TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

NGUYỄN THỊ HUYỀN

PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
ƠCLIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

NGUYỄN THỊ HUYỀN

PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
ƠCLIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – Năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS Nguyễn
Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn, giúp em hoàn thành khóa luận
này.
Xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trong khoa Toán
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy, rèn luyện
trong suốt thời gian em học tập tại trường.
Sau cùng em xin cảm ơn những người thân trong gia đình cùng tất
cả các bạn bè đã động viên giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm
còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định, kính
mong sự giúp đỡ của các Thầy Cô để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình học tập,
nghiên cứu nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các Thầy cô, các
bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm. Khóa luận "Phẳng
trong không gian Ơclit" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Ví dụ


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Độc lập afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Mục tiêu afin và tọa độ afin . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1

Mục tiêu afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Đổi mục tiêu afin . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3


Tọa độ afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phẳng trong không gian afin . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.2

Phương trình tham số của m- phẳng . . . . . .

7

1.4.3

Phương trình tổng quát của m- phẳng . . . . .

9

Vị trí tương đối của các phẳng . . . . . . . . . . . . . .

10


1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

1.5

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5.4


Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Kết luận

21

2 PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT

22

2.1

Không gian ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


22

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Mục tiêu trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

Đổi mục tiêu trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4


Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5

Phương trình của phẳng trong không gian ơclit . . . .

25

2.5.1

Phương trình tham số của m- phẳng . . . . . .

25

2.5.2

Phương trình tổng quát của m- phẳng . . . . .

26

Sự trực giao của các phẳng trong En . . . . . . . . . .

28

2.6.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


28

2.6.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.6.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Khoảng cách giữa hai phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.7.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.7.2

Định nghĩa đường vuông góc chung . . . . . . .

29


2.7.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.7.4

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.6

2.7

Phẳng trong không gian Ơclit

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

2.7.5

Định thức Gram . . . . . . . . . . . . . . . . .


30

2.7.6

Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng .

31

2.7.7

Khoảng cách giữa hai phẳng . . . . . . . . . . .

33

2.7.8

Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng .

34

Góc trong En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.8.1

Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . .

36


2.8.2

Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . .

37

2.8.3

Góc giữa hai siêu phẳng . . . . . . . . . . . . .

38

2.8.4

Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng . . . . . .

38

Thể tích trong En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.9.1

Thể tích của hộp . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.9.2


Thể tích của đơn hình . . . . . . . . . . . . . .

39

2.10 Ánh xạ đẳng cự của các không gian ơclit . . . . . . . .

39

2.10.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.10.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.10.3 Biến đổi đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.10.4 Phép dời hình và phép phản chiếu . . . . . . . .

40

2.10.5 Phép đối xứng qua m- phẳng . . . . . . . . . .

41

2.10.6 Phép quay quanh (n - 2)- phẳng . . . . . . . . .


41

2.8

2.9

2.10.7 Điểm bất động và vectơ bất động của phép biến
đổi đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.11 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.12 Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Kết luận

Phẳng trong không gian Ơclit

59

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

KẾT LUẬN

60

TÀI LIỆU THAM KHẢO

61

Phẳng trong không gian Ơclit

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học kĩ thuật.
Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác.
Toán học giúp chúng ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết
vấn đề.
Ở phổ thông, môn Toán là một môn khá là quan trọng, khá hay,
đòi hỏi nhiều tư duy, kĩ năng. Đặc biệt là môn Hình học. Hình học
là môn xuất hiện rất sớm, một bộ phận quan trọng và tương đối khó
trong chương trình toán phổ thông.
Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu

hơn nữa về hình học ơclit, tôi đã chọn đề tài "Phẳng trong không gian
Ơclit" làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Khóa luận nhằm mục đích: giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn về
không gian ơclit.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về các phẳng trong không gian ơclit.
- Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học ơclit.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phẳng trong không gian Ơclit

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Nghiên cứu kiến thức cơ bản trong không gian En
5. Các phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến
nội dung nghiên cứu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần lời nói đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, cấu
trúc luận văn gồm có:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Phẳng trong không gian ơclit

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

Phẳng trong không gian Ơclit

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơ
bản về không gian afin. Những kiến thức này chủ yếu được lấy từ [1],
[2].

1.1
1.1.1

Không gian afin
Định nghĩa

Cho không gian vectơ V trên trường K, tập A = ∅ mà các phần tử
của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ: A × A → V . Kí hiệu ϕ (M, N ) =
−−→
M N với M, N ∈ A. Bộ ba (A, ϕ, V) gọi là không gian afin nếu hai
tiên đề sau đây được thỏa mãn:
−
i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi vectơ →
u ∈ V, có duy nhất điểm
−−→ −

N ∈ A sao cho M N = →
u.
−−→ −−→ −−→
ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P . Không
gian afin (A, ϕ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết với không
gian vectơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K ( hoặc
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

K - không gian afin A ) . Không gian vectơ liên kết V thường được kí
→
−
hiệu là A .
Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = n ) nếu dimV = n.
Khi trường K là trường số thực R, ta nói A là không gian afin thực,
khi K = C, ta nói A là không gian afin phức.

1.1.2

Ví dụ

a) Không gian ơclit hai chiều E2 và ba chiều E3 đã học ở trường
phổ thông trung học là những không gian afin liên kết với không gian
vectơ (tự do) hai chiều, ba chiều ở phổ thông trung học.
b) Nếu V là một K - không gian vectơ và ánh xạ ϕ : V × V → V
→

−
→
− − →
→
−
−
cho bởi ϕ →
a, b = b −→
a −
a , b ∈ V thì V trở thành không
gian afin liên kết với V và gọi là không gian afin chính tắc trên V.

1.2

Độc lập afin

Hệ m + 1 điểm A0 , A1 , . . . , Am (m ≥ 1) của không gian afin
→
−
−−−→ −−−→
−−−→
A gọi là độc lập nếu m vectơ A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am của A là hệ
vectơ độc lập tuyến tính. Hệ gồm một điểm A0 bất kì ( tức trường
hợp m = 0 ) luôn được xem là độc lập.

Phẳng trong không gian Ơclit

4



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Mục tiêu afin và tọa độ afin

1.3.1

Mục tiêu afin

→
−
Cho không gian afin n chiều A liên kết với không gian vectơ A . Gọi
→
−
−
−
−
ε = {→
e , →
e , ..., →
e } là một cơ sở của A và O là một điểm thuộc A.
1

2

n


−
−
−
Khi đó tập hợp {O; ε} hay {O; →
e1 , →
e2 , . . . , →
en } gọi là một mục tiêu
−
afin của A. O gọi là điểm gốc của mục tiêu, →
e gọi là vectơ cơ sở thứ
i

i của mục tiêu.
1.3.2

Đổi mục tiêu afin

−
−
−
Trong không gian afin n chiều A cho hai mục tiêu afin: {O; →
e1 , →
e2 , . . . , →
en }
−
→ −
→
−
→
và O ; e 1 , e 2 , . . . , e n . Với mỗi điểm X ∈ A gọi (x1 , x2 , . . . , xn ) là

tọa độ của điểm X đối với mục tiêu {O; ε} và (x1 , x2 , . . . , xn ) là tọa
độ của điểm X đối với mục tiêu {O ; ε }. Tìm sự liên hệ giữa xi và xj .
Giả sử biết:
n

−
→
ej =

−
Cij →
ei

i=1

−−→
OO =

n

−
ai →
ei

i=1

−−→ −−→
−−→
Khi đó từ đẳng thức OX = OO + O X ta có
n


−
xi →
ei =

i=1

n

i=1
n

=
i=1

−
ai →
ei +

n

−
ai →
ei +

−
→
xj e j =

j=1

n

n

Cij xj
i=1

j=1

Phẳng trong không gian Ơclit

n

n

−
ei +
ai →

xj
j=1

i=1

→
−
ei =

n


n

n

i=1

j=1

−
Cij →
ei =

i=1

−
Cij xj + ai →
ei
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Từ đó suy ra:
n

xi =

Cij xj + ai , i = 1, n

j=1

Biểu thức trên gọi là công thức đổi mục tiêu.
Gọi C = (Cij ) là ma trận chuyển từ cơ sở ε sang cơ sở ε của không
→
−
gian A ( chú ý rằng detC = 0 )
Nếu kí hiệu:


x
 1 


 x2 
,
x=


 ... 


xn





x
 1 



 x2 
,
x =


 ... 


xn





a
 1 


 a2 

a= 


 ... 


an


thì công thức đổi mục tiêu có thể viết dưới dạng ma trận
x = Cx + a hay x = C −1 x − C −1 a
1.3.3

Tọa độ afin

−
−
−
Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin {O; →
e1 , →
e2 , . . . , →
en }.
−
−−→ →
Với mỗi điểm X ∈ A ta có vectơ OX ∈ A , và vì vậy có duy nhất n
phần tử x1 , x2 , . . . , xn của trường K sao cho
−−→
−
−
−
e1 + x2 →
e2 + . . . + xn →
en
OX = x1 →
Bộ n phần tử (x1 , x2 , . . . , xn ) đó được gọi là tọa độ của điểm X
đối với mục tiêu đã chọn, kí hiệu:
X (x1 , x2 , . . . , xn ) hay X = (x1 , x2 , . . . , xn )
Phẳng trong không gian Ơclit


6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Phẳng trong không gian afin

1.4.1

Định nghĩa

→
−
Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là
→
−
−
một điểm của A và →
α là một không gian vectơ con của A . Khi đó
tập hợp
α=

−−→ −
M ∈ A| IM ∈ →
α


được gọi là cái phẳng (cùng gọi tắt là "phẳng") qua I và có phương là
→
−
α.
−
Nếu →
α có số chiều bằng m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi
là m- phẳng.
1.4.2

Phương trình tham số của m- phẳng

Trong không gian afin An chọn mục tiêu afin {O; ε}. Giả sử α là
m- phẳng qua điểm I ∈ An và có phương là không gian vectơ con m
−
→
−
chiều →
α của An .
−
−
−
Chọn trong →
α m vectơ độc lập tuyến tính →
a1 , →
a2 , . . . , −
a→
m . Giả sử
−
−

biết tọa độ của vectơ →
a đối với cơ sở ε là →
a = (−
a→, −
a→, . . . , −
a→);
i

i

1i

2i

ni

i = 1, 2, . . . , m và tọa độ của điểm I đối với mục tiêu {O; ε} là
(b1 , b2 , . . . , bn ).
Khi đó điểm X có tọa độ (x1 , x2 , . . . , xn ) thuộc α khi và chỉ khi
m
−→ →
−→
−
−
IX ∈ α hay và chỉ khi IX =
tj →
aj (tj ∈ K) tức là
j=1

Phẳng trong không gian Ơclit


7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
n

−
(xi − bi ) →
ei =

i=1

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán
m

n

tj
j=1

−
aij →
ei =

i=1

n

m


aij tj
i=1

→
−
ei

j=1

Vậy:
m

(1) xi =

aij tj + bi , i = 1, 2, . . . , n
j=1

Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của m- phẳng
α, m tham số là t1 , t2 , . . . , tm . Với bộ m số (t1 , t2 , . . . , tm ) ta có
một bộ n số (x1 , x2 , . . . , xn ) là tọa độ của điểm X nào đó thuộc mphẳng α.
Với trường hợp đường thẳng (m = 1) ta có hệ phương trình tham
số.
(2) xi = ai t + bi , i = 1, 2, . . . , n
Đó là phương trình của đường thẳng đi qua điểm I (b1 , b2 , . . . , bn )
−
và có phương là không gian vectơ một chiều sinh bởi vectơ →
a =
(a1 , a2 , . . . , an ).
Nếu các ai đều khác không, ta khử t từ hệ (2) sẽ được

x2 − b2
xn − bn
x1 − b1
=
= ... =
a1
a2
an
Nếu gọi x, t, b là các ma trận cột




x
t
 1 
 1 




 x2 
 t2 
,
 ,
x=
t=





 ... 
 ... 




xn
tm
Phẳng trong không gian Ơclit





b
 1 


 b2 

b=


 ... 


bn
8



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

và A = (aij ) là ma trận n dòng m cột thì công thức (1) có thể viết
dưới dạng ma trận
x = At + b
1.4.3

hạng A = m

Phương trình tổng quát của m- phẳng

Trong không gian afin n chiều An cho mục tiêu afin {O; ε}. Giả
−
sử α là m- phẳng đi qua điểm I và có phương là →
α . Ta chọn trong
−
→
→
−
→
−
→
−
α m vectơ độc lập tuyến tính: e n−m+1 , e n−m+2 , . . . , e n và bổ
−
→ −
→

→
−
sung vào đó n − m vectơ: e 1 , e 2 , . . . , e n−m để được một cơ sở
−
→ −
→
−
→
→
−
ε = e 1 , e 2 , . . . , e n của A . Như vậy ta được mục tiêu {I, ε }.
Với mỗi điểm X ∈ An ta gọi (x1 , x2 , . . . , xn ) là tọa độ của X đối
với mục tiêu {O; ε} và gọi (x1 , x2 , . . . , xn ) là tọa độ của X đối với
mục tiêu {I, ε }.
Ta có công thức đổi mục tiêu là:
n

xi =

aij xj + bi , i = 1, 2, . . . , n
j=1

Để cho điểm X = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ α điều kiện cần và đủ là
x1 = x2 = . . . = xn−m = 0. Từ đó suy ra:
n

aij xj + bi = 0, i = 1, 2, . . . , n − m
j=1

Đó là hệ gồm n−m phương trình tuyến tính n biến xi , gọi là phương

trình tổng quát của m- phẳng α.

Phẳng trong không gian Ơclit

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5
1.5.1

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Vị trí tương đối của các phẳng
Định nghĩa

Trong không gian afin An cho p- phẳng α và q- phẳng β (với p ≤ q)
→
−
−
lần lượt có phương là →
α và β .
a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.
−
b) Cái phẳng α gọi là song song với β nếu →
α là không gian con
→
−
của β .

c) Các phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau
và không song song với nhau.
d) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của lí thuyết tập hợp
và gọi là giao của hai cái phẳngα và β.
e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β, α + β gọi
là tổng của hai cái phẳng α và β.
1.5.2

Định lý

Giao hai cái phẳng α và β hoặc là tập rỗng, hoặc là một cái phẳng
→
−
−
có phương là →
α ∩ β.
∗ Hệ quả 1: Nếu phẳng α song song với phẳng β thì hoặc chúng
không có điểm chung hoặc α nằm trong β.
∗ Hệ quả 2: Qua một điểm I đã cho có một m- phẳng duy nhất
song song với m- phẳng đã cho β.

Phẳng trong không gian Ơclit

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5.3


Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Định lý

Hai phẳng α và β cắt nhau khi và chỉ khi với mọi điểm I ∈ α, mọi
−
−
→ − →
điểm J ∈ β ta có IJ ∈ →
α + β.
1.5.4

Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng

∗ Định lý: Trong không gian afin An cho hai cái phẳng α và β có
→
−
−
phương lần lượt là →
α và β .
Nếu α và β cắt nhau thì
dim (α + β) = dimα + dimβ − dim (α ∩ β)
Nếu α và β không cắt nhau thì
→
−
−
dim (α + β) = dimα + dimβ − dim →
α ∩ β + 1.
∗ Định lý: Một siêu phẳng α và m- phẳng β trong không gian afin
An thì hoặc β song song với α hoặc cắt α theo một (m − 1)- phẳng:

1 ≤ m ≤ n − 1.

Phẳng trong không gian Ơclit

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Bài tập

→
−
→
−
Bài tập 1.6.1. Cho A, ϕ, A và A , ϕ , A là hai không gian afin
trên trường K, xét ánh xạ:
φ : ((A × A ) × (A × A ))

−→

−
→
− →
A ×A


((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )).
−
→
− →
Chứng minh rằng (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên
trường K (gọi là tích trực tiếp của hai không gian afin A và A ).
Lời giải
−
→
− →
Ta có (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K vì
nó thỏa mãn hai tiên đề sau, thật vậy:
a) Tiên đề về phép đặt vectơ:
→
−
−
→
− →
−
Với mọi (M, M ) ∈ A × A và mọi →
u , u ∈ A × A suy ra
tồn tại duy nhất cặp điểm (N, N ) ∈ A × A sao cho
→
−
−
ϕ (M, N ) = →
u , ϕ (M , N ) = u
⇒ ((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N ))
b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ.
→

−
+) Vì A, ϕ, A là không gian afin nên:
∀M, N, P ∈ A : ϕ (M, N ) + ϕ (N, P ) = ϕ (M, P ).
→
−
+) Vì A , ϕ , A là không gian afin nên:
∀M , N , P ∈ A : ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ) = ϕ (M , P )
Phẳng trong không gian Ơclit

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

∀ (M, M ) , (N, N ) , (P, P ) ∈ A × A .
Suy ra
φ[(M, M ), (N, N )] + φ[(N, N ), (P, P )]
= (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )) + (ϕ(N, P ), ϕ (N , P ))
= (ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ), ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ))
= (ϕ(M, P ), ϕ (M , P ))
= φ[(M, M ), (P, P )]
−
→
− →
Vậy (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường K.
Bài tập 1.6.2. Trong không gian ba chiều A3 cho mục tiêu afin
−
−

−
−
−
−
−
−
−
{O; →
e1 , →
e2 , →
e3 }. Chứng tỏ rằng {O; →
e1 + →
e2 , →
e2 + →
e3 , →
e3 + →
e1 } cũng
là mục tiêu afin. Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu thứ nhất
sang mục tiêu thứ hai.
Lời giải
−
→ − →
−
→ − →
−
→ − →
Đặt e 1 = →
e1 + −
e2 , e 2 = →
e2 + −

e3 , e 3 = →
e3 + −
e1 thì ma trận C chuyển
−
→ −
→ −
→
−
−
−
từ cơ sở ε = {→
e , →
e , →
e } sang hệ ε = e , e , e
là:
1

2

3



1

2

3




1 0 1




C =  1 1 0  . Ta có detC = 2 = 0


0 1 1

Phẳng trong không gian Ơclit

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

Suy ra ε là một cơ sở của không gian afin A3 .
→
→ −
−
→ −
Do đó O; e 1 , e 2 , e 3 là mục tiêu afin.
Cho (x1 , x2 , x3 ), (x1 , x2 , x3 ) lần lượt là tọa độ của điểm X trong
hai mục tiêu {O; ε} và {O; ε }.
Công thức đổi mục tiêu








x = x1 + x3
x1
x1

 1








 x2  = C.  x2  ⇔
x2 = x1 + x2







x = x + x
x3

x3
3
3
2
Bài tập 1.6.3. Trong không gian afin A cho m- phẳng α và điểm
P ∈
/ α. Chứng minh rằng có (m + 1)- phẳng duy nhất chứa α và P .
Lời giải
Ta có α là m- phẳng đi qua (m + 1) điểm độc lập A0 , A1 , . . . , Am
→
−
và điểm P ∈
/ α. Gọi β là không gian vectơ (m + 1) chiều mà
→
−
−−−→ −−−→
−−−→ −−→
β = A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am , A0 P
→
−
β là (m + 1)- phẳng đi qua A0 có phương là β . Rõ ràng β đi qua P . Ta
−−−→ −−−→
−−−→
−
có m- phẳng α đi qua A phương →
α = A A , A A , ..., A A
0

0


1

0

2

0

m

nên α ⊂ β. Nếu có (m + 1)- phẳng β thỏa mãn điều kiện đầu bài thì
khi đó:
→
−
→
−
−−−→ −−−→
−−−→ −−→
β = A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am , A0 P = β
và đi qua A0 suy ra β = β .

Phẳng trong không gian Ơclit

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán


−
−
−
Bài tập 1.6.4. Trong không gian afin An cho mục tiêu {O; →
e1 , →
e2 , . . . , →
en }
−−→
−
cho các điểm Pi với OPi = ai .→
ei (ai = 0) (i = 1, 2, . . . , n). Chứng
minh rằng n điểm P1 , P2 , . . . , Pn độc lập và phương trình siêu phẳng
đi qua n điểm ấy có thể viết dưới dạng:
x1 x2
xn
+
+ ... +
= 1.
a1 a2
an
Lời giải
−−→
−
Ta có: OPi = ai →
ei (ai = 0) (i = 1, 2, . . . , n)
−−→ −−→ −−→
−
−
P1 Pi = OPi − OP1 = ai →
ei − a1 →

e1 , i = 1, 2, . . . , n.
−
−
−
Đặt →
µ i = ai →
ei − a1 →
e1 ta có
n

i=2

⇒

−
−
ti (ai →
e i − a1 →
e1 ) = 0.

i=2




ai ti = 0 , i = 2, . . . . , n
n




−ai
Hệ

n

−
ti →
µi =

⇒ t1 = . . . = tn = 0.

ti = 0
i=2

−−→ −−→
−−→
P1 P2 , P 1 P3 , . . . , P1 P n

độc lập tuyến tính nên P1 , P2 , . . . , Pn

xác định một siêu phẳng α có phương trình
u1 x1 + u2 x2 + . . . + un xn = b

(1)

Vì O ∈
/ α nên suy ra b = 0, do đó ta có
(1) ⇔

u2

un
u1
x1 + x2 + . . . + xn = 1.
b
b
b

(2)

Pi có tọa độ thứ i bằng ai còn các tọa độ khác thì bằng không nên
Phẳng trong không gian Ơclit

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

ui
1
= .
b
ai
Từ (2) suy ra
x1 x2
xn
+
+ ... +
= 1.

a1 a2
an
Bài tập 1.6.5. Cho tập M gồm (m + 1) điểm độc lập của không gian
afin An (m < n). Gọi N và N là hai tập con không rỗng của M và
không giao nhau. Chứng minh rằng có hai cái phẳng chéo nhau α và
α sao cho N ⊂ α và N ⊂ α .
Lời giải
Không làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết:
M là tập gồm m + 1 điểm P0 , P1 , . . . , Pm ;
N là tập gồm r + 1 điểm P0 , P1 , . . . , Pr ;
N là tập gồm m − r điểm Pr+1 , . . . , Pm .
Cả ba hệ điểm trên đều độc lập.
α=

n

−−→
X : P0 X =

−−→
t i P0 Pi

⇒ N ⊂ α;

i=1

β =

−−−−→
Y : Pr+1 Y =


→
−
−
có thể giả thiết dim→
α ≥ dim β .

m−r−1

−−−−−−−→
1k Pr+1 Pr+1+k

⇒ N ⊂ β;

k=1

→
−
−
+) Nếu α// β ⇒ β ⊂ →
α
−−−−−−−→
−−→
−−→
⇒ Pr+1 Pr+1+k biểu thị tuyến tính qua P0 P1 , . . . , P0 Pr
−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−→
⇒ P0 Pr+1+k = Pr+1 Pr+1+k + P0 Pr+1
Phẳng trong không gian Ơclit

16



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

−→
⇒ P0 I =

Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán

r

−−→
t i P0 Pi .

i=1

Suy ra hệ điểm P0 , P1 , . . . , Pr , Pr+1+k không độc lập.
Điều này trái với giả thiết
+) Nếu α ∩ β = ∅. Lấy I ∈ α ∩ β, ta có:
r

−→
P0 I =

−−→
ti P0 Pi ;

(1)

i=1


−−−→
Pr+1 I =

m−r

−−−−−−−→
1k Pr+1 Pr+1+k

(2)

k=1

Lấy (1) trừ (2) suy ra
r

−−−→
IPr+1 =

−−→
ti P0 Pi −

i=1

m−r

−−−−→ −−−−−−→
1k Pr+1 P0 + P0 Pr+1+k

k=1


Suy ra hệ P0 , P1 , . . . , Pm không độc lập (trái với giả thiết).
Trường hợp tổng số điểm trong N và N nhỏ hơn (m + 1) thì chứng
minh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N .
Bài tập 1.6.6. Cho hai siêu phẳng α và α có phương trình lần lượt
là:
n

n

ai xi + b = 0 và
i=1

ai xi + b = 0
i=1

a) Tìm điều kiện để α và α cắt nhau, để α và α song song, để α
và α chéo nhau, để α và α trùng nhau.
b) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của các siêu phẳng đi
qua α ∩ α (nếu có) hoặc song song với α và α (α ∩ α = ∅) có thể
viết dưới dạng:
Phẳng trong không gian Ơclit

17