BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Minh Ngọc

MẶT KẺ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ MINH NGỌC

Mặt Kẻ

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thạc Dũng

Hà Nội – Năm 2017

1

Lời cảm ơn
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận
được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thây cô trong tổ Hình
học nói riêng và khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói
chung cùng với sự hỗ trợ, giúp đỡ của các bạn sinh viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ tôi trong
bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận
này.
Đặc biệt tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.
Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình thực hiện khóa luận này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên những vấn đề trình
bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất
mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên
để khóa luận của tôi có thể hoàn thiện hơn nữa .
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2017
Sinh viên

TRẦN THỊ MINH NGỌC


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trần Thị Minh Ngọc

Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của tôi, được hình thành dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Thạc Dũng cùng với đó là sự cố gắng
của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các tác giả khác, đặc biệt là của A. Gray
trong tài liệu [1], với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng bản thân dựa trên tài liệu tham khảo [1], không
có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2017
Sinh viên

TRẦN THỊ MINH NGỌC

i


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức cơ sở về mặt trong E3

4


1.1

Mảnh tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mảnh hình học và đa tạp hai chiều trong E3 . . . . . .

8

1.3

Ánh xạ Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Công thức Frenet, độ xoắn của cung . . . . . . . . . .

16

2 Mặt kẻ và độ cong của mặt kẻ

20

2.1


Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Độ cong của mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Mặt trải tiếp xúc

38

4 Mặt kẻ không trụ

49

Tài liệu tham khảo

62

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc


Lời mở đầu
Trong hình học vi phân, khi đề cập đến mặt trong không gian thì
mặt kẻ được đề cập khá nhiều. Mặt kẻ đã được nghiên cứu trong nhiều
thế kỷ qua bởi các nhà hình học như Jesuit Roger Boscovich và Andre
Tacquet cũng như các sinh viên nổi tiếng của họ như Gaspar Monge
và Phillippe de Lahire. Mặt kẻ được sử dụng nhiều trong kiến trúc
xây dựng, chúng ta có thể bắt gặp hình ảnh của nó trong những đồ
dùng quen thuộc xung quanh như chiếc nón, các sản phẩm mây tre
đan, chiếc đinh ốc...
Trong khóa luận này đã trình bày một cách có hệ thống các khái
niệm và tính chất của mặt kẻ và mặt trải tiếp xúc. Kết quả quan trọng
nhất của khóa luận là trình bày định lý phân loại các mặt kẻ phẳng.
Ngoài ra chúng tôi đi sâu tìm hiểu về đường thắt của mặt kẻ và tính
chất của nó. Khóa luận đã bổ sung và chứng minh một số mệnh đề mà
các tài liệu khác chưa chứng minh, khóa luận cũng đã đưa ra được cách
chứng minh khác cho một số mệnh đề mà tài liệu khác có đề cập. Nội
dung của Khóa luận được trình bày chủ yếu dựa vào cuốn sách chuyên
khảo "Mordern Differential Geometry of Curvers and Surfaces" của
A. Gray (xem [1]).
Khóa luận này gồm 5 chương.
Chương 1 "Kiến thức cơ sở về mặt trong E 3 " trình bày một số kiến
thức cơ bản về lý thuyết mặt chính quy trong không gian Euclid ba
chiều E3 .
Chương 2 "Mặt kẻ và độ cong của mặt kẻ" trình bày định nghĩa
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc


mặt kẻ và xem xét các ví dụ của mặt kẻ. Bên cạnh đó, chương này
chủ yếu dùng nghiên cứu độ cong của mặt kẻ và tính chất của một số
mặt kẻ có độ cong Gauss bằng 0. Trong hai chương còn lại, chúng tôi
sẽ trình bày hai mặt kẻ đặc biệt là mặt trải tiếp xúc và mặt kẻ không
trụ.
Chương 4 "Mặt trải tiếp xúc" trình bày tính chất cơ bản của mặt
trải tiếp xúc.
Chương 5 "Mặt kẻ không trụ" đưa ra định nghĩa của mặt kẻ không
trụ , đường thắt của mặt kẻ, nghiên cứu tính chất của đường thắt và
xem xét một số ví dụ .
Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
vào tháng 4 năm 2017 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thạc Dũng.
Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc và kính trọng tới thầy
giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình chỉ bảo tôi trong
quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học nói
riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoa Toán trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2 nói chung đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận.
Mặc dù tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế về năng lực và
khả năng tự nghiên cứu của bản thân nên khóa luân không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn xem xét
và góp ý để khóa luận này được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 23/04/2017
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trần Thị Minh Ngọc

Sinh viên

Trần Thị Minh Ngọc

3


Chương 1
Kiến thức cơ sở về mặt trong E3
Xuyên suốt trong toàn bộ khóa luận này chúng tôi sử dụng ký hiệu E3
để chỉ không gian Euclid ba chiều, tức là không gian vectơ R3 với tích
vô hướng chuẩn tắc. Trong chương này, chúng tôi sẽ hệ thống lại các
khái niệm cơ bản về lý thuyết mặt trong không gian E3 . Trước hết,
chúng tôi trình bày về mảnh tham số, sau đó chúng tôi giới thiệu các
khái niệm mảnh hình học, đặc biệt chúng tôi trình bày khái niệm đa
tạp hai chiều trong E3 và khái niệm ánh xạ tiếp xúc. Chúng tôi cũng
nhắc lại khái niệm dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai và ánh
xạ Weingarten. Để thuận tiện cho việc tính toán trên mặt kẻ và mặt
trải những đối tượng chính trong khóa luận này, chúng tôi cũng nhắc
lại công thức tính đô cong Gauss, độ cong trung bình, trường mục tiêu
Frenet và công thức tính độ xoắn.

1.1

Mảnh tham số

Trong mục này chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan

đến mặt tham số bao gồm khái niệm mặt tham số, đường tọa độ, điểm

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

chính quy, điểm kỳ dị, pháp tuyến, tiếp diện và mảnh cong trong E3 .
Trước hết, ta có khái niệm mặt tham số.
Định nghĩa 1.1. Ánh xạ liên tục r từ một tập mở U trong R2 vào
không gian E3
r : U −→ E3
(u, v) −→ r(u, v)
được gọi là một mảnh tham số trong E3 . Tùy theo các đối tượng nghiên
cứu, mà sau này ta có thể giả thiết về cấp khả vi của r.
Cho một mảnh tham số r : U → E3 , chúng ta có khái niệm đường
tọa độ như sau.
Giả sử điểm (u0 , v0 ) ∈ U , gọi I là một khoảng mở trong R sao cho
u0 ∈ I, (u, v0 ) ⊂ U,

∀u ∈ J.

Khi đó, ánh xạ u −→ r(u, v0 ) ∈ E3 được gọi là một đường tọa độ
v = v0 . Ở đây u thay đổi trong khoảng I ⊂ R.
Tương tự, cung tham số v −→ r(u0 , v) ∈ E3 gọi là đường tọa độ
u = u0 . Trong đó, v thay đổi trong khoảng mở J ⊂ R sao cho
v0 ∈ J, (u0 , v) ⊂ U,


∀v ∈ J.

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại khái niệm điểm chính quy và điểm kỳ
dị đối với mặt mảnh tham số trơn. Giả sử rằng r là mảnh tham số
khả vi liên tục, tức là các hàm tọa độ của r là các hàm khả vi liên tục
trong U .
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Định nghĩa 1.2. Điểm (u0 , v0 ) được gọi là một điểm chính quy của
mảnh tham số r nếu hệ hai vectơ
ru (u0 , v0 ) , rv (u0 , v0 )
là độc lập tuyến tính. Những điểm không chính quy thì được gọi là
điểm kì dị.
Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu ánh xạ r là ánh xạ khả vi liên
tục và mọi điểm của nó là điểm chính quy.
Ví dụ 1.1.1. Cho cơ sở trực chuẩn

−
→
− →
− →
i; j;k

của E3 và điểm O ∈


E3 . Cho mảnh tham số r : R2 −→ E3 xác định bởi
−−→
→
−
r(u, v) = O + R cos v e(u) + R sin v k
−−→
→
−
→
−
trong đó R là một hằng số dương, e(u) = cos u i + sin v j , có ảnh là
mặt cầu tâm O, bán kính R, mảnh tham số r có các điểm
u,

π
+ π ; ∈Z
2

là điểm kỳ dị bởi vì tại các điểm này ta có ru = 0.
Với u0 ∈ R cố định, đường tọa độ u = u0 là đường kinh tuyến,
đường tọa độ v = v0 (với v0 ∈ R cố định) là đường vĩ tuyến của mặt
cầu.
Một trong những khái niệm trung tâm của lý thuyết mặt tham số
là khái niệm tiếp diện và pháp tuyến. Ta có định nghĩa của tiếp diện
như sau.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trần Thị Minh Ngọc

Định nghĩa 1.3. Cho r là một mặt tham số khả vi liên tục. Giả sử
(u0 , v0 ) là điểm chính quy của mảnh tham số r. Khi đó, mặt phẳng
trong E3 đi qua r (u0 , v0 ) với không gian vectơ chỉ phương
→
−r (u , v ) , →
−r (u , v )
0 0
0 0
u
v
được gọi là là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện.
Đường thẳng đi qua điểm r (u0 , v0 ) vuông góc với tiếp diện tại
r (u0 , v0 ) được gọi là pháp tuyến của r tại r (u0 , v0 ).
Cuối cùng, ta nhắc lại khái niệm mảnh cong trong E3 và pháp tuyến
của mảnh cong.
Trong E3 cho hai mảnh tham số khả vi liên tục
r1 : U1 −→ E3 và r2 : U2 −→ E3
Ta nói hai mảnh r1 và r2 là tương đương nếu có một vi phôi
λ : U1 −→ U2
sao cho r1 = r2 ◦ λ. Nếu hai mảnh tham số r1 , r2 là tương đương thì ta
kí hiệu r1 ∼ r2 .
Rõ ràng, ∼ lập thành một quan hệ tương đương. Cho r là một
mảnh tham số khả vi liên tục, kí hiệu,
[r] = {r2 : r2 ∼ r} .
Khi đó, mỗi lớp tương đương [r] được gọi là một mảnh trong E3 và r
là một tham số hóa của mảnh.
7



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Cho một mảnh với tham số hóa r, với mỗi (u, v) ∈ U , đặt
n(u, v) =

ru (u, v) ∧ rv (u, v)
ru (u, v) ∧ rv (u, v)

Dễ thấy n(u, v) là một vectơ pháp tuyến của mảnh r tại r(u, v). Hơn
nữa, ta có n(u, v) = 1 và n được gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn
vị của mảnh tương ứng với tham số hóa r.
Lưu ý là, tại điểm kỳ dị, mặt phẳng tiếp xúc không xác định và
không xác định được pháp tuyến của mảnh r.

1.2

Mảnh hình học và đa tạp hai chiều trong E3

Trong phần này, ta sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản về mảnh hình
học và đa tạp hai chiều trong E3 . Khái niệm trọng tâm trong phần
này là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều và ánh xạ tiếp xúc. Ta
bắt đầu với khái niệm mảnh hình học.
Định nghĩa 1.4. Tập con S của E3 được gọi là mảnh hình học trong
E3 nếu S là ảnh của mảnh tham số khả vi liên tục r : U −→ E3 , sao
cho với mọi (u0 , v0 ) ∈ U , ta có
ru (u0 , v0 ) , rv (u0 , v0 )
độc lập tuyến tính và ánh xạ r là một đồng phôi từ U lên ảnh S = r(U ).

Nếu S là một mảnh hình học thì ánh xạ r như trên được gọi là một
tham số hóa của mảnh hình học S.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Ví dụ 1.2.1. Lấy hệ tọa độ affine (x1 , x2 , x3 ) của E3 và xét ánh xạ
r : U → E3
xác định bởi
(u, v) −→ r(u, v) = (u, v, x3 (u, v))
trong đó U là một tập mở trong R2 và (u, v) −→ x3 (u, v) là một hàm
số khả vi liên tục cho trước trên U .
Rõ ràng r là một ánh xạ khả vi liên tục. Dễ thấy
ru = (1, 0, (x3 )u ), rv = (1, 0, (x3 )v ).
Do vậy, ru (u0 , v0 ) , rv (u0 , v0 ) là độc lập tuyến tính vì với mọi (u0 , v0 ) ∈
U . Theo định nghĩa của r, ta thấy r là một đơn ánh. Hơn nữa, ánh xạ
ngược r−1 : r(U ) −→ U là ánh xạ liên tục vì nếu hai điểm (u1 ; v1 , x3 (u1 ; v1 ))
và (u2 ; v2 , x3 (u2 ; v2 )) gần nhau trong E3 thì u1 ; u2 cũng như v1 ; v2 phải
gần nhau trong U .
Do vậy r(u, v) là một mảnh hình học trong E3 .
Lưu ý rằng r(u, v) chính là đồ thị của hàm số khả vi liên tục (u, v) →
x3 (u, v) trong E3 . Do vậy, ta có nhận xét đồ thị của một hàm số khả
vi liên tục là một mảnh hình học.
Cho S là một mảnh hình học với tham số hóa r và p = r(u0 , v0 ) ∈ S.
−
Gọi Π là mặt phẳng tiếp xúc với S tại p. Giả sử α = (p, →

α ) ∈ Π là
p

p

p

một vectơ có gốc tại p và α ∈ Πp . Khi đó, tồn tại a, b ∈ R sao cho
α = aru (u0 , v0 ) + brv (u0 , v0 ).
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Xét đường cong γ : I = (− , ) → S xác định bởi
γ(t) = r(u0 + at, v0 + bt)
trong đó t ∈ I thỏa mãn (u0 + at, v0 + bt) ⊂ U . Khi đó, dễ thấy
γ(0) = p,

−
γ (0) = →
α.

Người ta chứng minh được tập hợp {αp } lập thành một không gian
vectơ trên R. Không gian này được kí hiệu là Tp S
Định nghĩa 1.5 (Không gian tiếp xúc trên mảnh hình học). Không
gian Tp S được gọi là không gian tiếp xúc hình học của S tại p. Mỗi
vectơ αp được gọi là một vectơ tiếp xúc hình học của S tại p.

Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa đa tạp - khái niệm trọng tâm
trong lý thuyết mặt trong E3 .
Định nghĩa 1.6 (Đa tạp hai chiều trong E3 ). Tập con không rỗng S
của E3 gọi là môt đa tạp hai chiều trong E3 nếu mỗi p ∈ S có lân cận
mở (của p trong S) là một mảnh hình học. Mỗi tham số hóa của mảnh
hình học này gọi là một tham số hóa địa phương của S.
Ta đưa ra một ví dụ về đa tạp hai chiều.
Ví dụ 1.2.2. Cho S là mặt cầu trong E3 với tâm O, bán kính R > 0,
−
→
S = p ∈ E3 sao cho Op = R
Khi đó, S là một đa tạp hai chiều vì nó là hợp của 6 mảnh hình học

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

là đồ thị của các hàm số
(x, y) −→ ±

R 2 − x2 − y 2 ,

(y, z) −→ ±

R2 − y 2 − z 2 ,

(z, x) −→ ±


R 2 − z 2 − x2 .

Trong phần còn lại, chúng ta nhắc lại khái niệm ánh xạ khả vi và
ánh xạ tiếp xúc trên các đa tạp.
Định nghĩa 1.7 (Ánh xạ khả vi giữa các mặt). Cho S1 , S2 là hai đa
tạp hai chiều trong E3 . Ánh xạ f : S1 −→ S2 được gọi là khả vi nếu f
liên tục và với mọi tham số hóa địa phương
r1 : U1 −→ S1 ;

r2 : U2 −→ S2

mà f (r1 (U1 )) ⊂ r2 (U2 ) thì ánh xạ r−1
2 ◦ f ◦ r1 : U1 −→ U2 là khả vi.
Để minh họa khái niệm này, chúng ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.3. Cho S là đa tạp hai chiều trong E3 . Khi đó, ánh xạ đồng
nhất idS : S → S là ánh xạ khả vi.
Cuối cùng, ta giới thiệu khái niệm ánh xạ tiếp xúc.
Định nghĩa 1.8. Cho S1 , S2 là đa tạp hai chiều trong E3 , và cho
f : S1 −→ S2 là ánh xạ khả vi. Khi đó, f cảm sinh một ánh xạ Tp f :
−
T S −→ T S được xác định như sau. Với mỗi α ∈ T S , α = (p, →
α ),
p 1

p 2

p

−

−
giả sử γ : J −→ S1 mà γ(t0 ) = p; →
γ (t0 ) = →
α thì
Tp f (αp ) = (f.ρ) (t0 ).
11

p 1

p


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

Trần Thị Minh Ngọc

Ánh xạ Weingarten

Trong phần này, ta sẽ nhắc lại khái niệm cơ bản bao gồm ánh xạ hình
dạng Weingarten, độ cong Gauss, độ cong trung bình, dạng cơ bản
thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai của mặt cong khả vi liên tục. Bên cạnh
đó, chúng tôi cũng nhắc lại công thức tính độ cong Gauss và độ cong
trung bình theo các thành phần của dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ
bản thứ hai.
Trước hết, ta định nghĩa ánh xạ hình dạng Weingarten.
S là một đa tạp hai chiều trong E3 (thường gọi là mặt trong E3 ) có
hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n trên S. Chú ý
rằng, với mọi α ∈ Tp S, do n


2

= 1, ta có

Dα n, n = 0
nên Dα n ∈ Tp S. Ở đây Dα n là đạo hàm hiệp biến của n theo hướng
α xác định bởi nếu γ : (− , ) → S sao cho γ(0) = p, γ (0) = α thì
Dα n =

d
(n ◦ α(t))
dt

.
t=0

Định nghĩa 1.9. Ánh xạ
hp : Tp S −→ Tp S
α −→ hp (α) = −Dα n
được gọi là ánh xạ Weingarten tại p.
Rõ ràng hp là một tự đồng cấu tuyến tính của Tp S. Khi p thay đổi,

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc


ta dùng ký hiệu chung cho các hp đó là h (ánh xạ h được gọi là ánh
xạ hình dạng).
Các giá trị riêng k1 , k2 của hp được gọi là các độ cong chính của S
tại p và các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng được gọi là phương
chính của S tại p.
Định nghĩa 1.10 (Độ cong Gauss và độ cong chính). Giả sử ma trận
của ánh xạ hp là Ap . Khi đó, giá trị
Kp = k1 .k2 = |Ap |
được gọi là độ cong Gauss của S tại p. Giá trị
Hp =

k1 + k2
T race(Ap )
=
2
2

được gọi là độ cong trung bình của S tại p.
Với mỗi p ∈ S, có hai phương chính ứng với hai độ cong chính
k1 , k2 .
• Nếu k1 (p) = k2 (p) thì p được gọi là điểm rốn.
• Nếu k1 (p) = k2 (p) = 0 thì p được gọi là điểm rốn dẹt.
• Nếu k1 (p) = k2 (p) = 0 thì p được gọi là điểm rốn cầu.
Tiếp theo ta trình khái niệm dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ
hai và mối liên hệ của chúng với các độ cong Gauss và độ cong trung
bình.
Định nghĩa 1.11 (Các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của mặt S).
13



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Với mỗi điểm p ∈ S, ta gọi
Ip : Tp S × Tp S −→ R
(α, β) −→ α.β = α, β
IIp : Tp S × Tp S −→ R
(α, β) −→ hp (α).β
lần lượt là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p. Dễ thấy các
ánh xạ này đều là các dạng song tuyến tính đối xứng.
Các dạng toàn phương tương ứng được ký hiệu là
Ip (α, α) = Ip (α),

IIp (α, α) = IIp (α).

Trong tham số hóa địa phương (u, v) ∈ U −→ r(u, v) của S, ta xét
các hàm số trên U xác định như sau
−r .→
−
→
− →
−
→
− →
−
E=→
u r u ; F = r u. r v ; G = r v . r v
−−−−→
−−−−→ →

−r
−
”
L = (n ◦ r). r uu = −(n ◦ r)u .→
u
−−−−→
−−−−→ →
−r
M = (n ◦ r).−r ”uv = −(n ◦ r)u .→
v
−−−−→
−−−−→ →
−r
N = (n ◦ r).−r ”vv = −(n ◦ r)v .→
v
Ở đây, n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định hướng của S.
Khi tham số hóa r tương thích với hướng của S thì các hàm số
E, F, G được gọi là các hệ số cơ bản của trong hệ tọa độ địa phương
của dạng cơ bản thứ nhất I, còn các đại lượng L, M, N được gọi là
các hệ số cơ bản trong hệ tọa độ địa phương của dạng cơ bản thứ hai
II.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Với các khái niệm trên, độ cong Gauss và độ cong trung bình được

tính như sau.
Định lý 1.1. Cho S là mặt cong khả vi liên tục định hướng được với
tham số hóa r như trên và p = r(u, v) ∈ S. Khi đó, độ cong Gauss
được tính bởi
LN − M 2
(u, v).
K(p) =
EG − F 2
Hơn nữa, dộ cong trung bình được xác định bởi
H(p) =

EN + GL − 2F M
(u, v).
2(EG − F 2 )

Ví dụ 1.3.1. Cho S xác định bởi tham số hóa
(x, y) ∈ U −→ r(x, y) = (x, y, f (x, y))
trong tọa độ Đề các vuông góc (x, y, z) của E3 , với f (x, y) là hàm khả
vi liên tục trên U . Ta có,
→
−r = (1, 0, f ),
x
x

→
−r = (0, 1, f ),
y
y

do đó, ta nhận được

E = 1 + fx2 ,

F = fx fy ,

G = 1 + fy2 .

Mặt khác, ta tính được
→
−r = (0, 0, f ),
xx
xx

→
−r = (0, 0, f ),
yx
yx

15

→
−r = (0, 0, f ).
yy
yy


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Điều này dẫn tới,

L=

fxx
1 + fx2 + fy2

fxy

,M =

,N =

1 + fx2 + fy2

fyy
1 + fx2 + fy2

Từ đó, ta tính được các độ cong Gauss và độ cong trung bình như sau
fxx fyy − fxy2
K=
(1 + fx2 + fy2 )2
fyy (1 + fx2 + fxx (1 + fy2 − 2fx .fy .fxy ))
.
H=
2(1 + fx2 + fy2 )2

1.4

Công thức Frenet, độ xoắn của cung

Trong phần này, chúng ta đề cập đến trường mục tiêu Frenet, công

thức Frenet, định nghĩa độ xoắn của cung trơn và công thức tính độ
xoắn.
Trước hết, ta nhắc lại hai khái niệm cơ bản, trường vectơ pháp
tuyến tính và trường vectơ trùng pháp tuyến chính.
(a) Trường vectơ pháp tuyến chính. Cho γ là tham số chuẩn của
một cung song chính quy trong E3 . Gọi T là trường vectơ tiếp
xúc đơn vị dọc theo γ. Khi đó
DT
= 0, ∀s.
ds
Ở đây s là tham số độ dài cung. Trường vectơ đơn vị N cho bởi
DT
N = ds
DT
ds
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

được gọi là trường vectơ pháp tuyến chính dọc γ.
(b) Trường vectơ trùng pháp tuyến. Cho γ là cung song chính
quy định hướng trong E3 , T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc
γ, N là trường vectơ pháp tuyến chính dọc γ. Trường vectơ đơn
vị dọc theo γ xác định bởi B = T ∧ N được gọi là trường vectơ
trùng pháp tuyến chính.
Với các khái niệm trên, ta có định nghĩa của trường mục tiêu Frenet.
Định nghĩa 1.12. Bộ ba {T, N, B} gồm ba trường vectơ đơn vị dọc

cung song chính quy định hướng γ được gọi là trường mục tiêu Frenet
dọc γ.
Định lý 1.2. Trường mục tiêu Frenet liên hệ với nhau bởi hệ thức

DT



= κN


 ds
DN
= −κT + τ B

ds




 DB = −τ N
ds
Định nghĩa 1.13 (Độ cong, độ xoắn của cung). Cho γ là cung song
chính quy định hướng trong E3 và {T, N, B} là trường mục tiêu Frenet.
Ta gọi số κ(s), τ (s) trong hệ thức Frenet lần lượt là là độ cong và độ
xoắn của γ tại s.
Chúng ta sẽ kết thúc mục này bằng cách đưa ra công thức tính độ
xoắn.
Trước hết, xét cung song chính quy γ có tham số hóa ρ : J −→ E3 .
Mặt khác cung γ có thể tham số hóa bởi tham số tự nhiên là r : I −→

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

E3 . Ở đây I, J là các khoảng mở trong R, độ dài của I là độ dài cung
γ. Khi đó ta có thể xây dựng phép biến đổi tham số λ : J −→ I sao
cho
ρ = r ◦ λ.
Gọi {T, N, B} là trường mục tiêu Frenet dọc γ, coi nó là trường mục
tiêu dọc cung tham số r và coi độ cong, độ xoắn của γ là hàm số dọc
r, thì công thức Frenet cho ta công thức tính độ cong và công thức
tính độ xoắn lần lượt như sau
κ(s) = κ(λ(t)) =
τ (s) = τ (λ(t)) =

ρ (t) ∧ ρ” (t)
ρ (t) 3
ρ (t) ∧ ρ” (t) .ρ (t)
ρ (t) ∧ ρ” (t)

2

.

Ví dụ 1.4.1. Xét cung đinh ốc tròn trong E3 xác định bởi
−−→
→

−
t −→ ρ(t) = O + ae(t) + bt k ,
trong đó a, b là hằng số cho trước, a > 0, và
→
−
→
−
→
−
e (t) = (cos t) i + (sin t) j ,
ngoài ra

−
→
− →
− →
i, j,k

là một cơ sở trực chuẩn thuận của E3 . Ta tính

được
→
−
→
−
π
−
ρ (t) = a→
e (t + ) + b k
2

→
−
−
−
ρ (t) = a→
e (t + π) = −a→
e (t)
−
→
π
−
ρ (t) = −a→
e (t + )
2
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Ngọc

Do vậy
||ρ (t)|| =

a2 + b2 ,

||ρ (t) ∧ ρ (t)|| = a a2 + b2

và
→

− →
− −
→
( ρ ∧ ρ ).ρ = a2 b
Từ đó
κ(t) =

a
,
a2 + b2

τ (t) =

19

b
.
a2 + b2


Chương 2
Mặt kẻ và độ cong của mặt kẻ
Chương này gồm hai phần, trong phần đầu tiên, chúng tôi trình bày
khái niệm mặt kẻ và các ví dụ mặt kẻ. Tiếp sau đó, chúng tôi trình
bày về độ cong của mặt kẻ. Chúng tôi cũng chứng minh rằng nếu một
mặt kẻ là mặt trải tiếp xúc, mặt trụ hoặc là mặt nón thì nó là phẳng
(tức là mặt có độ cong Gauss bằng không).

2.1


Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa của mặt kẻ). Cho α, γ : U −→ E3 là
hai hàm vectơ khả vi liên tục, với U là một khoảng mở trong R. Giả
sử rằng α (t) = 0, γ(t) = 0 với mọi t ∈ U. Khi đó, mặt M trong E3 có
tham số hóa x : U −→ M dưới dạng:
x(u, v) = α(u) + vγ(u),

u ∈ U, v ∈ R

(2.1)

được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và γ.
Trong đó α được gọi là đường chuẩn (hay đường cơ sở) của mặt
kẻ và γ là đường cong chỉ hướng. Các đường thẳng đi qua α(u) và
20