BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trương Thị Mỹ Linh

MỘT SỐ BẤT BIẾN TỔ HỢP CỦA SẮP XẾP SIÊU PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRƯƠNG THỊ MỸ LINH

MỘT SỐ BẤT BIẾN TỔ HỢP CỦA SẮP XẾP SIÊU PHẲNG

Chuyên ngành: Hình Học
Mã số: ???????

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.NGUYỄN TẤT THẮNG

Hà Nội – Năm 2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ
bảo của các thầy cô trong tổ Hình học trong Khoa Toán của trường
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Tất Thắng,
người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian để em hoàn
thành được khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn
đề mà em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các
thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017.
Sinh viên

Trương Thị Mỹ Linh

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trương Thị Mỹ Linh

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên
cứu của em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo,
đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của TS. Nguyến Tất Thắng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã được nêu ra ở phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Một số bất biến tổ hợp
của sắp xếp siêu phẳng" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017.
Sinh viên

Trương Thị Mỹ Linh

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1


1.2

Sắp xếp siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Siêu phẳng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Sắp xếp siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Giàn các giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Tập sắp thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . .

8


1.2.2

Giàn các giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Đa thức đặc trưng

12

2.1

Đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Tính chất của Poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Số miền, số mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận


38

Tài liệu tham khảo

39

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các tập đại số là đối tượng nghiên cứu cơ bản của Toán học. Các
siêu phẳng là tập đại số bậc một, nói cách khác, là các tập đại số mà
phương trình xác định có thể phân tích thành tích các nhân tử bậc
nhất. Việc tìm hiểu các tính chất hình học của các tập đại số là vấn đề
quan trọng, cần thiết đối với hình học đại số và các lĩnh vực khác. Bài
toán đó đối với các siêu phẳng là việc nghiên cứu sắp xếp của chúng
chẳng hạn như tính toán số miền, số mặt của một sắp xếp siêu phẳng.
Bất biến tổ hợp của các sắp xếp siêu phẳng được hiểu là các đối
tượng đại số chỉ phụ thuộc vào các thông tin tổ hợp của chúng. Thông
qua các bất biến đó ta có thể biết được các thông tin hình học của
sắp xếp siêu phẳng. Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với
sự hướng dẫn nhiệt tình của TS. Nguyễn Tất Thắng em đã chọn đề
tài Một số bất biến tổ hợp của sắp xếp siêu phẳng.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về sự sắp xếp của các siêu phẳng và các bất biến hình học
của một sắp xếp siêu phẳng trong không gian Rn .
Xây dựng hệ thống định lý, mệnh đề, ví dụ cung cấp các thông tin
hình học cơ bản của một sắp xếp siêu phẳng.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Sắp xếp siêu phẳng trong Rn .
Phạm vi nghiên cứu: các bất biến tổ hợp của sắp xếp siêu phẳng.
4. Phương pháp nghiên cứu
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về chủ đề sắp xếp
siêu phẳng.
5. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận này gồm 2 chương.
Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" giới thiệu một số định nghĩa,
khái niệm cơ bản liên quan về sắp xếp siêu phẳng.
Chương 2 "Đa thức đặc trưng" trình bày về các bất biến tổ hợp
của sắp xếp siêu phẳng từ đó đưa ra các tính chất và phương pháp
xác định các đại lượng bất biến đó.

Hà Nội, ngày 20/04/2017
Tác giả khóa luận

Trương Thị Mỹ Linh


2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta sẽ trình bày các kiến thức cơ bản, các khái niệm
liên quan về sắp xếp siêu phẳng như số chiều, số miền, tập poset, giàn
các giao, một số sắp xếp siêu phẳng...

1.1
1.1.1

Sắp xếp siêu phẳng
Siêu phẳng

Một siêu phẳng trong không gian Rn là tập có dạng:
n

H=

n

(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R :

αi x i = c ,
i=1

trong đó các αi là các hằng số không đồng thời bằng 0, i = 1, n, c ∈ R.
1.1.2


Sắp xếp siêu phẳng

Sắp xếp hữu hạn các siêu phẳng A là một họ hữu hạn các siêu phẳng
trong không gian vectơ Rn .
Ví dụ 1.1.1. Cho A và B là các sắp xếp 2 chiều lần lượt được trình
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

bày trong hình 1.1 dưới đây:
A bao gồm các đường thẳng x = 0, y = 0, x = y.
B bao gồm các đường thẳng x = y, x = -y, y = 1 và y = -1.

Hình 1.1: Sắp xếp A và B

Hình 1.2: Sắp xếp siêu phẳng trong không gian

Cho A là 1 sắp xếp trong không gian vectơ Rn .
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Định nghĩa 1.1. Số chiều của sắp xếp A trong Rn , kí hiệu là dimA
và được định nghĩa là n (số chiều của Rn ).

Định nghĩa 1.2. Hạng của sắp xếp A, kí hiệu là rankA được định
nghĩa như sau:
Giả sử A, là một sắp xếp các siêu phẳng {Hi } trong Rn như sau:
H1 : a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n = b1 ,
H2 : a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n = b2 ,
.....................................,
m
m
Hm : am
1 x1 + a2 x2 + .... + an = bm .

Khi đó:



a1
 1

a12

...



a1n



 2
 a1 a22 . . . a2n 


rankA = rank 

 ..
.
.
.
.
 .
. ... . 


m
m
m
a1 a2 . . . an
Định nghĩa 1.3. Một miền của sắp xếp A là một thành phần liên
thông của phần bù X với:
X = Rn \A = Rn \

H.
H∈A

Kí hiệu: R(A) là tập tất cả các miền của A và r(A) là số miền của A.
Ví dụ 1.1.2. Sắp xếp ở hình 1.1 có r(A)=6, r(B) = 10.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trương Thị Mỹ Linh

Ví dụ 1.1.3. sắp xếp A cho dưới đây có r(A) = 14.

Hình 1.3: Sắp xếp trong R2

Ví dụ 1.1.4. Sắp xếp bện Bn bao gồm Cn2 siêu phẳng trong Rn :
Bn : {xi − xj = 0, 1 ≤ i < j ≤ n} .
Phần bù Rn \Bn bao gồm tất cả các véctơ trong Rn mà trong vectơ
đó không có 2 tọa độ nào bằng nhau.
Lấy 1 vectơ có tọa độ (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn . Vậy số miền chính là
số cách mà chúng ta có thể xác định được ai < aj hoặc ai > aj với
1 ≤ i < j ≤ n. Ta xác định bằng cách áp đặt một trật tự tuyến tính
của ai . Nói cách khác, với mỗi hoán vị w ∈ σn (nhóm đối xứng của tất
cả các hoán vị của {1, 2, ..., n}) có tương ứng 1 miền Rw của Bn được
cho bởi:
Rw = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Bn : aw(1) > aw(2) > ... > aw(n) .
Do đó r(Bn ) = n!.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Hình 1.4: Sắp xếp bện B3 trong R3

Định nghĩa 1.4. Sắp xếp A là sắp xếp tâm nếu
H = ∅.

H∈A

Hình 1.5: Ví dụ về sắp xếp tâm

Định nghĩa 1.5. Sắp xếp A là sắp xếp ở vị trí tổng quát nếu: Với

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

mọi
{H1 , H2 , ..., Hp } ⊆ A, p ≤ n ⇒ dim(H1 ∩ .... ∩ Hn ) = n − p.
Ví dụ 1.1.5. Nếu n = 2 thì tập các đường thẳng là ở vị trí tổng quát
nếu không có 2 đường thẳng nào song song và không có 3 đường thẳng
nào đồng quy.

1.2
1.2.1

Giàn các giao
Tập sắp thứ tự bộ phận

Định nghĩa 1.6. Một tập sắp thứ tự bộ phận (poset) là 1 tập P và
một quan hệ ≤ thỏa mãn các tiên đề sau: (∀x, y, z ∈ P )
(i) Phản xạ : x ≤ x,
(ii) Phản đối xứng: nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y,
(iii) Bắc cầu: nếu x ≤ y, y ≤ z thì x ≤ z.

Nếu x ≤ y trong P, thì khoảng [x,y] được định nghĩa bởi:
[x, y] = {z ∈ P : x ≤ z ≤ y} .
Ta nói y phủ x trong một poset P. Kí hiệu là x

y nếu x < y và

không có z ∈ P thỏa mãn x < z < y.
1.2.2

Giàn các giao

Định nghĩa 1.7. Cho A là 1 sắp xếp trong Rn . L(A) là tập hợp tất
cả các giao khác rỗng của các siêu phẳng trong A bao gồm cả Rn coi
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

như là giao điểm trên tập rỗng. Trong L(A) định nghĩa x ≤ y nếu
x ⊇ y. Ta gọi L(A) là giàn các giao (giao của các tập sắp thứ tự bộ
phận).
Định nghĩa 1.8. Một "xích" có độ dài k trong một poset P là một
tập x0 < x1 < x2 < ... < xk các phần tử của P. "Xích" được gọi là
bão hòa nếu x0

x1

x2


...

xk . Ta nói P được phân bậc có hạng

n nếu mỗi xích lớn nhất của P có độ dài n.
Trong trường hợp này, hàm hạng rk : P −→ N được định nghĩa bởi:
(i) rk(x) = 0 nếu x là phần tử nhỏ nhất của P,
(ii) rk(y) = rk(x) + 1 nếu x

y trong P.

Nếu x < y trong 1 poset phân hạng thì ta viết:
rk(x, y) = rk(y) − rk(x)
là độ dài của khoảng [x, y].
Mệnh đề 1.1. Cho A là sắp xếp trong không gian véctơ Rn . Khi đó
giàn các giao L(A) được phân bậc có hạng bằng rankA. Hàm hạng của
L(A) được cho bởi:
rk(x) = codim(x) = n − dim(x), ∀x ∈ L(A)
trong đó dimx là số chiều của x.
Chứng minh. (i)Chứng minh nếu x

y, với x, y ∈ L(A) thì:

dimx − dimy = 1.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trương Thị Mỹ Linh

Thật vậy, nếu x = Rn và y là một siêu phẳng thì:
dimx − dimy = n − (n − 1) = 1.
(ii) Chứng minh các phần tử cực đại của L(A) đều có số chiều là
n − rank(A).
Giả sử x là một phần tử của L(A) và x có số đối chiều lớn nhất
trong bất kỳ các phần tử nào của L(A): codimx = d, hay dimx = n−d.
Do đó x là giao của d các siêu phẳng độc lập tuyến tính H1 , H2 , ..., Hd
trong A (tức là các pháp tuyến của các siêu phẳng này là hệ độc lập
tuyến tính).
Lấy y ∈ L(A) với e = codimy < d, thì y là giao của e siêu phẳng độc
lập tuyến tính K1 , K2 , ..., Ke . Vì vậy, tồn tại siêu phẳng Hi (1 ≤ i ≤ d)
sao cho K1 , K2 , ..., Ke , Hi là các siêu phẳng độc lập tuyến tính. Do đó
y ∩ Hi = ∅ và codim(y ∩ Hi ) > codimy. Nên suy ra y ∩ Hi > y. Do
đó, y không phải là phần tử cực đại của L(A) và mọi phần tử cực đại
của L(A) có số đối chiều là d.
Như vậy x là phần tử lớn nhất của L(A).
Giả sử d < rankA = m.
Tương tự chứng minh trên, ta cũng có:
x ∩ Hj = ∅ và codim(x ∩ Hj ) > codimx = d, với d + 1 ≤ j ≤ m (mâu
thuẫn với giả thiết d là số đối chiều lớn nhất).
Nên d = rankA hay dimx = n − rankA.
Vậy với mọi x, y ∈ L(A), x

y thì dimx − dimy = 1, và phần tử

cực đại của L(A) có số chiều bằng n − rankA.

10



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

(iii)Như vậy, hàm hạng của L(A) được xác định:
rk(x) = rk(Rn , x) = dim(Rn ) − dimx = rank(A).
Gọi z là phần tử bất kì của L(A). Khi đó:
rk(z) = rk(Rn , z) = dim(Rn ) − dimz = n − dimz = codimz.

11


Chương 2
Đa thức đặc trưng
Trong chương này ta sẽ trình bày các bất biến tổ hợp của các sắp xếp
siêu phẳng. Cụ thể hơn với mỗi Poset ta sẽ đi định nghĩa các khái
niệm mới là hàm M¨
obius và đa thức đặc trưng.

2.1

Đa thức đặc trưng

Một tập sắp thứ tự bộ phận (poset) P là hữu hạn địa phương nếu mỗi
khoảng [x, y] gồm hữu hạn phần tử. Kí hiệu Int(P) là tập tất cả các
khoảng của P. Với mỗi hàm f: Int(P) −→ Z ta viết f (x, y) = f ([x, y]).
sau đây ta sẽ định nghĩa một bất biến cơ bản của các poset hữu hạn
đó là hàm M¨

obius.
Định nghĩa 2.1. Cho P là một poset hữu hạn địa phương.
Hàm µ : Int(P) −→ Z gọi là hàm M¨
obius của P nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
µ(x, x) = 1, ∀x ∈ P,
µ(x, y) = −

µ(x, z).
x≤z
12

(2.1)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

điều kiện (2.1) cũng có thể được viết:
µ(x, z) = 0, ∀x < y; x, y ∈ P.
x≤z≤y

Nếu P có phần tử nhỏ nhất duy nhất là ˆ0 thì µ(x) := µ(ˆ0, x).
Ví dụ 2.1.1. Cho A là sắp xếp các siêu phẳng H1 : x=0; H2 : y=0
trong R2 .
Ta có: L(A) = H1 , H2 , O, R2 ,với O là gốc tọa độ.
µ(H1 ) = µ(R2 , H1 )
µ(R2 , z)

=−
R2 ≤z
= −µ(R2 )
= −1.
µ(O) = µ(R2 , O)
µ(R2 , z)

=−
R2 ≤z
= −µ(R2 ) − µ(R2 , H1 ) − µ(R2 , H2 )
= −1 + 1 + 1 = 1.
Tiếp theo, ta trình bày một ứng dụng quan trọng của hàm M¨
obius
đó là công thức nghịch đảo M¨
obius:
Cho J(P) = J(P,K) là kí hiệu không gian véctơ của tất cả các hàm
f: IntP −→ K.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Cho f, g ∈ J(P ) định nghĩa tích f g ∈ J(P ) bởi:
f.g(x, y) =

f (x, z)g(z, y).
x≤z≤y

Dễ dàng thấy rằng tích này làm cho J(P) trở thành một Q-đại số
kết hợp với đồng nhất thức nhóm nhân σ cho bởi:

σ(x, y) =



1

nếu x = y


0

nếu x
Định nghĩa hàm zeta ζ ∈ J(P ) của P bởi ζ(x, y) = 1 ∀x ≤ y với
x, y ∈ P. Mặt khác, hàm M¨
obius µ là 1 phần tử của J(P)và từ định
nghĩa 2.1 ta có quan hệ µζ = σ trong J(P). Do đó µ = ζ −1 .
Định lý 2.1. Cho P là 1 poset hữu hạn với hàm M¨
obius µ và cho
f, g : P −→ K. Khi đó 2 điều kiện sau là tương đương:
g(y), ∀x ∈ P,

f (x) =

y≥x

µ(x, y)f (y), ∀x ∈ P.

g(x) =
y≥x

Chứng minh. Tập K p của tất cả các hàm P −→ K tạo thành 1 không
gian véctơ trên đó J(P) đóng vai trò như một đại số biến đổi tuyến
tính cho bởi:
(ζg)(x) =

ζ(x, y)g(y).
y≥x

hay
g(y).

(ζg)(x) =
y≥x

14

(2.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Mặt khác, ζg = f ⇔ g = µf.
Từ đây và đẳng thức 2.2 ta có:
g(y), ∀x ∈ P.

f (x) =
y≥x

Tương đương
µ(x, y)f (y), ∀x ∈ P.

g(x) =
y≥x

Định nghĩa 2.2. Đa thức đặc trưng χA (t) của một sắp xếp A được
định nghĩa bởi:
µ(x)tdimx .

χA (t) =
x∈L(A)

Ví dụ 2.1.2. Tìm đa thức đặc trưng của sắp xếp trong ví dụ 2.1.1:
Ta có: µ(R2 )=1, µ(H1 ) = µ(H2 ) = −1, µ(O) = 1.
Do đó:
χA (t) = t2 − 2t + 1.

2.2

Tính chất của Poset

Cho A là một sắp xếp trong không gian véctơ Rn .

Một sắp xếp con của A là 1 tập B ⊆ A. Do đó B cũng là một sắp
xếp trong Rn .
Với mỗi x ∈ L(A), định nghĩa:
Ax = {H ∈ A : x ⊆ H} ,
Ax = {x ∩ H = ∅ : H ∈ A − Ax } .
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Chọn H0 ∈ A, A = A − {H0 } và A” = AH0 .
Ta gọi (A, A , A”) là bộ ba sắp xếp với siêu phẳng được đánh dấu H0 .

Hình 2.1: Bộ ba sắp xếp siêu phẳng

Bổ đề 2.1. Cho (A, A , A”) là bộ ba sắp xếp với siêu phẳng được đánh
dấu H0 . Khi đó:
r(A) = r(A ) + r(A”).
Chứng minh. Dễ dàng thấy, số miền r(A) bằng số miền r(A ) cộng với
số miền của A bị cắt bởi H0 .
Cho R’ là miền của A bị H0 cắt thành 2 miền, thì ta luôn có
R ∩ H0 ∈ R(A”).
Ngược lại, gọi R" là 1 miền của A”. Khi đó các điểm thuộc 2 phía
của R" thuộc cùng 1 miền A và bị cắt bởi H0 .
Như vậy số miền của A bị chia thành 2 miền bởi H0 bằng đúng số
miền của A”.
Vậy,
r(A) = r(A ) + r(A”).

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Ví dụ 2.2.1. Tính số miền của sắp xếp A ở hình 2.1.
r(A) = r(A ) + r(A”) = 10 + 3 = 13.
Định nghĩa 2.3. Cho P là một poset và x, y ∈ P.
Một cận trên của x và y là một phần tử z ∈ P sao cho x ≤ z, y ≤ z.
Một cận trên đúng của x và y kí hiệu là x ∨ y là một cận trên z của x
và y thỏa mãn mọi cận trên z’ của x và y thì z ≤ z .
Một cận dưới của x và y là một phần tử z ∈ P sao cho, z ∈ x,
z ∈ y.
Một cận dưới đúng của x và y kí hiệu là x ∧ y là một cận dưới của z
thỏa mãn mọi cận dưới z’ của x và y thì z ≥ z .
Định lý 2.2. Một lưới là một poset P sao cho bất kì hai phần tử của
P đều có cận trên đúng và cận dưới đúng.
Một nửa lưới dưới là một poset P sao cho bất kì hai phần tử nào
của P đều có cận dưới đúng.
Một nửa lưới trên là một poset P sao cho bất kì hai phần tử nào
của P đều có cận trên đúng.
Bổ đề 2.2. Một nửa lưới dưới hữu hạn P chứa phần tử lớn nhất duy
nhất ˆ1 là một "lưới".
Chứng minh. Ta cần chứng minh bất kì 2 phần tử x, y ∈ P thì x ∨ y
tồn tại.
Thật vậy,
Vì ˆ1 là một cận trên của x và y nên x, y có ít nhất một cận trên.
17

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Ta đi chứng minh
x∨y =

z.
z≥x
z≥y

Ta có:
z = (z1 ∧ z2 ) ∧ z3 ∧ ..... ∧ zm .
z≥x
z≥y

Vì zi ≥ x, i = 1, m và zi là các cận trên của x và y nên:
z = z0 ≥ x.
z≥x
z≥y

Tương tự, ta cũng có z0 ≥ y.

Do đó, z0 là một cận trên của x và y.
Mặt khác, cho z’ là một cận trên của x và y thì z ≥ x và z ≥ y.
Khi đó
z ∧z .

z0 =
z≥x
z≥y,z=z

Do đó, z0 ≤ z . Nên z0 là cận trên đúng của x và y.
Vậy P là 1 lưới.
Mệnh đề 2.1. Cho A là một sắp xếp siêu phẳng trong không gian Rn .
Khi đó L(A) là 1 "nửa lưới dưới". Nói riêng, mỗi khoảng [x,y] đều là
một lưới. Hơn nữa, L(A) là một lưới khi và chỉ khi L(A) là một sắp
xếp tâm.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Chứng minh. i) Cho x, y ∈ L(A). Đặt
P = {z ∈ L(A) : z ≤ x, z ≤ y} .
Vì Rn ∈ P nên P = ∅.
Đặt
z0 =

z.

z=
z⊇x
z⊇y

z∈P

Do z ⊇ x và z ⊇ y nên z0 ⊇ x, z0 ⊇ y hay z0 = ∅. Tức là z0 ∈ L(A).
Tương tự bổ đề trên ta chứng minh z0 = x ∧ y.
Ta có z0 ⊇ x, z0 ⊇ y hay z0 ≤ x, z0 ≤ y nên z0 là 1 cận dưới của x và
y.
Mặt khác, cho z ∈ L(A) sao cho z ≤ x, z ≤ y thì z ⊇ x, z ⊇ y.
Khi đó
z0 = z

z .
z∈P
z=z

Vì vậy, z ⊇ z0 hay z ≤ z0 . Suy ra, z0 là cận dưới đúng của x, y.
Vậy L(A) là một nửa lưới dưới.
ii) Ta có [x, y] là 1 poset hữu hạn và có 1 phần tử lớn nhất là y.
Cần chứng minh [x, y] là một "nửa lưới dưới". Khi đó theo bổ đề
2.2 [x, y] là 1 lưới.
Thật vậy,
Cho z1 , z2 ∈ [x, y] ⊂ L(A) thì luôn tồn tại z1 ∧ z2 ∈ L(A). Ta đi
chứng minh z1 ∧ z2 ∈ [x, y].
Dễ thấy: z1 ∧ z2 ≤ z1 ≤ y.
Hơn nữa, vì x ≤ z1 , x ≤ z2 nên x là 1 cận dưới của z1 và z2 .
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trương Thị Mỹ Linh

Vậy x ≤ z1 ∧ z2 .
iii,Chứng minh L(A) là một lưới khi và chỉ khi A là tâm.
Giả sử A là sắp xếp tâm thì trong L(A) tồn tại phần tử lớn nhất:

ˆ1 =

∈ L(A).
H⊂A

Theo bổ đề 2.2, L(A) là một lưới.
Ngược lại, nếu L(A) là một lưới.
Thì ta có:
H = ∅.

H=
H∈A

H∈A

Vậy A là sắp xếp tâm.

Định nghĩa 2.4. Cho L là một lưới hữu hạn. Kí hiệu C(L) là 1 không
gian vectơ trên trường C sinh bởi L.
Tức là:
Cl l, Cl ∈ L .

C(L) =
l∈L

C(L) với phép cộng hệ số và phép nhân vô hướng lập thành không
gian vectơ.
Trên C(L) ta định nghĩa phép nhân như sau:
Với mọi σ1 , σ2 ∈ C(L):
σ1 =

Cl l,
l∈L

σ2 =

dk k.
k∈L

20