BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bùi Thị Như Hoa

MÔĐUN TRÊN MIỀN IDEAN CHÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bùi Thị Như Hoa

MÔĐUN TRÊN MIỀN IDEAN CHÍNH

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Phạm Thanh Tâm

Hà Nội – Năm 2017

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp này của tôi đã được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy Phạm Thanh Tâm.
Qua đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm
Thanh Tâm, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian làm khóa luận. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học cũng như các thầy cô
giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên
Khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của
quý thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 23/04/2017
Tác giả khóa luận

Bùi Thị Như Hoa

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Bùi Thị Như Hoa

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm cùng với sự cố gắng của
bản thân.Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã tham khảo và kế thừa
những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên
cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề tài "Môđun
trên miền idean chính" không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 23/04/2017
Tác giả khóa luận

Bùi Thị Như Hoa

ii


Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Môđun trên miền idean chính

3

1.1

1.2
1.3
1.4

Môđun Noether . . . . . . . . . . . . .
Hạng của môđun trên miền idean chính
Nhân tử bất biến . . . . . . . . . . . .
Ước sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3
5
9
12

1.5

1.6

Định lý về sự phân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
Tính duy nhất của phân tích . . . . . . . . . . . . . . .

12
14

2 Dạng chuẩn tắc hữu tỉ và Jordan
18
2.1 Dạng chuẩn tắc hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Lý thuyết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2

2.2

Thuật toán về sự phân tích nhân
Đưa về dạng chuẩn tắc hữu tỉ . .
2.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . .
Dạng chuẩn tắc Jordan . . . . . . . . . .
2.2.1
2.2.2
2.2.3

tử
. .
. .
. .

bất biến:

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

Lý thuyết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thuật toán về sự phân tích các ước sơ cấp: Đưa
về các dạng chuẩn tắc Jordan . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

31
35
40
40
46
50
55

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính của các
không gian vectơ có thể xem như là nội dung trọng tâm, quan trọng

bậc nhất. Để việc nghiên cứu các tự đồng cấu được dễ dàng hơn, ta
cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản nhất có thể của các tự đồng cấu.
Ma trận dạng chéo là một ma trận đơn giản, tự đồng cấu ứng với ma
trận chéo còn được gọi là chéo hóa được. Tuy nhiên, không phải bất
kì tự đồng cấu nào cũng chéo hóa được, vì vậy, ta cần tìm ma trận có
dạng gần với ma trận chéo nhất. Ma trận dạng chuẩn tắc hữu tỉ và
dạng chuẩn tắc Jordan là các ma trận đặc biệt biểu diễn đơn giản của
các tự đồng cấu.
Trên cơ sở được trang bị những kiến thức nền tảng về đại số, hình
học và với mong muốn được học hỏi trau dồi thêm vốn kiến thức về
toán học nói chung và về kiến thức cơ sở của hình học đại số nói
riêng. Chính vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài: "Môđun trên miền idean
chính" cho Khóa luận tốt nghiệp của mình. Mục đích của Khóa luận
tốt nghiệp là chúng tôi đi tìm hiểu về các phép rút gọn về các dạng
chuẩn tắc hữu tỉ và dạng chuẩn tắc Jordan của một tự đồng cấu.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu chi tiết về các dạng chuẩn tắc hữu tỉ và dạng chuẩn tắc
Jordan của một tự đồng cấu tuyến tính.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Môđun trên miền idean chính;
Phạm vi nghiên cứu: các môđun trên miền idean chính.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Dùng kết quả về môđun trên PID để tìm hiểu chi tiết về các dạng

chuẩn tắc hữu tỉ và dạng chuẩn tắc Jordan của một tự đồng cấu tuyến
tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trước hết là đọc các tài liệu liên quan đến đại số đại cương, đại
số tuyến tính, môđun, đồng cấu để tìm hiểu cơ sở lý luận làm tiền đề
nghiên cứu đối tượng chính. Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về định
nghĩa, định lý, ứng dụng của môđun trên miền idean chính.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán.
7.Bố cục của Khóa luận
Nội dung của Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Môđun trên miền idean chính;
Chương 2: Dạng chuẩn tắc hữu tỉ và Jordan.

Hà Nội, ngày 23/04/2017
Tác giả Khóa luận

Bùi Thị Như Hoa

2


Chương 1
Môđun trên miền idean chính
Mục đích của chương này là tập trung vào các kết quả của môđun
trên miền idean chính. Vì vậy, một số mệnh đề, định lý tôi sẽ không
trình bày chứng minh.

1.1


Môđun Noether

Định nghĩa 1.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun trái.
1. R - môđun trái M được gọi là một R - môđun Noether hoặc thỏa
mãn điều kiện chuỗi tăng dần trên các môđun con (hoặc ĐKCTD
trên các môđun con) nếu không có chuỗi tăng vô hạn của các
môđun con, tức là, nếu:
M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ ...
là một chuỗi tăng của các môđun con của M , khi đó có một số
nguyên dương m sao cho với k ≥ m, Mk = Mm .
2. Vành R là được gọi là Noether nếu nó là Noether như một môđun
trái trên chính nó, tức là, nếu không có chuỗi tăng vô hạn của
các idean trái trong R.
Định lý 1.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun trái. Khi
đó các mệnh đề sau đây là tương đương:
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

1. M là một R - môđun Noether.
2. Mọi tập khác rỗng của các môđun con của M chứa một phần tử
cực đại dưới quan hệ bao hàm.
3. Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.1. Nếu R là một miền idean chính khi đó mọi tập khác
rỗng của các idean của R có một phần tử cực đại và R là một vành
Noether.
Chứng minh. Miền idean chính R thỏa mãn điều kiện (3) trong định

lý với M = R.
Ta chú ý, nếu M là một R - môđun hữu hạn sinh thì có thể các
môđun con của M không là hữu hạn sinh, nên điều kiện M là một Rmôđun Noether là mạnh hơn điều kiện M là một R - môđun hữu hạn
sinh. Chúng ta yêu cầu một kết quả về "phụ thuộc tuyến tính" trước
khi quay trở lại các kết quả chính của chương này.
Mệnh đề 1.1. Cho R là một miền nguyên và M là một R - môđun
tự do có hạng n < ∞ . Khi đó n + 1 phần tử bất kỳ của M là R - phụ
thuộc tuyến tính, tức là, với bất kì y1 , y2 , ..., yn+1 ∈ M có các phần tử
r1 , r2 , ..., rn+1 ∈ R, tất cả khác 0, sao cho:
r1 y1 + r2 y2 + ... + rn+1 yn+1 = 0.
Chứng minh. Cách nhanh nhất để chứng minh bổ đề này là nhúng R
vào trong tường thương F (vì R là một miền nguyên) và quan sát thấy
vì M = R⊕R⊕...⊕R (n lần) chúng ta đạt được M ⊆ F ⊕F ⊕F...⊕F .
Cuối cùng, một không gian vectơ n chiều trên F thì n + 1 phần tử
bất kì của M là F - phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, chúng ta đạt được
một quan hệ R - phụ thuộc tuyến tính trong n + 1 phần tử của M .
Mặt khác, cho e1 , e2 , ..., en là một cơ sở của R - môđun tự do M
và y1 , ..., yn+1 là n + 1 phần tử bất kì của M . Với 1 ≤ i ≤ n + 1 viết
yi = a1i e1 + a2i e + ... + ani ei theo các số hạng của cơ sở e1 , e2 , ..., en .
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

Cho A là ma trận vuông cấp n + 1 mà hệ số ứng với i, j là aij , 1 ≤ i ≤
n, 1 ≤ j ≤ n + 1 và hàng cuối cùng là 0, do đó chắc chắn detA = 0.
Vì R là một miền nguyên, nên theo hệ quả 27 (Corollary 27, [1]) ta
có các cột của A là R - phụ thuộc tuyến tính. Quan hệ phụ thuộc bất

kỳ trên các cột của A cho ta một quan hệ phụ thuộc trên cột của yi ,
chứng minh được hoàn thành.
Nếu R là miền nguyên bất kỳ và M là R - môđun bất kì, nhắc lại
rằng:
T or(M ) = {x ∈ M |rx = 0, r = 0, r ∈ R}
là một môđun con của M (được gọi là môđun con xoắn của M ) và
nếu N là môđun con bất kì của T or(M ), N được gọi là một môđun
con xoắn của M (nên môđun con xoắn của M là đơn vị của tất cả
môđun con xoắn của M , tức, là môđun con xoắn cực đại của M ). Nếu
T or(M ) = 0, môđun M được gọi là độ không xoắn.
Cho môđun con bất kì N của M , linh từ hóa của N là idean của
R được xác định bởi:
Ann(N ) = {r ∈ R|rn = 0, ∀n ∈ N }.
Chú ý rằng nếu N không là một môđun con xoắn của M khi đó
Ann(N ) = (0). Dễ thấy, nếu N, L là các môđun con của M với N ⊆
L, khi đó Ann(L) ⊆ Ann(N ). Nếu R là một miền idean chính và
N ⊆ L ⊆ M với Ann(N ) = (a) và Ann(L) = (b), khi đó a|b. Đặc biệt,
linh từ hóa của phần tử x bất kì của M chia hết linh từ hóa của M
(điều này có được bởi định lý Lagrăng khi đó R = Z).

1.2

Hạng của môđun trên miền idean chính

Định nghĩa 1.2. Cho miền nguyên R bất kì, hạng của R - môđun M
là số lớn nhất của các phần tử R - độc lập tuyến tính của M .
Kết quả quan trọng tiếp theo chỉ ra rằng nếu N là một môđun con
của một môđun tự do của hạng hữu hạn trên một miền idean chính,

5



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

khi đó N lại là một môđun tự do có hạng hữu hạn và hơn thế nữa có
thể chọn hệ sinh cho hai môđun có ràng buộc một cách đơn giản.
Định lý 1.2. Cho R là một miền idean chính, M là một R - môđun
tự do có hạng hữu hạn n và N là một môđun con của M . Khi đó:
1. N là tự do và có hạng m, m ≤ n
2. Tồn tại một cơ sở y1 , y2 , ..., yn của M để a1 y1 , a2 y2 , ..., am ym là
một cơ sở của N ở đó a1 , a2 , ..., am là các phần tử khác 0 của R
với các quan hệ chia hết
a1 |a2 |...|am .
Chứng minh. Định lý là tầm thường với N = 0, nên giả sử N = {0}.
Với mỗi đồng cấu R - môđun của M vào R, ảnh ϕ(N ) của N là một
môđun con của R, tức là, một idean trong R. Vì R là một miền idean
chính, idean này phải là chính, ta nói ϕ(N ) = (aϕ ), với (aϕ ) ∈ R. Cho
= {(aϕ )| ϕ ∈ HomR (M, R)}
là tập của các idean chính trong R có được nhờ cách thức này từ các
đồng cấu R - môđun của M vào R. Tập
chắc chắn khác rỗng vì
ϕ là đồng cấu tầm thường và 0 ∈ . Nhờ hệ quả 1.1,
có ít nhất
một phần tử cực đại, tức là, có ít nhất một đồng cấu ν của M tới R
để idean chính ν(N ) = (aν ) không chứa thực sự trong phần tử bất kì
khác của . Cho a1 = aν với phần tử cực đại này và cho y ∈ N là
một phần tử ánh xạ tới hệ sinh a1 dưới đồng cấu ν : ν(y) = a1 .
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng phần tử a1 là khác không. Cho

x1 , x2 , ..., xn là cơ sở bất kì của môđun tự do M và cho πi ∈ HomR (M, R)
là đồng cấu chiếu tự nhiên lên tọa độ thứ i tương ứng tới cơ sở này.
Vì N = {0}, tồn tại một i sao cho πi (N ) = 0, đặc biệt
chứa nhiều
hơn idean tầm thường (0). Vì (a1 ) là một phần tử cực đại của
theo
đó a1 = 0.
Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng phần tử a1 này chia hết ϕ(y), ∀ϕ ∈
HomR (M, R). Để thấy điều này, cho d là một hệ sinh của idean chính
sinh bởi a1 và ϕ(y). Khi đó d là một ước chung của cả a1 và ϕ(y) trong
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

R và d = r1 a1 + r2 ϕ(y) với r1 , r2 ∈ R. Xét đồng cấu ψ = r1 ν + r2 ϕ từ
M vào R. Khi đó ψ(y) = (r1 ν + r2 ϕ)(y) = r1 a1 + r2 ϕ(y) = d sao cho
d ∈ ψ(N ), do đó cũng có (d) ⊆ ψ(N ). Nhưng d là một ước của a1 nên
chúng ta cũng có (a1 ) ⊆ (d). Khi đó (a1 ) ⊆ (d) ⊆ ψ(N ) và nhờ tính
cực đại của (a1 ) chúng ta phải có phương trình: (a1 ) = (d) = ψ(N ).
Đặc biệt (a1 ) = (d) do đó a1 |ϕ(y) vì d chia hết ϕ(y).
Nếu chúng ta áp dụng điều này tới các đồng cấu chiếu πi , chúng ta
thấy rằng a1 chia hết πi (y), ∀i. Viết πi (y) = a1 bi với bi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n
và xác định:
n

y1 =


bi xi .
i=1

Chú ý rằng a1 y1 = y. Vì a1 = ν(y) = ν(a1 y1 ) = a1 ν(y1 ) và a1 là một
phần tử khác không của miền nguyên R, điều này chỉ ra
ν(y1 ) = 1.
Bây giờ chúng ta kiểm chứng rằng phần tử y1 được tạo ra như một
phần tử trong một cơ sở của M và a1 y1 được tạo ra như một phần tử
trong một cơ sở của N , chúng ta có
(a) M = Ry1 ⊕ ker ν,
(b) N = Ra1 y1 ⊕ (N ∩ kerν).
Để thấy được (a) cho x là một phần tử trong M và viết x =
ν(x)y1 + (x − ν(x)y1 ). Vì
ν (x − ν (x) y1 ) = ν (x) − ν (x) ν (y1 )
= ν (x) − ν (x) .1
=0
chúng ta thấy x − ν(x)y1 là một phần tử trong hạt nhân của ν. Điều
này chỉ ra rằng x có thể được viết như tổng của một phần tử trong
Ry1 và một phần tử trong hạt nhân của ν, nên M = Ry1 + kerν. Để
thấy rằng tổng là trực tiếp, giả sử ry1 cũng là một phần tử trong hạt
nhân của ν. Khi đó 0 = ν(ry1 ) = rν(y1 ) = r chỉ ra rằng phần tử này
thực sự bằng 0.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

Cho (b) quan sát thấy rằng ν(x ) được chia bởi a1 , ∀x ∈ N nhờ định

nghĩa của a1 như một hệ sinh của ν(N ). Nếu chúng ta viết ν(x ) = ba1
với b ∈ R khi đó sự phân tích chúng ta sử dụng trong (a) ở trên là
x = ν(x )y1 + (x − ν(x )y1 ) = ba1 y1 + (x − ba1 y1 ) với tổng thứ hai là
trong hạt nhân của ν và là một phần tử của N . Điều này chỉ ra rằng
N = Ra1 y1 + (N ∩ kerν). Trên thực tế tổng trong (b) là trực tiếp, là
một trường hợp đặc biệt của tính trực tiếp của tổng trong (a).
Bây giờ chúng ta chứng minh phần (1) của định lý nhờ tính quy
nạp của hạng, m, của N . Nếu m = 0, khi đó N là một môđun xoắn, do
N = 0 vì một môđun tự do là độ không xoắn, nên (1) là tầm thường.
Giả sử rằng m > 0. Vì tổng trong (b) ở trên là trực tiếp, chúng ta dễ
dàng thấy rằng N ∩ kerν có hạng m − 1. Nhờ tính quy nạp, N ∩ kerν
là một R - môđun tự do có hạng m − 1. Lại do tính trực tiếp của tổng
trong (b) chúng ta thấy rằng thêm a1 y1 vào cơ sở bất kì của N ∩ kerν
cho một cơ sở của N , nên N cũng là tự do (có hạng là m), chứng minh
được (1).
Cuối cùng, chúng ta chứng minh (2) nhờ sự quy nạp n, là hạng của
m. Áp dụng (1) cho môđun con kerν chỉ ra rằng môđun con này là
tự do và bởi vì tổng trong (a) là trực tiếp, nó là tự do có hạng n − 1.
Nhờ giả thiết quy nạp áp dụng cho môđun kerν (cái giữ vai trò của
M ) và môđun con của N ∩ kerν (cái giữ vai trò của N ), chúng ta thấy
rằng có một cơ sở y2 , y3 , ..., yn của kerν sao cho a2 y2 , a3 y3 , ..., am ym là
một cơ sở của N ∩ kerν với các phần tử a2 , a3 , ..., am của R có quan hệ
a2 |a3 |...|am . Vì tổng (a) và (b) là trực tiếp, y1 , y2 , ..., yn là một cơ sở
của M và a1 y1 , a2 y2 , ..., am ym là một cơ sở của N . Để hoàn thành tính
quy nạp, ta chỉ ra rằng a1 chia hết a2 . Xác định một đồng cấu ϕ từ M
đến R nhờ sự xác định ϕ(y1 ) = ϕ(y2 ) = 1 và ϕ(yi ) = 0, ∀i > 2, trên
cơ sở của M . Khi đó với đồng cấu ϕ này, chúng ta có a1 = ϕ(a1 y1 )
nên a1 ∈ ϕ(N ) do đó cũng có (a1 ) ⊆ ϕ(N ). Nhờ tính cực đại của (a1 )
trong
có (a1 ) = ϕ(N ). Vì a2 = ϕ(a2 y2 ) ∈ ϕ(N ) khi đó chúng ta có

a2 ∈ (a1 ), tức là, a1 |a2 . Điều này hoàn thành chứng minh của định
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

lý.
Nhắc lại rằng R - môđun trái C là một cyclic R - môđun (cho vành
R bất kỳ, không cần thiết giao hoán không cần có 1) nếu có một phần
tử x ∈ C sao cho C = Rx. Chúng ta có thể xác định một đồng cấu R
- môđun:
π : R −→
C
r → π (r) = rx
là toàn cấu nhờ giả thiết C = Rx. Định lý đẳng cấu đầu tiên chỉ ra
một đẳng cấu của các R - môđun (trái) R/kerπ ∼
=C
Nếu R là một miền idean chính, kerπ là một idean chính, (a), nên
chúng ta thấy rằng R - môđun cyclic C có dạng R/(a) với (a) =
Ann(C).
Các môđun cyclic là các môđun đơn giản nhất (vì chúng chỉ yêu
cầu một hệ sinh). Phần còn lại của định lý cơ bản phát biểu rằng
môđun hữu hạn sinh bất kì trên một miền idean chính là đẳng cấu tới
tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun cyclic.

1.3

Nhân tử bất biến


Định lý 1.3. (Định lý cơ bản, sự tồn tại: Nhân tử bất biến) Cho R là
một miền idean chính và M là một R - môđun hữu hạn sinh.
1. Khi đó M là đẳng cấu tới tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun
cyclic. Hơn nữa,
M∼
= Rr ⊕ R/(a1 ) ⊕ R/(a2 ) ⊕ ... ⊕ R/(am )
với số nguyên r ≥ 0 và các phần tử khác không a1 , a2 , ..., am của R
không là phần tử đơn vị trong R và thỏa mãn các quan hệ chia hết
a1 |a2 |...|am .
2. M là không xoắn nếu và chỉ nếu M là tự do.
3. Trong phân tích ở (1),
T or(M ) ∼
= R/(a1 ) ⊕ R/(a2 ) ⊕ ... ⊕ R/(am ).
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

Đặc biệt M là một môđun xoắn nếu và chỉ nếu r = 0 và trong
trường hợp này linh từ hóa của M là idean (am ).
Chứng minh. Môđun M có thể sinh bởi một tập hữu hạn các phần tử,
nhờ giả thiết nên cho x1 , x2 , ..., xn là một tập của hệ sinh của m của
lực lượng tối thiểu nhỏ nhất. Cho Rn là R - môđun tự do có hạng n
với cơ sở b1 , b2 , ..., bn và xác định đồng cấu:
π : Rn −→
M
bi → π (bi ) = xi , ∀i

là toàn cấu vì x1 , ..., xn sinh ra M . Nhờ định lý đẳng cấu thứ nhất cho
các môđun chúng ta có Rn /kerπ ∼
= M . Bây giờ, nhờ định lý 1.2 áp
dụng đối với Rn và môđun con kerπ, chúng ta có thể lựa chọn cơ sở
khác y1 , y2 , ..., yn của Rn sao cho a1 y1 , a2 y2 , ..., am ym là một cơ sở của
kerπ cho các phân tử a1 , a2 , ..., am của R với a1 |a2 |...|am . Ta có:
M∼
= Rn /kerπ =

m

n

Ryi / ⊕

⊕
i=1

Raj yj

.

j=1

Để đồng nhất thương bên phải chúng ta sử dụng toàn cấu tự nhiên
đồng cấu R - môđun :
n

⊕


m

Ryi → ⊕
i=1

R/ (ai ) ⊕ Rn−m

i=1

ánh xạ (α1 y1 , ..., αn yn ) đến (α1 mod (a1 ), ..., αm mod (am ), αm+1 , ..., αn ).
Hạt nhân của ánh xạ này rõ ràng là tập của các phần tử với ai chia hết
αi , i = 1, 2, ..., m, tức là, Ra1 y1 ⊕ Ra2 y2 ⊕ ... ⊕ Ram ym . Vì vậy chúng
ta đạt được:
m
∼
M = ⊕ R/ (ai ) ⊕ Rn−m .
i=1

Nếu a là một đơn vị trong R thì R/(a) = 0, nên trong tổng trực tiếp
này chúng ta có thể di chuyển bất kỳ vài vị trí lúc đầu ai là các đơn
vị. Điều này đưa ra sự phân tích trong (1) (với r = n − m).
Vì R/(a) là một R - môđun xoắn cho phần tử a bất kì khác 0 của
R, từ (1) ta có M là một môđun không xoắn nếu và chỉ nếu M ∼
= Rr
, chứng minh được (2). Phần (3) lập tức có được từ các định nghĩa vì
linh từ hóa của R/(a) hiển nhiên là idean (a).

10



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

Chúng ta có thể chứng minh nhanh về sự duy nhất của sự phân
tích trong định lý 1.3, rằng nếu chúng ta có
m

M∼
= Rr ⊕

R/ (bi )
i=1

với số nguyên r ≥ 0 và các phần tử khác không b1 , b2 , ..., bm của R
không là các phần tử đơn vị với
b1 |b2 |...|bm ,
khi đó r = r , m = m và (ai ) = (bi ) (vì ai = bi cho đến các đơn vị), ∀i
. Điều kiện chia hết a1 |a2 |...|am đưa ra tính duy nhất này.
Định nghĩa 1.3. Các phần tử a1 , a2 , ..., am ∈ R (được xác định nhờ
phép nhân bởi các đơn vị trong R) được gọi là các nhân tử bất biến
của M .
Giả sử a là một phần tử khác không của miền idean chính R. Khi
đó vì R cũng là một miền nhân tử duy nhất chúng ta có thể viết
a = upα1 1 pα2 2 ...pαs s
với pi là các số nguyên tố phân biệt trong R và u là một đơn vị. Nhân
tử này là duy nhất lên các đơn vị, nên các idean (pαi i ), i = 1, 2, ..., s
α

được xác định duy nhất. Với i = j chúng ta có (pαi i ) + (pj j ) = R vì

tổng của hai idean này được sinh bởi một ước chung lớn nhất, là 1 với
các số nguyên tố phân biệt pi , pj . Mặt khác, các idean (pαi i ), i = 1, ..., s
là đối cực đại trong các cặp. Giao của tất cả các idean là idean (a) vì
a là bội chung nhỏ nhất của pα1 1 , pα2 2 , ..., pαs s . Khi đó định lý thặng dư
Trung Hoa (Theorem 7.17, [1]) chỉ ra rằng
s
R/ (a) ∼
= ⊕ R/ (pαi )
i=1

i

như các vành và cũng như các R - môđun.
Ứng dụng điều này cho các môđun trong định lý 1.3 cho phép chúng
ta viết mỗi tổng trực tiếp R/(ai ) với nhân tử bất biến ai của M như
một tổng trực tiếp của các môđun cyclic mà các linh từ hóa của nó là
lũy thừa nguyên tố các ước của ai .

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Bùi Thị Như Hoa

Ước sơ cấp

Định lý 1.4. (Định lý cơ bản, sự tồn tại: Ước sơ cấp) Cho R là miền

idean chính và M là một R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là tổng
trực tiếp của một số hữu hạn của các môđun cyclic mà các linh từ hóa
của nó là khác 0 hoặc được sinh bởi các lũy thừa của các số nguyên tố
trong R, tức là,
t
r
R
⊕
R/ (pαi )
M∼
=
i=1

i

với r ≥ 0 là một số nguyên và pα1 1 , ..., pαt t là các lũy thừa dương của
(không cần phân biệt) các số nguyên tố trong R.
Định nghĩa 1.4. Cho R là một miền idean chính và M là một R môđun hữu hạn sinh như trong định lý 1.4. Các lũy thừa nguyên tố
pα1 1 , ..., pαt t (được xác định nhờ phép nhân bởi các đơn vị trong R) được
gọi là các phần tử ước của M .
Giả sử M là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên miền idean chính
R. Nếu với các số nguyên tố phân biệt p1 , p2 , ..., pn phân tích trong
định lý 1.4, chúng ta nhóm tất cả các nhân tử cyclic cùng nhau tương
ứng giống số nguyên tố pi , chúng ta thấy trong trường hợp đặc biệt
M có thể được viết như một tổng trực tiếp:
M = N1 ⊕ N2 ⊕ ... ⊕ Nn
với Ni bao gồm tất cả các phần tử của M mà được linh từ hóa bởi
lũy thừa của số nguyên tố pi . Kết quả này cũng đúng cho các môđun
trên R mà là hữu hạn sinh.


1.5

Định lý về sự phân tích cơ bản

Định lý 1.5. (Định lý về sự phân tích thành các số nguyên tố) Cho R
là miền idean chính và M là một R - môđun xoắn khác không (không
cần hữu hạn sinh) với linh từ hóa khác không a. Giả sử nhân tử của a
trong các lũy thừa nguyên tố phân biệt trong R là:
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

a = upα1 1 pα2 2 ...pαnn
và cho Ni = {x ∈ M |pαi i x = 0}, 1 ≤ i ≤ n. Khi đó Ni là một môđun
con của M với linh từ hóa pαi i và là môđun con của M của tất cả các
phần tử linh từ hóa bởi lũy thừa của pi . Chúng ta có:
M = N1 ⊕ N2 ⊕ ... ⊕ Nn .
Nếu M là hữu hạn sinh khi đó mỗi Ni là tổng trực tiếp của các môđun
cyclic hữu hạn mà các linh từ hóa của nó là các ước của pαi i .
Chứng minh. Chúng ta chứng minh các kết quả này trong trường hợp
với M là hữu hạn sinh trên R. Trong trường hợp chung, rõ ràng rằng
Ni là một môđun con của M với linh từ hóa chia hết pαi i . Vì R là một
α
miền idean chính, các idean (pαi i ) và (pj j ) là đối cực đại với i = j, nên
sự phân tích thành tổng trực tiếp của M có thể được chứng minh dễ
dàng nhờ thay đổi tham số trong chứng minh của định lý thặng dư
Trung Hoa để ứng dụng nó đối với các môđun. Việc sử dụng sự phân

tích thành tổng trực tiếp này dễ dàng thấy rằng linh từ hóa của Ni
đúng là pαi i .
Định nghĩa 1.5. Môđun con Ni trong định lý trước được gọi là thành
phần sơ cấp pi của M .
Chú ý rằng với thuật ngữ này các phần tử ước của một môđun con
hữu hạn sinh M là các nhân tử bất biến của các thành phần sơ cấp
của T or(M ).
Bây giờ chúng ta chứng minh các phát biểu tính duy nhất của các
sự phân tích trong định lý cơ bản.
Chú ý rằng nếu M là môđun bất kỳ trên một vành giao hoán R và
a là một phần tử của R khi đó aM = {am|m ∈ M } là một môđun con
của M . Cũng nhắc lại rằng trong một miền idean chính R các idean
nguyên tố khác không là cực đại, do đó thương của R bởi một idean
nguyên tố khác không là một trường.
Bổ đề 1.1. Cho R là một miền idean chính và p là một số nguyên
trong R. Cho F kí hiệu trường R/(p).
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

1. Cho M = Rr . Khi đó M/pM ∼
= F r.
2. Cho M = R/(a) với a là một phần tử khác không của R. Khi đó:
F, nếu p chia hết a trong R
M/pM ∼
=
0, nếu p không chia hết a trong R.

3. Cho M = R/(a1 ) ⊕ R/(a2 ) ⊕ ... ⊕ R/(ak ) với mỗi ai được chia bởi
p. Khi đó: M/pM ∼
= F k.
Chứng minh. 1. Có một ánh xạ tự nhiên từ Rr đến (R/(p))r xác định
nhờ ánh xạ (α1 , ..., αr ) tới (α1 mod (p), ..., αr mod (p)). Điều này
rõ ràng rằng có một toàn cấu R - môđun đồng cấu với hạt nhân
chứa r bộ tất cả các tọa độ của nó được chia bởi p, tức là, pRr ,
nên Rr /pRr ∼
= (R/(p))r , ta chứng minh được (1).
2. Theo các định lý đẳng cấu: chú ý thứ nhất rằng p(R/(a)) là ảnh
của idean (p) trong tập thương R/(a), vì là (p) + (a)/(a). idean
(p)+(a) được sinh bởi một ước chung lớn nhất của p và a, do đó là
(p) nếu p chia hết a và là R = (1), nếu khác. Vì thế pM = (p)/(a)
nếu p chia hết a và là R/(a) = M , nếu khác. Nếu p chia hết a
khi đó M/pM = (R/(a))/((p)/(a)) ∼
= R/(p) và nếu p không chia
hết a khi đó M/pM = M/M = 0, chứng minh được (2).
3. Điều này có được theo (2) như trong chứng minh ở phần (1) của
định lý 1.3.

1.6

Tính duy nhất của phân tích

Định lý 1.6. (Định lý cơ bản, tính duy nhất) Cho R là một miền
idean chính.
1. Hai môđun hữu hạn sinh M1 và M2 là đẳng cấu nếu và chỉ nếu
chúng có cùng hạng tự do và cùng danh sách của các nhân tử bất
biến.
14



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

2. Hai môđun hữu hạn sinh M1 và M2 là đẳng cấu nếu và chỉ nếu
chúng có cùng hạng tự do và có cùng danh sách của các ước cơ
bản.
Chứng minh. Nếu M1 và M2 có cùng hạng tự do và danh sách của các
nhân tử bất biến hoặc cùng hạng tự do và cùng danh sách của các
phần tử ước khi đó rõ ràng chúng là đẳng cấu.
Giả sử rằng M1 và M2 là đẳng cấu. Đẳng cấu bất kì giữa M1 và M2
ánh xạ độ xoắn trong M1 tới độ xoắn trong M2 nên chúng ta phải có
T or(M1 ) ∼
= T or(M2 ). Khi đó
Rr1 ∼
= Rr2
= M2 /T or(M2 ) ∼
= M1 /T or(M1 ) ∼
với r1 là hạng tự do của M1 và r2 là hạng tự do của M2 . Cho p là số
nguyên tố khác không bất kì trong R. Khi đó, từ Rr1 ∼
= Rr2 chúng
ta đạt được Rr1 /pRr1 ∼
= Rr2 /pRr2 . Nhờ (1) của bổ đề trước, ta có
F r1 ∼
= F r2 với F là trường R/pR. Vì thế chúng ta có một đẳng cấu
của một không gian vectơ r1 chiều trên F với một không gian vectơ
r2 chiều trên F , sao cho r1 = r2 và M1 và M2 có cùng hạng tự do.
Chúng ta chỉ ra rằng M1 và M2 có cùng các danh sách của các nhân

tử bất biến và các ước sơ cấp. Để làm điều này, chúng ta chỉ cần làm
việc với đẳng cấu các môđun xoắn T or(M1 ) và T or(M2 ), tức là, chúng
ta có thể giả sử rằng cả M1 và M2 là các R - môđun xoắn.
Đầu tiên chúng ta chỉ ra chúng có cùng các ước sơ cấp. Đầy đủ là
phải chỉ ra rằng với số nguyên tố p bất kì cố định, các ước sơ cấp là
một lũy thừa của p, là giống nhau cho cả M1 và M2 . Nếu M1 ∼
= M2
khi đó môđun con cơ bản p của M1 (bằng tổng trực tiếp của các nhân
tử cyclic mà các ước sơ cấp là các lũy thừa của p) là đẳng cấu đến
môđun con cơ bản p của M2 , vì có các môđun con của các phần tử
mà được linh từ hóa bởi lũy thừa của p. Trước hết, chúng ta rút gọn
trường hợp của chứng minh rằng nếu hai môđun M1 và M2 có linh từ
hóa một lũy thừa của p là đẳng cấu, khi đó, chúng có cùng các phần
tử ước.
Chúng ta tiến hành bằng quy nạp lũy thừa của p trong linh từ hóa
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

của M1 (giống như linh từ hóa của M2 vì M1 và M2 là đẳng cấu). Nếu
lũy thừa này là 0, khi đó cả M1 và M2 là 0 và chúng ta đã làm được.
Nếu không, khi đó, M1 (và M2 ) có các ước sơ cấp không tầm thường.
Giả sử các ước sơ cấp của M1 được đưa ra bởi
các ước sơ cấp của M1 : p, p, ..., p, pα1 , pα2 , ..., pαs ,
n

với 2 ≤ α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αs , tức là, M1 là tổng trực tiếp của các môđun

cyclic với các hệ sinh x1 , x2 , ..., xm , xm+1 , ..., xm+s , tức nói, các linh từ
hóa của nó là (p), (p), ..., (p), (pα1 ), ..., (pαs ), tương ứng. Khi đó, môđun
con pM1 có các ước sơ cấp
các ước sơ cấp của pM1 : pα1 −1 , pα2 −1 , ..., pαs −1
vì pM1 là tổng trực tiếp của các môđun cyclic các với hệ sinh px1 , px2 ,
..., pxm , pxm+1 , ..., pxm+s mà các linh từ hóa của nó là (1), (1), ..., (1),
(pα1 −1 ), ..., (pαs −1 ). Tương tự, nếu các ước sơ cấp của M2 được đưa ra
bởi
các ước sơ cấp của M2 : p, p, ..., p, pβ1 , pβ2 , ..., pβt ,
n

với 2 ≤ β1 ≤ β2 ≤ ... ≤ βt khi đó pM2 có các ước sơ cấp
các ước sơ cấp của pM2 : pβ1 −1 , pβ2 −1 , ..., pβt −1 .
Vì M1 ∼
= pM2 và lũy thừa của p trong linh từ hóa
= M2 , cũng có pM1 ∼
của pM1 là nhỏ hơn lũy thừa của p trong linh từ hóa của M1 . Bằng quy
nạp, các ước sơ cấp của pM1 là giống như các ước sơ cấp của pM2 , tức
là, s = t và αi − 1 = βi − 1, ∀i = 1, 2, ..., s vì thế αi = βi , ∀i = 1, 2, ..., s.
Cuối cùng, do đó cũng có M1 /pM1 ∼
= M2 /pM2 , từ (3) của bổ đề trên,
chúng ta thấy rằng F m+s ∼
= F n+t , và m + s = n + t do đó m = n vì
chúng ta thấy ngay s = t. Điều này chứng minh rằng tập của các ước
sơ cấp của M1 cũng giống như tập của các ước sơ cấp của M2 .
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng M1 và M2 phải có cùng các nhân tử
bất biến. Giả sử a1 |a2 |...|am là các nhân tử bất biến của M1 . Chúng
ta đạt được một tập của các ước sơ cấp của M1 nhờ các nhân tử có
lũy thừa nguyên tố của các phần tử này. Chú ý rằng các quan hệ chia
hết trên các nhân tử bất biến ngụ ý rằng am là tích lớn nhất của các

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

lũy thừa nguyên tố trong các phần tử ước này, am−1 là tích lớn nhất
của các lũy thừa nguyên tố trong các phần tử ước này, một lần nữa
các nhân tử của am được di chuyển, và hơn thế. Nếu b1 |b2 |...|bn là các
nhân tử bất biến của M2 khi đó, chúng ta tương tự đạt được một tập
của các ước sơ cấp cho M2 bởi các nhân tử có lũy thừa nguyên tố của
các phần tử. Nhưng chúng ta chỉ ra ở trên rằng các phần tử ước của
M1 và M2 là giống nhau, và theo đó sự giống nhau đó là đúng cho các
nhân tử bất biến.
Hệ quả 1.2. Cho R là một miền idean chính và M là một R - môđun
hữu hạn sinh.
1. Các ước sơ cấp của M là các nhân tử có lũy thừa nguyên tố của
các nhân tử bất biến của M .
2. Nhân tử bất biến lớn nhất của M là tích lớn nhất của các lũy
thừa nguyên tố riêng biệt trong các ước sơ cấp của M , nhân tử
bất biến lớn nhất tiếp theo là tích lớn nhất của các lũy thừa nguyên
tố riêng biệt trong các ước sơ cấp còn lại của M , và hơn thế.
Chứng minh. Phương pháp trong (1) đưa ra một tập của các ước sơ
cấp và vì các ước sơ cấp của M là duy nhất nhờ định lý, theo đó
phương pháp trong (1) đưa ra tập của các ước sơ cấp. Tương tự cho
(2).

17



Chương 2
Dạng chuẩn tắc hữu tỉ và Jordan
2.1

Dạng chuẩn tắc hữu tỉ

Bây giờ chúng ta ứng dụng các kết quả trên cho các môđun hữu
hạn sinh trong trường hợp đặc biệt với miền idean chính là vành F [x]
của các đa thức ẩn x với các hệ số trong một trường F .
Cho V là không gian vectơ hữu hạn n chiều trên F và T là một
phép biến đổi tuyến tính của V . Chúng ta có thể xét V như một F [x]
- môđun với phần tử x tác động trên V như phép biến đổi tuyến tính
T (nên đa thức bất kì trong x tác động lên V giống như đa thức trong
T ). Vì V có chiều hữu hạn trên F nhờ giả thiết, nó như là một R
môđun nhờ định nghĩa hữu hạn sinh, do đó nó hữu hạn sinh như một
F [x] - môđun, nên ứng dụng các định lý về lớp của phần trước. Ta
biết F [x] - môđun tự do bất kì khác không (là đẳng cấu tới tổng trực
tiếp của bản sao của F [x]) là một không gian vectơ vô hạn chiều trên
F , nên nếu V có hữu hạn chiều trên F khi đó trong thực tế nó phải
là một F [x] - môđun xoắn. Từ định lý cơ bản khi đó V là đẳng cấu
như một F [x] - môđun đến tổng trực tiếp của cyclic, các F [x] - môđun
xoắn. Chúng ta thấy rằng sự phân tích này của V sẽ cho phép chúng
ta lựa chọn một cơ sở cho V với mối quan hệ mà ma trận đại diện của
phép biến đổi tuyến tính T là trong một dạng đặc biệt đơn giản. Khi
chúng ta sử dụng sự phân tích nhân tử bất biến của V , chúng ta đạt
được dạng chuẩn tắc hữu tỉ cho ma trận của T , chúng ta sẽ phân tích
18



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

trong phần này. Khi chúng ta sử dụng sự phân tích thành ước sơ cấp
(và khi F chứa tất cả giá trị riêng của T ), chúng ta đạt được dạng
chuẩn tắc Jordan, xét trong phần trước và đề cập sớm hơn như ma
trận đại diện T là một ma trận khối. Phần duy nhất của định lý cơ
bản đảm bảo rằng các dạng chuẩn tắc hữu tỉ và Jordan là duy nhất
(chúng được gọi là chuẩn tắc).
Trước việc miêu tả dạng chuẩn tắc hữu tỉ chi tiết, đầu tiên, chúng
ta giới thiệu về đại số tuyến tính.
2.1.1

Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa 2.1. 1. Một phần tử λ của F được gọi là một giá trị
riêng của phép biến đổi tuyến tính T nếu có một vectơ khác không
ν ∈ V sao cho T (ν) = λν. Trong trường hợp này, ν được gọi là
một vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ.
2. Nếu A là một ma trận vuông cấp n với các hệ số trong F , một
phần tử λ được gọi là một giá trị riêng của A tương ứng với vectơ
riêng ν nếu ν là một vectơ n hàng khác không sao cho Aν = λν.
3. Nếu λ là một giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính T , tập
{ν ∈ V |T (ν) = λν}
được gọi là không gian riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ.
Tương tự, nếu λ là một giá trị riêng của ma trận A vuông cấp n,
tập của các ma trận cấp n × 1 ν với Aν = λν được gọi là không
gian riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ.
Chú ý rằng nếu chúng ta giữ cố định một cơ sở ß của V khi đó

phép biến đổi tuyến tính T bất kì của V có một mối liên hệ với ma
trận A vuông cấp n. Trái lại, nếu A là một ma trân vuông cấp n bất
kì khi đó ánh xạ T xác định bởi T (ν) = Aν, ν ∈ V , với ν ở phía bên
phải là vectơ n hàng gồm các tọa độ của ν với sự tương thích để giữ
cố định cơ sở ß của V , là một phép biến đổi tuyến tính của V . Khi đó
ν là một vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ nếu và chỉ nếu
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Như Hoa

tọa độ vectơ của ν với sự thuong thích với ß là một vectơ riêng của A
với giá trị riêng λ. Nói cách khác, các giá trị riêng của phép biến đổi
tuyến tính T là giống nhau như các giá trị riêng của ma trận A của
T liên hệ với cơ sở cố định bất kì của V .
Định nghĩa 2.2. Định thức của một phép biến đổi tuyến tính từ V
vào V là định thức của ma trận bấy kì tương ứng với phép biến đổi
tuyến tính (chú ý rằng điều này không phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ
sở).
Mệnh đề 2.1. Các điều sau là tương đương:
1. λ là một giá trị riêng của T
2. λI − T là một phép biến đổi tuyến tính đơn của V
3. det(λI − T ) = 0.
Chứng minh. Vì λ là một giá trị riêng của T ứng với vectơ riêng ν nếu
và chỉ nếu ν là một vectơ trong hạt nhân của λI − T , theo đó (1) và
(2) là tương đương. Các mệnh đề (2) và (3) là tương đương nhờ các
kết quả của các định thức.
Định nghĩa đa thức đặc trưng

Định nghĩa 2.3. Cho x không xác định trên F . Đa thức det(xI − T )
được gọi là đa thức đặc trưng của T và được kí hiệu cT (x). Nếu A là
một ma trận vuông cấp n với các hệ số trong F , det(xI − A) được gọi
là đa thức đặc trưng của A và được kí hiệu cA (x).
Dễ dàng thấy rằng bằng cách mở rộng định thức của đa thức đặc
trưng của T hoặc A là một đa thức mônic có cấp n = dim V . Mệnh đề
2.1 nói rằng tập các giá trị riêng của T (hoặc A) đúng là tập nghiệm
của đa thức đặc trưng của T (hoặc của A). Đặc biệt, T có nhiều nhất
n giá trị riêng riêng biệt.

20