TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————oOo————

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

BIẾN ĐỔI MOBIUS

Giảng viên hướng dẫn :

Th.S PHẠM THANH TÂM

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ THUẦN

Lớp

:

: K39D

HÀ NỘI, 05/2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng

biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các
thầy cô trong tổ Hình học đã tận tình giảng dạy, dìu dắt, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S
Phạm Thanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp
đỡ để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản
khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận
được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thuần

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Phạm Thanh Tâm cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận tôi có tham khảo tài liệu của một số
tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thuần

ii


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Biến đổi Mobius

6

1.1

1.2

Nhắc lại kiến thức về số phức. . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. . . . .

6

1.1.2. Tọa độ liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7

1.1.3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức. . . . .

7

1.1.4. Vectơ và số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5. Các phép toán số phức. . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.6. Căn bậc n của đơn vị. . . . . . . . . . . . . . . .

13

Phép biến đổi Mobius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1. Hình cầu Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2. Biến đổi Mobius. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19


2 Hình dạng của biến đổi Mobius
2.1

2.2

25

Điểm bất động và cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1. Điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2. Cực của biến đổi Mobius. . . . . . . . . . . . . .

29

Phép nghịch đảo và hợp thành. . . . . . . . . . . . . . .

31

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần


2.2.1. Phép nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2. Hợp thành của phép nghịch đảo. . . . . . . . . .

33

2.2.3. Tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.4. Biểu thức xác định phép biến đổi Mobius bằng 3
điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

KẾT LUẬN

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

42

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


nguyễn thị thuần

LỜI MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài
Nói đến học Toán, thường người ta nghĩ ngay đến các con số, các ký
hiệu, dấu toán, hình vẽ và các mối quan hệ phức tạp giữa chúng. Toán
học là môn khoa học của những ký hiệu trừu tượng, nó khác với các
ngành khoa học thực nghiệm khác như Lý, Hóa, Sinh . . . ở chỗ không có
vật chất để trực tiếp dùng tay cảm nhận. Cho nên phần lớn học sinh
đã không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa của kiến thức Toán một cách
đúng bản chất để có thể áp dụng vào các vấn đề thực tiễn. Trong tất cả
các ngành của Toán học nói chung mà chúng ta biết, Hình học có thể
được coi là ngành có tính chất hệ thống rất chặt chẽ, có tính logic và
tính trừu tượng hóa cao độ. Vì vậy nó được coi là môn học khó nhất đối
với nhiều học sinh ở bậc THPT, đặc biệt là việc học của học sinh với
các nội dung về các phép biến hình.
Như chúng ta đã biết, số phức xuất hiện từ đầu thế kỉ XIX do nhu
cầu phát triển của Toán học về việc giải các phương trình đại số. Từ khi
ra đời, số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết
được nhiều vấn đề của khoa học, kĩ thuật. Hình học xuất hiện trong cả
Toán học và Vật lí, thậm chí cả trong kinh tế cơ bản, ... Số phức có thể
được xem như cầu nối giữa các nội dung trừu tượng của hình học và sự
cụ thể của các con số. Nhiều vấn đề của Hình học được đơn giản hóa

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


nguyễn thị thuần

một cách kì diệu khi nhìn dưới góc độ của số phức và việc ứng dụng số
phức vào nghiên cứu Toán học nói chung và Hình học nói riêng đã được
tiến hành từ lâu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng.
Trong hình học xạ ảnh, các phép biến đổi xạ ảnh có một vai trò
rất quan trọng trong việc nghiên cứu các phép biến đổi. Đặc biệt, như
chúng ta đã biết các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng cho chúng ta
rất nhiều kết quả hay trên mặt phẳng xạ ảnh. Trong vấn đề mà chúng
tôi quan tâm ở đây là các phép biến đổi xạ ảnh đặc biệt của mặt phẳng
xạ ảnh phức là Phép biến đổi Mobius, chúng được biết đến với tên
gọi theo nhà toán học Đức (17/11/1790 - 26/9/1868). Các phép biến đổi
này cũng được biết đến với các tên gọi khác như: biến đổi hữu tỉ tuyến
tính, biến đổi tuyến tính hữu tỉ, biến đổi song tuyến tính trên mặt phẳng
phức.
Thấy được tầm quan trọng và sự thú vị của các nội dung chúng tôi
đang nói, cùng với sự hướng dẫn và động viên tận tình của thầy giáo
Th.S Phạm Thanh Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu về “ Biến đổi
Mobius”.

Mục đích
Khóa luận tập trung nghiên cứu về các nội dung:
• Phép biến đổi Mobius và tác động của chúng lên hình cầu Riemann;
• Các điểm bất động của các phép biến đổi Mobius;
• Phép nghịch đảo để thấy được hình dạng của phép biến đổi Mobius;
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


nguyễn thị thuần

nhằm mục đích để thấy được phần nào đó của hình dạng của các phép
biến đổi Mobius.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Biến đổi Mobius và tác động của chúng lên hình cầu Riemann cùng
với hình dạng của biến đổi Mobius trên cơ sở kiến thức về số phức, đại
số tuyến tính.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phép biến đổi Mobius, tác động của chúng lên hình cầu
Riemann và hình dạng của phép các biến đổi Mobius.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

Nội dung khóa luận
Khóa luận của tôi được trình bày theo nội dung như sau:
• Chương 1: Biến đổi Mobius.
Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ bản về số phức
thường được sử dụng trong việc giải toán hình học. Từ đó, chúng

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


nguyễn thị thuần

tôi đi tìm hiểu về phép biến đổi Mobius và tính chất của phép biến
đổi Mobius như:
- Biến đổi Mobius ánh xạ đường tròn thành đường tròn.
- Sự tồn tại duy nhất một biến đổi Mobius ánh xạ 3 điểm trên
đường tròn thứ nhất thành 3 điểm trên đường tròn thứ hai.
Đặc biệt khi biến đổi Mobius biểu diễn bởi một ma trận thì được
gọi là nhóm đẳng cự của hình cầu Riemann.
Chương 1 gồm 2 phần chính:
1.1. Nhắc lại kiến thức về số phức.
1.2. Biến đổi Mobius.
• Chương 2: Hình dạng của biến đổi Mobius.
Trong chương này, tôi đi nghiên cứu về các điểm bất động tương
ứng với các trường hợp của biến đổi Mobius gồm có:
- Biến đổi parabolic;
- Biến đổi elliptic;
- Biến đổi hyperbolic;
- Biến đổi loxodromic.
Qua đó hình dung ra hình dạng của biến đổi Mobius. Tiếp đó ở
chương này nghiên cứu về phép nghịch đảo và đưa ra một kết quả
về sự hợp thành của hai phép nghịch đảo có tính chất là một biến
đổi Mobius. Dó đó, trong việc tạo ra các biến đổi Mobius chúng ta

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần


có thể thu được một phép biến đổi Mobius theo cách xét các phép
nghịch đảo này.
Chương 2 này gồm 2 phần sau:
2.1. Điểm bất động và cực.
2.2. Phép nghịch đảo và hợp thành.
Với bố cục nội dung như vậy, tôi hi vọng khóa luận sẽ là một tài liệu
hữu ích dành cho các bạn sinh viên, người đọc khác mà có quan tâm về
các phép biến đổi Mobius.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thuần

5


Chương 1
Biến đổi Mobius
1.1

Nhắc lại kiến thức về số phức.

Trước tiên chúng ta nhắc lại sơ lược về số phức, các phép toán và các
tính chất cơ bản của chúng. Các kiến thức nhắc lại ở đây nhằm phục vụ
cho nội dung tiếp theo về các phép biến đổi Mobius, nội dung chính của
Khóa luận.
1.1.1.

Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.


Xét trường số phức C = {z = x + iy : x, y ∈ R}, với các phép toán đã
biết là cộng và nhân thông thường cùng với i2 = −1. Lấy z = x + iy ∈ C
bất kì.
Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc nhau. Điểm
Z(x, y) được gọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số
phức z. Chúng ta dễ dàng hình dung ra rằng, điểm này chính là điểm
ứng với hoành độ x và tung độ y trong mặt phẳng đã xét.
Ngược lại, với mỗi điểm thực Z1 (x1 ; y1 ) trong mặt phẳng tọa độ cho

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

ta duy nhất một số phức z1 = x1 + iy1 , z1 được gọi là tọa độ phức của
điểm Z1 .
Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một
số phức gọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng
biến phức (đơn giản chỉ gọi là mặt phẳng phức). Chúng ta dễ dàng có
ngay hai nhận xét về các số phức sau:
Nhận xét 1.1.1.
1. Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực. Trục Oy là quỹ tích ảnh của
các số ảo. (Đó cũng là lý do tại sao mà các trục Ox, Oy được gọi là trục
thực và trục ảo của mặt phẳng phức).
2. Số −z là số phức mà ứng với điểm biểu diễn có tọa độ phức của điểm
đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O.
1.1.2.


Tọa độ liên hợp.

Ta gọi số phức z¯ ứng với điểm biểu diễn là ảnh Z của điểm biểu diễn
số phức z qua phép đối xứng với qua trục Ox là số phức liên hợp của số
phức z. Dễ dàng ta thấy rằng số phức liên hợp với z = x + iy luôn xác
định và bằng z¯ = x − iy đọc là "z ngang".
1.1.3.

Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.

Cho một số phức z = x + iy, ta có thể viết z ở dạng lượng giác:
z = r(cosθ + isinθ);
x2 + y 2 ∈ [0, ∞) được gọi là mođun của z và θ ∈ [0; 2π)
−→
là số đo của góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương gọi là
trong đó r =

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

argument của z.
Sử dụng công thức Euler:
cosθ + isinθ = eiθ ;
Số phức z = x + iy có thể được viết như sau z = reiθ được gọi là dạng
mũ của z. Khi z = 0, ta chọn r = 0 và θ tùy ý.

Nhận xét 1.1.2. Chúng ta có các nhận xét sau cho số phức z = x + yi:
• Ta có :
z¯ = r.e−iθ .
• Ta cũng có công thức để biểu diễn mối quan hệ giữa dạng tổng quát
và dạng lượng giác của một số phức:

x = rcosθ
y = rsinθ
1.1.4.

(1.1)

Vectơ và số phức.

−→
Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ, tọa độ
vectơ của Z đối với gốc O. Khi đó nói rằng z được biểu diễn bởi vectơ
−→
OZ này. Chúng ta dễ dàng thấy được rằng: Số phức và vectơ có mođun
bằng nhau và ta có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là
argument của vectơ.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.5.

nguyễn thị thuần


Các phép toán số phức.

Phép cộng

Cho n số phức zk = xk + iyk ; k ∈ {0; 1; 2; ...; n} có n ảnh lần lượt là
các điểm Zk . Khi đó tổng của chúng là số phức:
z = z1 + z2 + ... + zn ;

(1.2)

mà có ảnh Z được xác định bởi phương trình hình học của các vectơ (sự
tương ứng giữa các số phức và các điểm này có thể giúp chúng ta một
hình dung về tổng của các điểm hình học):

−→ −−→ −−→
−−→
OZ = OZ1 + OZ2 + ... + OZn ;

(1.3)

Giả sử điểm Z có tọa độ là Z(x; y). Ta tìm tọa độ của Z dựa vào phương
trình (1.3), bằng cách lấy đại số trên trục Ox sau đó trên trục Oy ta có
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần


được hai phương trình đại số:

x = Σxk
 y = Σy

(1.4)

k

Do đó x + iy = Σ(xk + iyk ), đây chính là một dạng khác của phương
trình (1.2) ở trên.
Phép trừ

−−→ −−→
Nếu các số phức z1 ; z2 được biểu thị bởi các vectơ OZ1 ; OZ2 thì hiệu
−→ −−→ −−→
số z = z1 − z2 được biểu thị bởi hiệu số hình học OZ = OZ1 − OZ2 của
những vectơ tương ứng. Ta có z = z1 + (−z2 ) = z1 + z2 .

Điểm Z2 đối xứng với điểm Z2 qua O.
Ta có:

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

−→ −−→ −−→ −−→ −−→

OZ = OZ1 + OZ2 = OZ1 − OZ2 ;

(1.5)

−→ −−→
Hệ quả 1.1.1. Phương trình (1.5) được viết lại OZ = Z2 Z1 giống như
−→
OZ biểu thị ảnh của hiệu hai số phức dạng z1 − z2 .
Phép nhân

−−→ −−→
Nếu các số phức z1 , z2 được biểu thị lần lượt bởi các vectơ OZ1 , OZ2
−→
thì tích z = z1 z2 là số phức được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ vectơ
−−→
OZ1 theo cách như sau:
−−→
1. Quay vectơ OZ1 quanh gốc O một góc bằng với argument của vectơ
−−→
OZ2 .
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

−−→
2. Nhân vectơ vừa thu được với mođun của vectơ OZ2 .
Nếu r1 , r2 và θ1 , θ2 là mođun và argument của z1 , z2 thì ta có:

z1 = r1 eiθ1 ; z2 = r2 eiθ2 ;
Vì vậy:
z = z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) .
Khi đó arg(z) = θ1 + θ2 và mođun của z là r1 r2 = OZ1 .OZ2 .
Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ +1. Điểm Z mà ta tìm kiếm
chính là đỉnh thứ ba trong tam giác OZ1 Z đồng dạng với tam giác OU Z2
với:
−→
(Ox, OZ) = θ1 + θ2 ;
OZ1
OZ
=
.
OZ2
OU = 1
Phép chia

−−→ −−→
Nếu các số phức z1 ; z2 được biểu thị lần lượt bởi các vectơ OZ1 , OZ2
−→
z1
thì tỉ số z =
là số phức thương được biểu thị bởi vectơ OZ được tạo
z2
−−→
ra từ vectơ OZ1 như sau:
−−→
−−→
1. Quay OZ1 quanh O một góc bằng với −arg(OZ2 ).
−−→

2. Chia vectơ vừa thu được cho mođun của vectơ OZ2 .
Dựng điểm Z là ảnh hình học của z và:
z=

r1 i(θ1 −θ2 )
e
.
r2

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ1 Z đồng dạng với tam giác
OZ2 U . Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại
của phép nhân.
1.1.6.

Căn bậc n của đơn vị.

Định nghĩa căn bậc n của số phức

Xét số nguyên dương n ≥ 2 và một số phức zo = 0. Phương trình:
Z n − zo = 0.

(1.6)


được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức zo . Ta gọi nghiệm Z của
phương trình (1.6) là một căn bậc n của zo .

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

Định lí 1.1.1. Đặt zo = r(cosθ + isinθ) là một số phức với r > 0 và
θ ∈ [0; 2π).
Căn bậc n của zo gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thức:
√
θ + 2kπ
θ + 2kπ
Zk = n r(cos
+ isin
); k ∈ 0; 1; 2; ...; n − 1.
n
n
Căn bậc n của đơn vị

Một nghiệm của phương trình Z n − 1 = 0 gọi là một căn bậc n của
đơn vị.
Vì 1 = cos0 + isin0, từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra
căn bậc n của đơn vị là:
εk = cos

1.2


2kπ
2kπ
+ isin
; k ∈ {0; 1; 2; ...; n − 1} .
n
n

Phép biến đổi Mobius.

Trong hình học xạ ảnh, các phép biến đổi xạ ảnh có một vai trò
rất quan trọng trong việc nghiên cứu các phép biến đổi. Đặc biệt, như
chúng ta đã biết các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng cho chúng ta
rất nhiều kết quả hay trên mặt phẳng xạ ảnh. Trong vấn đề mà chúng
tôi quan tâm ở đây là các phép biến đổi xạ ảnh đặc biệt của mặt phẳng
xạ ảnh phức là Phép biến đổi Mobius, chúng được biết đến với tên
gọi theo nhà toán học Đức (17/11/1790 - 26/9/1868).
1.2.1.

Hình cầu Riemann.

Một điều hữu ích là thêm một phần tử đặc biệt ∞ vào mặt phẳng
phức để mở rộng thành mặt phẳng phức C
14

{∞}. Điểm tại vô cực rất


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


nguyễn thị thuần

khác với những điểm còn lại và những điểm hữu hạn nhưng Riemann đã
chỉ ra rằng đây không phải là trường hợp thực sự. Ông ấy thực hiện điều
này bằng việc biểu diễn tất cả các điểm của mặt phẳng mở rộng phức
bằng các điểm của hình cầu đơn vị S 2 trong R3 . Hình cầu này được gọi
là hình cầu Riemann.
Cho P là hình cầu đơn vị:
P = {(z, t) ∈ C × R : |z|2 + t2 = 1};
trong không gian vectơ thực 3 chiều C × R.
Cực Bắc của hình cầu này sẽ được ký hiệu bởi N = (0, 1). Phép chiếu
nổi ánh xạ các điểm của mặt phẳng phức đến các điểm của hình cầu
Riemann P và vice versa.
Cho z ∈ C thì đường thẳng qua N và (z, 0) giao với hình cầu tại N và
một điểm khác (w, t) ∈ P. Ta viết:
π(z) = (w, t) và xác định π(∞) = N .
Thì π cho ta một ánh xạ π : C {∞} −→ P.
Ánh xạ này là khả nghịch vì nếu (t, w) là điểm bất kỳ của P trừ ra N
thì đường thẳng qua N và (w, t) sẽ giao với mặt phẳng {(z, s) : s = 0}
tại một điểm đơn (z, 0) với π(z) = (w, t).
Dễ dàng cho ta một công thức của phép chiếu nổi. Các điểm trên
đường thẳng từ z ∈ C đến N là:
{s(z, 0) + (1 − s)(0, 1) : s ∈ R}.
Đường thẳng này cắt hình cầu P khi s = 0, cho ta cực Bắc và khi
2
s=
cho ta :
1 − |z|2
15



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

π(z) = (

−1 + |z|2
2z
,
).
1 + |z|2 1 + |z|2

Chú ý rằng từ hình ảnh trên thì các tam giác

z0N,

0AN,

0Aπ(z)

là đồng dạng. Định lý Pi-ta-go chỉ ra rằng:
d(N, z) =

1 + |z|2 .

Do đó:
d(N, A) = d(A, π(z)) =

1

1 + |z|2

và d(N, π(z)) =

2
1 + |z|2

.

Bây giờ ta xét hai điểm z1 , z2 ∈ C. Khoảng cách có hình sợi dây
κ(z1 , z2 ) là khoảng cách Ơ-clit giữa phép chiếu nổi của π(z1 ) và π(z2 ).
Trong hình ảnh dưới đây ta chỉ ra tam giác với đỉnh N, z1 , z2 .
Ta biết rằng:
d(N, zj ) =

1 + |zj |2 và d(N, π(zj )) =

Vì vậy tam giác N z1 z2 và
2
là
.
1 + |z1 |2 1 + |z2 |2

2
.
1 + |zj |2

N π(z2 )π(z1 ) là đồng dạng với hệ số tỉ lệ

16



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

Hệ quả 1.2.1.

κ(z1 , z2 ) = d(π(z1 ), π(z2 )) =

2|z1 − z2 |
1 + |z1 |2

1 + |z2 |2

.

Khi một trong những điểm, giả sử gọi z2 là ∞ thì ta thể hiện điều
này như sau:
κ(z1 , ∞) =

2
1 + |z1 |2

.

Một đối số tương tự được sử dụng ở trên trong việc tìm metric dạng
sợi dây chỉ ra rằng phép chiếu nổi là bảo giác, nó bảo toàn góc giữa các
đường cong. Vì trong hình ảnh dưới đây, đường thẳng từ N tới z giao
với mặt phẳng tiếp tuyến tại π(z) và mặt phẳng phức C với cùng một

góc θ. Do đó, phép chiếu với tâm N từ mặt phẳng tiếp tuyến đến C bảo
toàn góc. Hệ quả, π cũng bảo toàn góc giữa hai đường cong giao nhau
tại z.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

Điều này thuận lợi cho việc xác định đường tròn trong C

{∞} với

cả các đường thẳng và các đường tròn. Việc theo dõi kết quả giải thích
tại sao điều này như vậy.
Mệnh đề 1.2.1. Phép chiếu nổi bảo toàn các đường tròn.
Một đường cong Γ trong C {∞} là một đường tròn hoặc một đường
thẳng nếu và chỉ nếu phép chiếu nổi π(Γ) là một đường tròn trên hình
cầu Riemann.
Chứng minh. Ta có thể viết một đường tròn hoặc một đường thẳng tùy
ý trong C {∞} như sau:
ao |z|2 + a
¯z + a¯
z + a∞ = 0.

(1.7)

Trong đó ao , a∞ ∈ R và a ∈ C. Phép chiếu nổi π(z) là:

2z
−1 + |z|2
(w, t) = (
,
).
1 + |z|2 1 + |z|2
Vì vậy (1.7) là tương đương với:
(ao + a∞ ) + a
¯w + aw + (ao − a∞ )t = 0.
18

(1.8)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần

Đây là giao với hình cầu Rieamann của một mặt phẳng, vì vậy nó là
một đường tròn trên hình cầu.
Chú ý rằng mặt phẳng giao với hình cầu nếu và chỉ nếu |a|2 −ao a∞ ≥ 0.
Điều này tương tự với điều kiện mà (1.7) mô tả một đường tròn hoặc
một đường thẳng chứ không phải là một tập rỗng.
1.2.2.

Biến đổi Mobius.

Cho a, b, c, d là các số phức với ad − bc = 0.
Thì khi đó ta có thể định nghĩa một ánh xạ T :
T : C ∪ {∞} −→ C ∪ {∞}

az + b
z
→
cz + d
a
−d
và T ( ) = ∞.
c
c
Các ánh xạ này được gọi là biến đổi Mobius và dạng một nhóm Mob
Chú ý rằng T (∞) =

dưới sự hợp thành của các ánh xạ.
Ánh xạ:
φ : GL(2; C) −→ M ob


a b

 →
T
c d
là một đồng cấu nhóm.


a b
 là nhân của đồng cấu này khi:
Một ma trận M = 
c d
az + b

= z với ∀z ∈ C ∪ {∞}.
cz + d

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị thuần


Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu a = d và b = c = 0, vì vậy 

a b



 = λI
c d

với tích vô hướng λ ∈ C\{0}. Điều này chỉ ra rằng một biến đổi Mobius
sẽ không đổi khi ta nhân mỗi hệ số a; b; c; d với một tích vô hướng λ = 0.
Thông thường chúng ta chọn tích vô hướng λ sao cho định thức ad − bc
là bằng 1.

Khi đó, ma trận 

a b




 là SL(2; C).
c d

Ta có:
φ : SL(2; C) −→ M ob


a b

 →
T
c d
là một đồng cấu nhóm mà nhân của nó bao gồm hai ma trận là I và −I.
Hệ quả, nhóm Mobius là kết quả của phép chia SL(2; C)/{I; −I}. Chúng
ta ký hiệu thương này bởi P SL(2; C) và gọi nó là nhóm xạ ảnh tuyến
tính đặc biệt.
Nhắc lại biến đổi Mobius ánh xạ đường tròn thành đường tròn.
Mệnh đề 1.2.2. (Biến đổi Mobius ánh xạ đường tròn thành đường tròn)
Một biến đổi Mobius ánh xạ đường tròn bất kỳ trên hình cầu Riemann
thành một đường tròn trên hình cầu Riemann.
Chứng minh. : Cho Γ là một đường tròn:
{z : p0 |z|2 + p¯
z + p¯z + p∞ = 0};
T là một biến đổi Mobius với ánh xạ ngược:

20