BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Tạ Thị Ngọc

MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Tạ Thị Ngọc

MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thạc Dũng

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập trong khoa toán trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2, được sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của thầy cô giáo, tôi đã
tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm, và phương pháp học
tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo khoa
Toán, đặc biệt là tôi xin cảm ơn thầy giáo TS.Nguyễn Thạc Dũng là
người trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và đóng góp những ý kiến
quý báu trong thời gian thực hiện khóa luận này.
Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên
khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của
quý thầy cô và các bạn sinh viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 26/04/2017
Tác giả khóa luận

Tạ Thị Ngọc


Lời cam đoan
Khoá luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn,
chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo TS.Nguyễn Thạc Dũng cùng với sự
cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu
với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề tài "Mặt trong

không gian Euclid" không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 26/04/2017
Tác giả khóa luận

Tạ Thị Ngọc


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Mảnh trong Rn

4

1.1

Mảnh trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Định nghĩa vectơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . .

15


1.3

Vectơ pháp tuyến và trường vectơ . . . . . . . . . . . .

17

2 Mảnh chính quy trong R3 và ánh xạ Gauss địa phương 18
2.1

Ánh xạ Gauss địa phương . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Mặt chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Một số ví dụ về mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.1

Định nghĩa mảnh Monge . . . . . . . . . . . . .


30

2.3.2

Paraboloids và mặt Monkey Saddles

. . . . . .

31

2.3.3

Hình xuyến elliptic . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.4

Các mảnh kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3 Vectơ tiếp xúc và ánh xạ khả vi trên các mặt

38

3.1

Vectơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


38

3.2

Ánh xạ khả vi trên các mặt chính quy . . . . . . . . .

40

3.3

Các mặt mức trong R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

3.3.1

Mặt ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.2

Mặt hyperboloids . . . . . . . . . . . . . . . . .


49

3.3.3

Các mặt bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

Lời mở đầu
Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp Euclide đã tiến hành
nghiên cứu các quan hệ về khoảng cách và góc, trước hết trong mặt
phẳng và sau đó là trong không gian. Một trong các ví dụ về các quan
hệ 2 loại này là: tổng các góc trong một tam giác là 180 độ. Ngày nay
các quan hệ này được biết dưới tên gọi là hình học Euclid hai hoặc ba

chiều.
Trong ngôn ngữ của toán học hiện đại, khoảng cách và góc đã được
tổng quát cho các không gian 4 chiều, 5 chiều và nhiều chiều hơn. Một
không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách và góc thỏa mãn
các quan hệ Euclide được gọi là không gian Euclide n chiều.
Hiện nay, mặt trong không gian Euclid được rất nhiều các nhà toán
học quan tâm, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và trong
thực tiễn cuộc sống.
Trong khóa luận này, chúng tôi đã tập hợp nhiều nghiên cứu và
trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản của lý thuyết
mặt cong chính quy hay còn gọi là đa tạp hai chiều. Ngoài ra, chúng
tôi cũng chỉ ra một số ví dụ về mặt trong không gian Euclid. Nội
dung của Khóa luận được trình bày dựa theo cuốn sách tham khảo
[Gray 2015].
Khóa luận này gồm 3 chương.
Chương 1 "Mảnh trong Rn " trình bày một số khái niệm và
tính chất cơ bản của mảnh trong Rn như mảnh đơn ánh, mảnh chính
quy, ma trận Jacobian của một mảnh. Trong chương này, chúng tôi
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

cũng trình bày một cách hệ thống các khái niệm vectơ tiếp xúc, vectơ
pháp tuyến của mảnh, và các khái niệm về trường vectơ trên mảnh.
Chương 2 "Mảnh trong R3 và ánh xạ địa phương Gauss"
trình bày các kiến thức cơ bản về mặt chính quy, ánh xạ Gauss địa
phương. Nhiều tiêu chuẩn và phương pháp xây dựng mặt chính quy

được khảo sát chi tiết. Cuối cùng, trong chương này, chúng tôi giới
thiệu nhiều ví dụ về các mặt chính quy, chẳng hạn mặt parabolids,
mặt yên ngựa, mặt yên ngựa của chú khỉ, xuyến elliptic,...
Chương 3 "Vetơ tiếp xúc và ánh xạ khả vi trên các mặt"
trình bày định nghĩa một vectơ tiếp xúc với một mặt chính quy, định
nghĩa và một số ví dụ về ánh xạ khả vi trên các mặt. Toàn bộ chương
này có thể xem như là nhập môn thu gọn về lý thuyết mặt hay lý
thuyết đa tạp trơn hai chiều. Chương này kết thúc bằng khái niệm
mặt mức, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn để một mặt mức là một
mặt chính quy hai chiều. Nhiều ví dụ minh họa cũng được giới thiệu.
Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
26 vào tháng 4 năm 2017 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn
Thạc Dũng.
Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc và kính trọng tới thầy
giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình chỉ bảo tôi trong
quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học nói
riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoa Toán trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2 nói chung đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

Mặc dù tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế về năng lực và
khả năng tự nghiên cứu của bản thân nên khóa luận không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn xem xét

và góp ý để khóa luận này được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 26/04/2017
Tác giả khóa luận

Tạ Thị Ngọc

3


Chương 1
Mảnh trong Rn
Vì một đường cong trong Rn là một hàm vectơ giá trị một biến, bây
giờ ta sẽ xem xét hàm vectơ giá trị hai biến. Một đối tượng như vậy
được gọi là một mặt cong. Do đó, mặt cong có thể được xem như là
một tương tự hai chiều của đường cong. Trong chương mở đầu này,
chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết mặt. Đầu
tiên, chúng ta đưa ra định nghĩa chính xác về mảnh. Sau đó, chúng ta
lần lượt trình bày về mảnh chính quy, đường tọa độ, vectơ tiếp xúc.

1.1

Mảnh trong Rn

Định nghĩa 1.1. Một mảnh hoặc một mặt địa phương là một ánh xạ
khả vi
x : U −→ Rn
trong đó với U là một tập mở trong R2 .
Tổng quát hơn, nếu A là một tập con bất kỳ trong R2 , một ánh xạ
x : A −→ Rn được gọi là một mảnh nếu x có thể được mở rộng thành

một ánh xạ khả vi từ U vào Rn , với U là một tập mở chứa A. Chúng
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

ta gọi x(U ) (hay tổng quát hơn x(A)) là vết của x.
Lưu ý là về mặt lý thuyết một mảnh có thể định nghĩa trên một
tập bất kỳ nhưng thông thường chúng ta sử dụng miền xác định của
một mảnh là một tập mở hoặc cùng lắm là một hình chữ nhật đóng.
Chẳng hạn tham số hóa chuẩn tắc của hình cầu S(a) ⊂ R3 tâm tại
gốc tọa độ bán kính a > 0 có dạng
π π
S(a) : [0, 2π] × − ,
−→ R3
2 2
(u, v) −→ (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v).
Với phép chọn tham số này, u đo đường vĩ tuyến còn v đo đường
kinh tuyến. Mặc dù S(a) được định nghĩa trên hình chữ nhật đóng
R = [0, 2π] × − π2 , π2 nó có một thác triển khả vi tới các tập mở bất
kỳ chứa R.

Hình 1.1: Ảnh của hình cầu S(1) với 0 ≤ u ≤

3π
2

Từ định nghĩa của mảnh, ta thấy một mảnh có thể được viết như

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

là bộ n-hàm số
x (u, v) = (x1 (u, v), . . . , xn (u, v)) .

(1.1)

Ta kí hiệu đạo hàm riêng xu của x theo u bởi
xu (u, v) =

∂x1 (u, v)
∂xn (u, v)
,...,
∂u
∂u

(1.2)

Các đạo hàm khác của x, chẳng hạn như xv , xuu , xuv , ..., được định
nghĩa tương tự. Thông thường, ta sẽ viết tắt (1.1) và (1.2) thành
x = (x1 , ..., xn ) và xu =

∂xn
∂x1
, ...,

∂u
∂u

.

Chúng ta sẽ sử dụng các đạo hàm riêng xu và xv để biểu thị ánh xạ
tiếp xúc của mảnh x. Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2. Cho F : U −→ Rn là một ánh xạ khả vi, trong đó
U là một tập con mở của R2 và p ∈ U . Với mỗi vectơ tiếp xúc hình
học vp = (p, v) của R2 , ta định nghĩa
F∗p (vp ) = F (p + tv) (0).
Khi đó F∗p biến không gian tiếp xúc hình học R2p thành không gian
tiếp xúc hình học Rm
F (p) . Ánh xạ F∗p được gọi là ánh xạ tiếp xúc hay
vi phân của F tại p.
Xuyên suốt trong phần này, nếu không giải thích gì thêm ta hiểu
rằng U là tập mở trong R2 . Bổ đề sau cho chúng ta mối liên hệ giữa
ánh xạ tiếp xúc và đạo hàm riêng.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

Bổ đề 1.1. Cho x : U −→ Rn là một mảnh, và cho q ∈ U . Khi đó
x∗ (e1 (q)) = xu (q)

và x∗ (e2 (q)) = xv (q) ,


trong đó x∗ là kí hiệu của ánh xạ tiếp xúc của x, và {e1 , e2 } là kí hiệu
hệ tọa độ tự nhiên trong R2 .
Chứng minh. Định lý suy ra trực tiếp từ định nghĩa của ánh xạ tiếp
xúc và công thức đạo hàm hàm hợp trong giải tích cổ điển. Ta bỏ qua
chứng minh chi tiết.
Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa ma trận Jacobi.
Định nghĩa 1.3 (Ma trận Jacobi). Cho U là tập mở trong R2 . Ma
trận Jacobian của mảnh x : U −→ Rn là một hàm J(x) giá trị ma
trận xác định bởi





J (x) (u, v) = 




∂x1
(u, v)
∂u
..
.
..
.
∂xx
(u, v)
∂u


∂x1
(u, v)
∂v
..
.
..
.
∂xn
(u, v)
∂v


 
T


  xu (u, v) 
.
=

xv (u, v)



Ví dụ 1.1.1. Cho mảnh x được xác định bởi
x : U −→ R3
(u, v) −→ (u, sin u cos v, uv)

7


(1.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

Khi đó ma trận Jacobian của mảnh x là


1
0




J(x)(u, v) = cos u cos v − sin u sin v 


v
u
Trong lý thuyết mặt, ta thường dùng bổ đề sau mà thực chất là
một kết quả được biết đến rộng rãi trong lý thuyết đại số tuyến tính.
Bổ đề 1.2. Cho (p, q) ∈ Rn . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(i) p và q là phụ thuộc tuyến tính;


p.p
p.q
 = 0;

(ii) det 
q.p
q.q
(iii) Ma trận (p, q) cỡ n × 2 có hạng nhỏ hơn 2.
Chứng minh. Nếu p và q là phụ thuộc tuyến tính, khi đó hoặc p là
bội của q, hoặc q là bội của p. Giả sử, p = λq, khi đó

det 

p.p
q.p

p.q
q.q





 = det 

λq.(λq)

λq.q

q.q
= λ2 det 
q.q

λq.q




q.q
q.q
q.q




 = 0.

Do đó từ (i) ta suy ra được (ii).
Tiếp theo, ta giả sử (ii) đúng. Ta viết p = (p1 , ..., pn ) và q =

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

(p1 , ..., pn ). Khi đó
n

0= p

2

q


2

n

− (p.q)2 =

pi 2
i=1

2

n

qj 2

−

j=1

pi qi
i=1

(pi qj − pj qi )2 .

=
1≤i
Từ đó ta có pi qj = pj qi với mọi i, j. Do đó từ (ii) suy ra (iii).
Cuối cùng, giả sử (iii) đúng. Khi đó pi qj = pj qi với mọi i, j. Không

giảm tính tổng quát, ta giả sử qi = 0 với i nào đó. Khi đó pj = (pi /qi ) qj
với mọi j, và
p = (p1 , ..., pn ) =

pi
pi
(q1 , ..., qn ) = q,
qi
qi

Từ đó ta suy ra p và q là phụ thuộc tuyến tính.
Từ kết quả trên, ta lập tức có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1. Cho x : U −→ Rn . Khi đó, các điều kiện sau là tương
đương
(i) xu (u0 , v0 ) và xv (u0 , v0 ) là phụ thuộc tuyến tính;


xu .xu
xu .xv
 = 0 tại (u0 , v0 );
(ii) det 
xv .xu
xv .xv
(iii) Ma trận Jacobi J(x) có hạng nhỏ hơn 2 tại (u0 , v0 ).
Một trong những đối tượng quan trọng trong lý thuyết mặt là khái
niệm mảnh chính quy và mảnh đơn ánh định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.4 (Mảnh chính quy, mảnh đơn ánh). Một mảnh chính
quy là một mảnh x : U −→ Rn sao cho hạng J(x)(u, v) = 2 với mọi
9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

(u, v) ∈ U .
Mảnh đơn ánh là mảnh sao cho nếu x(u1 , v1 ) = x (u2 , v2 ) thì u1 = u2
và v1 = v2 .
Chú ý rằng, một mảnh chính quy có thể không là mảnh đơn ánh.
Chẳng hạn ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.2. Hình tròn trụ được xác định bởi
x : U −→ R3
(u, v) −→ (cos u, sin u, v)
với u ∈ R và −2 < v < 2. Dễ thấy x(u, v) = x(u + 2π, v) nên mảnh
trụ tròn như trên là không đơn ánh. Tuy nhiên, ma trận Jacobi của x
có dạng

− sin u 0




 cos u 0


0
1


luôn có hạng bằng 2 vì cos u và sin u không đồng thời bằng không. Thực

tế là cos2 u + sin2 u = 1.

Hình 1.2: (u, v) −→ (cos u, sin u, v)

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

Mặc khác ta cũng lưu ý rằng một mảnh có thể là đơn ánh nhưng
không là chính quy. Chẳng hạn xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.3. Mảnh xác định bởi
x : U −→ Rn
(u, v) −→ (u3 , v 3 , uv)
với −1 < u, v < 1. Dễ thấy mảnh là đơn ánh vì nếu (u31 , v13 , u1 v1 ) =
(u32 , v23 , u2 v2 ), thì u31 = u32 , v13 = v23 , và do vậy u1 = v1 , u2 = v2 . Mặt
khác ma trận Jacobi có dạng


2

3u


 0

v

0
3v
u




2




Dễ thấy ma trận trên suy biến nếu hoặc là u = 0 hoặc là v = 0.

Hình 1.3: (u, v) −→ (u3 , v 3 , uv)

Lưu ý rằng với biểu diễn tham số của mặt cầu S(a) như trên, thì
π
S(a) là không chính quy khi v = ± . Do đó, chúng ta cần quan tâm
2
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

đến các mảnh mà tính chính quy của nó có thể không đúng tại một
vài điểm. Điều này dẫn đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.5 (Mảnh chính quy tại một điểm). Một mảnh x : U −→

Rn được gọi là là chính quy tại một điểm (u0 , v0 ) ∈ U (hoặc chính quy
tại x(u0 , v0 )) nếu ma trận Jacobi J(x)(u0 , v0 ) có hạng bằng 2.
Bởi Bổ đề 1.1 và Hệ quả 1.1, ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.3. Một mảnh x : U −→ Rn là chính quy tại q ∈ U nếu và
chỉ nếu ánh xạ tiếp xúc của nó x∗ : R2q −→ Rnx(q) là đơn ánh.
Bổ đề dưới đây là hệ quả của Định lý hàm ngược.
Bổ đề 1.4. Cho x : U −→ Rn là một mảnh chính quy và cho q ∈ U .
Khi đó tồn tại một lân cận Uq của q sao cho x : Uq −→ x(Uq ) là hạn
chế của một vi phôi giữa các tập mở của Rn .
Chứng minh. Ta viết x = (x1 , ..., xn ) . Vì x là chính quy nên ma trận
Jacobian của nó có một ma trận con cấp (2 × 2) có định thức khác
0. Bằng cách thay đổi lại chỉ số của các hàm thành phần của x (nếu
cần), ta giả sử rằng


∂x1
 ∂u (u, v)
det  ∂x
2
(u, v)
∂u


∂x1
(u, v)
∂v
=0
∂x2
(u, v)
∂v

với (u, v) ∈ U .
Ta thác triển x : U −→ Rn thành ánh xạ
x : U × Rn−2 → Rn
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

xác định bởi công thức
x (u, v, t3 , ..., tn ) −→ (x1 (u, v) , x2 (u, v) , x3 (u, v) + t3 , ..., xn (u, v) + tn ) .
Dễ thấy ánh xạ x là khả vi. Hơn nữa, định thức


det J(x)T

∂x1
 ∂u (u, v)
 ∂x
 1 (u, v)

 ∂v
= det 

0


..


.

0

∂x1
 ∂u (u, v)
= det  ∂x
2
(u, v)
∂u

∂x2
(u, v)
∂u
∂x2
(u, v)
∂v
0
..
.

∂x3
(u, v)
∂u
∂x3
(u, v)
∂v
1
..

.

0

0

∂x1
(u, v)
∂v
 = 0.
∂x2
(u, v)
∂v

···
···
···
...
···


∂xn
(u, v)
∂u

∂xn
(u, v)

∂v




0


..

.

1

Do det(J (x))(q) = 0, nên theo định lý hàm số ngược thì tồn tại lân
cận Uq của điểm (q, 0) mà ở đó ánh xạ x có ánh xạ nghịch đảo khả vi.
Do đó x : Uq −→ x Uq là một vi phôi. Cuối cùng, ta lấy Uq = Uq ∩U ,
khi đó ta có điều phải chứng minh.
Kết quả của bổ đề trên có thể được diễn đạt bằng một cách khác.
Tức là, ánh xạ x : Uq −→ x (Uq ) là một vi phôi. Hệ quả trực tiếp là
ta có khẳng định sau.
Hệ quả 1.2. Cho x : U −→ Rn là một mảnh chính quy đơn ánh. Khi
đó, ánh xạ x là một vi phôi từ U lên x (U ).
Đối với một mặt chính quy, một cách tự nhiên chúng ta có các
đường cong tọa độ định nghĩa như dưới đây.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa đường tọa độ). Cho x : U −→ Rn là

mảnh, và cố định điểm (u0 , v0 ) ∈ U . Khi đó, các đường cong
u −→ x (u, v0 ) ,

và v −→ x (u0 , v)

lần lượt được gọi là các đường cong u-tham số, tương ứng đường cong
v-tham số hay các đường tọa độ.
Ngoài ra, chúng ta cũng có một cách rất thuận tiện để biểu diễn
các đường cong tổng quát mà vết của nó được chứa trong vết của một
mảnh.
Bổ đề 1.5. Cho α : (a, b) −→ Rn là một đường cong mà vết của nó
nằm trên ảnh x(U ) của một mảnh chính quy x : U −→ Rn sao cho
x : U −→ x(U ) là một phép đồng phôi. Khi đó tồn tại duy nhất các
hàm khả vi u, v : (a, b) −→ R sao cho
α (t) = x (u (t) , v (t))

(1.4)

với a < t < b.
Chứng minh. Do x là đồng phôi nên x là đơn ánh. Theo Hệ quả 1.2,
x có ánh xạ ngược khả vi x−1 . Khi đó, với a < t < b ta có thể viết
x−1 ◦ α (t) = (u(t), v(t)) ;
Rõ ràng là phương trình này tương đương với (1.4). Ta có, u và v là
duy nhất. Theo Hệ quả 1.2 thì u và v là khả vi.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Tạ Thị Ngọc

Định nghĩa vectơ tiếp xúc

Trong mục này, ta sẽ giới thiệu khái niệm vectơ tiếp xúc và những
khái niệm cơ bản có liên quan. Vectơ tiếp xúc là đối tượng cơ bản để
nghiên cứu hình học của các mảnh chính quy.
Định nghĩa 1.7 (Vectơ tiếp xúc). Cho x : U −→ Rn là một mảnh
đơn ánh, và cho p ∈ x (U ). Một vectơ tiếp xúc với x tại p là một vectơ
vp ∈ Rnp sao cho tồn tại một đường cong khả vi α : (a, b) −→ Rn sao
cho nó có thể viết dưới dạng
α (t) = x (u(t), v(t))

(a < t < b),

(1.5)

hơn nữa, α(0) = p và α (0) = vp . Ta ký hiệu tập các vectơ tiếp xúc
với x tại p bởi x(U )p .
Ta có ví dụ minh họa sau
Ví dụ 1.2.1. Cho mảnh x : R2 −→ R2 xác định bởi x(x, y) = (x, y),
lấy p = (1, 0) ∈ R2 . Khi đó vp = (0, 1) là một vectơ tiếp xúc với mảnh
x tại điểm p. Thật vậy, ta xét đường cong
α:

π π
− ;
2 2

t

−→

R2

−→ (cos t, sin t)

Dễ dàng kiểm tra được α (0) = p = (0, 1) và
α (0) = vp = (1, 0) .
Một trong những tính chất quan trọng của x(U )p là nó lập thành
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

một không gian vectơ. Không gian này được gọi là không gian tiếp
xúc với x tại p.
Bổ đề 1.6. Tập x(U )p của tất cả các vectơ tiếp xúc với mảnh x tại
điểm chính quy p = x (u0 , v0 ) ∈ x (U ) tạo thành một không gian vectơ.
Không gian này là bao tuyến tính của xu (u0 , v0 ) và xv (u0 , v0 ).
Chứng minh. Lấy vp ∈ x(U )p là một vectơ tiếp xúc bất kỳ. Từ định
nghĩa của vectơ tiếp xúc, tồn tại một đường cong α có dạng (1.5) sao
cho α(0) = p và α (0) = vp . Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp áp dụng
cho các đường cong , ta có
α (t) = u (t) xu (u (t) , v (t)) + v (t) xv (u (t) , v (t)) .
Đặc biệt, với t = 0, ta nhận được
vp = α (0) = u (0) xu (u0 , v0 ) + v (0) xv (u0 , v0 ) .

Ngược lại, nếu
vp = c1 xu (u0 , v0 ) + c2 xv (u0 , v0 ) ,
thì khi đó vp là vectơ tiếp xúc tại x (u0 , v0 ) = p của đường cong
t −→ x (u0 + tc1 , v0 + tc2 ).
Từ cách chứng minh của Bổ đề 1.6, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3. Cho α : (a, b) −→ Rn là một đường cong mà vết của nó
nằm trên ảnh x (U ) của một mảnh chính quy x : U −→ Rn sao cho
x : U −→ x(U ) là một phép đồng phôi. Khi đó tồn tại duy nhất các
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

hàm khả vi u, v : (a, b) −→ R sao cho
α = u xu + v xv .

1.3

Vectơ pháp tuyến và trường vectơ

Định nghĩa 1.8 (Vectơ pháp tuyến). Cho x : U −→ Rn là một mảnh
đơn ánh, và cho zp ∈ Rnp với p ∈ x (U ). Ta nói rằng zp là pháp tuyến
hay đường vuông góc với x tại p nếu zp · vp = 0 với mọi vectơ vp tiếp
xúc với x tại p.
⊥
Gọi x(U )⊥
p là phần bù trực giao của x(U )p , tức là x(U )p là không

gian chứa tất cả các vectơ trong Rnp vuông góc với x(U )p . Ta dễ dàng
chứng minh rằng
Rnp = x(U )p ⊕ x(U )⊥
p

(1.6)

Định nghĩa 1.9 (Trường vectơ). Một trường vectơ V trên một mảnh
x : U −→ Rn là một ánh xạ biến mỗi q ∈ U thành một vectơ tiếp xúc
V (q) ∈ Rnp , trong đó p = x (q). Ta nói rằng trường vectơ V là tiếp
xúc với x nếu V (q) ∈ x(U )p với mọi q ∈ U .
Tương tự, một trường vectơ W trên x được gọi là trường vectơ pháp
tuyến hay vuông góc với x nếu W (q) · vp = 0 với mọi vp ∈ x(U )p và
q ∈ U.

17


Chương 2
Mảnh chính quy trong R3 và ánh
xạ Gauss địa phương
Trong chương này, chúng ta sẽ chỉ xem xét các mặt chính quy trong
R3 . Chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm trường vectơ pháp tuyến đơn vị,
ánh xạ Gauss địa phương - một khái niệm quan trọng trong nghiên
cứu hình học vi phân, đặc biệt là nghiên cứu các mặt cực tiểu. Tiếp
sau đó, chúng ta giới thiệu về hàm độ cao, hàm khoảng cách và đưa
ra các ví dụ về mặt chính quy. Cuối cùng khái niệm mảnh kỳ dị cũng
được nhắc lại trong chương này.

2.1

Ánh xạ Gauss địa phương

Trước hết, chúng ta đưa ra một tiêu chuẩn hữu ích cho tính chính quy
của mảnh.
Bổ đề 2.1. Một mảnh x : U −→ R3 là chính quy tại (u0 , v0 ) ∈ U khi
và chỉ khi xu × xv = 0 tại (u0 , v0 ).
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng xu × xv được biểu diễn bởi phương
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Ngọc

trình

∂x1 ∂x1 →
−
i
 ∂u ∂v

 ∂x2 ∂x2 →

−
,
xu × xv = det 
j
 ∂u ∂v


 ∂x ∂x →

3
3 −
k
∂u ∂v


−
→
− →
− →
trong đó i , j , k lần lượt là các vectơ cơ sở chuẩn tắc trong R3 . Từ
công thức này, ta thấy rằng (xu × xv ) (u0 , v0 ) = 0 khi và chỉ khi hạng
J(x)(u0 , v0 ) nhỏ hơn 2.
Ngoài ra, chúng ta thấy rằng, vectơ tích ngoài của các vectơ xu , xv
cũng giúp ích cho chúng ta trong việc xác định trường vectơ pháp
tuyến.
Bổ đề 2.2. Cho x : U −→ R3 là một mảnh đơn ánh chính quy. Khi
đó, trường vectơ (u, v) −→ xu × xv , tại mọi điểm đều vuông với x(U ).
Chứng minh. Ta thấy ngay rằng xu × xv vuông với cả xu và xv . Vì bất
kỳ vectơ tiếp xúc vp của x đều là một tổ hợp tuyến tính của xu , xv tại
p, theo Bổ đề 1.6, ta kết luận rằng (u, v) −→ xu × xv vuông góc với
x (U ). Đó là điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa trường vectơ pháp tuyến đơn vị). Cho
trước một mảnh đơn ánh x : U −→ R3 , trường vectơ pháp tuyến đơn
vị hay pháp tuyến mặt x(U ) được xác định bởi
U (u, v) =

xu × xv

(u, v)
xu × xv

tại các điểm (u, v) ∈ U mà tại dó xu × xv không bị triệt tiêu.
19