Bài 6 Hướng Dẫn Giải Bài Tập Tự Luyện Cuc tri hàm trùng phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (469.13 KB, 4 trang )
Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 02. Hàm số và các vấn đề liên quan
BÀI GIẢNG 06.
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƢƠNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số y x4 2mx2 2m m4
a. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại
b. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
c. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều
d. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 4.
e. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị.
f. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M
2;1
Lời giải:
x 0
a. Ta có: y ' 4 x3 4mx 0
2
g ( x) x m 0
Vì hệ số a = 1 > 0 nên nếu hàm số có 1 cực trị thì đó là điểm cực tiểu.
Do đó điều kiện để hàm có cực tiểu mà khơng có cực đại là y’ = 0 đổi dấu tại duy nhất 1 điểm
g m 0 m 0
b. Hàm số có 3 cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt g m 0 m 0 (*)
Với đk (*), phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm x1 m; x2 0; x3 m .
Hàm số đạt cực trị tại x1; x2 ; x3 .
Gọi A 0;2m m4 ; B
m ; m 4 m 2 2m ; C m ; m 4 m 2 2m là 3 điểm cực trị.
Ta có: AB2 AC 2 m4 m; BC 2 4m ABC cân đỉnh A
ABC vuông cân ABC vuông cân tại A BC 2 AB2 AC 2
m 0
4m 2m 4 2m m m 4
m 1
Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm m 1
m 0
c. Theo b. thì ABC đều BC AB AC m4 m 4 m 3m m4
3
m 3
Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm m 3 3
d. Theo ý b thì nếu gọi M là trung điểm của BC M 0; m4 m2 2m AM m2 m2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 02. Hàm số và các vấn đề liên quan
Vì ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
SABC
1
1
AM .BC .m2 . 4m 4
2
2
5
2
m 4 m5 16 m 5 16
Vậy m 5 16
e. Chia y cho y’ ta được: y
1
x. y ' mx 2 2m m4
4
Do hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của y’ = 0 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
là parabol: Pm : y mx2 2m m4
f. P đi qua điểm M
2;1 1 m4 2m 2m m 1
Kết hợp điều kiện, ta lấy nghiệm m = 1. Vậy P1 : y x 2 3
Bài 2. Tìm m để hàm số f ( x) mx 4 m 1 x 2 1 2m có đúng 1 cực trị
Lời giải:
x 0
f ( x) 4mx3 2 m 1 x 0
2
g ( x) 2mx m 1 0
- Nếu m = 0 thì g(x) vơ nghiệm, khi đó f(x) có 1 cực đại
- Nếu m = 1 thì g(x) có nghiệm kép x = 0, khi đó f(x) chỉ có 1 cực tiểu
- Nếu 0 < m < 1 thì g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, khi đó f(x) có 3 cực trị
- Nếu m < 0 hoặc m > 1 thì g(x) vơ nghiệm, khi đó f(x) có 1 cực trị
m 0
Vậy các giá trị cần tìm của m là:
m 1
Bài 3. Cho hàm số f ( x) x 4 2 x3 mx 2 . Tìm m để hàm chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại
Lời giải:
Ta có
f ( x) 4 x3 6 x 2 2mx 0
x(2 x 2 3x m) 0
x 0
2
g ( x) 2 x 3x m 0
Ta có: g 9 8m
9
thì g ( x) 0, x . Suy ra f(x) triệt tiêu và đổi dấu từ - sang + tại x = 0 nên đạt
8
cực tiểu tại x = 0, và khơng có cực đại
TH 1: Nếu g 0 m
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 02. Hàm số và các vấn đề liên quan
9
thì g(x) có 2 nghiệm phân biệt. Đk để hàm chỉ có cực tiểu mà khơng có cực
8
0 m 0 (thỏa mãn)
TH 2: Nếu g 0 m
đại là: g 0
m 0
Vậy các giá trị cần tìm của m là:
m 9
8
Bài 4. Tìm m để hàm f ( x) x 4 4 x3 x 2 mx 1 có cực đại, cực tiểu
Lời giải:
Hàm f(x) có cực đại, cực tiểu
f ( x) 4 x3 12 x2 2 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt
g ( x) 4 x3 12 x2 2 x m có 3 nghiệm phân biệt
6 30
x
6
Xét hàm g(x) ta có: g ( x) : 12 x 2 24 x 2 0
6 30
x
6
Từ đó ta vẽ được BBT của hàm g(x) trên R.
Vậy g(x) = -m có 3 nghiệm phân biệt đồ thị hàm g(x) cắt đường thẳng y = - m tại 3 điểm phân biệt
6 30
6 30
g
m g
6
6
6 30
6 30
g
m g
6
6
6
10 30
10 30
m 6
9
9
Bài 5. CMR hàm số f ( x) x 4 6 x 2 4 x 6 ln có 3 cực trị đồng thời gốc tọa độ O là trọng tâm của
tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị
Lời giải:
Ta có: f ( x) 4 x3 12 x 4
Hàm f’(x) liên tục trên R, ngồi ra ta có: f (2) 4; f (0) 4; f (1) 4; f (2) 12
f (2) f (0) 0; f (0) f (1) 0; f (1) f (2) 0
f’(x) có 3 nghiệm phân biệt 2 x1 0 x2 1 x3 2
Vậy f(x) có 3 cực trị, gọi 3 điểm cực trị là A( x1 , y1 ); B( x2 , y2 ); C ( x3 , y3 )
Ta thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) được:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương
f ( x)
Chuyên đề 02. Hàm số và các vấn đề liên quan
1
f ( x) (3x 2 4 x 6)
4
Suy ra yk 3xk 2 4 xk 6; k 1, 2,3
x1 x2 x3 0
Áp dụng viet cho f’(x ) ta có:
x1.x2 x2 .x3 x1.x3 3
Nên
y1 y2 y3 3 ( x1 x2 x3 )2 2( x1.x2 x2 .x3 x1.x3 ) 4( x1 x2 x3 ) 18
6.(3) 18 0
Do đó 3 đỉnh A, B, C nhận O là trọng tâm.
Bài 6. CMR hàm số f ( x) x 4 x3 5x 2 1 có 3 điểm cực trị nằm trên một parabol.
Lời giải:
Ta có f ( x) 4 x3 3x 2 10 x 0
x(4 x 2 3x 10) 0
x 0
5
x
2
x 2
Suy ra f(x) ln có 3 điểm cực trị, ta chia f(x) cho f’(x) được:
1
1
43 2 5
f ( x) x f ( x)
x x 1
16
8
4
16
Do hoành độ 3 điểm cực trị là nghiệm của f’(x), suy ra tọa độ 3 điểm cực trị sẽ thỏa mãn
y
43 2 5
x x 1
16
8
Vậy 3 điểm cực trị nằm trên một parabol y
43 2 5
x x 1.
16
8
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 4 -
