

k − 1 thì

dim(F2 ⊗A Pk )n = (2k − 1) dim(F2 ⊗A Pk−1 )m .
Với d

k và µ(m) = k − 2, định lý trên đã được chứng minh trong T. N.

Nam [56]. Bằng cách quy nạp theo k và sử dụng tính chất toàn cấu của đồng

cấu Kameko, chúng ta có kết quả sau.
Hệ quả 4 (Sum [41]). Cho n =

1 i k−2 (2

dương và ký hiệu dk−1 = 1, nr =
Nếu d1 − d2

4, di−2 − di−1

1 i k

Ở đây ta quy ước

i
r+1 i k (2

−1), trong đó di là các số nguyên

di −dr−1
1 i r−2 (2

i với 4

i

(2i − 1) +

dim(F2 ⊗A Pk )n =


di

k và k

(

5, thì
0

(2i − 1)) dim Ker(Sq ∗ )(r,nr ) .

5 r k r+1 i k

− 1) = 1, với r = k.

4

− 1) − 1 với r = 5, . . . , k.


Hệ quả này đã chứng tỏ rằng giả thuyết của Kameko không đúng tại bậc

n =
k

1 i k−2 (2

di

− 1) thỏa mãn các điều kiện của hệ quả này và với mọi


5.
Bằng cách tính toán trực tiếp, ta thấy rằng với d là một số nguyên không

âm bất kỳ, tồn tại số nguyên không âm t thỏa mãn µ(k(2s − 1) + 2s d) = k với
mọi s > t. Do đó Định lý 1 kéo theo
0

(Sq ∗ )s−t : (F2 ⊗A Pk )k(2s −1)+2s d −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t d
là một đẳng cấu của các GLk -môđun, với mọi s

t.

Trong [14], N. H. V. Hưng đã chứng minh rằng với t = k − 2 thì kết quả trên
là đúng với mọi d.
Mở rộng kết quả này của N. H. V. Hưng trong [14], chúng tôi thu được định
lý sau đây. Kết quả này có ý nghĩa trong việc rút gọn các tính toán bài toán
hit và các GL5 -bất biến của F2 ⊗A P5 (định lý này cũng được đánh số là Định
lý 2.1.3 và kết quả của định lý này được công bố trong bài báo [49]).
Định lý 5. Cho d là số nguyên không âm bất kỳ. Khi đó,
0

(Sq ∗ )s−t : (F2 ⊗A Pk )k(2s −1)+2s d −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t d
là một phép đẳng cấu của GLk -môđun, với mọi s

t nếu và chỉ nếu t

t(k, d).

Ở đây,


t(k, d) = max{0, k − α(d + k) − ζ(d + k)},
trong đó ζ(n) là số nguyên lớn nhất mà số nguyên dương n chia hết cho 2ζ(n) ,
tức là n = 2ζ(n) m, với m là một số nguyên lẻ.
Chúng ta thấy rằng t(k, d)

k − 2 với mọi d và k

2. Do đó, từ định

lý trên ta thu được hệ quả sau đây (hệ quả này cũng được đánh số là Hệ quả
2.1.4).
Hệ quả 6 (Hưng [14]). Cho d là số nguyên không âm bất kỳ. Khi đó,
0

(Sq ∗ )s−t : (F2 ⊗A Pk )k(2s −1)+2s d −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t d
là một phép đẳng cấu của GLk -môđun, với mọi s

k − 2.

Hệ quả này chứng tỏ rằng với t = k −2, đồng cấu Kameko lặp là đẳng cấu với
mọi d. Trong [14], N. H. V. Hưng dự đoán rằng t = k − 2 là số nguyên bé nhất
5


để cho đồng cấu Kameko lặp là đẳng cấu với mọi d và đã chứng minh dự đoán
này đúng khi k = 5. Dễ thấy rằng, với d = 2k − k + 1, ta có t(k, d) = k − 2,
do đó dự đoán của N. H. V. Hưng là đúng với mọi k

2.


Như vậy, với việc sử dụng định lý này kết hợp với các kết quả trước đó, giúp
chúng tôi thu gọn đáng kể việc tính toán F2 ⊗A P5 tại một số dạng bậc. Bằng
cách tính toán trực tiếp, chúng tôi thu được định lý về số chiều sau đây (định
lý này cũng được đánh số là Định lý 2.2.1 và kết quả của định lý này được công
bố trong các bài báo [47], [48], [50]).
Định lý 7. Cho n = 5(2s − 1) + 2s d, với d ∈ {1, 2, 3} và s là số nguyên dương
bất kỳ. Khi đó, số chiều của F2 -không gian véctơ (F2 ⊗A P5 )n được xác định bởi
bảng sau:

n = 5(2s − 1) + 2s d

dim(F2 ⊗A P5 )n

s = 1, d = 1

110

s

2, d = 1

905

s = 1, d = 2

191

s


2, d = 2

1245

s

1, d = 3

315

Với s = d = 2, định lý này đã được N. H. V. Hưng chỉ ra trong [14] bằng
cách dùng máy tính điện tử nhưng không công bố phép chứng minh chi tiết.
Phép chứng minh của định lý này là thuần túy tính toán với các kỹ thuật
phức tạp dựa vào một số kết quả của Kameko [22], Singer [37], N. Sum [44].
Một trong những ứng dụng quan trọng của bài toán hit là sử dụng nó trong
việc nghiên cứu một đồng cấu được thiết lập bởi Singer vào năm 1989.
Trong [36], Singer định nghĩa đồng cấu chuyển đại số hạng k :
GLk
ϕk : TorA
k,k+n (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Pk )n ,
k là không gian véctơ con của F ⊗
trong đó (F2 ⊗A Pk )GL
2
A Pk gồm tất cả các
n

lớp bậc n bất biến đối với tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GLk .
Chuyển qua đối ngẫu, ta cũng được một đồng cấu đại số và cũng được gọi là
đồng cấu chuyển đại số của Singer


T rk := (ϕk )∗ : F2 ⊗GLk P Hd ((RP ∞ )k ) −→ Extk,k+d
(F2 , F2 ).
A
6


Ở đây H∗ ((RP ∞ )k ) là đồng điều của (RP ∞ )k với hệ số trong F2 và P H∗ ((RP ∞ )k
là không gian con của H∗ ((RP ∞ )k ) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu đối với
tác động của mọi toán tử Steenrod bậc dương.
Singer đã chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển đại số
bằng cách chỉ ra rằng ϕk là đẳng cấu khi k = 1, 2 và tại một số bậc với k = 3, 4
nhưng ϕ5 không là đẳng cấu tại bậc 9 và đưa ra giả thuyết sau đây (giả thuyết
này cũng được đánh số là Giả thuyết 3.1.1).
Giả thuyết 8 (Singer [36]). Với mọi số nguyên không âm k, ϕk là một toàn
cấu.
Có thể nói công trình này của Singer đã cho thấy được ý nghĩa và nhu cầu
cần thiết của việc nghiên cứu bài toán hit. Đến năm 1991, Boardman một lần
nữa khẳng định giá trị của đồng cấu chuyển đại số, bằng cách sử dụng lý thuyết
biểu diễn modular của nhóm tuyến tính để chứng tỏ rằng ϕ3 cũng là một đẳng
cấu.
Với k

4, đồng cấu này được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả như:

Bruner-Hà-Hưng [3], L. M. Hà [12], N. H. V. Hưng [13, 14], Chơn-Hà [7, 8,
9], Minami [26], T. N. Nam [57], Hưng-Quỳnh [19], V. T. N. Quỳnh [31], N.
Sum [43], Sum-Tín [45, 49]. Gần đây, ảnh của đồng cấu chuyển đại số thứ tư

T r4 đã được xác định hoàn toàn (xem Bruner-Hà-Hưng [3], N. H. V. Hưng [14],
L. M. Hà [12], T. N. Nam [57], Hưng-Quỳnh [19]). Trong [31], V. T. N. Quỳnh

chứng minh rằng T r5 không là toàn cấu tại bậc 11, N. H. V. Hưng [14] chứng
tỏ rằng với mỗi k

4, T rk không là toàn cấu tại vô số bậc. Tuy nhiên, các

kết quả này không chứng minh hay phủ định giả thuyết của Singer, do đó giả
thuyết này vẫn là một vấn đề mở.
Trong luận án này, chúng tôi sử dụng kết quả nghiên cứu về bài toán hit để
tiến hành kiểm định giả thuyết của Singer đối với đồng cấu chuyển đại số hạng

5 tại các dạng bậc n = 5(2s − 1) + 2s d, với d ∈ {1, 2, 3} và s là một số nguyên
dương tùy ý, chúng tôi thu được định lý sau (định lý này cũng được đánh số là
Định lý 3.1.2 và kết quả của định lý này được công bố trong các bài báo [45],
[50]).

7


Định lý 9. Giả thuyết của Singer đúng với k = 5 và n = 5(2s − 1) + 2s d trong
đó d ∈ {1, 2, 3} và s là một số nguyên dương tùy ý.
Chúng tôi chứng minh định lý trên bằng cách dựa vào các kết quả về việc
giải bài toán hit trong phép chứng minh của Định lý 7 để xác định tường minh
5
tại các dạng bậc n tương ứng và chúng tôi thu được
không gian (F2 ⊗A P5 )GL
n

định lý sau (định lý này cũng được đánh số là Định lý 3.1.3 và kết quả của định
lý này được công bố trong các bài báo [45], [50]).
Định lý 10. Cho n = 5(2s − 1) + 2s d, với d ∈ {1, 2, 3} và s là một số nguyên

5
= 0.
dương tùy ý. Khi đó, (F2 ⊗A P5 )GL
n

Chú ý rằng, kết quả của định lý này trong trường hợp s = 1, d = 3 đã được
chứng minh trong V. T. N. Quỳnh [31], trường hợp s = 1, d = 2 đã được Singer
chứng minh trong [36] bằng phương pháp khác. Trường hợp s = d = 2 đã được
N. H. V. Hưng chỉ ra trong [14] bằng cách dùng máy tính nhưng không công
bố phép chứng minh chi tiết.
Như vậy, với kết quả nhận được từ định lý này, cho thấy rằng đồng cấu
chuyển đại số ϕ5 là một toàn cấu tại các dạng bậc n = 5(2s − 1) + 2s d, trong
đó d ∈ {1, 2, 3} và s là số nguyên dương bất kỳ. Hơn nữa, kết hợp kết quả này
với kết quả tính toán của Lin [24], Chen [6], Tangora [46], chúng tôi thu được
hệ quả sau (hệ quả này cũng được đánh số là Hệ quả 3.1.4).
Hệ quả 11 (Hưng [14]). Có vô số bậc mà tại đó ϕ5 không là đơn cấu.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phần phụ lục, Luận án
được chia thành 3 chương với nội dung cụ thể như sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về đại số Steenrod;
cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod; đơn thức chấp nhận
được và một số tính chất của nó; tiêu chuẩn của Singer về đơn thức hit và một
số ký hiệu thường dùng cho các chương tiếp theo.
Chương 2. Một số vấn đề về bài toán hit đối với đại số đa thức
Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết cách chứng minh định lý về
tính đẳng cấu của đồng cấu Kameko lặp. Áp dụng kết quả này chúng tôi chứng
8


minh Định lý 7 bằng cách xác định tường minh cơ sở chấp nhận được của đại

số đa thức năm biến tại một số dạng bậc tương ứng.
Chương 3. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số
của Singer
Trong chương này, chúng tôi chứng tỏ rằng Giả thuyết của Singer về đồng
cấu chuyển đại số thứ năm đúng tại một số dạng bậc đã nêu trong Định lý 7.
Để chứng minh khẳng định này, chúng tôi xác định tường minh các GL5 -bất
biến của đại số đa thức P5 tại các bậc tương ứng và được trình bày trong phép
chứng minh của Định lý 10.
Bình Định, tháng 10 năm 2016.
Tác giả,

Nguyễn Khắc Tín.

9


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về đại số
Steenrod, cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, các tiêu
chuẩn về đơn thức chấp nhận được, đơn thức hit trong Pk , các hàm số học và
một số tính chất của nó. Trong toàn bộ luận án này, chúng tôi xét vành hệ số
là trường nguyên tố F2 gồm hai phần tử.

1.1

Đại số Steenrod

Trong mục này, chúng tôi trình bày cấu trúc đại số của đại số Steenrod mod-2.

Ý nghĩa hình học của đại số này được trình bày chi tiết trong Steenrod-Epstein
[38].
Ký hiệu A là đại số kết hợp tự do trên trường F2 , sinh bởi tập hợp các kí
i

hiệu Sq bậc i, với i là số nguyên không âm. Gọi B là iđêan của A sinh bởi tập
hợp các phần tử có dạng
a

b

[a/2]

{Sq Sq −
j=0

trong đó

n
k

a+b−j
j
0
b−1−j
Sq
Sq | 0 < a < 2b} ∪ {Sq − 1},
a − 2j

là hệ số nhị thức được tính theo mod 2 và quy ước


n
k

= 0 nếu

n < k . Đại số thương A = A/B được gọi là đại số Steenrod mod 2. Ký hiệu
i

Sq i là lớp trong A có đại diện là Sq .
Khi đó trong đại số A có quan hệ
[a/2]
a

b

Sq Sq =
j=0

b−1−j
Sq a+b−j Sq j , với 0 < a < 2b và Sq 0 = 1.
a − 2j
10


Các quan hệ trên được gọi là các quan hệ Adem của đại số Steenrod A. Các ký
hiệu Sq i gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i.

1.2


Cấu trúc A-môđun của đại số đa thức

Chúng tôi nhắc lại rằng đối đồng điều của không gian (RP ∞ )k là đại số đa
thức Pk = F2 [x1 , x2 , . . . , xk ] trên F2 sinh bởi các biến xi , mỗi xi đều có bậc 1.
Đại số Steenrod A tác động lên Pk được cho bởi công thức tường minh sau:



 xj , i = 0,

Sq i (xj ) =

x2 , i = 1,

j


 0,

i > 1,

và công thức Cartan
n
n

Sq i (x)Sq n−i (y),

Sq (xy) =
i=0


với x, y ∈ Pk . Với các tác động như trên, đại số Pk là một môđun trên đại số
Steenrod A.
Như đã nói trong phần mở đầu, bài toán mà chúng tôi quan tâm là tìm tập
sinh cực tiểu của đại số đa thức Pk được xét như môđun trên đại số Steenrod

A. Bài toán này được gọi là bài toán hit đối với đại số đa thức hay bài toán hit
của Peterson. Nếu xét F2 như một A-môđun tầm thường thì bài toán hit tương
đương với bài toán tìm một cơ sở của F2 -không gian véctơ phân bậc
F2 ⊗A Pk = Pk /A+ Pk
trong đó A+ là iđêan của A sinh bởi các toán tử Steenrod Sq i , i > 0 và A+ Pk
là tập hợp tất cả các đa thức trong Pk được biểu diễn dưới dạng

i>0

Sq i fi ,

trong đó fi ∈ Pk và bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn.

1.3

Hàm µ và véctơ trọng của đơn thức

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về các hàm số học α, µ;
một số tính chất về véctơ trọng của đơn thức trong Pk được trình bày trong
Kameko [22].
11


Định nghĩa 1.3.1. Cho n ∈ N. Ký hiệu αi (n) là hệ số thứ i trong khai triển
nhị phân của n, tức là


n = α0 (n)20 + α1 (n)21 + α2 (n)22 + . . . , với αi (n) ∈ {0, 1}, i

0.

Hàm α : N −→ N được xác định bởi

α(n) =

αi (n).
i 0

Như vậy α(n) là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n.
Định nghĩa 1.3.2. Cho n ∈ N. Hàm µ : N −→ N được xác định bởi µ(0) = 0
và
m

(2di − 1), di > 0}

µ(n) = min{m ∈ N : n =
i=1

= min{m ∈ N : α(n + m)

m}.

Kết quả trong bổ đề sau đây là một tính chất số học của hàm µ. Để tiện cho
việc theo dõi về sau chúng tôi trình bày phép chứng minh chi tiết cho bổ đề
này.
Bổ đề 1.3.3. Cho n là một số nguyên dương. Khi đó µ(n) = s nếu và chỉ nếu

tồn tại duy nhất một dãy các số nguyên d1 > d2 > . . . > ds−1
cho

ds > 0 sao

s
d1

d2

n = 2 + 2 + ... + 2

ds−1

ds

(2di − 1).

+2 −s=

(1.3.1)

i=1

Chứng minh. Giả sử rằng µ(n) = s. Đặt β(n) = min{u ∈ N : α(n + u)

u}.

Ta chứng minh µ(n) = β(n).
Giả sử β(n) = t. Khi đó α(n + t) = r

trong đó c1 > c2 > . . . > cr
Nếu cr

t và n = 2c1 + 2c2 + . . . + 2cr − t,

0.

t − r thì

α(n + t − 1) = α(2c1 + 2c2 + . . . + 2cr−1 + 2cr − 1) = r − 1 + cr
Do đó β(n)

t − 1.

t − 1. Điều này mâu thuẫn với β(n) = t. Vậy cr > t − r.

Nếu r = t thì ct = cr > t − r = 0. Đặt di = ci , i = 1, 2, . . . , t. Ta nhận
được
t
d1

d2

n = 2 + 2 + ... + 2

dt−1

dt

(2di − 1),


+2 −t=
i=1

12


trong đó d1 > d2 > . . . > dt−2 > dt−1 > dt > 0. Do đó µ(n)

t = β(n).

Giả sử r < t. Dễ dàng thấy rằng,

2cr = 2cr −1 + . . . + 2cr −t+r+1 + 2cr −t+r + 2cr −t+r .
Đặt

di = ci , i = 1, 2, . . . , r − 1,
dr+ = cr − − 1 > 0,

= 0, 1, . . . , t − r − 2,

dt−1 = dt = cr − t + r > 0.
Khi đó

t
d1

d2

n = 2 + 2 + ... + 2


dt−1

dt

(2di − 1),

+2 −t=
i=1

với d1 > d2 > . . . > dt−2 > dt−1 = dt > 0. Do đó µ(n)
Vì µ(n) = s, n =
s
i=1

α(

2hi )

s
hi
i=1 (2

t = β(n).

− 1) với hi là số nguyên dương nên α(n + s) =

s. Từ đó suy ra µ(n) = s

β(n). Do đó t = β(n) = µ(n) = s


và n có dạng (1.3.1).
Ngược lại, giả sử n có dạng (1.3.1). Khi đó, µ(n)

s. Ta chứng minh

µ(n) = s.
Nếu s = 1 thì µ(n) = 1, vì µ(n) > 0. Nếu s = 2 thì α(n + 1) = α(2d1 +

2d2 − 1) = 1 + d2 > 1. Do đó µ(n) = β(n)

2. Vậy µ(n) = 2.

Giả sử s > 2 và µ(n) = s − 1. Khi đó, ta có µ(n + 1 − 2d1 ) = s − 1. Ta
biết rằng tồn tại duy nhất số nguyên dương d thỏa mãn 2d

d1 > d2 > . . . > ds−1
2d1

ds > 0 nên

n + 1 < 2d1 + 2d1 −1 + . . . + 2d1 −s+2 + 2d1 −s+2 = 2d1 +1 .

Do đó d1 = d. Nếu µ(n) = t

ut−1

n + 1 < 2d+1 . Vì

s thì tồn tại các số nguyên u1 > u2 > . . . >


ut > 0 thỏa mãn n = 2u1 + 2u2 + . . . + 2ut − t. Khi đó u1 = d = d1 và

α(n+1−2d +t−1)
Từ đó suy ra t

t−1. Do đó t−1

β(n+1−2d ) = µ(n+1−2d ) = s−1.

s và µ(n) = t = s.

Từ những lập luận trên cho thấy ui = di với 1

i

s. Bổ đề được chứng

minh.
Từ bổ đề này, chúng ta dễ dàng nhận được kết quả sau.
13


Hệ quả 1.3.4 (Kameko [22]). Cho n, k là các số nguyên dương. Khi đó
i) µ(n) > k nếu và chỉ nếu α(n + k) > k .
ii) µ

n−µ(n)
2


µ(n), µ 2n + µ(n) = µ(n).

Từ đây trở về sau, chúng tôi ký hiệu Nk = {1, 2, . . . , k} và

xj , J = {j1 , j2 , . . . , js } ⊂ Nk ,

XJ = X{j1 ,j2 ,...,js } =
j∈Nk \J

Nói riêng, ta có XNk = 1, X∅ = x1 x2 . . . xk , Xj = x1 . . . x
ˆj . . . xk , 1
Cho đơn thức x = xa11 xa22 . . . xakk ∈ Pk . Ký hiệu νj (x) = aj , 1

j

j

k.

k . Đặt

Jt (x) = {j ∈ Nk : αt (νj (x)) = 0},
với t

0. Khi đó ta có x =

t

t 0


XJ2t (x) .

Định nghĩa 1.3.5 (Kameko [22]). Với mỗi đơn thức x ∈ Pk , ta định nghĩa hai
dãy số liên kết với x bằng cách đặt

ω(x) = (ω1 (x), ω2 (x), . . . , ωi (x), . . .),
σ(x) = (ν1 (x), ν2 (x), . . . , νk (x)),
trong đó ωi (x) =

1 j k

αi−1 (νj (x)) = deg XJi−1 (x) , i

1. Dãy số ω(x) được

gọi là véctơ trọng của x.
Trong luận án này, ta xét quan hệ thứ tự trên tập hợp của các dãy số nguyên
không âm là quan hệ thứ tự từ điển bên trái. Dãy số nguyên không âm ω =

(ω1 , ω2 , . . . , ωi , . . .) được gọi là véctơ trọng nếu ωi = 0 với i đủ lớn. Khi đó ta
định nghĩa deg ω =

i>0

2i−1 ωi .

Cho ω là một véctơ trọng. Ký hiệu Pk (ω) là không gian véctơ con của Pk
sinh bởi tất cả các đơn thức y trong Pk sao cho deg y = deg ω , ω(y)

ω , và


ký hiệu Pk− (ω) là không gian véctơ con của Pk sinh bởi tất cả các đơn thức

y ∈ Pk (ω) sao cho ω(y) < ω .
Định nghĩa 1.3.6. Cho ω là dãy các số nguyên không âm và f, g là các đa
thức thuần nhất cùng bậc trong Pk .
i) f ≡ g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A+ Pk . Nếu f ≡ 0 thì f được gọi là hit.
ii) f ≡ω g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A+ Pk + Pk− (ω).
14


Dễ thấy rằng, các quan hệ ≡ và ≡ω là các quan hệ tương đương. Ký hiệu

QPk (ω) là không gian thương của Pk (ω) theo quan hệ tương đương ≡ω . Khi
đó, ta có

QPk (ω) = Pk (ω)/((A+ Pk ∩ Pk (ω)) + Pk− (ω)).
Với f ∈ Pk và g ∈ Pk (ω), ta ký hiệu [f ] là lớp trong F2 ⊗A Pk biểu diễn
bởi f , và ký hiệu [g]ω là lớp trong QPk (ω) biểu diễn bởi g . Với M ⊂ Pk và

S ⊂ Pk (ω), ta ký hiệu
[M ] = {[f ] : f ∈ M } và [S]ω = {[g]ω : g ∈ S}.
Khi đó

(F2 ⊗A Pk )n ∼
=

QPk (ω).
deg ω=n


Với 1

k , ta định nghĩa các A-đồng cấu σi : Pk → Pk , xác định bởi

i

σi (xi ) = xi−1 , σi (xi−1 ) = xi , σi (xj ) = xj với j = i, i − 1, 1

i < k , và

σk (x1 ) = x1 + x2 , σk (xj ) = xj với j > 1. Chú ý rằng, nhóm tuyến tính tổng
quát GLk được sinh bởi các đồng cấu σi , 1
được sinh bởi các σi , 1

σi (f ) ≡ f với 1

i

i

k, và nhóm đối xứng Σk

i < k . Khi đó, [f ] là GLk -bất biến nếu và chỉ nếu

k, f ∈ Pk . Nếu σi (f ) ≡ f với 1

i < k thì [f ] là một

Σk -bất biến.
Nhận xét rằng, véctơ trọng của một đơn thức là bất biến đối với tác động

của các phép hoán vị của các biến xi , do đó QPk (ω) là một Σk -môđun. Hơn
nữa, chúng ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.7. Cho ω là một véctơ trọng. Khi đó QPk (ω) là một GLk -môđun.
Chứng minh. Chúng tôi chứng minh mệnh đề này bằng cách chỉ ra rằng nếu x
là một đơn thức trong Pk thì σk (x) ∈ Pk (ω(x)).
Nếu ν1 (x) = 0 thì x = σk (x) và ω(σk (x)) = ω(x). Giả sử ν1 (x) > 0 và

ν1 (x) = 2t1 + . . . + 2tb , trong đó 0
Vì x =

t1 < . . . < tb , b

t 0

XJ2t (x) ∈ Pk và σk là một đồng cấu đại số nên
b
2t

σk (x) =

(x1 + x2 )XJtu (x)∪1

(σk (XJt (x) )) =
t 0

1.

t

u=1


2 tu

t

XJ2t (x) .
t=t1 ,t2 ,...,tb

15


Khi đó, σk (x) là tổng của các đơn thức có dạng:
c

y¯ =

x2 XJtuj (x)∪1

2tu

j=1

trong đó 0

c

t

XJ2t (x) ,
t=tu1 ,...,tuc


b. Nếu c = 0 thì y¯ = x và ω(¯
y ) = ω(x). Giả sử c > 0.

Nếu 2 ∈ Jtuj (x) với mọi j , 1

j

c thì ω(¯
y ) = ω(x) và y¯ ∈ Pk (ω(x)). Giả

sử tồn tại một chỉ số j thỏa mãn 2 ∈ Jtuj (x). Gọi j0 là số nhỏ nhất thỏa mãn

2 ∈ Jtuj (x). Khi đó, ta có
0

ωi (¯
y) =


ωi (x),

nếu i

ω (x) − 2,

nếu i = tuj0 + 1.

i


tuj0 ,

Do đó ω(¯
y ) < ω(x) và y¯ ∈ Pk (ω(x)). Mệnh đề được chứng minh.

1.4

Đơn thức chấp nhận được và đơn thức hit

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về đơn thức chấp nhận
được trong Kameko [22] và một số kết quả về đơn thức chấp nhận được; đơn
thức hit, bao gồm các kết quả trong Wood [54], Singer [36, 37], N. Sum [44].
Định nghĩa 1.4.1 (Kameko [22]). Cho x, y là các đơn thức cùng bậc thuộc Pk .
Ta nói rằng x < y nếu và chỉ nếu một trong các điều sau đúng:
i) ω(x) < ω(y);
ii) ω(x) = ω(y) và σ(x) < σ(y).
Định nghĩa 1.4.2 (Kameko [22]). Một đơn thức x được gọi là không chấp nhận
được nếu tồn tại các đơn thức y1 , y2 , . . . , ym sao cho yt < x với t = 1, 2, . . . , m
và x −

m
t=1

yt ∈ A+ Pk .

Một đơn thức x được gọi là chấp nhận được nếu nó không phải là đơn thức
không chấp nhận được.
Như vậy, tập tất cả các đơn thức chấp nhận được trên Pk là một tập sinh
cực tiểu của Pk được xét như một môđun trên đại số Steenrod A.


16


Định nghĩa 1.4.3 (Kameko [22]). Đơn thức x được gọi là không chấp nhận
được chặt nếu và chỉ nếu tồn tại các đơn thức y1 , y2 , . . . , yt sao cho
2s −1

t

yj < x, j = 1, . . . , t và x =

Sq u (hu ),

yj +
j=1

u=1

với s = max{i : ωi (x) > 0} và các đa thức nào đó hu ∈ Pk .
Nhận xét rằng, nếu x là đơn thức không chấp nhận được chặt thì x là đơn
thức không chấp nhận được. Hơn nữa, theo các định nghĩa trên thì một đơn
thức không chấp nhận được chưa chắc đã là đơn thức không chấp nhận được
chặt, tuy nhiên cho tới nay vẫn chưa tìm ra một ví dụ nào để cho thấy sự khác
biệt giữa hai khái niệm này. Mặc dù vậy, việc sử dụng các đơn thức không chấp
nhận được chặt là rất cần thiết cho việc nghiên cứu bài toán hit và định lý sau
được chúng tôi sử dụng nhiều trong việc xác định các đơn thức chấp nhận được
ở Chương 2.
Định lý 1.4.4 (Kameko [22], Sum [41]). Giả sử x, y, u là các đơn thức trên Pk
sao cho ωi (x) = 0 với i > r > 0, ωs (u) = 0 và ωi (u) = 0 với i > s > 0.
r


i) Nếu u là đơn thức không chấp nhận được thì xu2 cũng là đơn thức không
chấp nhận được.
s

ii) Nếu u là đơn thức không chấp nhận được chặt thì uy 2 cũng là đơn thức
không chấp nhận được chặt.
Bây giờ, chúng tôi nhắc lại một tiêu chuẩn của Singer [37] về đơn thức hit
trong Pk .
Định nghĩa 1.4.5. Một đơn thức z ∈ Pk được gọi là spike nếu νj (z) = 2dj − 1
với dj là các số nguyên không âm và j = 1, 2, . . . , k. Nếu z là một đơn thức
spike với d1 > d2 > . . . > dr−1

dr > 0 và dj = 0 với j > r, thì z được gọi là

spike cực tiểu.
Trong [36], Singer đã chỉ ra rằng, nếu µ(n)

k thì luôn tồn tại một đơn

thức spike cực tiểu bậc n trong Pk .
Mệnh đề 1.4.6. Tất cả các đơn thức spike trong Pk là chấp nhận được và có
véctơ trọng là một dãy đơn điệu giảm yếu.
17


Chứng minh. Nhận xét rằng với mọi 0 < a

2r − 1, tồn tại i


0 sao cho

αi (a) = 1. Khi đó αi (2r − 1 − a) = 0. Theo Bổ đề Steenrod (xem [38]), ta có
2r −1−a
a

= 0 (mod-2). Do đó Sq a x2j
2s1 −1

Giả sử z = x1

2s2 −1

x2

sk

. . . xk2

−1

r

−1−a

2r −1−a
a

=


xj2

r

−1

= 0.

∈ Pk là một đơn thức spike, với sj

0, j =

1, . . . , k.
Nếu z là đơn thức không chấp nhận được, thì tồn tại các đơn thức y1 , y2 , . . . , ym
thuộc Pk sao cho z > yt , 1

t

m, và
Sq u (zu ), zu ∈ Pk .

z = y1 + y2 + . . . ym +
u>0

Khi đó, tồn tại u > 0 sao cho z là một hạng tử của Sq u (zu ), do đó có một đơn
thức w là hạng tử của zu sao cho z là một hạng tử của Sq u (w). Vì degw < degz
nên tồn tại chỉ số j với 1

j


k sao cho νj (w) < 2sj − 1. Theo công thức

Cartan, ta có
ν (w)

Sq u (w) =

Sq a (xj j

w

)Sq u−a

ν (w)

xj j

0 a u

.

Vì z là một hạng tử của đa thức Sq u (w) nên z phải là một hạng tử của đa
ν (w)

thức Sq a (xj j

)Sq u−a
ν (w)

trên, ta có Sq a (xj j


w
ν (w)
xj j

, với a = 2sj − 1 − νj (w) > 0. Theo nhận xét
ν (w)

) = 0 nên Sq a (xj j

)Sq u−a

w
ν (w)

xj j

= 0. Đây là một mâu

thuẫn. Vậy z là đơn thức chấp nhận được.
Hiển nhiên, véctơ trọng của đơn thức spike z là một dãy đơn điệu giảm
yếu.
Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn về đơn thức hit trong Pk .
Định lý 1.4.7 (Singer [37]). Cho x ∈ Pk là một đơn thức bậc n thỏa mãn

µ(n)

k và z là một đơn thức spike cực tiểu bậc n. Nếu ω(x) < ω(z) thì x là

đơn thức hit.

Sử dụng tiêu chuẩn trong định lý này, ta thấy rằng nếu z là spike cực tiểu thì

Pk− (ω(z)) ⊂ A+ Pk . Kết quả sau đây là một trường hợp riêng của tiêu chuẩn
Singer.
Định lý 1.4.8 (Wood [54]). Nếu µ(n) > k thì (F2 ⊗A Pk )n = 0.

18


1.5

Một số đồng cấu và ký hiệu

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và các ký hiệu trong
N. Sum [44] được dùng nhiều trong các chương tiếp theo.
Ký hiệu

Pk0 = {x = xa11 xa22 . . . xakk : a1 a2 . . . ak = 0} ,
Pk+ = {x = xa11 xa22 . . . xakk : a1 a2 . . . ak > 0} .
Dễ thấy rằng, Pk0 và Pk+ là các A-môđun con của Pk . Hơn nữa, ta có kết quả
sau.
Mệnh đề 1.5.1 (Sum [44]). Ta có sự phân tích thành tổng trực tiếp các F2 không gian véctơ F2 ⊗A Pk = QPk0 ⊕ QPk+ , trong đó QPk0 = F2 ⊗A Pk0 và

QPk+ = F2 ⊗A Pk+ .
Tiếp theo, chúng tôi định nghĩa các đồng cấu đại số được sử dụng để xác
định tập sinh cực tiểu của đại số đa thức trong chương sau. Ký hiệu

Uk = {(i; I) : I = {i1 , i2 , . . . , ir }, 1

i < i1 < . . . < ir


k, 0

r < k}.

Định nghĩa 1.5.2. Với mỗi (i; I) ∈ Uk , ta định nghĩa đồng cấu đại số p(i;I) :

Pk → Pk−1 xác định bởi

p(i;I) (xu ) =

Với mỗi 1

i




x ,


 u
s∈I




xu−1 ,

nếu 1


xs−1 ,

u < i,

nếu u = i,
nếu i < u

k.

k , ta định nghĩa đồng cấu đại số fi : Pk−1 → Pk xác định bởi
fi (xj ) =


xj ,

nếu 1

j < i,

x

nếu i

j < k.

j+1 ,

Khi đó, p(i;I) và fi là các đồng cấu A-môđun.
Mệnh đề 1.5.3 (Sum [44]). Nếu B là tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk−1 tại

bậc n thì f (B) =

k
i=1

fi (B) là tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk0 tại bậc n.
19